第15章 轴对称图形与等腰三角形（复习讲义）数学沪科版2024八年级上册

第15章 轴对称图形与等腰三角形（复习讲义） 1.掌握基本概念：使学生理解轴对称图形的定义，掌握对称轴、对称点的概念，并能识别和绘制轴对称图形。同时，让学生掌握等腰三角形的判定定理（两边相等或两底角相等），以及等腰三角形的性质（底角相等、三线合一等）. 2.培养空间观念和逻辑推理能力：通过观察、分析轴对称图形和等腰三角形，发展学生的几何直观和数学抽象思维，提高学生运用数学语言进行表达和交流的能力. 3.应用知识解决实际问题：培养学生在解决实际问题时运用数学知识和方法进行探究和解决问题的素养，通过小组讨论等活动，让学生在实践中运用所学知识. 4.熟练掌握性质并应用：能够熟练掌握轴对称图形的性质并能熟练应用，特别是线段的垂直平分线和角的平分线及等腰三角形的性质2. ●一、轴对称图形 （一）轴对称图形的相关概念 1、轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 2、轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． 3、常见的轴对称图形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． （二）轴对称图形的性质 1、性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段．沿对称轴折叠后轴对称图形上能够重合的点叫做对称点． 2、画对称轴的方法： （1）过两对对称点所连的线段的中点作直线；（2）作一对对称点连线的垂直平分线. ●二、轴对称 （一）轴对称的相关概念 1、轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点. 【注意】理解轴对称的定义应抓住三点：①有两个图形；②存在一条直线；③一个图形沿着这条直线折叠后能与另一个图形重合. 2、轴对称图形和轴对称的区别与联系 轴对称图形 轴对称 图形 区别 意义 一个图形具有的特殊形状 两个全等图形的特殊的位置关系 对称轴的条数 一条或多条 只有一条 对称轴的位置 一定经过这个图形 可能在两个图形的外部，也可以经过两个图形内部或它们的公共边（点）. 联系 1.都是沿着某条直线折叠后能重合. 2.若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称． （二）轴对称的性质 1、轴对称的性质： （1）成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分． 如右图：直线MN是AA′, BB′,CC′的垂直平分线. 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． ③成轴对称的两个图形中，对应线段相等，对应角相等. （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 2、找对称轴：若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴作法相同． 3、、作一个图形关于某条直线成轴对称的方法： 先确定一些特殊的点，然后作这些特殊点的对称点，顺次连接即可． ●三、画已知图形的轴对称图形 画与已知图形成轴对称的图形的步骤： （1）找：观察已知图形，找出能代表已知图形的关键点（顶点或拐点）； （2）作：分别作出这些关键点关于对称轴对称的点； （3）连：按原图形的顺序依次连结相应的对称点. ●四、线段的垂直的平分线 ◆1、线段的垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.如图，MN⊥AA′， AP=A′P.直线MN是线段AA ′的垂直平分线. 说明：线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合. ◆2、线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. ★★应用格式：（如右图） ∵ 直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在直线l ， ∴ PA = PB． ★★作用：证明线段相等. ◆3、线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． ★★应用格式：（如上图） ∵ PA = PB， ∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上． ★★作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. ●五、角的平分线 （一）角平分线的性质定理 ◆1、性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. ◆2、应用所具备的条件： （1）点在角的平分线上； （2）到角两边的距离(垂直). ◆3、定理的作用：证明线段相等. ◆4、角平分线的性质的几何语言： 如图，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD＝PE 【注意】①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直. （二）角平分线的判定定理 ◆1、判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. ◆2、应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. ◆3、定理的作用：判断点是否在角的平分线上. ◆4、角平分线的判定的几何语言： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE， ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. ★拓展三角形的三条角平分线交于三角形内一点，并且这点到三边的距离相等， 反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点. ●六、等腰三角形的概念及性质 ★1、等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． ★2、等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写“等边对等角”). ★用符号语言表示为： 在△ABC中， ∵ AB=AC（已知）， ∴ ∠B＝∠C （等边对等角）. ★3、等腰三角形性质2：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.简称：等腰三角形三线合一. ★用符号语言表示为： 在△ABC中， （1）∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)， ∴BD=CD , AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. （2）∵AB=AC , BD=CD (已知)， ∴∠1=∠2 , AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. （3）∵AB=AC , AD⊥BC(已知)， ∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）. ★在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． ★拓展：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线. ●七、等边三角形的概念及性质 ★1、定义：三边相等的三角形叫作等边三角形或正三角形． ★2、性质：（1）等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴． （2）等边三角形的各角都等于60°． ★3、等边三角形与等腰三角形的性质比较： 等腰三角形 等边三角形 对称性 轴对称图形(1条) 轴对称图形(3条) 边 两腰相等 三边都相等 角 两底角相等 三个角都等于60° 特殊线 底边上的中线、高和顶角的平 分线互相重合(1条) 每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合(3条) ●八、等腰三角形的概念及性质 等腰三角形的判定方法： ★1、定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形. ★2、判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”)． 几何语言： 在△ABC中， ∵ ∠B＝∠C（已知）， ∴ AB=AC （等角对等边）. ★3、等腰三角形的判定与性质的区别 条件 结论 作用 性质 (等边对等角) 在同一个三角形中，两边相等. 这两边所对的角也相等. 证明角相等. 判定 (等角对等边) 在同一个三角形中，两个角相等. 这两个角所对的边也相等. 证明线段相等. ●九、等边三角形的判定 ★1、等边三角形的判定 （1）三个角都相等的三角形是等边三角形． （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 ． ★2、等边三角形与等腰三角形判定的区别 图形 等腰三角形 等边三角形 判 定 从边看： 两条边相等的三角形是等腰三角形. 三条边都相等的三角形是等边 三角形. 从角看： 两个角相等的三角形是等 腰三角形. 三个角相等的三角形是等边三角形. 特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图法，我们也可以用这种方法确定线段的中点． 题型一 轴对称图形的识别 【例1】（25-26八年级上·江苏淮安·阶段练习）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级上·全国·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】列图形中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 题型二 轴对称性质的应用 【例2】如图，中，D点在上，将D点分别以、为对称轴，画出对称点E、F，并连接、．根据图中标示的角度，求的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图所示，与关于直线成轴对称，则线段与直线的关系正确的是（    ） A．直线被线段垂直平分 B．线段被直线垂直平分 C．直线经过线段中点，但不垂直 D．直线与线段垂直，但不经过线段中点 【变式2-2】小华在镜子中看到身后墙上的钟，你认为时间最接近时整的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图是一个经过改造的规格为4×7的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 题型三 与轴对称有关的探索规律问题 【例3】如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第9次碰到矩形的边时的点为图中的（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【变式3-1】如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【变式3-2】下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图，一个球从一个角落以45°角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球囊．图1中回弹次数为1次，图2中回弹次数为2次，图3中回弹次数为3次，图4中回弹次数为5次．若某台球桌长宽之比为5：4，按同样的方式击球，球在边沿回弹的次数为（　　）次． A．6 B．7 C．8 D．9 题型四 利用轴对称解决最短路径问题 【例4】，两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边上修建一个自来水厂，分别向两个小镇供水．要使所用水管总长度最短，则下列图形中，自来水厂的位置正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，在中，，，的面积为，平分，点，分别为，上动点，连结，，则的最小值为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式4-2】如图，在中，，，，，点D、E分别是边、上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 题型五 线段垂直平分线的性质的应用 【例5】（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点D，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，，的垂直平分线交于，垂足为若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，在△ABC中，BC＝10cm，AB的垂直平分线交AB于点D、交AC于点E，△BCE的周长等于22cm． （1）证明：BE+EC＝AC； （2）求AC的长． 题型六 线段垂直平分线的判定 【例6】下面是作线段的垂直平分线的尺规作图方法． 如图所示，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和，作直线． 这样作的理由是（   ） ①等腰三角形的三线合一 ②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 ③两点确定一条直线 ④到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 A．① B．②③ C．③④ D．④ 【变式11-2】如图，已知：，则下列说法正确的个数有（     ） （1）平分             （2）垂直平分 （3）与互相垂直平分      （4）平分 A．一个 B．两个 C．三个 D．四个 【变式11-3】如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O． (1)若，求的周长． (2)试判断点O 是否在的垂直平分线上，并说明理由． 题型七 利用线段的垂直平分线解决实际问题 【例7】【变式11-1】如图所示，现要在一块三角形草坪上建一凉亭供大家休息，使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（    ） A．三条角平分线的交点 B．三条高所在直线的交点 C．三条中线的交点 D．三边的垂直平分线的交点 【变式7-1】如图，物业公司计划在小区内修建一个电动车充电桩，要求到A，B，C三个出口的距离都相等，则充电桩应建在（　　） A．△ABC的三条高的交点处 B．△ABC的三条角平分线的交点处 C．△ABC的三条中线的交点处 D．△ABC的三条边的垂直平分线的交点处 【变式7-2】某公园的A，B，C处分别有海盗船、摩天轮、旋转木马三个娱乐项目，现要在公园内一个售票中心，使三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，则售票中心应建立在（　　） A．△ABC三边高线的交点处 B．△ABC三角角平分线的交点处 C．△ABC三边中线的交点处 D．△ABC三边垂直平分线的交点处 题型十五 尺规作图（作线段的垂直平分线） 【例8】下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式8-1】如图，在三角形ABC中，分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN交AB于点O，连接CO，则下列判断不正确的是（　　） A．AO＝BO B．MN⊥AB C．AN＝BN D．AB＝2CO 【变式8-2】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图： (1)用尺规作图，在图中作出边垂直平分线，交于点，于点（不写过程，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【变式8-3】如图，为锐角三角形． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，连接；保留作图痕迹 (2)在（1）的条件下，若的周长为10，，则的周长为多少？ 题型九 角平分线的性质求线段长 【例9】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD是△ABC的角平分线，若AC＝9，CD＝6，则点D到BC的距离是（　　） ​ A．2 B．4 C．3 D．6 【变式9-1】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，ED＝3，BC＝8，则BD的长为（　　） A．3 B．5 C．8 D．10 【变式9-2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝7，，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．7 【变式9-3】（2025·湖南长沙·一模）如图，在中，平分，是中点，连接，过点作于点，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型十 角平分线的性质求面积 【例10】如图，射线OC是∠AOB角平分线，D是OC射线上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式10-1】如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC于点E．若AB＝4，DE＝2，则△ABD的面积为 　 　． 【变式10-2】如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，已知，BC＝8，DE＝2，则△BCE的面积等于 　 　． 【变式10-3】如图，△ABC中，AD是∠A的角平分线，BE是△ABD边AD上的中线，若△ABC的面积是24，AB＝5，AC＝3，则△ABE的面积是 　 ． 题型十一 角平分线性质求最值 【例11】如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，点D是OB上的动点， 若PC＝3，则PD的长的最小值为 　　 ． 【变式11-1】如图，OC平分∠AOB，点P是射线OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点．若PM＝4，则PN的长度不可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式11-2】如图，点P在∠AOB的角平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是OB边上的任意一点，下列选项正确的是（　　） A．PQ≤5 B．PQ≥5 C．PQ＜5 D．PQ＞5 题型十二 角平分线性质的证明 【例12】如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM＝PN． 【变式12-1】如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E，D分别为垂足，CF＝CB．求证：BE＝FD． 【变式6-2】如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD＝CD．求证：AD平分∠BAC． 题型十三 角平分线的判定 【例13】如图，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA=PB，∠MON=50°，∠OPC=30°， 则∠PCA= ． 【变式13-1】如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF 求证：AD平分∠BAC． 【变式13-2】如图，△AOB中，点C为∠AOB的角平分线与外角∠DAB的角平分线的交点，连接CB．求证：BC平分外角∠ABE． 题型十四 角平分线性质与判定的综合 【例14】（2025·北京门头沟·二模）如图，在中，，平分交于D，于E，点F在上，点G在上，，平分，下列结论中正确的个数（　　） ①；②平分；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式14-1】如图，，垂足分别为，．求证：平分． 【变式14-2】如图，过的边的垂直平分线上的点，作的另外两边，所在直线的垂线，垂足分别为，，，作射线；求证：平分． 题型十五 利用等腰三角形的性质求角度 【例15】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝（　　） A．100° B．115° C．130° D．145° 【变式15-1】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，分别是的平分线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式15-1】如图，点P为内一点，过点P的线段分别交，于点M，N，且M，N分别在，的垂直平分线上．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式15-2】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，，在延长线上取一点，在延长线上取一点，使，连接，延长交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型十六 利用等腰三角形的性质求线段长 【例16】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝5cm，则BF＝（　　） A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm 【变式16-1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，BD＝4，则AE等于（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式16-2】（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，中，，，E为垂足，点D在上，且，若，，则的长为 ． 题型十七 等腰三角形性质的证明 【例17】已知，如图，，，，．求证：． 【变式17-1】如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，过点A分别作AD⊥BD、AE⊥CE，且AE＝AD．求证：∠EAB＝∠DAC． 【变式17-2】如图，在中，，E为边上的点，且，D为线段的中点，过点E作，过点A作，且相交于点F． (1)求证：； (2)求证：． 题型十八 等腰三角形的判定 【例18】下列对△ABC的判断，错误的是（　　） A．若AB＝AC，∠B＝60°，则△ABC是等边三角形 B．若∠A：∠B：∠C＝3：4：7，则△ABC是直角三角形 C．若∠A＝20°，∠B＝80°，则△ABC是等腰三角形 D．若AB＝BC，∠C＝40°，则∠B＝40° 【变式18-1】如图，已知是等边三角形，且．试问：是等边三角形吗？请说明理由． 【变式18-2】如图，点P是等边三角形内一点，D是延长线上一点，，， 求证：是等边三角形． 题型十九 等腰三角形性质与判定的综合 【例19】（25-26八年级上·浙江·阶段练习）如图，在中，，点、、分别在、、边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 【变式19-1】如图，在等腰三角形ABC中，两底角的平分线BE、CD相交于点O，求证：OB＝OC，OD＝OE． 【变式19-2】如图，AD是△ABC的角平分线，CE∥AD，与BA的延长线相交于点E，点F在AD的延长线上，且FC＝AC．求证： （1）△ACE是等腰三角形； （2）AB∥CF． 题型二十 等边三角形的性质的计算 【例20】正三角形中，，与交于点P，的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式20-1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在等边中，是边上一点，以为边向右侧构造等边，连结，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式20-2】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，是等边三角形，点在的延长线上，点在线段上，，与交于点，若，，则的长为 ． 题型二十一 等边三角形的判定 【例21】下列对△ABC的判断，错误的是（　　） A．若AB＝AC，∠B＝60°，则△ABC是等边三角形 B．若∠A：∠B：∠C＝3：4：7，则△ABC是直角三角形 C．若∠A＝20°，∠B＝80°，则△ABC是等腰三角形 D．若AB＝BC，∠C＝40°，则∠B＝40° 【变式21-1】如图，已知是等边三角形，且．试问：是等边三角形吗？请说明理由． 【变式21-2】如图，点P是等边三角形内一点，D是延长线上一点，，， 求证：是等边三角形． 题型二十二 30°角所对的直角边等于斜边的一半 【例22】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝1.5，则AD的长为（　　） A．1.5 B．2 C．3 D．4 【变式22-1】如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝3，则AB的长为（　　） A．16 B．12 C．9 D．10 【变式22-1】如图，△ABC中，AB＝AC．∠BAC＝120°，AC的垂直平分线交BC于D．交AC于E， DE＝2．求BD的长． 【变式22-2】如图，在中，，垂直平分． (1)求的度数； (2)求的面积． 题型二十三等边三角形的性质与判定的综合 【例23】如图，已知点D为等腰直角内一点，，E为延长线上的一点，且． (1)求证：平分． (2)若点M在上，且，求证：． 【变式23-1】如图1，等边与等边的顶点B，C，D三点在一条直线上，连接，，两线相交于点 (1)求的度数； (2)如图2，连接， ①求证：是的平分线； ②若，，求的长度． 【变式23-2】如图，在中，为锐角．点D为射线上一动点，以为边且在的右侧作等边三角形． (1)如果． 当点在线段上时，如图1，线段、的数量关系为 ， ． 当点在线段的延长线上时，如图2，中的结论是否仍然成立，请说明理由． (2) 如图3，如果，，点在线段上运动．当时，求的度数． 题型二十四 等腰三角形与动点运动问题 【例24】如图，已知等边△ABC的边长为6cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，运动时间为tS，已知点M的速度1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． ​ （1）当点N第一次到达B点时，点M的位置在 　 　；当M、N运动 　 　秒时，点N追上点M； （2）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．【变式24-1】在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，以每秒1个单位的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒． （1）如图1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值； （2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？ 【变式24-2】如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． (1) （用t的代数式表示）． (2)当点在边上运动时，出发 秒后，是等腰三角形． (3)当点在边上运动时，出发几秒后，是以或为底的等腰三角形？ 基础巩固通关测 1．左边图形与右边图形成轴对称的是（   ） A．B． C． D． 2．如图，已知△ABC（AB＜BC），用尺规作图在线段BC上确定一点P，使得PA+PC＝BC，则下列作法正确的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，已知线段与线段关于直线成轴对称，连接，相交于点，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，中，，以、为边在的外侧作等边和等边，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知 中，，是的对称轴，交于D，E为上一定点，F为线段上一动点，当（    ）时，的值最小．    A．F是的中点 B．点E、F、B在同一直线上 C． D．． 6．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（    ） A．12 B．18 C．24 D．36 7．已知：如图，在等边中，为边上一点，且．动点从点出发沿边以每秒2个单位的速度向点运动，连接，设点运动的时间为秒．若 ，则的值为 秒． 8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，DE∥AC，DF∥AB，则四边形AEDF的周长是 ． 9．等腰三角形的一个内角是70°，则它一腰上的高与底边的夹角的度数为 ． 10．如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF＝1，则DF的长为 　　 ． 11．如图，在中，，平分，，连接． (1)求证：等腰三角形； (2)若，求的度数． 12．如图，在等边△ABC中，DA＝DC，DM⊥BC，垂足为M，E是BC延长线上的一点，CE＝CD． 求证：MB＝ME． 能力提升进阶练 13．如图，点D在等边△ABC的外部，E为BC边上的一点，AD＝CD，DE交AC于点F，AB∥DE． （1）判断△CEF的形状，并说明理由； （2）若BC＝10，CF＝4，求DE的长． 14．如图，中，于点D，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若的周长为，，求的长． 15．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，平分，交于点，为上一点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 16．已知：如图，在中，，D是边的中点，，点E、F为垂足． (1)求的度数； (2)求证：； (3)求证：是等边三角形． 17．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接．    (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)当_________时，是等腰三角形． 18．如图，与都为等边三角形，连接与，延长交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，求证：平分． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15章 轴对称图形与等腰三角形（复习讲义） 1.掌握基本概念：使学生理解轴对称图形的定义，掌握对称轴、对称点的概念，并能识别和绘制轴对称图形。同时，让学生掌握等腰三角形的判定定理（两边相等或两底角相等），以及等腰三角形的性质（底角相等、三线合一等）. 2.培养空间观念和逻辑推理能力：通过观察、分析轴对称图形和等腰三角形，发展学生的几何直观和数学抽象思维，提高学生运用数学语言进行表达和交流的能力. 3.应用知识解决实际问题：培养学生在解决实际问题时运用数学知识和方法进行探究和解决问题的素养，通过小组讨论等活动，让学生在实践中运用所学知识. 4.熟练掌握性质并应用：能够熟练掌握轴对称图形的性质并能熟练应用，特别是线段的垂直平分线和角的平分线及等腰三角形的性质2. ●一、轴对称图形 （一）轴对称图形的相关概念 1、轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 2、轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． 3、常见的轴对称图形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． （二）轴对称图形的性质 1、性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段．沿对称轴折叠后轴对称图形上能够重合的点叫做对称点． 2、画对称轴的方法： （1）过两对对称点所连的线段的中点作直线；（2）作一对对称点连线的垂直平分线. ●二、轴对称 （一）轴对称的相关概念 1、轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点. 【注意】理解轴对称的定义应抓住三点：①有两个图形；②存在一条直线；③一个图形沿着这条直线折叠后能与另一个图形重合. 2、轴对称图形和轴对称的区别与联系 轴对称图形 轴对称 图形 区别 意义 一个图形具有的特殊形状 两个全等图形的特殊的位置关系 对称轴的条数 一条或多条 只有一条 对称轴的位置 一定经过这个图形 可能在两个图形的外部，也可以经过两个图形内部或它们的公共边（点）. 联系 1.都是沿着某条直线折叠后能重合. 2.若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称． （二）轴对称的性质 1、轴对称的性质： （1）成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分． 如右图：直线MN是AA′, BB′,CC′的垂直平分线. 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． ③成轴对称的两个图形中，对应线段相等，对应角相等. （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 2、找对称轴：若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴作法相同． 3、、作一个图形关于某条直线成轴对称的方法： 先确定一些特殊的点，然后作这些特殊点的对称点，顺次连接即可． ●三、画已知图形的轴对称图形 画与已知图形成轴对称的图形的步骤： （1）找：观察已知图形，找出能代表已知图形的关键点（顶点或拐点）； （2）作：分别作出这些关键点关于对称轴对称的点； （3）连：按原图形的顺序依次连结相应的对称点. ●四、线段的垂直的平分线 ◆1、线段的垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.如图，MN⊥AA′， AP=A′P.直线MN是线段AA ′的垂直平分线. 说明：线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合. ◆2、线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. ★★应用格式：（如右图） ∵ 直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在直线l ， ∴ PA = PB． ★★作用：证明线段相等. ◆3、线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． ★★应用格式：（如上图） ∵ PA = PB， ∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上． ★★作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. ●五、角的平分线 （一）角平分线的性质定理 ◆1、性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. ◆2、应用所具备的条件： （1）点在角的平分线上； （2）到角两边的距离(垂直). ◆3、定理的作用：证明线段相等. ◆4、角平分线的性质的几何语言： 如图，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD＝PE 【注意】①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直. （二）角平分线的判定定理 ◆1、判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. ◆2、应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. ◆3、定理的作用：判断点是否在角的平分线上. ◆4、角平分线的判定的几何语言： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE， ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. ★拓展三角形的三条角平分线交于三角形内一点，并且这点到三边的距离相等， 反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点. ●六、等腰三角形的概念及性质 ★1、等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． ★2、等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写“等边对等角”). ★用符号语言表示为： 在△ABC中， ∵ AB=AC（已知）， ∴ ∠B＝∠C （等边对等角）. ★3、等腰三角形性质2：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.简称：等腰三角形三线合一. ★用符号语言表示为： 在△ABC中， （1）∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)， ∴BD=CD , AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. （2）∵AB=AC , BD=CD (已知)， ∴∠1=∠2 , AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. （3）∵AB=AC , AD⊥BC(已知)， ∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）. ★在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． ★拓展：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线. ●七、等边三角形的概念及性质 ★1、定义：三边相等的三角形叫作等边三角形或正三角形． ★2、性质：（1）等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴． （2）等边三角形的各角都等于60°． ★3、等边三角形与等腰三角形的性质比较： 等腰三角形 等边三角形 对称性 轴对称图形(1条) 轴对称图形(3条) 边 两腰相等 三边都相等 角 两底角相等 三个角都等于60° 特殊线 底边上的中线、高和顶角的平 分线互相重合(1条) 每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合(3条) ●八、等腰三角形的概念及性质 等腰三角形的判定方法： ★1、定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形. ★2、判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”)． 几何语言： 在△ABC中， ∵ ∠B＝∠C（已知）， ∴ AB=AC （等角对等边）. ★3、等腰三角形的判定与性质的区别 条件 结论 作用 性质 (等边对等角) 在同一个三角形中，两边相等. 这两边所对的角也相等. 证明角相等. 判定 (等角对等边) 在同一个三角形中，两个角相等. 这两个角所对的边也相等. 证明线段相等. ●九、等边三角形的判定 ★1、等边三角形的判定 （1）三个角都相等的三角形是等边三角形． （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 ． ★2、等边三角形与等腰三角形判定的区别 图形 等腰三角形 等边三角形 判 定 从边看： 两条边相等的三角形是等腰三角形. 三条边都相等的三角形是等边 三角形. 从角看： 两个角相等的三角形是等 腰三角形. 三个角相等的三角形是等边三角形. 特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图法，我们也可以用这种方法确定线段的中点． 题型一 轴对称图形的识别 【例1】（25-26八年级上·江苏淮安·阶段练习）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的概念． 轴对称图形指的是一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形，按概念判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，故A不符合题意； B．是轴对称图形，故B不符合题意； C．是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D符合题意． 故选：D． 【变式1-1】（25-26八年级上·全国·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，逐项判断即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B、该图形是轴对称图形，故该选项符合题意； C、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】列图形中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，符合题意； B、是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 题型二 轴对称性质的应用 【例2】如图，中，D点在上，将D点分别以、为对称轴，画出对称点E、F，并连接、．根据图中标示的角度，求的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理，解题的关键是利用轴对称的性质解答．连接，利用轴对称的性质和三角形内角和定理解答即可． 【详解】 解：连接， ∵D点分别以、为对称轴，得到点E、F， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2-1】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图所示，与关于直线成轴对称，则线段与直线的关系正确的是（    ） A．直线被线段垂直平分 B．线段被直线垂直平分 C．直线经过线段中点，但不垂直 D．直线与线段垂直，但不经过线段中点 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，如果把两个图形沿着某条直线折叠后，两个图形能完全重合，这两个图形关于这条直线轴对称，这条直线是对称轴，对称轴是对应点连线段的垂直平分线． 【详解】解： 与关于直线成轴对称， 是对称轴，点和点是对应点， 是线段的垂直平分线， 故A选项错误，不符合题意； 是线段的垂直平分线， 线段被直线垂直平分， 故B选项正确，符合题意； 是线段的垂直平分线， 直线经过线段的中点，且垂直于线段， 故C选项错误，不符合题意； 是线段的垂直平分线， 直线与线段垂直，且经过线段的中点， 故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式2-2】小华在镜子中看到身后墙上的钟，你认为时间最接近时整的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了镜面对称的性质，熟练掌握镜面对称中像与现实事物左右颠倒且关于镜面对称是解题的关键．根据镜面对称的性质，判断每个选项中镜子里的时间对应的实际时间，找出最接近8时整的． 【详解】解：∵镜面对称的性质是：在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称． ∴8时整时，时针指向8，分针指向12，在镜子里看到的应该是4时整（时针指向4，分针指向12）． 对于选项A，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项B，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项C，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项D，镜子里的时间对应的实际时间最接近8时整． 故选：D． 【变式2-3】如图是一个经过改造的规格为4×7的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】D． 【分析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 所以球最后将落入的球袋是4号袋， 故选：D． 题型三 与轴对称有关的探索规律问题 【例3】如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第9次碰到矩形的边时的点为图中的（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，进而确定位置即可． 【详解】解：如图所示，小球反弹6次回到点P处，而9﹣6＝3， ∴第9次碰到矩形的边时的点为图中的点N． 故选：D． 【变式3-1】如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2022除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的位置即可． 【详解】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点P， ∵2022÷6＝337， ∴当点P第2022次碰到矩形的边时为第337个循环组的第6次反弹， ∴第2022次碰到矩形的边时的点为图中的点P， 故选：A． 【变式3-2】下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图，一个球从一个角落以45°角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球囊．图1中回弹次数为1次，图2中回弹次数为2次，图3中回弹次数为3次，图4中回弹次数为5次．若某台球桌长宽之比为5：4，按同样的方式击球，球在边沿回弹的次数为（　　）次． A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】根据题意画出图形，然后即可作出判断． 【详解】解：根据图形可得总共反射了7次． 故选：B． 题型四 利用轴对称解决最短路径问题 【例4】，两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边上修建一个自来水厂，分别向两个小镇供水．要使所用水管总长度最短，则下列图形中，自来水厂的位置正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形最短线段问题，根据轴对称的性质作图即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，可得， 则， 由两点之间线段最短，此时的值最小，即所用水管总长度最短， 故选：． 【变式4-1】如图，在中，，，的面积为，平分，点，分别为，上动点，连结，，则的最小值为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查轴对称—最短路线问题，垂线段最短．作F关于的对称点为M，作边上的高，求出，根据垂线段最短得出，求出即可得出的最小值． 【详解】解：作F关于的对称点为M，作边上的高， ∵平分， ∴M必在上， ∵F关于的对称点为M， ∴， ∴，即 (垂线段最短)， ∵的面积为，， ∴， ∴，即的最小值为5． 故选：B 【变式4-2】如图，在中，，，，，点D、E分别是边、上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称求最短距离，垂直平分线的性质，等面积法求三角形的高，利用轴对称和垂线段最短将线段和的最小转化为线段是解题的关键． 延长至点，使得，利用轴对称和垂线段最短说明 当时，有最小值，为的长，再利用等面积法求的长． 【详解】延长至点，使得，连接，，，如下图所示： 又， 垂直平分， ， ， 当，D，E三点共线时，等号成立， 当时，有最小值，即有最小值，为的长． 当时，由得， ， 解得， 综上可知，的最小值为． 故选：D． 题型五 线段垂直平分线的性质的应用 【例5】（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点D，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，再由线段垂直平分线的性质和等边对等角求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴； ∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式5-1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，，的垂直平分线交于，垂足为若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质和含角的直角三角形的性质．先根据线段垂直平分线的性质得到线段相等，从而得出角相等，再利用含角的直角三角形的性质求出的长度． 【详解】解：在中，，的垂直平分线交于，， ， ， 在中， ，， ． 故选：C． 【变式5-2】如图，在△ABC中，BC＝10cm，AB的垂直平分线交AB于点D、交AC于点E，△BCE的周长等于22cm． （1）证明：BE+EC＝AC； （2）求AC的长． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，即可得到结论； （2）根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）证明：∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴EA＝EB， ∵AC＝AE+CE， ∴BE+CE＝AC； （2）解：∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴EA＝EB， ∵△BCE的周长等于22cm， ∴BC+CE+BE＝22（cm）， ∴BC+CE+EA＝BC+AC＝22（cm）， ∵BC＝10cm， ∴AC＝12（cm）． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 题型六 线段垂直平分线的判定 【例6】下面是作线段的垂直平分线的尺规作图方法． 如图所示，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和，作直线． 这样作的理由是（   ） ①等腰三角形的三线合一 ②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 ③两点确定一条直线 ④到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 A．① B．②③ C．③④ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了作垂线，垂直平分线的判定，两点确定一条直线，先结合作图过程，得出都在的垂直平分线上，两点所在直线即为的垂直平分线，故这样作的理由是到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，以及两点确定一条直线，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： 依题意，， 即都在的垂直平分线上， ∴两点所在直线即为的垂直平分线， ∴这样作的理由是到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，以及两点确定一条直线 故选：C 【变式11-2】如图，已知：，则下列说法正确的个数有（     ） （1）平分             （2）垂直平分 （3）与互相垂直平分      （4）平分 A．一个 B．两个 C．三个 D．四个 【答案】A 【分析】此题考查了垂直平分线的判定，等腰三角形三线合一． 由，，可得点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，即可得垂直平分，进而得到平分． 【详解】，， 点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上， 垂直平分． ∴平分 ∴说法正确的个数有一个 故选：A． 【变式11-3】如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O． (1)若，求的周长． (2)试判断点O 是否在的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1)12 (2)点O 在的垂直平分线上，理由见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． （1）利用线段垂直平分线的性质得出相等线段，然后利用等量代换进行求解即可； （2）连接，得出相等线段，利用线段垂直平分线的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）解：∵的垂直平分线分别交于点D，E， ∴， ∴， ∴的周长为12； （2）解：点O在的垂直平分线上，理由如下： 如图，连接， ∵分别垂直平分， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上． 题型七 利用线段的垂直平分线解决实际问题 【例7】 【变式11-1】如图所示，现要在一块三角形草坪上建一凉亭供大家休息，使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（    ） A．三条角平分线的交点 B．三条高所在直线的交点 C．三条中线的交点 D．三边的垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，根据到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵凉亭到草坪三个顶点的距离相等， ∴凉亭的位置应选在三边的垂直平分线的交点， 故选：D 【变式7-1】如图，物业公司计划在小区内修建一个电动车充电桩，要求到A，B，C三个出口的距离都相等，则充电桩应建在（　　） A．△ABC的三条高的交点处 B．△ABC的三条角平分线的交点处 C．△ABC的三条中线的交点处 D．△ABC的三条边的垂直平分线的交点处 【答案】D． 【分析】根据线段垂直平分线的性质可进行求解． 【详解】解：由题意可知：当充电桩到A，B，C三个出口的距离都相等时， 则充电桩应建在△ABC的三条边的垂直平分线的交点处； 故选：D． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【变式7-2】某公园的A，B，C处分别有海盗船、摩天轮、旋转木马三个娱乐项目，现要在公园内一个售票中心，使三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，则售票中心应建立在（　　） A．△ABC三边高线的交点处 B．△ABC三角角平分线的交点处 C．△ABC三边中线的交点处 D．△ABC三边垂直平分线的交点处 【答案】D． 【分析】由三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，可得售票中心是海盗船、摩天轮、旋转木马三个娱乐场组成三角形的三边的垂直平分线的交点． 【详解】解：∵售票中心到出口A、B的距离相等， ∴售票中心到在线段AB的垂直平分线上， 同理可得，售票中心应该在三条边的垂直平分线的交点， 故选：D． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握线段垂直平分线的作法． 题型十五 尺规作图（作线段的垂直平分线） 【例8】下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A． 【分析】利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线的作法进而判断即可得出答案． 【详解】解：①作一个角的平分线的作法正确； ②作一个角等于已知角的方法正确； ③作一条线段的垂直平分线，缺少另一个交点，故作法错误； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了基本作图，正确把握作图方法是解题关键． 【变式8-1】如图，在三角形ABC中，分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN交AB于点O，连接CO，则下列判断不正确的是（　　） A．AO＝BO B．MN⊥AB C．AN＝BN D．AB＝2CO 【答案】D． 【分析】利用基本作图得到MN垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OB，MN⊥AB，AN＝BN，可对A、B、C进行判断；由于当∠ACB＝90°时，OCAB，则可对D进行判断． 【详解】解：由作法得MN垂直平分AB， ∴OA＝OB，MN⊥AB，AN＝BN， 当∠ACB＝90°时，OCAB． 故选：D． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质． 【变式8-2】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图： (1)用尺规作图，在图中作出边垂直平分线，交于点，于点（不写过程，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）由题意得，由线段垂直平分线的性质可得，则，再根据可得答案． 【详解】（1）解：如图，直线即为所作； （2）连接， ∵，， ∴， ∵直线为线段垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 即的度数为． 【点睛】本题考查基本作图—作线段的垂直平分线，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等边对等角．解题的关键是掌握垂直平分线的性质，等边对等角． 【变式8-3】如图，为锐角三角形． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，连接；保留作图痕迹 (2)在（1）的条件下，若的周长为10，，则的周长为多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了复杂作图，掌握线段的垂直平分线是解题的关键． （1）根据题中步骤作图； （2）根据线段的垂直平分线的性质进行转化求解． 【详解】（1）解：如图： （2）解：由作图得：垂直平分， ， 的周长为10，即：， 的周长为：， 所以的周长为． 题型九 角平分线的性质求线段长 【例9】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD是△ABC的角平分线，若AC＝9，CD＝6，则点D到BC的距离是（　　） ​ A．2 B．4 C．3 D．6 【答案】C． 【分析】根据题意作辅助线，然后根据角平分线的性质得出DE＝AD，根据已知可得AD＝3，所以DE＝3，即D点到BC的距离是3． 【详解】解：过点D作DE⊥BC于点E， ∵已知∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC， ∴∠A＝∠DEB＝90°， 根据角平分线的性质可得：DE＝AD． ∵AC＝9，CD＝6， ∴DA＝3． ∴DE＝3，即D点到BC的距离是3， 故选：C． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，作出辅助线是解决本题的关键，难度适中． 【变式9-1】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，ED＝3，BC＝8，则BD的长为（　　） A．3 B．5 C．8 D．10 【答案】B． 【分析】根据角平分线的性质得出ED＝CD＝3，进而可得出结论． 【详解】解：∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，ED＝3， ∴ED＝CD＝3， ∵BC＝8， ∴BD＝BC﹣CD＝8﹣3＝5． 故选：B． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【变式9-2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝7，，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．7 【答案】B． 【分析】作DE⊥AB于E，由BD平分∠ABC，得到DE＝DC，由AC＝7，，求出CD＝3，得到DE＝3，即可求出点D到AB的距离． 【详解】解：作DE⊥AB于E， ∵∠C＝90°， ∴DC⊥AC， ∵BD平分∠ABC， ∴DE＝DC， ∵AC＝7，， ∴CD＝3， ∴DE＝3， ∴点D到AB的距离等于3． 故选：B． 【点睛】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到DE＝DC． 【变式9-3】（2025·湖南长沙·一模）如图，在中，平分，是中点，连接，过点作于点，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）连接，根据角平分线性质定理得到，再证明，则，再由等腰三角形性质即可证明； （2）先证明，则，那么，再代入数据求解即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， 平分，于E，交的延长线于F， , 在和中， ， ∴， ， 是中点， ； （2）解：由(1)知： 在和 中， ， , ，，， ． 题型十 角平分线的性质求面积 【例10】如图，射线OC是∠AOB角平分线，D是OC射线上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B． 【分析】作DE⊥OB于E，如图，根据角平分线的性质得DE＝DP＝4，然后根据三角形面积公式计算S△ODQ． 【详解】解：作DE⊥OB于E，如图， ∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DE⊥OB， ∴DE＝DP＝4， ∴S△ODQ3×4＝6． 故选：D． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【变式10-1】如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC于点E．若AB＝4，DE＝2，则△ABD的面积为 　 　． 【答案】4． 【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据角平分线的性质可得DF＝DE，根据△ABD的面积求解即可． 【详解】解：过点D作DF⊥AB于点F，如图所示： ∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC， ∴DF＝DE， ∵AB＝4，DE＝2， ∴DF＝DE＝2， ∴△ABD的面积4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 【变式10-2】如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，已知，BC＝8，DE＝2，则△BCE的面积等于 　 　． 【答案】8． 【分析】先作辅助线EF⊥BC交BC于点F，然后根据角平分线的性质，可以得到DE＝EF，再根据三角形的面积公式，即可求得△BCE的面积． 【详解】解：作EF⊥BC交BC于点F， ∵CD是AB边上的高， ∴CD⊥BA， ∵BE平分∠ABC， ∴DE＝EF， ∵DE＝2， ∴EF＝2， ∵BC＝8， ∴S△BCE8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是作辅助线EF⊥BC，求出EF的长． 【变式10-3】如图，△ABC中，AD是∠A的角平分线，BE是△ABD边AD上的中线，若△ABC的面积是24，AB＝5，AC＝3，则△ABE的面积是 　 ． 【答案】7.5． 【分析】根据角分线的性质和三角形的面积先求出点D到AB、AC的距离，然后再根据三角形的中线的性质即可得结论． 【详解】解：如图过点D作DF⊥AB，DG⊥AC，垂足分别为F、G， ∵AD是角平分线， ∴DF＝DG， 设DF＝DG＝h， ∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC， ∴24AB•DFAC•DG， ∴5h+3h＝48， 解得h＝6， ∴S△ABD5×6＝15， ∵BE是△ABD中的中线， ∴S△ABE＝S△BDES△ABD＝7.5． 故答案为：7.5． 【点睛】本题考查了三角形的角分线、中线，角分线的性质，三角形的面积，解决本题的关键是角分线上的点到角的两边的距离相等． 题型十一 角平分线性质求最值 【例11】如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，点D是OB上的动点， 若PC＝3，则PD的长的最小值为 　　 ． 【答案】3． 【分析】根据垂线段最短可知，当PD⊥OB时最短，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PD＝PC，进而求解． 【详解】解：过点P作PD′⊥OB，垂足为点D′． ∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD′⊥OB， ∴PD′＝PC， ∵PC＝3， ∴PD′＝PC＝3， 即当点D运动到点D′的位置时，PD长度最短，最小值为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质，确定出PD最小时的位置是解题的关键． 【变式11-1】如图，OC平分∠AOB，点P是射线OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点．若PM＝4，则PN的长度不可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A． 【分析】根据角平分线的性质及垂线段最短解答即可． 【详解】解：当PN⊥OA时，PN最短， ∵OC平分∠AOB，PM⊥OB于点M，PM＝4， ∴PN最短＝4． 故选：A． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【变式11-2】如图，点P在∠AOB的角平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是OB边上的任意一点，下列选项正确的是（　　） A．PQ≤5 B．PQ≥5 C．PQ＜5 D．PQ＞5 【答案】B． 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到OB的距离为5，再根据垂线段最短解答． 【详解】解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5， ∴点P到OB的距离为5， ∵点Q是OB边上的任意一点， ∴PQ≥5． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键． 题型十二 角平分线性质的证明 【例12】如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM＝PN． 【分析】根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB＝∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可． 【解答】证明：∵BD为∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠CBD， 在△ABD和△CBD中， ， ∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴∠ADB＝∠CDB， ∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD， ∴PM＝PN． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB＝∠CDB是解题的关键． 【变式12-1】如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E，D分别为垂足，CF＝CB．求证：BE＝FD． 【分析】利用角平分线的性质得到CD＝CE，然后证明Rt△CBE≌Rt△CFD，从而得到BE＝FD． 【详解】证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD， ∴CD＝CE， 在Rt△CBE和Rt△CFD中， ， ∴Rt△CBE≌Rt△CFD（HL）， ∴BE＝FD． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，关键是根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答． 【变式6-2】如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD＝CD．求证：AD平分∠BAC． 【分析】要证AD平分∠BAC，只需证DF＝DE．可通过证△BDF≌△CDE（AAS）来实现． 根据已知条件，利用AAS可直接证明△BDF≌△CDE，从而可得出AD平分∠BAC． 【详解】证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB， ∴∠BFD＝∠CED＝90°． 在△BDF与△CDE中， ， ∴△BDF≌△CDE（AAS）． ∴DF＝DE， ∵DE⊥AC，DF⊥AB， ∴AD是∠BAC的平分线． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及到角两边距离相等的点在角平分线上等知识．发现并利用△BDF≌△CDE是正确解答本题的关键． 题型十三 角平分线的判定 【例13】如图，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA=PB，∠MON=50°，∠OPC=30°， 则∠PCA= ． 【分析】由“HL”可证Rt△OAP≌Rt△OBP，可得∠AOP=∠BOP=∠AOB=25°，由外角可求解． 【详解】解：∵PA⊥ON于A，PB⊥OM于B， ∴∠PAO=∠PBO=90°， ∵PA=PB，OP=OP， ∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL）， ∴∠AOP=∠BOP=∠AOB=25°， ∴∠PCA=∠AOP+∠OPC=55°， 故答案为：55°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明Rt△OAP≌Rt△OBP是本题的关键． 【变式13-1】如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF 求证：AD平分∠BAC． 【分析】由DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，即可判定Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），则可得DE＝DF，然后由角平分线的判定定理，即可证得AD平分∠BAC． 【详解】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠E＝∠DFC＝90°， 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴DE＝DF， ∵AD＝AD， Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）， ∴∠DAE＝∠DAF， ∴AD平分∠BAC． 【点睛】本题考查了角平分线的判定与全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 【变式13-2】如图，△AOB中，点C为∠AOB的角平分线与外角∠DAB的角平分线的交点，连接CB．求证：BC平分外角∠ABE． 【分析】作CH⊥AB于H，CM⊥OD于M，CN⊥OE于N，如图，先根据角平分线的性质得到CM＝CN，CH＝CM，利用等量代换得到CH＝CN，然后根据角平分线定理的逆定理可得结论． 【详解】解：作CH⊥AB于H，CM⊥OD于M，CN⊥OE于N，如图， ∵点C为∠AOB的角平分线与外角∠DAB的角平分线的交点， ∴CM＝CN，CH＝CM， ∴CH＝CN， ∴BC平分外角∠ABE． 【点睛】本题考查了解平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；在角的内部，到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 题型十四 角平分线性质与判定的综合 【例14】（2025·北京门头沟·二模）如图，在中，，平分交于D，于E，点F在上，点G在上，，平分，下列结论中正确的个数（　　） ①；②平分；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质与判定，三角形内角和定理，直角三角形全等的判定和性质，正确做出辅助线是解题的关键． 根据角平分线的性质定理可判断①正确；过点D作于点H，则，结合可得，根据角平分线的判定定理可判断②正确；由角平分线的定义及三角形内角和定理可判断③正确；证明，，可判断④正确． 【详解】解：①∵平分，，， ∴， 故结论①正确； ②过点D作于点H，如图所示： ∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴点D在的平分线上， ∴平分， 故结论②正确； ③∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 故结论③正确； ④在和中， ， ∴， ∴， 同理证明：， ∴， ∴， 即， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②③④，共4个． 故选：D． 【变式14-1】如图，，垂足分别为，．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理，全等三角形的性质和判定， 先根据“斜边直角边”证明，可得，再根据角平分线的判定定理得出答案. 【详解】证明：， ． 在和中， ， ． ， ∴平分． 【变式14-2】如图，过的边的垂直平分线上的点，作的另外两边，所在直线的垂线，垂足分别为，，，作射线；求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查角平分线的判定定理、线段垂直平分线的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线的判定定理、线段垂直平分线的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；连接，；由题意易得，然后可得，则有，进而问题可求证． 【详解】证明：连接，， ∵点在的垂直平分线上， ． ，， ． 在和中， ∴， ． 又，， 点在的平分线上，即平分． 题型十五 利用等腰三角形的性质求角度 【例15】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝（　　） A．100° B．115° C．130° D．145° 【答案】B． 【分析】根据等边对等角得出∠B＝∠C，根据∠BAC＝130°即可求出∠C的度数，由DA⊥AC得出∠DAC＝90°，从而求出∠ADC的度数，问题得解． 【详解】解：在△ABC中，AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠BAC＝130°， ∴∠B＝∠C25°， ∵DA⊥AC， ∴∠DAC＝90°， ∴∠ADC＝90°﹣25°＝65°， ∴∠ADB＝180°﹣∠ADC＝180°﹣65°＝115°， 故选：B． 【详解】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【变式15-1】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，分别是的平分线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的有关计算等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 先根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理求出，再由角平分线求出，然后在中，由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵分别是的平分线， ∴， ∴， 故选：C． 【变式15-1】如图，点P为内一点，过点P的线段分别交，于点M，N，且M，N分别在，的垂直平分线上．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据平角的概念求出，根据线段垂直平分线的性质得到，，得到，，根据三角形的外角性质、三角形内角和定理计算，得到答案． 【详解】解：， ． ，N分别在，的垂直平分线上， ，． ，． ，， ． ． 故选：B． 【变式15-2】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，，在延长线上取一点，在延长线上取一点，使，连接，延长交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理以及三角形外角的性质即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 题型十六 利用等腰三角形的性质求线段长 【例16】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝5cm，则BF＝（　　） A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm 【答案】B． 【分析】先得出AD是△ABC的中线，得出S△ABC＝2S△ABD＝2AB•DE＝AB•DE＝5AB，又S△ABCAC•BF，将AC＝AB代入即可求出BF． 【详解】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC， ∴AD是△ABC的中线， ∴S△ABC＝2S△ABD＝2AB•DE＝AB•DE＝5AB， ∵S△ABCAC•BF， ∴AC•BF＝5AB， ∵AC＝AB， ∴BF＝5， ∴BF＝10（cm）， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，利用面积公式得出等式是解题的关键． 【变式16-1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，BD＝4，则AE等于（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C． 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝ED，根据全等三角形的性质得到CD＝AB＝12，BD＝CE，进而得到结论． 【详解】解：∵AB＝AC＝12， ∴∠B＝∠C， ∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB， ∴∠BAD＝∠CDE， ∵AE的中垂线交BC于点D， ∴AD＝ED， 在△ABD与△DCE中 ， ∴△ABD≌△DCE（AAS）， ∴CD＝AB＝12，BD＝CE， ∵BD＝4， ∴CE＝BD＝4， ∴AE＝AC﹣CE＝12﹣4＝8． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式16-2】（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，中，，，E为垂足，点D在上，且，若，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质，过A作于H， 由等腰三角形三线合一的性质先证明，由全等三角形的性质得出，结合已知条件以及线段的和差关系得出，进一步即可得出答案． 【详解】解：过A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：5． 题型十七 等腰三角形性质的证明 【例17】已知，如图，，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握相关判定及性质．由已知证明，得到，又因为，即为的角平分线，利用等腰三角形的三线合一即可得证． 【详解】证明：在与中， ， ， ， 是等腰三角形， ，即为的角平分线， ． 【变式17-1】如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，过点A分别作AD⊥BD、AE⊥CE，且AE＝AD．求证：∠EAB＝∠DAC． 【答案】(1)证明见解析 【分析】由等腰三角形的判定定理得出AB＝AC，由HL证明Rt△AEC≌Rt△ADB，根据全等三角形的性质得∠EAC＝∠DAB，即可即可得出结论． 【详解】证明：∵∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， ∵AD⊥BD，AE⊥CE， ∴∠D＝∠E＝90°， 即△AEC和△ADB是直角三角形， 在Rt△AEC和Rt△ADB中， ， ∴Rt△AEC≌Rt△ADB（HL）， ∴∠EAC＝∠DAB， ∴∠EAC﹣∠BAC＝∠DAB﹣∠BAC， ∴∠EAB＝∠DAC． 【变式17-2】如图，在中，，E为边上的点，且，D为线段的中点，过点E作，过点A作，且相交于点F． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由余角的性质可得； （2）由“”可证，可得． 【详解】（1）证明：∵，D为线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 题型十八 等腰三角形的判定 【例18】下列对△ABC的判断，错误的是（　　） A．若AB＝AC，∠B＝60°，则△ABC是等边三角形 B．若∠A：∠B：∠C＝3：4：7，则△ABC是直角三角形 C．若∠A＝20°，∠B＝80°，则△ABC是等腰三角形 D．若AB＝BC，∠C＝40°，则∠B＝40° 【答案】D． 【分析】根据等腰三角形，等边三角形，直角三角形的判定以及三角形的内角和定理即可作出判断． 【详解】解：A．若AB＝AC，∠B＝60°，则∠A＝60°，∠C＝60°，所以△ABC是等边三角形，故此选项判断正确，不符合题意； B．若∠A：∠B：∠C＝3：4：7，则∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形，故此选项判断正确，不符合题意； C．若∠A＝20°，∠B＝80°，则∠C＝80°，所以△ABC是等腰三角形，故此选项判断正确，不符合题意； D．若AB＝BC，∠C＝40°，则∠B＝100°，故此选项判断错误，符合题意． 故选：D． 【变式18-1】如图，已知是等边三角形，且．试问：是等边三角形吗？请说明理由． 【答案】是等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键，利用是等边三角形并结合已知条件可得到，利用相同的方法可证，从而证得是等边三角形． 【详解】解：是等边三角形．理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∴． ∵， ∴． 同理， ∴是等边三角形． 【变式18-2】如图，点P是等边三角形内一点，D是延长线上一点，，， 求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，根据等边三角形性质得，进而依据“”判定和全等得，由此得，据此即可得出结论． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴是等边三角形． 题型十九 等腰三角形性质与判定的综合 【例19】（25-26八年级上·浙江·阶段练习）如图，在中，，点、、分别在、、边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质有关知识． （1）通过全等三角形的判定定理证得 ，由“全等三角形的对应边相等”推知，所以是等腰三角形； （2）由等腰的性质求得，结合 的对应角相等 ，易求． 【详解】（1）证明：， ， ． 在和中， ． ． 是等腰三角形； （2）解：， ， ． ， ． ． ． 【变式19-1】如图，在等腰三角形ABC中，两底角的平分线BE、CD相交于点O，求证：OB＝OC，OD＝OE． 【分析】首先根据等边对等角可得∠ABC＝∠ACB，然后根据角平分线的性质可得∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，进而得到∠OBC＝∠OCB，再根据等角对等边可得OB＝0C；再根据ASA证明△OBD≌△OCE，由全等三角形的对应边相等即可得到OD＝OE． 【详解】证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵BD、CE是角平分线，它们相交于点O， ∴∠OBC＝∠OBD∠ABC，∠OCB＝∠OCE∠ACB， ∴∠OBC＝∠OCB， ∴OB＝OC； 在△OBD与△OCE中， ， ∴△OBD≌△OCE（ASA）， ∴OD＝OE． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线定义，全等三角形的判定与性质，难度适中．得出∠OBC＝∠OCB是解题的关键． 【变式19-2】如图，AD是△ABC的角平分线，CE∥AD，与BA的延长线相交于点E，点F在AD的延长线上，且FC＝AC．求证： （1）△ACE是等腰三角形； （2）AB∥CF． 【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠BAF＝∠CAF，根据平行线的性质得出∠CAF＝∠ACE，∠BAF＝∠E，根据等腰三角形的判定得出答案即可； （2）根据等腰三角形的性质，得出∠CAF＝∠F，根据平行线的判定即可得出答案． 【详解】证明：（1）∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAF＝∠CAF， ∵CE∥AD， ∴∠CAF＝∠ACE，∠BAF＝∠E， ∴∠E＝∠ACE， ∴AE＝AC， ∴△ACE是等腰三角形． （2）∵FC＝AC， ∴∠CAF＝∠F， ∵∠CAF＝∠BAF， ∴∠F＝∠BAF， ∴AB∥CF． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质． 题型二十 等边三角形的性质的计算 【例20】正三角形中，，与交于点P，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定方法，是解题的关键．证明，进而得到，根据三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵正三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 【变式20-1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在等边中，是边上一点，以为边向右侧构造等边，连结，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质． 利用等边三角形的性质得出相等的角和边，证明，得出，然后利用角的和差进行求解即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∴， 即， 在与中， ∴， ∴， ， 故选：A． 【变式20-2】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，是等边三角形，点在的延长线上，点在线段上，，与交于点，若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，解决此题的关键是正确的应用等边三角形的性质． 先根据等边三角形的性质得到三个内角是，再根据角度的计算用表示出相关的角，得到，进而证明，即可解决问题． 【详解】解：如图，在 上截取，连接． 设，则， ∵是等边三角形， ∴,， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 题型二十一 等边三角形的判定 【例21】下列对△ABC的判断，错误的是（　　） A．若AB＝AC，∠B＝60°，则△ABC是等边三角形 B．若∠A：∠B：∠C＝3：4：7，则△ABC是直角三角形 C．若∠A＝20°，∠B＝80°，则△ABC是等腰三角形 D．若AB＝BC，∠C＝40°，则∠B＝40° 【答案】D． 【分析】根据等腰三角形，等边三角形，直角三角形的判定以及三角形的内角和定理即可作出判断． 【详解】解：A．若AB＝AC，∠B＝60°，则∠A＝60°，∠C＝60°，所以△ABC是等边三角形，故此选项判断正确，不符合题意； B．若∠A：∠B：∠C＝3：4：7，则∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形，故此选项判断正确，不符合题意； C．若∠A＝20°，∠B＝80°，则∠C＝80°，所以△ABC是等腰三角形，故此选项判断正确，不符合题意； D．若AB＝BC，∠C＝40°，则∠B＝100°，故此选项判断错误，符合题意． 故选：D． 【变式21-1】如图，已知是等边三角形，且．试问：是等边三角形吗？请说明理由． 【答案】是等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键，利用是等边三角形并结合已知条件可得到，利用相同的方法可证，从而证得是等边三角形． 【详解】解：是等边三角形．理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∴． ∵， ∴． 同理， ∴是等边三角形． 【变式21-2】如图，点P是等边三角形内一点，D是延长线上一点，，， 求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，根据等边三角形性质得，进而依据“”判定和全等得，由此得，据此即可得出结论． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴是等边三角形． 题型二十二 30°角所对的直角边等于斜边的一半 【例22】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝1.5，则AD的长为（　　） A．1.5 B．2 C．3 D．4 【答案】C． 【分析】先利用直角三角形的两个锐角互余可得∠BDC＝30°，从而可得BD＝2BC＝3，然后利用三角形外角的性质可得∠A＝∠ABD＝15°，再利用等角对等边即可解答． 【详解】解：∵∠C＝90°，∠DBC＝60°， ∴∠BDC＝90°﹣∠DBC＝30°， ∵BC＝1.5， ∴BD＝2BC＝3， ∵∠A＝15°， ∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝15°， ∴∠A＝∠ABD＝15°， ∴AD＝BD＝3， 故选：C． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质，以及等腰三角形的判定是解题的关键． 【变式22-1】如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝3，则AB的长为（　　） A．16 B．12 C．9 D．10 【答案】B． 【分析】先根据等边三角形的性质得到AB＝AC，∠C＝60°，AD＝CD，再根据含30度的直角三角形三边的关系求出CD，从而得到AB的长． 【详解】解：∵△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC， ∴AB＝AC，∠C＝60°，AD＝CD， ∵DE⊥BC， ∴∠DEC＝90°， 在Rt△DEC中，CD＝2CE＝2×3＝6， ∴AC＝2CD＝12， ∴AB＝12． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的定义：角的平分线把角分成相等的两部分．也考查了等边三角形的性质． 【变式22-1】如图，△ABC中，AB＝AC．∠BAC＝120°，AC的垂直平分线交BC于D．交AC于E， DE＝2．求BD的长． 【分析】（1）连接AD，利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠C＝30°，再利用线段垂直平分线的性质可得AD＝CD，∠DEC＝90°，从而可得AD＝CD＝2DE＝4，然后利用等腰三角形的性质可得∠C＝∠DAC＝30°，从而可得∠BAD＝90°，最后在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性质可得BD＝2AD＝8，即可解答； 【详解】解：（1）连接AD， ∵AB＝AC．∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C（180°﹣∠BAC）＝30°， ∵DE是AC的垂直平分线， ∴AD＝CD，∠DEC＝90°， ∵DE＝2， ∴CD＝2DE＝4， ∴AD＝CD＝4， ∴∠C＝∠DAC＝30°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝90°， ∴BD＝2AD＝8， ∴BD的长为8； 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式22-2】如图，在中，，垂直平分． (1)求的度数； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、含角的直角三角形的性质等知识． （1）根据等边对等角和三角形的内角和定理求出，根据垂直平分线的性质得到，即可得到答案； （2）过点B作于F，得到，根据三角形面积公式求得答案． 【详解】（1）解：∵，，． ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴ （2）过点B作于F， 则， ∵，， ∴， ∴的面积是． 题型二十三等边三角形的性质与判定的综合 【例23】如图，已知点D为等腰直角内一点，，E为延长线上的一点，且． (1)求证：平分． (2)若点M在上，且，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，进而根据三角形的外角性质求得 ，即可证明平分∠； （2）连接，证明是等边三角形，结合（1）的结论，证明，进而证明，即可证明． 【详解】（1）证明： 是等腰直角三角形 ， ， ， ， 又 ， ， 平分； （2）证明：连接，如图，    是等边三角形 ， ，， ，， ， ， ， ； 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形的外角性质，三角形全等的性质与判定，等边三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 【变式23-1】如图1，等边与等边的顶点B，C，D三点在一条直线上，连接，，两线相交于点 (1)求的度数； (2)如图2，连接， ①求证：是的平分线； ②若，，求的长度． 【答案】(1) (2)①见解析 ② 【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）通过观察图形，根据等边三角形的性质就可以证明≌，得出，而有，就有，从而可以求出的值； （2）①过C作于G，于H，得到，根据全等三角形的性质得到，求得，由知，根据角平分线的定义得到是的平分线；②如图，在BF上截取，连接CM，则是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，求得，于是得到结论． 【详解】（1）解：和都是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （2）①证明：过C作于G，于H， ， ， ， ， ， ， ， 由知， ， 是的平分线； ②解：如图，在BF上截取，连接CM， 因，则是等边三角形， ， ， ，（等量减等量，差相等） ， ， ， ， ， ， 【变式23-2】如图，在中，为锐角．点D为射线上一动点，以为边且在的右侧作等边三角形． (1)如果． 当点在线段上时，如图1，线段、的数量关系为 ， ． 当点在线段的延长线上时，如图2，中的结论是否仍然成立，请说明理由． (2)如图3，如果，，点在线段上运动．当时，求的度数． 【答案】(1) ， 当点在线段的延长线上时，如图2，中的结论是否仍然成立，理由见解析； (2) 的度数为． 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形的内角和定理． （1）根据等边三角形的性质，证明，对应边相等，对应角相等，即可得线段、的数量关系，的度数；根据等边三角形的性质，证明，对应边相等，对应角相等，可得线段、的数量关系，的度数，与中的结论进行对比即可； （2）在上截取，连接，与的交点即为点，由三角形的内角和定理，可得，证明，可得，，可得是等边三角形，可得，从而可得的度数． 【详解】（1）解：∵三角形是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴线段、的数量关系为，， 故答案为：，． 当点在线段的延长线上时，如图2，中的结论是否仍然成立，理由： ∵三角形是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴线段、的数量关系为，， ∴当点在线段的延长线上时，如图2，中的结论是否仍然成立． （2）解：在上截取，连接，与的交点即为点， ∵三角形是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的度数为． 题型二十四 等腰三角形与动点运动问题 【例24】如图，已知等边△ABC的边长为6cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，运动时间为tS，已知点M的速度1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． ​ （1）当点N第一次到达B点时，点M的位置在 　 　；当M、N运动 　 　秒时，点N追上点M； （2）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 【分析】（1）求出M运动的路程即可判断M的位置，由题意得：2t＝1×t+6，求出t的值即可； （2）分两种情况，列出关于t的方程，求出t的值，即可解决问题． 【详解】解：（1）当点N第一次到达B点时， t＝18÷2＝9（s）， ∴M运动了1×9＝9（cm）， ∴点M的位置在BC中点； 当点N追上点M时， 由题意得：2t＝1×t+6， ∴t＝6， ∴当M、N运动6秒时，点N追上点M， 故答案为：BC中点，6． （2）如图，AM＝AN， 作AH⊥BC于H， ∴HC＝HB，HM＝HN， ∴MC＝BN， ∴t﹣6＝18﹣2t， ∴t＝8， ∴M、N运动的时间是2s或8s时．得到以MN为底边的等腰三角形△AMN． 【变式24-1】在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，以每秒1个单位的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒． （1）如图1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值； （2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？ 【分析】（1）由平行线的性质得∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，从而得出△BPQ是等边三角形，列方程求解即可； （2 ）根据点Q所在的位置不同，分类讨论△APQ是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系，列方程求解即可． 【详解】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，PQ∥AC， ∴∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°， 又∠B＝60°， ∴∠B＝∠BQP＝∠BPQ， ∴△BPQ是等边三角形， ∴BP＝BQ， 由题意可知：AP＝t，则BP＝9﹣t， ∴9﹣t＝6， 解得：t＝3， ∴当t的值为3时，PQ∥AC； （2）如图2，①当点Q在边BC上时， 此时△APQ不可能为等边三角形； ②当点Q在边AC上时， 若△APQ为等边三角形，则AP＝AQ， 由题意可知，AP＝t，BC+CQ＝2t， ∴AQ＝BC+AC﹣（BC+CQ）＝9+9﹣2t＝18﹣2t， 即：18﹣2t＝t，解得：t＝6， ∴当t＝6时，△APQ为等边三角形． 【变式24-2】如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． (1) （用t的代数式表示）． (2)当点在边上运动时，出发 秒后，是等腰三角形． (3)当点在边上运动时，出发几秒后，是以或为底的等腰三角形？ 【答案】(1) (2) (3)5.5秒或6秒 【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，再利用即可求解； （2）当点在边上运动时，，其中，根据等腰三角形的定义可得，列出关于的方程，即可求解； （3）分2种情况讨论：①是以为底的等腰三角形；②是以为底的等腰三角形，画出示意图，利用等腰三角形的性质求出点运动的路程，进而得到点运动的时间，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； 故答案为：； （2）解：当点在边上运动时，，其中， ∵是等腰三角形，， ∴，即， 解得， ∴出发秒后，是等腰三角形； 故答案为：； （3）解：①当是以为底的等腰三角形，则， ∴， ∵，   ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点运动的路程为， ∴点运动的时间为（秒）； ②当是以为底的等腰三角形，则， ∴， ∴点运动的路程为， ∴点运动的时间为（秒）； ∴综上所述，出发5.5秒或6秒后，是以或为底的等腰三角形． 基础巩固通关测 1．左边图形与右边图形成轴对称的是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故符合题意； 故选：D． 2．如图，已知△ABC（AB＜BC），用尺规作图在线段BC上确定一点P，使得PA+PC＝BC，则下列作法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【分析】由PA+PC＝BC，PB+PC＝BC，推出PA＝PB，可得点P在线段AB的垂直平分线上，由此可得结论． 【详解】解：由PA+PC＝BC，PB+PC＝BC，推出PA＝PB，可得点P在线段AB的垂直平分线上， 故选：D． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是推出点P在线段AB的垂直平分线上． 3．如图，已知线段与线段关于直线成轴对称，连接，相交于点，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键． 根据轴对称的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：∵线段与线段关于直线成轴对称， ∴，， ∴，，， ∴， 所以结论不一定正确的是． 故选：C． 4．如图，中，，以、为边在的外侧作等边和等边，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、三角形内角和及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质、三角形内角和及等腰三角形的性质是解题的关键． 由题意易得，，则有，然后根据三角形内角和及等腰三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵、都是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 5．如图，已知 中，，是的对称轴，交于D，E为上一定点，F为线段上一动点，当（    ）时，的值最小．    A．F是的中点 B．点E、F、B在同一直线上 C． D．． 【答案】B 【分析】本题考查利用轴对称解决线段和的最小值问题，根据题意易得关于对称，进而得到，进而得到当点E、F、B在同一直线上时，的值最小为的长，即可． 【详解】解：连接，，    ∵是的对称轴， ∴， ∴， ∴点E、F、B在同一直线上时，的值最小为的长， 故选B． 6．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（    ） A．12 B．18 C．24 D．36 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图作角平分线，角平分线的性质. 过点G作于点H，根据题意得，是的角平分线，得，根据三角形面积公式，即可求出的面积． 【详解】解：过点G作于点H， 根据题意得，是的角平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7．已知：如图，在等边中，为边上一点，且．动点从点出发沿边以每秒2个单位的速度向点运动，连接，设点运动的时间为秒．若 ，则的值为 秒． 【答案】1 【分析】本题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的性质，由等边三角形的性质得，得出，由全等三角形的性质得，再根据“时间=路程÷速度”求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 故答案为：1． 8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，DE∥AC，DF∥AB，则四边形AEDF的周长是 ． 【答案】16. 【分析】根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，再利用平行线的性质可得∠FDC＝∠B，∠EDB＝∠C，从而可得∠C＝∠FDC，∠B＝∠EDB，然后利用等角对等边可得FD＝FC，ED＝EB，从而利用等量代换可得四边形AEDF的周长＝AB+AC＝16，即可解答． 【详解】解：∵AB＝AC＝8， ∴∠B＝∠C， ∵DE∥AC，DF∥AB， ∴∠FDC＝∠B，∠EDB＝∠C， ∴∠C＝∠FDC，∠B＝∠EDB， ∴FD＝FC，ED＝EB， ∴四边形AEDF的周长＝AE+DE+DF+AF ＝AE+BE+FC+AF ＝AB+AC ＝8+8 ＝16， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质是解题的关键． 9．等腰三角形的一个内角是70°，则它一腰上的高与底边的夹角的度数为 ． 【答案】20°或35°． 【分析】题中没有指明已知角是底角还是顶角，故应该分情况进行分析从而求解． 【详解】解：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的高． ①当∠A＝70°时， 则∠ABC＝∠C＝55°， ∵BD⊥AC， ∴∠DBC＝90°﹣55°＝35°； ②当∠C＝70°时， ∵BD⊥AC， ∴∠DBC＝90°﹣70°＝20°； 故答案为：20°或35°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，属于基础题，若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键． 10．如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF＝1，则DF的长为 　　 ． 【答案】3． 【分析】过点C作CH⊥DE于点H，易证△AFE≌△CHE（AAS），根据全等三角形的性质可得EH＝EF＝1，再证明△CDE是等腰三角形，可得DH＝EH＝1，进一步可得DF的长． 【详解】解：过点C作CH⊥DE于点H， 则∠CHE＝90°， ∵EF⊥AB， ∴∠AFE＝90°， ∴∠AFE＝∠CHE， ∵E是AC的中点， ∴AE＝CE， 在△AFE和△CHE中， ， ∴△AFE≌△CHE（AAS）， ∴EH＝EF＝1， 在等边△ABC中，∠B＝∠ACB＝60°， ∵∠BFE＝90°， ∴∠D＝30°， ∴∠DEC＝60°﹣30°＝30°， ∴CE＝CD， ∴△CDE是等腰三角形， ∵CH⊥DE， ∴DH＝EH＝1， ∴DF＝DH+EH+EF＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 11．如图，在中，，平分，，连接． (1)求证：等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的计算，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关的知识． （1）根据角平分线定义和平行线的性质，证明，得出，根据，得出，即可证明结论； （2）根据等腰三角形的性质，三角形内角和求出，根据平行线的性质得到，根据平分得到，根据等边对等角得到，，进而计算即可求出结果． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形． （2）解：∵，， ∴ ∵ ∴ ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∴． 12．如图，在等边△ABC中，DA＝DC，DM⊥BC，垂足为M，E是BC延长线上的一点，CE＝CD． 求证：MB＝ME． 【分析】要证MB＝ME，根据题意可知，证明△BDE为等腰三角形，利用等腰三角形的高和中线重合即可得证． 【详解】证明：连接BD． ∵△ABC是等边三角形，且D是AC的中点， ∴∠DBC∠ABC60°＝30°，∠ACB＝60°， ∵CE＝CD， ∴∠CDE＝∠E， ∵∠ACB＝∠CDE+∠E， ∴∠E＝30°， ∴∠DBC＝∠E＝30°， ∴BD＝ED，△BDE为等腰三角形， 又∵DM⊥BC， ∴MB＝ME． 【点睛】本题考查了等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和高三线合一的性质以及等边三角形每个内角为60°的知识．辅助线的作出是正确解答本题的关键． 能力提升进阶练 13．如图，点D在等边△ABC的外部，E为BC边上的一点，AD＝CD，DE交AC于点F，AB∥DE． （1）判断△CEF的形状，并说明理由； （2）若BC＝10，CF＝4，求DE的长． 【分析】（1）利用平行线的性质，证明∠CEF＝∠ABC，∠CFE＝∠CAB，然后利用三个角相等的三角形是等边三角形即可解答； （2）连接BD，根据已知易证BD是线段AC的垂直平分线，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得BD平分ABC，最后根据角平分线和平行证明△BDE是等腰三角形即可解答． 【详解】解：（1）△CEF是等边三角形， 理由：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC， ∵AB∥DE， ∴∠CEF＝∠ABC，∠CFE＝∠CAB， ∴∠CEF＝∠CFE＝∠ECF ∴△CEF是等边三角形； （2）连接BD， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC， ∵AD＝CD， ∴BD是线段AC的垂直平分线， ∴BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵AB∥DE ∴∠ABD＝∠BDE， ∴∠BDE＝∠CBD， ∴BE＝DE， ∴BC＝BE+EC＝DE+CF ∴DE＝BC﹣CF＝10﹣4＝6． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握角平分线和平行证明等腰三角形是解题的关键． 14．如图，中，于点D，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)的长为 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质． （1）证明，可得，再证明，可得，结合三角形的外角的性质可得结论． （2）先证明是的垂直平分线，等边对等角求出的度数，再结合（1）的结论求出的度数即可； （3）先求出的长，再根据线段的转化，得到，进而求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）解：由（1）得：，，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 15．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，平分，交于点，为上一点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的性质以及平行线的判定，角的平分线上的点到角的两边的距离相等． （1）依据角平分线的定义以及等边对等角，即可得到，即可判定； （2）过作于，依据角平分线的性质，即可得到，再根据，即可得出的到长，进而得到的长． 【详解】（1）证明：平分， ， 又， ， ， ； （2）解：如图，过作于， ，平分， ， ，， ， ， ． 16．已知：如图，在中，，D是边的中点，，点E、F为垂足． (1)求的度数； (2)求证：； (3)求证：是等边三角形． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得，结合以及三角形内角和定理，即可获得答案； （2）首先证明，，然后根据“”证明即可； （3）首先根据全等三角形的性质证明，再证明，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）由（1）得， ∵D是边的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （3）由（2）得，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 17．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接．    (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)当_________时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)当或或时，是等腰三角形 【分析】此题考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据全等三角形的性质得到，根据等边三角形的判定定理证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，结合图形计算即可； （3）根据全等三角形的性质可得，，，再分三种情况求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 18．如图，与都为等边三角形，连接与，延长交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）设交于点，由（1）可知，，得到，结合对顶角相等，那么，从而推出结论； （3）过点作的延长线于点，证明，得到，从而得到结论． 【详解】（1）证明： 与都为等边三角形， ， ， ， ， ； （2）证明：设交于点，如图所示： 由（1）可知，， ， ， ， ， 即； （3）证明：过点作的延长线于点，如图所示： 由（1）可知，， ，， ， ， ， 平分． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $