第05讲 二倍角公式、三角变换的应用（2大知识点+12大题型+过关测试）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（沪教版2020）

第05讲 二倍角公式、三角变换的应用 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.能利用两角和的正、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式能用二倍角公式导出半角公式，能用两角和与差的三角函数公式导出积化和差、和差化积公式．体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．(重点) 2.能利用二倍角公式进行化简、求值、证明．熟悉二倍角公式的常见变形，并能灵活应用．了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．(难点、易错点) 知识点01二倍角的正弦、余弦和正切公式 在两角和的正弦、余弦和正切公式中，用代入，就得到二倍角的正弦、余弦和正切公式 ， ， . 由于，因此二倍角的余弦公式还可以表示为 . 知识点02半角的正弦、余弦和正切公式 ，，. tan＝＝＝，tan＝＝＝ 它们分别叫做半角的正弦、余弦和正切公式. 其中，公示右侧的“”号，根据角所在的象限由左侧相应的符号确定. 题型一：二倍角的正弦公式 1．（23-24高一·上海·课堂例题）当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】二倍角的正弦公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】利用二倍角的正弦公式及同角公式化简即得. 【详解】由，得， 所以. 故选：C 2．（23-24高一下·上海·期末）若，则的值为 ． 【答案】/0.75 【难度】0.65 【知识点】二倍角的正弦公式、三角函数的化简、求值——诱导公式、诱导公式五、六、正、余弦齐次式的计算 【分析】根据已知条件利用诱导公式和公式化简得到，两边平方结合正弦的二倍角公式即可. 【详解】由， 所以， 即， 所以， 即， 故答案为：. 题型二：二倍角的余弦公式 1．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知的值，则关于和的值，下列说法中正确的是（    ） A．的值和的值均唯一确定 B．的值唯一确定，但的值可能不唯一 C．的值唯一确定，但的值可能不唯一 D．的值和的值均可能不唯一 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】根据二倍角公式以及余弦的和差角公式即可化简求解. 【详解】由于， ， 所以的值，则关于和的值唯一. 故选：A. 2．（23-24高一下·上海黄浦·期中）若，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】二倍角的余弦公式 【分析】由二倍角公式求解即可． 【详解】 ， 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，求的值. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】利用二倍角公式结合同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】将记为①，两边平方得， ，∴. ∵，∴，， ∴， ， ，将它记为②. 由①②联立解得，， ∴， ，， ∴. 4．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知．其中为常数，且． (1)求； (2)若，，求； (3)分别求，． 【答案】(1) (2) (3)， 【难度】0.4 【知识点】正、余弦齐次式的计算、用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、和差化积公式 【分析】 （1）把已知等式平方后作和，利用两角和差余弦公式可求得结果； （2）由（1）得，由，，结合两角和差公式可化简求得，利用二倍角余弦公式可得，由此可得结果； （3）根据（2）中运算，讨论或的情况；当均不为时，可求得，利用二倍角公式和正余弦齐次式的求法可求得结果. 【详解】（1）由得：， 两式作和得：， ，即. （2）由（1）知：当，时，； ， ， ，，， ， . （3）由（2）知：； 当时，由可得：，，则，； 当时，由可得：，，则，； 当且时，， ， ； 验证可知：当或时，与都成立； 综上所述：，. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角恒等变换的应用，解题关键是能够熟练掌握和差化积公式的推导方法，从而利用该公式对已知等式进行合理的化简求值. 题型三：二倍角的正切公式 1．（23-24高一下·上海·期中）已知，则的值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】正、余弦齐次式的计算、二倍角的正切公式 【分析】利用二倍角的正切公式求出，再利用正余弦齐次式法求值. 【详解】由，得， 所以. 故答案为： 2．（23-24高一下·上海·期末）在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个钝角，，它们的终边分别与单位圆相交于，两点，已知，的横坐标分别为，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)3 (2) 【难度】0.85 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正切公式 【分析】（1）先求出、的纵坐标，利用任意角的三角函数的定义求出和，再利用两角和的正切公式求得的值． （2）先求出，，由、为钝角可得、，得到，从而求得的值． 【详解】（1）由题意，，两点位于第二象限， ，的纵坐标分别为，． ，， ． （2）由于， ， 因为、为钝角，所以、， 故，． 3．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，某园林单位准备绿化一块直径为的半圆形空地，的外面种草，的内接正方形为一水池，其余的地方种花.若，，设的面积为，正方形的面积为. (1)用a、表示和； (2)当a固定，变化时，求的最小值时的角. 【答案】(1)，. (2). 【难度】0.65 【知识点】对勾函数求最值、二倍角的正弦公式、几何中的三角函数模型 【分析】（1）根据已知条件及锐角三角形中正余弦函数，利用三角形的面积公式和正方形的面积公式即可求解； （2）根据（1）的结论，将表示为的函数，利用倍角公式对函数进行转化，利用换元法，借助对勾函数的单调性，从而求得最小值. 【详解】（1）在中，，，. 设正方形的边长为x，则，. 由，得，故. 所以. （2）由（1）知，，， 所以， 令，因为， 所以，则， 所以， 设， 根据对勾函数的单调性可知，在上单调递减， 因此当时，有最小值， 此时，解得， 所以当时，的最小，最小值为. 题型四：利用二倍角公式求解 1．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，且，求，和的值． 【答案】，， 【难度】0.85 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、二倍角的正切公式 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式即可求解． 【详解】因为，， ， ， ， ， 2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，．求，和的值． 【答案】，，． 【难度】0.85 【知识点】二倍角的正切公式、二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】由已知可求得，进而可求、和的值． 【详解】，， ． ， ， ． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）化简：. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、诱导公式五、六、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】根据给定条件，利用二倍角的正余弦公式，结合切化弦、诱导公式化简即得. 【详解】原式 . 4．（23-24高一·上海·课堂例题）证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、三角函数恒等式的证明——同角三角函数基本关系 【分析】（1）利用同角公式、二倍角的正余弦公式推理得证. （2）利用同角公式的平方关系、二倍角的正弦公式推理得证. 【详解】（1） . 所以. （2）， 所以. 5．（22-23高一下·上海金山·阶段练习）如图，点是锐角的终边与单位圆的交点，逆时针旋转得逆时针旋转得逆时针旋转得. (1)若的坐标为，求点的横坐标； (2)若点的横坐标是，求的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】利用定义求某角的三角函数值、已知正（余）弦求余（正）弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、二倍角的正切公式 【分析】（1）根据三角函数定义结合和差公式可得； （2）根据三角函数定义和诱导公式，分类可求得，然后由平方关系和二倍角公式可得. 【详解】（1）因为点，根据三角函数的定义可得， 根据题意可知点的横坐标为： ； （2）根掂题意可知点的横坐标为， 因为，所以， 当为奇数时，有，所以， 所以， 所以. 当为偶数时，有，所以， 所以， 所以. 6．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的最大值与最小值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)最大值，最小值； (2)最大值，最小值； (3)最大值，最小值. 【难度】0.65 【知识点】求含sinx（型）的二次式的最值、二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）利用正弦函数的图象和性质即可得解. （2）由题得，再利用二次函数的图象和性质结合正弦函数的图象和性质得解； （3）由二倍角公式和辅助角公式化简，再结合正弦函数的图象和性质得解. 【详解】（1）当时，即时， 取得最大值， 当时，即时， 取得最小值， （2）. 当，即时，函数取得最大值； 当，即时，函数取得最小值. （3） ， 当时，即时， 取得最大值， 当时，即时， 取得最小值， 题型五：sin2x 、cos2x的降幂公式及应用 1．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）中，设，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】诱导公式二、三、四、用和、差角的余弦公式化简、求值、cos2x的降幂公式及应用 【分析】先将降幂扩角,再将利用诱导公式换成,再利用和角公式展开即可得出结论. 【详解】由得 整理得,因为, 所以 所以 所以 又因为,所以,即. 所以为等腰三角形. 故选:C. 2．（23-24高一下·上海·阶段练习）圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币．如图1，其边框由大､小不等的两个同心圆围成，内嵌的正方形孔的中心与同心圆的圆心重合．某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其“小圆”内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比正方形孔的边长小､用于刻铜钱上的字），每个正方形有两个顶点在圆周上､另两个顶点在孔边上．设，五个正方形的面积和为． (1)求面积关于的函数表达式； (2)求面积最小值，和取到最小值时的的值． 【答案】(1) (2)，此时 【难度】0.65 【知识点】三角函数在生活中的应用、辅助角公式、sin2x的降幂公式及应用、cos2x的降幂公式及应用 【分析】（1）过点分别作小正方形边，大正方形边的垂线，垂足分别为，则点分别为小正方形和大正方形边的中点，从而可表示出小正方形和大正方形的边长，进而可表示出面积 （2）对利用三角函数恒等变换公式化简变形后可求得其最小值. 【详解】（1）过点分别作小正方形边，大正方形边的垂线，垂足分别为， 因为内嵌一个大正方形孔的中心与同心圆圆心重合， 所以点分别为小正方形和大正方形边的中点． 所以小正方形的边长为， 大正方形的边长为， 所以五个正方形的面积和为 ， 因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长， 所以，得， 所以定义域为， （2） ，其中， 所以， 此时， 因为，所以， 得，所以. 题型六：应用辅助角公式解题 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）用辅助角公式化简下列各式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【难度】0.94 【知识点】辅助角公式 【分析】根据辅助角公式进行化简得出结果； 【详解】（1） （2） 2．（23-24高一·上海·课堂例题）把下列各式化成的形式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)其中 【难度】0.85 【知识点】辅助角公式 【分析】（1）利用辅助角公式：，易将其化为正弦型函数的形式； （2）利用辅助角公式：进行求解． 【详解】（1） ； （2） （其中，） 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，求m的取值范围 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】辅助角公式、平方法解绝对值不等式 【分析】利用辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； 【详解】 . ∵，∴， ∴（）， ∴（）， ∴，∴. 故答案为：. 4．（22-23高一上·上海宝山·阶段练习）若，，下列判断错误的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】辅助角公式、诱导公式二、三、四、由三角函数式的符号确定角的范围或象限、已知三角函数值求角 【分析】根据给定条件，结合辅助角公式的变形，确定辅助角的取值作答. 【详解】由选项知，，， 令，有，， 则， 对于A，当时，为第一象限角，且，，，则，A正确； 对于B，当时，为第四象限角，且，，，则，B正确； 对于C，当时，为第二象限角，且，，，则，C正确； 对于D，当时，为第三象限角，且，，，则，D错误. 故选：D 5．（23-24高一下·上海杨浦·期中）对于任意，不等式有以下两个结论：①当时，对于任意实数，不等式成立；②对于任意实数，总存在，使不等式成立那么（    ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①正确②正确 D．①错误②错误 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、辅助角公式、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】利用的关系，换元化简不等式左侧为，根据二次函数的性质得出不等式左侧的值域，再利用简易逻辑用语及不等式的恒能成立一一判定结论即可. 【详解】记 ， 令，则， 因为，所以，， 所以， 令，上式化为，， 易知对称轴，由二次函数的性质易知时单调递增， 即，， 所以. 显然恒成立，即当时，恒成立， 故①正确； 显然当时，， 不存在使得成立，故②错误. 故选：A. 【点睛】思路点睛：先利用同角三角函数的和积关系化简不等式左侧，再利用换元法转化为求二次函数定区间的值域，结论①②分别对应恒能成立问题，结合集合包含关系判定即可. 题型七：半角公式 1．（24-25高一上·上海·课前预习）半角公式的变形 ； ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二倍角的余弦公式、半角公式 【分析】根据二倍角公式即可求解. 【详解】由可得，， 故答案为：， 2．（23-24高一下·上海·阶段练习）设，化简的结果是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】半角公式、二倍角的余弦公式 【分析】由二倍角的余弦公式结合角的范围即可化简. 【详解】， 因为，所以， 从而. 故答案为：. 3．（21-22高一下·上海黄浦·期末）已知：，，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、半角公式 【分析】由，两边平方得到，进而求得，两式联立得到，再利用三角恒等变换求解. 【详解】解：由，两边平方得：， 即， 因为， 所以， 所以， 两式联立得， 所以， 故答案为： 题型八：给值求角型问题 1．（22-23高一·全国·课后作业）已知，，，则 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、给值求角型问题 【分析】求得，由此求得. 【详解】依题意，，， 所以， 所以， 所以 ， 由于，所以. 故答案为： 2．（24-25高一上·上海·课后作业）求下列方程的解集：. 【答案】或. 【难度】0.85 【知识点】给值求角型问题 【分析】依题意化简为，再根据正弦（余弦）函数的性质计算可得. 【详解】 ， ∴或， 由解得，由解得或， ∴方程的解集为或. 题型九：给值求值型问题 1．（21-22高一下·上海杨浦·期中）已知函数，. (1)若是第一象限角，且，求的值； (2)求使成立的x的取值集合. 【答案】(1) (2)或. 【难度】0.85 【知识点】正弦函数图象的应用、半角公式、辅助角公式、给值求值型问题 【分析】（1）先求出，结合所在象限求得，进而利用半角公式进行求解；（2）利用半角公式，辅助角公式求得，进而求出使成立的x的取值集合. 【详解】（1），解得：， 因为是第一象限角， 所以 ； （2）， 即， ， 利用辅助角公式得：， 所以，或， 解得：，或， 故使成立的x的取值集合为或 2．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，，求的值. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、辅助角公式、给值求值型问题 【分析】借助降幂公式与辅助角公式，同角三角函数的基本关系与二倍角公式计算即可得. 【详解】， 即，由，故， 故， 则. 3．（23-24高一下·上海·阶段练习）定义一个新运算，已知，则，已知，且，求与的值 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、给值求值型问题 【分析】根据题意结合三角恒等变换整理得，再结合角的范围利用三角恒等变换分别求，注意三角函数值的符号. 【详解】因为， 可得 ， 由可得，解得， 且，则，可得， 所以， 所以， 又因为，解得， 由可知，则，所以. 题型十：三角恒等变换的化简 1．（23-24高一·上海·课堂例题）把下列各式化为的形式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】三角恒等变换的化简问题、辅助角公式 【分析】（1）（2）根据三角函数的恒等变换即可求解． 【详解】（1） ； （2） 2．（23-24高一·上海·课堂例题）利用二倍角公式，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.85 【知识点】三角恒等变换的化简问题、二倍角的正切公式、二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式 【分析】（1）（2）（3）直接利用三角函数的二倍角公式求出结果． 【详解】（1）； （2）； （3）． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3)4 (4) 【难度】0.65 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】应用二倍角公式及两角和差公式化简求值即可. 【详解】（1）原式 （2）原式. （3）原式. （4）原式 . 4．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求的值. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三角恒等变换的化简问题、二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式 【分析】首先利用二倍角公式化简条件等式，求得的值，再将余弦，用二倍角公式公式表示，再表示成正切，即可求值. 【详解】∵ ， ∴，. 5．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，化简. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】二倍角的余弦公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】利用二倍角的余弦公式构造平方式，逐步化简即可. 【详解】，，，， 则. 题型十一：三角恒等式证明 1．（2024高一下·上海·专题练习）（1）证明：； （2）化简：． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【难度】0.85 【知识点】半角公式、逆用和、差角的余弦公式化简、求值、三角恒等变换的化简问题、无条件的恒等式证明 【分析】（1）利用同角三角函数关系和逆用余弦差角公式化简得到答案； （2）利用诱导公式和正弦和差公式化简得到答案. 【详解】（1）证明：左边 右边，得证； （2）原式． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）在中，求证： （2）在中，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【难度】0.85 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、逆用和、差角的余弦公式化简、求值、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）由诱导公式、两角和差公式及其逆用即可得证； （2）由诱导公式、两角和差公式及其逆用即可得证. 【详解】证明：（1）由，得，于是， 左边 右边， 所以原等式成立. （2）由，得，于是， 左边 右边，原等式成立. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）证明下列恒等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)见解析 (2)解析 (3)解析 (4)解析 【难度】0.85 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】（1）直接利用倍角公式的变换求出结果； （2）利用倍角公式的变换求出结果； （3）利用倍角公式的变换和同角三角函数的关系式的变换求出结果； （4）利用同角三角函数的关系式的变换和倍角公式的变换求出结果． 【详解】（1）右边 左边， 故成立． （2）右边 左边， 故成立； （3）左边 右边， 故成立． （4）左边 右边， 故成立． 4．（20-21高一下·上海普陀·阶段练习）（1）求证： （2）在中，求证： 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的余弦公式、无条件的恒等式证明、三角形中的三角恒等式 【分析】（1）利用二倍角正弦、余弦公式化简即可得证； （2）根据内角和定理得，代入两角和的正切公式，化简即可得证. 【详解】解：（1）证明：因为， 所以 . （2）在中，因为， 所以，即. 题型十二：三角恒等变换的实际应用 1．（20-21高一下·上海徐汇·期中）如图所示，有一块正方形的钢板，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按角 来截. 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】三角恒等变换的实际应用 【分析】设正方形的边长为，可得出正方形的边长为，根据已知条件可求得的，结合可求得的值. 【详解】设正方形的边长为，则正方形的边长为， 由题意可得，即，可得， 因为，则，所以，或，解得或. 故答案为：或. 2．（20-21高一下·上海黄浦·期中）如图，、、是同一平面内三条不重合自上而下的平行直线，如果边长为的正三角形的三顶点分别在、、上，设与的距离为，与的距离为，则的最大值 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、三角恒等变换的实际应用 【分析】设与所成角为，，即可表示出，，再由三角恒等变换公式将化简，再由正弦函数的性质计算可得. 【详解】解：设与所成角为，， 则，， 所以 ， ，，即时，， 即． 故答案为：． 一、单选题 1．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知满足，，则下列选项中正确的为（    ） A．的三个内角一定都是 B．的三个内角至少有一个是 C．的三个内角可能均不是 D．以上说法均错误 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】二倍角的正弦公式、辅助角公式、三角恒等变换的化简问题、和差化积公式 【分析】根据辅助角公式可得，即可利用换元法，结合二倍角公式以及和差化积公式，得，即可利用三角函数性质求解. 【详解】由可得, 故, 由于,设，则， 从而 即，进而， 由于,所以，因此中至少一个为0， 因此至少一个为0， 即至少一个为0，故中至少一个为0. 故选：B. 2．（2023·上海奉贤·一模）已知，，，，满足，，，有以下个结论： ①存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数； ②存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数. 下列说法正确的是（    ） A．结论①、②都成立 B．结论①不成立、②成立 C．结论①成立、②不成立 D．结论①、②都不成立 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角恒等变换的化简问题、给值求值型问题 【分析】根据三角恒等变换的知识，分别将和用，表示即可. 【详解】对于结论①， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴当为常数，时，不是一个常数，故结论①不成立； 对于结论②， 方法一： ∵ 又∵ ∴ 化简得， ∴存在常数，对任意的实数，使得，故结论②成立. 方法二：（特值法） 当时，， ∴，∴. ∴存在常数，对任意的实数，使得，故结论②成立. 故选：B. 【点睛】本题中结论②的判断，使用常规三角恒等变换的方法运算量较大，对于存在性结论，使用特值法可以有效验证其正确性，减少运算量. 二、填空题 3．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知角a满足，则的值为 【答案】1或 【难度】0.85 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、给值求值型问题 【分析】利用倍角公式可得，分和两种情况，结合倍角公式运算求解. 【详解】因为，则， 若，符合题意，此时； 若，则，； 综上所述：或. 故答案为：1或. 4．（24-25高一上·上海·单元测试）已知，若，则 . 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】辅助角公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】将待求式切化弦可得，根据平方可求得的值，然后求出的范围，由此求出的值，代入即可求解. 【详解】， 因为，，两边平方可得，，则， 又因为， 所以，则，， 则，所以， 所以， 则， 故答案为：. 三、解答题 5．（22-23高一下·上海松江·期中）（1）已知，求的值； （2）证明恒等式：． 【答案】（1）（2）证明见解析 【难度】0.85 【知识点】二倍角的正弦公式、无条件的恒等式证明 【分析】（1）两边平方后，根据同角公式和二倍角的正弦公式可得结果； （2）根据两角和的正弦公式和同角公式可证等式成立. 【详解】（1）由，得， 得， 得. （2）证明：左边右边. 6．（20-21高一下·上海虹口·期末）进博会期间，有一个边长的正方形展厅，由于疫情，展厅被分割成如图所示的相互封闭的几个部分，已划出以为圆心，为半径的扇形作为展厅，现要在余下的地块中划出一块矩形的产品说明会场地，矩形有两条边分别落在边和上，设. （1）当时，求出矩形的面积（精确到）； （2）用表示矩形的面积，并求出矩形的面积的最大值（精确到）. 【答案】（1）；（2），的最大值为. 【难度】0.65 【知识点】三角恒等变换的实际应用、求含sinx（型）的二次式的最值 【分析】（1）过作于，作于，求出、的长，即可求得矩形的面积； （2）求出、关于的表达式，可得出关于的表达式，换元，利用二次函数的基本性质可求得的最大值. 【详解】（1）如图所示，过作于，作于，如下图所示： 当时，，， ，， 所以，； （2）因为，， ，， 所以，， 所以， ，， 因为，则，令， 则， 因为二次函数的对称轴为直线， 因为，故当时，即当或时， 取得最大值，即. 7．（20-21高一下·上海·单元测试）（1）设，请运用任意角的三角函数定义证明：. （2）设，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】三角函数定义的其他应用、无条件的恒等式证明 【分析】（1）设出角终边上任意一点，然后根据任意角的三角比定义表示出六个三角比，分别计算等式的左右两边，说明左边右边即可完成证明； （2）根据二倍角的正弦公式以及正切、余切的半角公式化简等式的左边，当化简至左边右边即可完成证明. 【详解】（1）设是角终边上任意一点，且， 则由任意角的三角比定义，有，，，，，， ∴左边，右边. ∴左边右边，即原式成立； （2）证法一：左边右边. 证法二：. 8．（23-24高一下·上海·假期作业）回答下面两题： (1)已知，，求的值； (2)已知，且，求. 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】二倍角的余弦公式、给值求值型问题、给值求角型问题 【分析】（1）首先确定的取值范围，再根据同角三角函数求，再利用二倍角公式求和，即可求解； （2）将等式转化为表示的三角函数，即可求解方程. 【详解】（1），， ，， ， （2） ， ∴原式可化为 解得或， 故或， 即或. 9．（21-22高一下·上海杨浦·期末）. (1)将函数化为的形式，并写出其最小正周期； (2)求函数在区间上的值域. 【答案】(1)，最小正周期 (2) 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）利用三角恒等变换的知识化简的解析式，并求得最小正周期. （2）根据三角函数值域的求法，求得函数在区间上的值域. 【详解】（1） . 所以的最小正周期. （2）由于， 所以， 所以在区间上的值域为. 10．（22-23高一下·上海静安·期中）已知下列是两个等式： ①； ②； (1)请写出一个更具一般性的关于三角的等式，使上述两个等式是它的特例； (2)请证明你的结论； 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】二倍角的余弦公式、cos2x的降幂公式及应用、无条件的恒等式证明、数与式中的归纳推理 【分析】（1）根据归纳推理，即可得结论； （2）利用二倍角公式的变形结合两角和差的余弦公式，即可证明结论. 【详解】（1）由题意可得出具一般性的关于三角的等式为：； （2）证明：因为，， 故 ， 即. 11．（22-23高一下·上海黄浦·期末）某小区围墙一角要建造一个水池和两条小路．如图，四边形中，，，以为圆心、为半径的四分之一圆及与圈成的区域为水池，线段和为两条小路，且所在直线与圆弧相切．已知米，设（），那么当为多少时，才能使两条小路长之和最小？最小长度是多少？    【答案】，最小，最小长度为米. 【难度】0.65 【知识点】三角函数在生活中的应用、二倍角的正切公式、基本不等式求和的最小值 【分析】设与圆弧的切点为，连接，由三角函数表示出，化简可得，再由基本不等式求解即可. 【详解】设与圆弧的切点为，连接， 由题设，得，于是， 从而， 由，得，从而， 当且仅当，即，最小，最小长度为米.      12．（23-24高一下·上海·期中）已知为钝角，且 (1)求的值 (2)求的值 【答案】(1)； (2) 【难度】0.65 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、诱导公式五、六、二倍角的正切公式 【分析】（1）由同角关系求，再由结合诱导公式求值； （2）根据同角关系求，根据求出，再由二倍角正切公式求. 【详解】（1） （2）由题意可知 ， ， . 13．（23-24高一下·上海·期末）已知，，且. (1)求的值； (2)求. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的正切公式 【分析】（1）根据同角的三角函数关系和二倍角公式，求出和的值； （2）由同角的三角函数关系和三角恒等变换，即可求出的值． 【详解】（1）由，，得， ，于是. （2）由，得，又， ， 由得： ． 14．（23-24高一下·上海嘉定·期中）如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上．记．（提示：直径所对的圆周角是直角，即图中） (1)用表示的长； (2)若，求如图中阴影部分的面积； (3)记梯形的周长为，将表示成的函数，并求出的最大值． 【答案】(1) (2) (3)； 【难度】0.65 【知识点】三角函数在生活中的应用、二倍角的余弦公式、求含sinx（型）的二次式的最值 【分析】（1）连接，过作，由几何关系可得，由三角函数可表示出的长； （2）图中阴影部分的面积等于和扇形的面积，分别求出即可得出答案. （3）根据给定条件，利用圆的性质，结合直角三角形的边角关系表示出，利用二倍角的余弦公式变形函数，再利用换元法，结合二次函数求出最大值. 【详解】（1）连接，过作，则， 所以. （2）． ， ， 所以， （3）， 则 ， 令，则， 则，当时，. 15．（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知直角梯形，，，，扇形圆心角，，如图，将，以及扇形的面积分别记为    (1)写出的表达式，并指出其大小关系（不需证明）； (2)用表示梯形的面积；并证明：； (3)设，，试用代数计算比较与的大小. 【答案】(1)， (2)，证明见解析， (3) 【难度】0.4 【知识点】扇形面积的有关计算、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的正切公式 【分析】（1）根据锐角三角函数，以及扇形的面积公式即可求解， （2）根据二倍角公式即可得，利用，即可由放缩法求证，或者构造函数利用导数求解单调性即可求证， （3）利用和差角公式，以及即可作差比较大小，或者构造函数求导判断单调性，即可利用的单调性求解. 【详解】（1）由题意可得， 所以， 如图：在单位圆中，设，, 则， 由于，所以，， 因此.    （2）， 方法一：由. 所以， 由于，则，所以 故， 方法二：由于， 令则， 由于，所以， 故， 因此在单调递增，故，所以 因此. （3）方法一：由于 所以， 由于，所以， 故， ， 因此. 方法二：：， 记， ，故在单调递减，故，所以，故在单调递减， 由于，所以. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，应用面积关系证明出关键不等式，，结合二倍角公式以及弦切互化关系，即可由三角函数的性质求解，而证明不等式时，常采用放缩法或者作差法，将一些基本的不等关系进行适当的放缩，或者利用作差法求解，多注意不等式的变形形式，比如本题的由得是解决本题第三问的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 二倍角公式、三角变换的应用 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.能利用两角和的正、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式能用二倍角公式导出半角公式，能用两角和与差的三角函数公式导出积化和差、和差化积公式．体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．(重点) 2.能利用二倍角公式进行化简、求值、证明．熟悉二倍角公式的常见变形，并能灵活应用．了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．(难点、易错点) 知识点01二倍角的正弦、余弦和正切公式 在两角和的正弦、余弦和正切公式中，用代入，就得到二倍角的正弦、余弦和正切公式 ， ， . 由于，因此二倍角的余弦公式还可以表示为 . 知识点02半角的正弦、余弦和正切公式 ，，. tan＝＝＝，tan＝＝＝ 它们分别叫做半角的正弦、余弦和正切公式. 其中，公示右侧的“”号，根据角所在的象限由左侧相应的符号确定. 题型一：二倍角的正弦公式 1．（23-24高一·上海·课堂例题）当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海·期末）若，则的值为 ． 题型二：二倍角的余弦公式 1．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知的值，则关于和的值，下列说法中正确的是（    ） A．的值和的值均唯一确定 B．的值唯一确定，但的值可能不唯一 C．的值唯一确定，但的值可能不唯一 D．的值和的值均可能不唯一 2．（23-24高一下·上海黄浦·期中）若，则 . 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，求的值. 4．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知．其中为常数，且． (1)求； (2)若，，求； (3)分别求，． 题型三：二倍角的正切公式 1．（23-24高一下·上海·期中）已知，则的值为 . 2．（23-24高一下·上海·期末）在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个钝角，，它们的终边分别与单位圆相交于，两点，已知，的横坐标分别为，. (1)求的值； (2)求的值. 3．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，某园林单位准备绿化一块直径为的半圆形空地，的外面种草，的内接正方形为一水池，其余的地方种花.若，，设的面积为，正方形的面积为. (1)用a、表示和； (2)当a固定，变化时，求的最小值时的角. 题型四：利用二倍角公式求解 1．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，且，求，和的值． 2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，．求，和的值． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）化简：. 4．（23-24高一·上海·课堂例题）证明： (1)； (2)． 5．（22-23高一下·上海金山·阶段练习）如图，点是锐角的终边与单位圆的交点，逆时针旋转得逆时针旋转得逆时针旋转得. (1)若的坐标为，求点的横坐标； (2)若点的横坐标是，求的值. 6．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的最大值与最小值： (1)； (2)； (3). 题型五：sin2x 、cos2x的降幂公式及应用 1．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）中，设，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 2．（23-24高一下·上海·阶段练习）圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币．如图1，其边框由大､小不等的两个同心圆围成，内嵌的正方形孔的中心与同心圆的圆心重合．某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其“小圆”内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比正方形孔的边长小､用于刻铜钱上的字），每个正方形有两个顶点在圆周上､另两个顶点在孔边上．设，五个正方形的面积和为． (1)求面积关于的函数表达式； (2)求面积最小值，和取到最小值时的的值． 题型六：应用辅助角公式解题 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）用辅助角公式化简下列各式： (1)； (2). 2．（23-24高一·上海·课堂例题）把下列各式化成的形式： (1)； (2)． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，求m的取值范围 . 4．（22-23高一上·上海宝山·阶段练习）若，，下列判断错误的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 5．（23-24高一下·上海杨浦·期中）对于任意，不等式有以下两个结论：①当时，对于任意实数，不等式成立；②对于任意实数，总存在，使不等式成立那么（    ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①正确②正确 D．①错误②错误 题型七：半角公式 1．（24-25高一上·上海·课前预习）半角公式的变形 ； ． 2．（23-24高一下·上海·阶段练习）设，化简的结果是 . 3．（21-22高一下·上海黄浦·期末）已知：，，则 . 题型八：给值求角型问题 1．（22-23高一·全国·课后作业）已知，，，则 ． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）求下列方程的解集：. 题型九：给值求值型问题 1．（21-22高一下·上海杨浦·期中）已知函数，. (1)若是第一象限角，且，求的值； (2)求使成立的x的取值集合. 2．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，，求的值. 3．（23-24高一下·上海·阶段练习）定义一个新运算，已知，则，已知，且，求与的值 题型十：三角恒等变换的化简 1．（23-24高一·上海·课堂例题）把下列各式化为的形式： (1)； (2)． 2．（23-24高一·上海·课堂例题）利用二倍角公式，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4). 4．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求的值. 5．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，化简. 题型十一：三角恒等式证明 1．（2024高一下·上海·专题练习）（1）证明：； （2）化简：． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）在中，求证： （2）在中，求证：. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）证明下列恒等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．（20-21高一下·上海普陀·阶段练习）（1）求证： （2）在中，求证： 题型十二：三角恒等变换的实际应用 1．（20-21高一下·上海徐汇·期中）如图所示，有一块正方形的钢板，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按角 来截. 2．（20-21高一下·上海黄浦·期中）如图，、、是同一平面内三条不重合自上而下的平行直线，如果边长为的正三角形的三顶点分别在、、上，设与的距离为，与的距离为，则的最大值 . 一、单选题 1．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知满足，，则下列选项中正确的为（    ） A．的三个内角一定都是 B．的三个内角至少有一个是 C．的三个内角可能均不是 D．以上说法均错误 2．（2023·上海奉贤·一模）已知，，，，满足，，，有以下个结论： ①存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数； ②存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数. 下列说法正确的是（    ） A．结论①、②都成立 B．结论①不成立、②成立 C．结论①成立、②不成立 D．结论①、②都不成立 二、填空题 3．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知角a满足，则的值为 4．（24-25高一上·上海·单元测试）已知，若，则 . 三、解答题 5．（22-23高一下·上海松江·期中）（1）已知，求的值； （2）证明恒等式：． 6．（20-21高一下·上海虹口·期末）进博会期间，有一个边长的正方形展厅，由于疫情，展厅被分割成如图所示的相互封闭的几个部分，已划出以为圆心，为半径的扇形作为展厅，现要在余下的地块中划出一块矩形的产品说明会场地，矩形有两条边分别落在边和上，设. （1）当时，求出矩形的面积（精确到）； （2）用表示矩形的面积，并求出矩形的面积的最大值（精确到）. 7．（20-21高一下·上海·单元测试）（1）设，请运用任意角的三角函数定义证明：. （2）设，求证：. 8．（23-24高一下·上海·假期作业）回答下面两题： (1)已知，，求的值； (2)已知，且，求. 9．（21-22高一下·上海杨浦·期末）. (1)将函数化为的形式，并写出其最小正周期； (2)求函数在区间上的值域. 10．（22-23高一下·上海静安·期中）已知下列是两个等式： ①； ②； (1)请写出一个更具一般性的关于三角的等式，使上述两个等式是它的特例； (2)请证明你的结论； 11．（22-23高一下·上海黄浦·期末）某小区围墙一角要建造一个水池和两条小路．如图，四边形中，，，以为圆心、为半径的四分之一圆及与圈成的区域为水池，线段和为两条小路，且所在直线与圆弧相切．已知米，设（），那么当为多少时，才能使两条小路长之和最小？最小长度是多少？    12．（23-24高一下·上海·期中）已知为钝角，且 (1)求的值 (2)求的值 13．（23-24高一下·上海·期末）已知，，且. (1)求的值； (2)求. 14．（23-24高一下·上海嘉定·期中）如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上．记．（提示：直径所对的圆周角是直角，即图中） (1)用表示的长； (2)若，求如图中阴影部分的面积； (3)记梯形的周长为，将表示成的函数，并求出的最大值． 15．（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知直角梯形，，，，扇形圆心角，，如图，将，以及扇形的面积分别记为    (1)写出的表达式，并指出其大小关系（不需证明）； (2)用表示梯形的面积；并证明：； (3)设，，试用代数计算比较与的大小. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$