专题03 轴对称与等腰三角形重点复习必备知识+重难题型+分层验收（期末复习讲义）八年级数学上学期新教材沪科版

该初中数学复习讲义以“轴对称与等腰三角形”为核心，通过核心考点表格系统梳理知识体系，将轴对称图形、线段垂直平分线、角平分线、等腰三角形等内容按“定义-性质-判定-易错点”分层呈现，并用对比表格明确轴对称与轴对称图形的联系区别，清晰展现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“题型+模板”的创新设计，如最短路径问题的“同侧两点一线作对称点”模型，折叠问题的“全等性质应用”技巧，培养学生推理意识与几何直观。分层练习覆盖基础通关、重难突破、综合拓展，适配不同学生需求，助力教师实施精准教学，提升学生自主复习效率。

专题03 轴对称与等腰三角形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 轴对称与轴对称图形 能准确判断轴对称图形；能够利用轴对称的性质得到对称角和对称线段相等 基础必考点，常出现在选择题，难度较小 线段的垂直平分线 能够利用线段垂直平分线的性质得到线段相等，会证某条直线是明线段的垂直平分线 高频易错点，学生容易忽视线段的垂直平分线的性质，而用全等三角形解决问题，在证明线段垂直平分线时易忽略需要证明2个点到线段两端的距离相等。 角平分线 能够构造角平分线模型进行证明和计算 常以几何的证明和计算的形式进行考察，遇到角平分线需做垂线，构造角平分线模型。 等腰三角形 能够利用等腰三角形的等边对等角和三线合一的性质证明角相等和垂直关系；会证明等腰三角形；能够利用等边三角形的性质进行证明和计算，会证明一个三角形是等边三角形；能够利用30°锐角所对的直角边是斜边的一半进行计算。 考察的重点和难点，尤其是等腰三角形的三线合一的性质，易被忽略。在证明等边三角形时，通常采用先证明等腰三角形，再证明一个角是90°的方法。在见到直角三角形中含有30°锐角或60°锐角时常需要用到30°锐角所对的直角边是斜边的一半。 知识点01 轴对称与轴对称图形 1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴. 2.轴对称的性质： （1）关于某条直线对称的两个图形是全等形. （2）两个图形关于某直线对称那么对称轴是对应点连线的垂直平分线. 3.轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴. 4.轴对称图形的性质 （1）轴对称图形是指本身折叠重合. （2）轴对称图形对称点在一个图形上. （2）轴对称图形至少有一条对称轴. 5.轴对称与轴对称图形的区别与联系 轴对称 轴对称图形 区别 （1）轴对称是指两个图形折叠重合. （2）轴对称对称点在两个图形上. （3）轴对称只有一条对称轴. （1）轴对称图形是指本身折叠重合. （2）轴对称图形对称点在一个图形上. （3）轴对称图形至少有一条对称轴. 联系 （1）定义中都有一条直线,都要沿着这条直线折叠重合. （2） 如果把轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形；反过来, 如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分(即看成两个图形),那么这两个图形就关于这条直线成轴对称. 6.做轴对称图形的一般步骤： （1）作某点关于某直线的对称点的一般步骤： ①过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足，并延长； ②在延长线上从垂足出发截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点. （2）作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤： ①找.在原图形上找特殊点（如线段的端点、线与线的交点） ②作.作各个特殊点关于已知直线的对称点 ③连.按原图对应连接各对称点 7.折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等． ·易错点： （1）对称轴是一条直线，不是一条射线，也不是一条线段. （2）轴对称图形的对称轴有的只有一条，有的存在多条对称轴（例：正方形有四条对称轴，圆有无数条对称轴等）. （3）成轴对称的两个图形中的任何一个都可以看作由另一个图形经过轴对称变换得到的，一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础,经轴对称变换得到的. （4）轴对称的性质是证明线段相等、线段垂直及角相等的依据之一,例如:若已知两个图形关于某直线成轴对称,则它们的对应边相等,对应角相等. 知识点02 线段的垂直平分线与角平分线 1.垂直平分线的概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）. 2.线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 3.线段垂直平分线的判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 4.角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 5.角平分线的判定定理：角的内部，与角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上． ·易错点： （1）对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来． （2）性质中的“距离”是指“点到角两边所在直线的距离”,因此在应用时必须含有“垂直”这个条件,否则不能得到线段相等. 知识点03 等腰三角形 1.等腰三角形的概念：有两边相等的三角形角等腰三角形． 2.等腰三角形性质： （1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）. 3.等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 4.等边三角形的概念：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形. 5.等边三角形的性质： （1）等边三角形的三条边相等. （2）三个内角都相等，并且每个内角都是60°. 6.等边三角形的判定： （1）三边相等或三个内角都相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. ·易错点： （1）等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论. （2）顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的两个底角都为45°. （3）等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴． （4）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． （5）等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则<a . （6）等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°-2∠B，∠B=∠C= （7）底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．（即顶角36°，底角72°）. （8） 等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据． （9）等边三角形具有等腰三角形的一切性质. （10）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴． （11）等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合． （12）在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形． （13）等腰(等边)三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合． 题型一 轴对称图形的识别 解｜题｜技｜巧 主要根据轴对称和轴对称图形的定义，沿着某条直线进行对折，如果两边能够重合，那么称为轴对称图形。 【典例1】下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下面四个数学符号中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列图形中，属于轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 题型二 最短路径问题 答｜题｜模｜板 PA+PB和最小值问题 1.同侧两点一线：做其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，与直线的交点即为使PA+PB最小的点。 2.异侧两点一线：直接连接两点即可。 【典例1】如图，在长方形中，边，，对角线，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值为（　　） A． B． C． D．10 【变式1】如图，直线是一条河，，是两个新农村，欲在上某处修建一个水泵站向，两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（    ）． A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上一动点，且，，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型三 根据轴对称的性质求角度 答｜题｜模｜板 （1）关于某条直线对称的两个图形是全等形. （2）两个图形关于某直线对称那么对称轴是对应点连线的垂直平分线. 【典例1】如图，四边形中，，，在、上分别找一点、，使周长最小时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，已知与关于直线对称，，以及对称轴交于点E，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，，，垂足为 D，与关于直线对称，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型四 折叠问题 答｜题｜模｜板 凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．解决折叠问题时，首先清楚折叠和轴对称能够提供我们隐含的且可利用的条件，分析角之间、线段之间的关系，借助勾股定理建立关系式求出答案，所求问题具有不确定性时，常常采用分类讨论的数学思想方法． 【典例1】在四边形纸片中，将纸片沿折叠得到如图1所示图形．再将图1中的四边形纸片沿折叠得到如图2所示图形，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，把一张长方形纸片的一角沿折叠，使的点D的对应点F落在内部．若，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图所示的三角形纸片中，，，．沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 题型五 利用轴对称的性质求坐标 答｜题｜模｜板 （1）（x,y）关于x轴对称的点坐标(x，-y)； （2）（x,y）关于y轴对称的点坐标(-x，y)； （3）（x,y）关于原点对称的点坐标(-x，-y)； （4）（x,y）关于x=m对称的点坐标(2m-x，y)； （5）（x,y）关于y=n对称的点坐标(x，2n-y)； 【典例1】下列各点中，点关于轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1】在平面直角坐标系中，将直线（m为常数）关于y轴对称后得到的直线经过点，则m的值为（   ） A．1 B． C． D．2 【变式2】在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点（    ） A． B． C． D． 题型六 画轴对称图形 答｜题｜模｜板 作某点关于某直线的对称点的一般步骤： ①过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足，并延长； ②在延长线上从垂足出发截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点. 【典例1】如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1． (1)画出关于y轴对称的图形； (2)依次写出点关于x轴对称的点的坐标． (3)请计算的面积． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、，网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度． (1)画出关于x轴对称的（点A、B、C的对应点分别是点、、）； (2)以为边找，使得与全等，且点D在格点上（D不与A重合），直接写出点D坐标． (3)在y轴上找一点P，使得最短，请在图中标出点P的位置（不写做法，只保留作图痕迹）． 【变式2】如图，在直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于y轴对称的图形；并写出点，，的坐标． (2)求的面积； (3)已知P为x轴上一点，若的面积为10，求点P的坐标． 题型七 利用线段垂直平分线的性质求解 答｜题｜模｜板 （1）连接线段的两个端点，构建线段垂直平分线模型. （2）由线段垂直平分线的性质得到角度的相等关系。 【典例1】如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E，连接．若，则的长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式1】如图，垂直平分，若，，则的周长是（    ） A．13 B．14 C．16 D．18 【变式2】如图，垂直平分，下列结论一定正确的是（    ） A．平分 B．垂直平分 C． D． 题型八 利用角平分线的性质求解 答｜题｜模｜板 过角平分线上一点做角两边的垂线，构建角平分线模型，得到两条垂线段相等，可证明三角形全等；也可以利用面积法求线段的长度。 【典例1】如图，平分，P为上一点，且于点D，于点E，，给出下列结论：①；②；③；④的面积是面积的2倍，其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】如图，直线，相交于点，点，分别在射线，上，且，过点，分别作，的垂线，交于点，连接，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，点E、F分别在、的延长线上，、的角平分线、交于点P，过点P作于点M，于点N，连结．下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．②④ C．③④ D．①③④ 题型九 等边对等角求角度 答｜题｜模｜板 先确定三角形中相等的两条边，利用等边对等角得到等腰三角形的两个底角相等，可以不用证明三角形全等。 【典例1】如图，在中，于点D，于点E，相交于F． (1)求证：； (2)试判断所在直线与的位置关系，并证明． 【变式1】如图，在中，的垂直平分线交于点D，交的延长线于点E，连接．若，，求的度数． 【变式2】如图，在四边形中，，于点． (1)求证：； (2)如果，求的面积． 题型十 等腰三角形三线合一的运用 答｜题｜模｜板 在等腰三角形的前提下，底边上的高、底边上的中线和顶角平分线知道其中任意一个，即可得出其他两个。 【典例1】如图，是等腰三角形的底边上的高，，交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 【变式1】如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式2】如图，在中，，点在上，，，垂足分别为、，且． (1)求证：； (2)求证：． 题型十一 等角对等边 答｜题｜模｜板 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。 【典例1】已知：如图，，点E、F在线段上，且，．求证：是等腰三角形． 【变式1】（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，是的边上的中点，，，垂足分别为，，且，求证：是等腰三角形． 【变式2】如图，在四边形中，F是的延长线上一点，连接交于点E，，点G在边上，连接，平分．求证：是等腰三角形． 题型十二 等边三角形的性质与判定 答｜题｜模｜板 等边三角形的性质：等边三角形的三条边相等；三个内角都相等，并且每个内角都是60°. 证明等边三角形的方法： （1）证明三条边都相等；（2）证明三个内角都相等；（3）先证明是等腰三角形，再证明有一个角是60°. 【典例1】如图，，，． (1)求证：． (2)若，求证是等边三角形． 【变式1】如图，已知． (1)求证：． (2)若，，连接，求的长． 【变式2】如图，和是等边三角形，连接交于点P，交于点Q．点F为线段上一点，且． 求证： (1)； (2)是等边三角形． 题型十三 30°锐角所对的直角边是斜边的一半 答｜题｜模｜板 在做几何题时，只要看到直角三角形和30°锐角，要首先想到30°锐角所对的直角边是斜边的一半，或看到30°锐角和60°角时可以做垂线构造直角三角形. 【典例1】如图，在中，为上一点，平分，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式1】如图，在中，，F是上一点，过点F作于D，的延长线交延长线于E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的长． 【变式2】如图，，点，分别在，上，，相交于点． (1)判断与是否相等，并证明你的结论； (2)若，，，求的长． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）已知点和点关于x轴对称，则的值为（） A．0 B． C．1 D． 2．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）等腰三角形的一个角为，则它的其它两个角的度数是（    ） A．， B．， C．， D．，或， 3．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，平分，，，则的面积为 ． 4．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，， (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标． (2)的面积为__________． (3)在轴上画一点，使得的值最小（保留作图痕迹，不写过程）． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·天津北辰·期中）如图，中，，于点，于点，于点，，则的长是（   ） A．5 B． C．12 D． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，直线，分别是、的垂直平分线，，交于点，连接．若，则的度数为 ． 3．（25-26八年级上·天津·期末）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点、、均为格点，点为边上任一点． （Ⅰ）的面积= ； （Ⅱ）若点在边上，且满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 4．（24-25八年级上·吉林松原·期末）如图，在中，，点P从点A出发，以的速度沿线段向终点B运动，同时点Q从点B出发，以的速度，沿射线方向运动．设运动时间为t（秒）． (1)连接，当时，求t的值； (2)当点Q运动到点C的右侧时，连接交于点D，当是等腰三角形时，求t的值； (3)直接写出当t为何值时，是直角三角形？ 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从地到地． 甲：，路程为． 乙：，路程为． 丙：，路程为． 下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏扬州·中考真题）在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D．平分 3．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在中，，点在射线上，，连接，，则 度． 4．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 5．（2025·福建·中考真题）如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 轴对称与等腰三角形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 轴对称与轴对称图形 能准确判断轴对称图形；能够利用轴对称的性质得到对称角和对称线段相等 基础必考点，常出现在选择题，难度较小 线段的垂直平分线 能够利用线段垂直平分线的性质得到线段相等，会证某条直线是明线段的垂直平分线 高频易错点，学生容易忽视线段的垂直平分线的性质，而用全等三角形解决问题，在证明线段垂直平分线时易忽略需要证明2个点到线段两端的距离相等。 角平分线 能够构造角平分线模型进行证明和计算 常以几何的证明和计算的形式进行考察，遇到角平分线需做垂线，构造角平分线模型。 等腰三角形 能够利用等腰三角形的等边对等角和三线合一的性质证明角相等和垂直关系；会证明等腰三角形；能够利用等边三角形的性质进行证明和计算，会证明一个三角形是等边三角形；能够利用30°锐角所对的直角边是斜边的一半进行计算。 考察的重点和难点，尤其是等腰三角形的三线合一的性质，易被忽略。在证明等边三角形时，通常采用先证明等腰三角形，再证明一个角是90°的方法。在见到直角三角形中含有30°锐角或60°锐角时常需要用到30°锐角所对的直角边是斜边的一半。 知识点01 轴对称与轴对称图形 1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴. 2.轴对称的性质： （1）关于某条直线对称的两个图形是全等形. （2）两个图形关于某直线对称那么对称轴是对应点连线的垂直平分线. 3.轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴. 4.轴对称图形的性质 （1）轴对称图形是指本身折叠重合. （2）轴对称图形对称点在一个图形上. （2）轴对称图形至少有一条对称轴. 5.轴对称与轴对称图形的区别与联系 轴对称 轴对称图形 区别 （1）轴对称是指两个图形折叠重合. （2）轴对称对称点在两个图形上. （3）轴对称只有一条对称轴. （1）轴对称图形是指本身折叠重合. （2）轴对称图形对称点在一个图形上. （3）轴对称图形至少有一条对称轴. 联系 （1）定义中都有一条直线,都要沿着这条直线折叠重合. （2） 如果把轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形；反过来, 如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分(即看成两个图形),那么这两个图形就关于这条直线成轴对称. 6.做轴对称图形的一般步骤： （1）作某点关于某直线的对称点的一般步骤： ①过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足，并延长； ②在延长线上从垂足出发截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点. （2）作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤： ①找.在原图形上找特殊点（如线段的端点、线与线的交点） ②作.作各个特殊点关于已知直线的对称点 ③连.按原图对应连接各对称点 7.折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等． ·易错点： （1）对称轴是一条直线，不是一条射线，也不是一条线段. （2）轴对称图形的对称轴有的只有一条，有的存在多条对称轴（例：正方形有四条对称轴，圆有无数条对称轴等）. （3）成轴对称的两个图形中的任何一个都可以看作由另一个图形经过轴对称变换得到的，一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础,经轴对称变换得到的. （4）轴对称的性质是证明线段相等、线段垂直及角相等的依据之一,例如:若已知两个图形关于某直线成轴对称,则它们的对应边相等,对应角相等. 知识点02 线段的垂直平分线与角平分线 1.垂直平分线的概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）. 2.线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 3.线段垂直平分线的判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 4.角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 5.角平分线的判定定理：角的内部，与角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上． ·易错点： （1）对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来． （2）性质中的“距离”是指“点到角两边所在直线的距离”,因此在应用时必须含有“垂直”这个条件,否则不能得到线段相等. 知识点03 等腰三角形 1.等腰三角形的概念：有两边相等的三角形角等腰三角形． 2.等腰三角形性质： （1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）. 3.等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 4.等边三角形的概念：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形. 5.等边三角形的性质： （1）等边三角形的三条边相等. （2）三个内角都相等，并且每个内角都是60°. 6.等边三角形的判定： （1）三边相等或三个内角都相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. ·易错点： （1）等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论. （2）顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的两个底角都为45°. （3）等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴． （4）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． （5）等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则<a . （6）等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°-2∠B，∠B=∠C= （7）底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．（即顶角36°，底角72°）. （8） 等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据． （9）等边三角形具有等腰三角形的一切性质. （10）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴． （11）等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合． （12）在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形． （13）等腰(等边)三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合． 题型一 轴对称图形的识别 解｜题｜技｜巧 主要根据轴对称和轴对称图形的定义，沿着某条直线进行对折，如果两边能够重合，那么称为轴对称图形。 【典例1】下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：．是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项符合题意； ．是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】下面四个数学符号中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、B、C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故不符合题意； D选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故符合题意； 故选：D． 【变式2】下列图形中，属于轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A、B、D中的图形，找不到一条直线，使得图形沿着这条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，它们都不是轴对称图形；而选项C中的图形，能找到一条直线，图形沿着这条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则这个图形是轴对称图形；故选：C． 题型二 最短路径问题 答｜题｜模｜板 PA+PB和最小值问题 1.同侧两点一线：做其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，与直线的交点即为使PA+PB最小的点。 2.异侧两点一线：直接连接两点即可。 【典例1】如图，在长方形中，边，，对角线，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值为（　　） A． B． C． D．10 【答案】C 【详解】解：如图所示，作点A关于直线的对称点，连接，过作于点E， ，即当三点共线且时，的最小值为， 在中，， 连接， 则， ， 在长方形中，，， ， 则的最小值为， 故选：C． 【变式1】如图，直线是一条河，，是两个新农村，欲在上某处修建一个水泵站向，两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：作点M关于直线l的对称点，连接交直线l与点P，连接， 由轴对称的性质可得， 则， 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，故选：D． 【变式2】如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上一动点，且，，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：过点作的对称点，连接， ∵平分， ∴点关于的对称点在上， ∴， ∴． 当、、共线且时，最小，最小值为的长． ∵，， ∴，即， 解得． ∴的最小值为．故选：C． 题型三 根据轴对称的性质求角度 答｜题｜模｜板 （1）关于某条直线对称的两个图形是全等形. （2）两个图形关于某直线对称那么对称轴是对应点连线的垂直平分线. 【典例1】如图，四边形中，，，在、上分别找一点、，使周长最小时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：作点关于的对称点；作点关于的对称点 连接，与交于点，与交于， 此时，周长最短. 由轴对称可得 设 ∴ ∵在中，， ∴① ∵， ∴② 得 则， 即． 故选D． 【变式1】如图，已知与关于直线对称，，以及对称轴交于点E，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵与关于直线对称，根据轴对称的性质： ，； 在中， ∴． ∴． 故选A． 【变式2】如图，在中，，，垂足为 D，与关于直线对称，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，， ， 与关于直线对称， ， ， ， ． 故选：． 题型四 折叠问题 答｜题｜模｜板 凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．解决折叠问题时，首先清楚折叠和轴对称能够提供我们隐含的且可利用的条件，分析角之间、线段之间的关系，借助勾股定理建立关系式求出答案，所求问题具有不确定性时，常常采用分类讨论的数学思想方法． 【典例1】在四边形纸片中，将纸片沿折叠得到如图1所示图形．再将图1中的四边形纸片沿折叠得到如图2所示图形，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示： ∵四边形纸片沿折叠， ∴， ， ， ， ， ， 故选：C 【变式1】如图，把一张长方形纸片的一角沿折叠，使的点D的对应点F落在内部．若，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：折叠， ， 是长方形， ， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得：， ． 故选：C． 【变式2】如图所示的三角形纸片中，，，．沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由折叠得，，， ∵， ∴， ∴的周长， 故选：． 题型五 利用轴对称的性质求坐标 答｜题｜模｜板 （1）（x,y）关于x轴对称的点坐标(x，-y)； （2）（x,y）关于y轴对称的点坐标(-x，y)； （3）（x,y）关于原点对称的点坐标(-x，-y)； （4）（x,y）关于x=m对称的点坐标(2m-x，y)； （5）（x,y）关于y=n对称的点坐标(x，2n-y)； 【典例1】下列各点中，点关于轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点关于轴对称， ∴坐标不变，为；坐标取相反数，为 ∴对称点的坐标为． 故选：A． 【变式1】在平面直角坐标系中，将直线（m为常数）关于y轴对称后得到的直线经过点，则m的值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】解：直线关于轴对称后，解析式为． 将代入，得，即，解得． 故选：B． 【变式2】在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是． 故选：C． 题型六 画轴对称图形 答｜题｜模｜板 作某点关于某直线的对称点的一般步骤： ①过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足，并延长； ②在延长线上从垂足出发截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点. 【典例1】如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1． (1)画出关于y轴对称的图形； (2)依次写出点关于x轴对称的点的坐标． (3)请计算的面积． 【详解】（1）解：如图： （2）解：由（1）知，，，， ∴，，； （3）解：如图： ． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、，网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度． (1)画出关于x轴对称的（点A、B、C的对应点分别是点、、）； (2)以为边找，使得与全等，且点D在格点上（D不与A重合），直接写出点D坐标． (3)在y轴上找一点P，使得最短，请在图中标出点P的位置（不写做法，只保留作图痕迹）． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：∵以为边找，使得与全等， ∴或， 作图如下： 可知点D坐标为：或或； （3）解：如图： 【变式2】如图，在直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于y轴对称的图形；并写出点，，的坐标． (2)求的面积； (3)已知P为x轴上一点，若的面积为10，求点P的坐标． 【详解】（1）解：根据关于y轴对称得，，，， 在坐标系中的位置为： （2）解： 答：的面积为； （3）解：根据题意得，的面积为10，P为x轴上一点， 则， 解得， 设点P的坐标为，， 则， 即或， 解得或， 因此，点P的坐标为或． 题型七 利用线段垂直平分线的性质求解 答｜题｜模｜板 （1）连接线段的两个端点，构建线段垂直平分线模型. （2）由线段垂直平分线的性质得到角度的相等关系。 【典例1】如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E，连接．若，则的长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1】如图，垂直平分，若，，则的周长是（    ） A．13 B．14 C．16 D．18 【答案】D 【详解】解：∵垂直平分，，， ∴， ∴的周长 ． 故选：D． 【变式2】如图，垂直平分，下列结论一定正确的是（    ） A．平分 B．垂直平分 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵垂直平分，不是说垂直平分， ∴不一定平分，不一定等于，故ABC选项不符合题意； D、∵垂直平分， ∴，故D选项符合题意； 故选：D． 题型八 利用角平分线的性质求解 答｜题｜模｜板 过角平分线上一点做角两边的垂线，构建角平分线模型，得到两条垂线段相等，可证明三角形全等；也可以利用面积法求线段的长度。 【典例1】如图，平分，P为上一点，且于点D，于点E，，给出下列结论：①；②；③；④的面积是面积的2倍，其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵，，， ∴，故②正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴，故①正确； 在和中， ， ∴， ∴，，故③正确； ∵，， ∴，， ∴的面积≠面积的2倍，故④错误， 综上所述，正确的结论有①②③．故选：C． 【变式1】如图，直线，相交于点，点，分别在射线，上，且，过点，分别作，的垂线，交于点，连接，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， ，，， 平分， ， ， ， ． 故选：B． 【变式2】如图，在中，点E、F分别在、的延长线上，、的角平分线、交于点P，过点P作于点M，于点N，连结．下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．②④ C．③④ D．①③④ 【答案】D 【详解】解：如图， 作于点F， ∵、的角平分线、交于点P，，， ∴，，， ∴， ∴点P在的平分线上， ∴平分，故①正确． 在和中， ∴，同理， ∴，， ∴， ∵， ∴，故②错误． ∵，， ∴，故③正确． ∵，且（平分）， ∴，故④正确． 故选：D． 题型九 等边对等角求角度 答｜题｜模｜板 先确定三角形中相等的两条边，利用等边对等角得到等腰三角形的两个底角相等，可以不用证明三角形全等。 【典例1】如图，在中，于点D，于点E，相交于F． (1)求证：； (2)试判断所在直线与的位置关系，并证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴； （2）解：直线是的垂直平分线，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴直线是的垂直平分线． 【变式1】如图，在中，的垂直平分线交于点D，交的延长线于点E，连接．若，，求的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于点D，交的延长线于点E， ∴， 即， ∴． 【变式2】如图，在四边形中，，于点． (1)求证：； (2)如果，求的面积． 【详解】（1）证： （2）解：分别过、作于点，于点， ， ，． 在和中 题型十 等腰三角形三线合一的运用 答｜题｜模｜板 在等腰三角形的前提下，底边上的高、底边上的中线和顶角平分线知道其中任意一个，即可得出其他两个。 【典例1】如图，是等腰三角形的底边上的高，，交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 【详解】（1）证明： 是等腰三角形的底边上的高， ， ， 根据平行线的性质得，， ， 是等腰三角形； （2）解：是等腰三角形的底边上的高， ∴， ， ， ， ， ， 由（1）得是等腰三角形； ∴， ． 【变式1】如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2】如图，在中，，点在上，，，垂足分别为、，且． (1)求证：； (2)求证：． 【详解】（1）证明：∵，，且， ∴是的角平分线， ∵， ∴； （2）证明：∵，，且， ∴是的角平分线， ∴． 题型十一 等角对等边 答｜题｜模｜板 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。 【典例1】已知：如图，，点E、F在线段上，且，．求证：是等腰三角形． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【变式1】（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，是的边上的中点，，，垂足分别为，，且，求证：是等腰三角形． 【详解】证明：∵是 的边的中点，，， ∴、 均为直角三角形， 在中 ， ， ， ∴是等腰三角形． 【变式2】如图，在四边形中，F是的延长线上一点，连接交于点E，，点G在边上，连接，平分．求证：是等腰三角形． 【详解】证明：平分， ， ， ， ， 是等腰三角形． 题型十二 等边三角形的性质与判定 答｜题｜模｜板 等边三角形的性质：等边三角形的三条边相等；三个内角都相等，并且每个内角都是60°. 证明等边三角形的方法： （1）证明三条边都相等；（2）证明三个内角都相等；（3）先证明是等腰三角形，再证明有一个角是60°. 【典例1】如图，，，． (1)求证：． (2)若，求证是等边三角形． 【详解】（1）解：在和中， ，    ． （2）解：在中， ， 又 ，， ，     ， 是等边三角形． 【变式1】如图，已知． (1)求证：． (2)若，，连接，求的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 即； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴． 【变式2】如图，和是等边三角形，连接交于点P，交于点Q．点F为线段上一点，且． 求证： (1)； (2)是等边三角形． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 题型十三 30°锐角所对的直角边是斜边的一半 答｜题｜模｜板 在做几何题时，只要看到直角三角形和30°锐角，要首先想到30°锐角所对的直角边是斜边的一半，或看到30°锐角和60°角时可以做垂线构造直角三角形. 【典例1】如图，在中，为上一点，平分，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即的长为． 【变式1】如图，在中，，F是上一点，过点F作于D，的延长线交延长线于E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的长． 【详解】（1）证明： ， 是等腰三角形； （2）解： 是等边三角形 ， 答：的长为． 【变式2】如图，，点，分别在，上，，相交于点． (1)判断与是否相等，并证明你的结论； (2)若，，，求的长． 【详解】（1）解：与相等，理由如下： ∵， ∴； ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）已知点和点关于x轴对称，则的值为（） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【详解】解：点和点关于x轴对称 则横坐标相等，即， 解得， 纵坐标互为相反数，即， 解得， 因此， 故选：B． 2．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）等腰三角形的一个角为，则它的其它两个角的度数是（    ） A．， B．， C．， D．，或， 【答案】D 【详解】∵ 三角形内角和为，且等腰三角形有两角相等， 若为顶角，则两底角相等， ∴ 每个底角， 若为底角，则另一底角也为， ∴ 顶角， 因此，其他两个角为和或和，故D正确． 故选：D． 3．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，平分，，，则的面积为 ． 【答案】13 【详解】解：如图，过点D作于点E， ，平分，， ， ， ， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，， (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标． (2)的面积为__________． (3)在轴上画一点，使得的值最小（保留作图痕迹，不写过程）． 【详解】（1）解：所作如图所示： 由坐标系可知：； （2）解：由坐标系可知：； 故答案为5.5； （3）解：所作点P如图所示． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·天津北辰·期中）如图，中，，于点，于点，于点，，则的长是（   ） A．5 B． C．12 D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选A． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，直线，分别是、的垂直平分线，，交于点，连接．若，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接，设，交于点 ∵， ∴， ∵直线，分别是、的垂直平分线 ∴ ∴ ∴ ∴，即 设，则 ∴，则 ∴ 又∵ ∴ 解得： ∴ 故答案为：． 3．（25-26八年级上·天津·期末）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点、、均为格点，点为边上任一点． （Ⅰ）的面积= ； （Ⅱ）若点在边上，且满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【详解】解：（Ⅰ）的面积为：， 故答案为：16； （Ⅱ）如图所示：利用网格取的中点，连接交于点，连接并延长交于点，则点即为所求； 根据网格可得的网格对角线相等，即， ∴， 又∵是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即． 4．（24-25八年级上·吉林松原·期末）如图，在中，，点P从点A出发，以的速度沿线段向终点B运动，同时点Q从点B出发，以的速度，沿射线方向运动．设运动时间为t（秒）． (1)连接，当时，求t的值； (2)当点Q运动到点C的右侧时，连接交于点D，当是等腰三角形时，求t的值； (3)直接写出当t为何值时，是直角三角形？ 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得，即t的值为； （2）解：由题意得：为等边三角形； ∴， ∴， ∵是等腰三角形， 若，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； 若，不成立， 若，不成立， 即当是等腿三角形时，t的值为； （3）解：由（2）知， 当，， 当，如下图： ， ∵， ∴， ∴， ∴，解得； ∵， ∴不可能为直角， 综上所述：或． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从地到地． 甲：，路程为． 乙：，路程为． 丙：，路程为． 下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设的长度为a，因为有两个角是，故是等边三角形， ∴； 由于和是等边三角形，设的边长为m， 可得， ∴； 丙路程中，延长与，交于点I（如图）， ∵，两边同加得， ∴，又 ∴，又， 因此，，只有D选项正确． 故选：D． 2．（2025·江苏扬州·中考真题）在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】B 【详解】解：当时， ∵点在上， ∴， ∴， ∴；故选项A不符合题意； ∵， ∴，不能得到；故选项B符合题意； ∵， ∴当或平分时，；故选项C，D均不符合题意； 故选B 3．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在中，，点在射线上，，连接，，则 度． 【答案】40 或60 【详解】解：当点D在射线上时，如图所示： ∵，， ∴， ∵点D在射线上，且在点B之外， ∴，即， ∴， ∴； 当点D在线段上时，如图所示： ∵，， ∴， ∵点D在线段上，且在点B之内， ∴， ∴； 故答案为：40 或60． 4．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，作于点， ∵平分， 作点关于的对称点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 5．（2025·福建·中考真题）如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 【详解】（1）解：是等边三角形， ． D是的中点， ． ， ， ． （2）由平移可知：， ， 又， ， ∴， 又， 垂直平分， ， 由（1）知，， ， ， 是等边三角形． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $