专题03 二次函数压轴类考点专练（期末复习专项训练）九年级数学上学期沪科版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03二次函数压轴类考点专练 题型归纳·内容导航 题型1抛物线与坐标轴的交点问题 题型5角度问题 题型2图形问题 题型6特殊三角形问题 题型3线段长度与周长问题 题型7四边形的存在性问题 题型4面积问题 题型通关·靶向提分 题型一抛物线与坐标轴的文点问题（共5小题） 1.(24-25九年级上·重庆巫山期末)对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0),下列说法： ①若a+b+c=0,则方程ax2+bx+c=0一定有两个实数根 ②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根 ③若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下且c>0,则方程ax+bx+c=0一定有两个不相等的实数根 ④若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立 ⑤若一元二次方程ax2+bx+c=0的根为x1=x2=1,则二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1 其中正确结论的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 2.(24-25九年级上·江苏无锡期末)关于抛物线y=x2-2mx+m2+m-6(m是常数)，下列结论正确 的是( ) ①若此抛物线与x轴只有一个公共点，则m=-6: ②若此抛物线与坐标轴只有一个公共点，则m>6: ③若点Am-2,y1,Bm+1,y2在抛物线上，则y1<y2: ④无论m为何值，抛物线的顶点到直线y=x的距离都等于3只2 A.②④B.①③ C.②③ D.①④ 3.(24-25九年级上·四川成都期末)在平面直角坐标系 xOy中，Al,y,'Bt+1,y,Ct+3,y三点 1/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 都在抛物线y=ax2-4ax-3a<0上.若y1<y3<y2,则t的取值范围是 若无论t取任何实数， 点A,B,C中都至少有两个点在x轴的下方，则a的取值范围是 4.(24-25九年级上·湖北武汉·期末)抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)经过-1，-1,1,0，m,0三 点，与y轴的交点在正半轴.下列结论：①-1<m<0:②b7:③抛物线与直线y=kx+k-1的一个交点 的横坐标为t,若t>2,则k>0;④当a≤-1时，则方程2ax2+2bx+2c-1=0必有两个不相等的实数根.其 中正确的是 (填写序号)· 5.(24-25九年级上北京西城期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点Mm,0,Nn,0,其中 m+n=-2,抛物线y=ax2+bx+ca>0经过点M和N,以下四个结论： M N ①bc>0:②3a+c>0®关于x的-元二次方程ax2+bx+2c= 无实根：国点x1,y'x2y2 在抛物线 上且在对称轴的同侧，当X1-x2=2时，总有y1y2≥3时，则a≥3 其中所有正确结论的序号是 4 题型二图形问题（共5小题） 6.(24-25九年级上·贵州遵义·期末)如图，将Rt△EFG与正方形ABCD按如图所示的方式摆放，边FG 在直线BC上，∠EGF=90°，EG=FG=4cm,AB=8cm,Rt△EFG以2cm/s的速度沿着BC方向运动，初 始时点G与点B重合，当点F与点C重合时停止运动.在运动过程中，Rt△EFG与正方形重叠部分面积 ycm2与运动时间xs之间的函数关系图象大致是( ) 2/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 8 8 P 0246x B.O246 c.0246 D 8 0246元 7.(24-25九年级上·安徽合肥期末)如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，CD=V2, 动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿C一B一A的方向匀速运动，到达点A时停止，以DP为 边作正方形DPEF,设点P的运动时间为tS,正方形DPEF的面积为S,当点P由点B运动到点A时，经探究 发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，则由图象可知线段AC的长为() S 18 6 2 B P 4 图1 图2 A.7 B.62 C.5V3 D.42 8.(24-25九年级上山东聊城期末)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠D=90°，∠B=45°，AB=6, AD=4.点E由B出发，沿折线BCD向D运动，EM⊥AB,垂足为M,EN⊥AD,垂足为N,设 3/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BM=X,矩形AMEN的面积为y,那么y与x间的函数关系的图象大致是( D E M B A 9 9 9 6 6 6 3 3 3 0123456x 0123456x 0123456x A B D. 9 6 3 0123456元 9.(24-25九年级上·辽宁大连·期末)如图，△ABC和△DEF是全等的等腰直角三角形， ∠ABC=∠DEF=90°，BC与EF在直线I上，开始时C点与E点重合，直到B点与F点重合为止.设 △ABC和△DEF的重叠部分（即图中阴影部分）的面积为ycm,CE的长度为xcm,则y与x之间的函 数图象大致是( O B.048 4/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.048 D.O 10.(24-25九年级上·黑龙江绥化期末)如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=2,点M,N同时从点A 出发，点M以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C→D的方向运动，点N以每秒1个单位长度的速度沿 A一→D→C的方向运动，当M、N两点相遇时，它们同时停止运动.设M,N两点运动的时间为t秒， △AMN的面积为S(平方单位)，则△AMN的面积S与运动时间t之间的函数图象大致是( S S 4 3 以 2 2 4. 01234 B.01234 S 3 01234 01234 E. 题型三线段长度与周长问题（共5小题） 11.(25-26九年级上·重庆·期末)如图1，已知抛物线y=ax2+bx-3的图象与x轴交于A、B两点，与y 轴交于C点，A点的坐标为-1,0，且抛物线对称轴为直线x=1. 5/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (1)求抛物线的解析式： (2)如图2，连接BC,P为线段BC下方抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴交BC于点M,作 PN⊥y轴交y轴于点N,求PM+PN的最大值及此时点P的坐标； (3)如图3，连接AC、BC,在抛物线上是否存在一点Q,使得∠ACO+∠QBC=45°，若存在，直接写出 点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 12.(24-25九年级上甘肃武威期末)如图，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于点A-1,0,B3,0,与y 轴交于点C,点D为直线BC下方抛物线上一动点 4 3 2 -3-2 345 (1)求抛物线的解析式： (2)过点D作y轴的平行线，交BC于点P,小明认为当点D为抛物线顶点时，此时DP最大，试判断小明的 说法是否正确，并说明理由. (3)求三角形BCD面积的最大值. 13.（24-25九年级上甘肃酒泉·期末)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax+bx+ca≠0的图 象经过原点和点A(4,0).经过点A的直线与该二次函数图象交于点B(1,3),与y轴交于点C. 6/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求二次函数的解析式及点C的坐标： (2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作PE⊥x轴于点E,与直线AB 交于点D,设点P的横坐标为m.m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值. 14.(24-25九年级上河南驻马店·期末)如图，抛物线y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点（点A 在点B的左边)，与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点.点A的坐标为-3,0，点C的坐标为0,3. (1)求抛物线的解析式： (2)点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E,与抛物 线交于点P,过点P作PQ‖AB交抛物线于点Q,过点Q作QN⊥x轴于点N.若点P在点Q左边，当矩形 PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积： 15.(24-25九年级上四川泸州·期末)如图，抛物线y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A-3,0B两点， 与y轴交于点C0,3. 7/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D P∠ O B A M NO B 图1 图2 (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标： (2)若点E在抛物线上，且SAEOC=S△ABC,求点E的坐标； (3)点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PM⊥x轴于M,过点P作PQ‖AB交抛物线于点Q,过 点Q作QN⊥x轴于点N.设点P的横坐标为m,请用含m的代数式表示矩形PQNM的周长，并求矩形 PQNM的周长最大值. 题型四面积问题（共5小题） 16.(24-25九年级上·甘肃酒泉·期末)如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于A-1,0, B4,0,C0,-4三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点. ()求这个二次函数的解析式： (2)是否存在点P,使△POC是以OC为底的等腰三角形？若存在，求出P点坐标：若不存在，请说明理由： (3)动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标. 17.(24-25九年级上·甘肃武威期末)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象过点A3,0、C-1,0. (I)求二次函数的解析式： (2)如图，二次函数的图象与y轴交于点B,二次函数图象的对称轴与直线AB交于点P,求P点的坐标； (3)在第一象限内的抛物线上有一点Q,当△QAB的面积最大时，求点Q的坐标. 8/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A小名 18.(24-25九年级上·吉林长春·期末)在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx-3(b是常数)经过点 B3,0,抛物线与y轴相交于点A,点P在此抛物线上，其横坐标为m,该抛物线在A、P之间的部分（包 括A、P两点)记为图像G,过P作PQ⊥y轴，点Q的横坐标为4-m. (1)求该抛物线对应的函数表达式： (2)当m<0时，过点P作PM⊥x轴于点M,当PM=PQ时，求m值. (3)当图像G的最高点与最低点的纵坐标之差为4时，求m的取值范围. (4)若以AQ、PQ为邻边构造平行四边形AQPE,当平行四边形AQPE的面积被抛物线的对称轴分成1：9的 两部分时，直接写出m的值. 19.(24-25九年级上·湖南株洲期末)如图，抛物线y=x2+bx+c(b、c为常数)与x轴相交于点 A(-1,0)、B(3,0),与y轴相交于点C,其对称轴与x轴相交于点D,作直线BC. B D/Bx 备用图 ()求抛物线的表达式： (2)若点P为抛物线的顶点，求△PBC的面积： (3)若点P为直线BC下方抛物线上的一点，是否存在点P使△PBC的面积为最大？若存在，求出点P的 坐标；若不存在，请说明理由. 20.(24-25九年级上广东云浮·期末)如图，抛物线y=x2-mx+1-1. 9/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)试说明无论m为何值，抛物线y=x2-mx+1-1必经过某个定点. (2)若抛物线与x轴负半轴交于点Aa,0,与x轴正半轴交于点Bb,0,与y轴交于点C,且满足 a2+b2-ab=13. ①求m的值. ②抛物线上是否存在点P,使得SAACP-2S△AOC?若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由. 题型五角度问题（共5小题） 21.(24-25八年级下·重庆·期末)抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A-3,0和点B1,0,交y轴于点C. 图1 (1)求抛物线的表达式： ②如阁1。点P是桃物线1一动点，者5。c号5。四，求满是条什的点尸的坐标： (3)将抛物线沿射线AC方向平移得到新抛物线y,新抛物线y经过点C且与直线AC另一交点为点K,M为 新抛物线y上的一动点，当∠MKC=∠ACB时，请直接写出符合条件的点M的坐标. 22.（24-25九年级上·重庆渝中·期末)如图，一次函数y1=x-4与二次函数y2=ax2+bx+2交于点 A2,m和点B6,2. 10/17专题03 二次函数压轴类考点专练 题型1 抛物线与坐标轴的交点问题 题型5 角度问题 题型2 图形问题 题型6 特殊三角形问题 题型3 线段长度与周长问题 题型7 四边形的存在性问题 题型4面积问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 抛物线与坐标轴的交点问题（共5小题） 1．（24-25九年级上·重庆巫山·期末）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程一定有两个实数根 ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实数根 ③若二次函数的图象开口向下且，则方程一定有两个不相等的实数根 ④若是方程的一个根，则一定有成立 ⑤若一元二次方程的根为，则二次函数的对称轴为直线 其中正确结论的个数为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，二次函数和一元二次方程的关系；利用得到，则根据根的判别式的意义可对①进行判断；先由方程有两个不相等的实数解得到，再计算方程的根的判别式的值得到，则根据根的判别式的意义可对②进行判断；根据二次函数的性质得到，则，所以利用，则根据根的判别式的意义可对③进行判断；把代入方程得到，只有时，，从而可对④进行判断；利用一元二次方程的根为得到抛物线只有一个交点，，即抛物线的顶点在轴上，然后根据二次函数的性质得到二次函数的对称轴为直线，从而可对④进行判断． 【详解】解：当， ， ， 方程一定有两个实数根，所以①正确； 若方程有两个不相等的实根， ， 即， 对于方程， ， 方程必有两个不相等的实数根，所以②正确； 若二次函数的图象开口向下， ， ， ， ， 方程一定有两个不相等的实数根，所以③正确； 若是方程的一个根， ， 当时，，所以④错误； 若一元二次方程的根为， 抛物线只有一个交点，即抛物线的顶点在轴上， 二次函数的对称轴为直线，所以⑤正确． 故选：D． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）关于抛物线（m 是常数），下列结论正确的是（     ） ①若此抛物线与x 轴只有一个公共点，则； ②若此抛物线与坐标轴只有一个公共点，则； ③若点在抛物线上，则 ； ④无论m 为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于． A．②④ B．①③ C．②③ D．①④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，二次函数的对称性；①由求解即可判断；②由求解即可判断；③把抛物线解析式化为顶点式可得抛物线的对称轴为直线，再由二次函数的对称性求解即可判断；④根据题意可得抛物线的顶点坐标在直线上，设直线与轴交于点，过点A作直线于点B，求出，则即可判断． 【详解】解：①此抛物线与x 轴只有一个公共点， ， 解得：， 故①不正确； ②此抛物线与坐标轴只有一个公共点， ， 解得：， 故②正确； ③抛物线， 对称轴为直线， ，， ， 故③不正确； ④抛物线， 抛物线的顶点为：， ∴抛物线的顶点坐标在直线上， 直线 直线， 如图，设直线与轴交于点，过点A作直线于点B，则， 当时，，解得：， ， 是等腰直角三角形， ， 抛物线的顶点到直线的距离都等于， 故选：． 3．（24-25九年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，，，三点都在抛物线上．若，则的取值范围是 ；若无论取任何实数，点，，中都至少有两个点在轴的下方，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据抛物线的解析式求出开口方法和对称轴，根据抛物线的性质可得、在对称轴的左侧，在对称轴的右侧，且点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，据此列出不等式，即可求出的取值范围；根据题意可得当抛物线与轴没有交点或只有一个交点时，无论取任何实数，点，，中都至少有两个点在轴的下方，结合抛物线的顶点坐标可得，求出，当抛物线与轴有两个交点，且两个交点的距离小于时，无论取任何实数，点，，中都至少有两个点在轴的下方，结合一元二次方程的性质求出，据此列出不等式，求出，即可得出的取值范围． 【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴是直线， 即点到对称轴距离越大，其函数值越小； ∵， ∴、在对称轴的左侧，在对称轴的右侧，且点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， 即， 解得：． ∵， 即抛物线的顶点坐标为； ∵抛物线无论取任何实数，点，，中都至少有两个点在轴的下方， 故当抛物线与轴没有交点或只有一个交点时，无论取任何实数，点，，中都至少有两个点在轴的下方， 此时， 即； 当抛物线与轴有两个交点，且两个交点的距离小于时，无论取任何实数，点，，中都至少有两个点在轴的下方， 设抛物线与轴交点横坐标为、， ∴，， 故， ∵， 即， 解得：， 综上，． 故答案为：，． 4．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）抛物线（为常数）经过三点，与轴的交点在正半轴．下列结论：①；②；③抛物线与直线的一个交点的横坐标为，若，则；④当时，则方程必有两个不相等的实数根．其中正确的是 （填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据题意求出a的取值范围，b的值，结合图形开口，对称轴直线，增减性即可判断①②；先求出直线经过定点，再进行判断③；将方程的解的个数转化为抛物线与直线 的交点的个数，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线与轴的交点在正半轴， ∴，即， 解得，， ∴抛物线图象开口向下， ∵抛物线过点， ∴，整理得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，，， ∵抛物线与x轴的交点为， ∴， ∵， ∴，即， ∵当时，，当时，，抛物线开口向下，抛物线的对称轴直线为， ∴， ∴，故结论①正确； ∵，故结论②正确； ∵， ∴直线经过定点， ∵抛物线经过点， ∴抛物线与直线的一个交点的横坐标为，即， ∵， ∴抛物线与直线在时有交点， 当时，，， ∴， ∴， ∵， ∴不一定成立，故结论③错误； ∵， ∴， ∴，即抛物线与直线的交点的个数即为方程的解的个数， ∵， ∴抛物线开口向下，， ∴抛物线与直线有两个交点， ∴方程必有两个不相等的实数根，故结论④正确． 综上所述，正确的结论是①②④， 故答案为：①②④． 5．（24-25九年级上·北京西城·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，其中，抛物线经过点和，以下四个结论： ①；②；③关于的一元二次方程无实根；④点，在抛物线上且在对称轴的同侧，当时，总有时，则．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，对称轴，数形结合法，抛物线与轴的交点，二次函数与一元二次方程的联系，一元二次方程的根的判别式，熟练掌握二次函数的性质和二次函数与一元二次方程的联系是解题的关键． ①根据题中二次函数的图像判断开口方向，，以及抛物线与轴的交点，可判断的符号，进而可判断； ②由二次函数的图象知：当时，，；当时，，两式相加，化简可得 ③一元二次方程的判别式 ，结合的关系与符号，进而可判断； ④设，且在对称轴右侧（在左侧同理），则， ，结合的关系与符号，进而可判断． 【详解】通过读图： ①因为，所以抛物线开口向上， 对称轴，由于，即对称轴， 可得， 抛物线与轴交于负半轴，所以， 综上，，结论①错误； ②： 二次函数的图象与轴交于由图可知， 又 ， ， 由二次函数的图象可知： 当时，  ， 当时，， 两式相加，化简可得，结论②正确； ③一元二次方程的判别式 ， 因为，所以， 由，可得，所以 ，方程有两个不相等的实根， 结论③错误； ④设，且在对称轴右侧（在左侧同理）， 则， ， ， ， ， ， ， （在对称轴右侧）， ， 又 ， ， 即 ，结论④正确． 综上，正确结论的序号是：②④． 题型二 图形问题（共5小题） 6．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，将与正方形按如图所示的方式摆放，边在直线上，，以的速度沿着方向运动，初始时点G与点B重合，当点F与点C重合时停止运动．在运动过程中，与正方形重叠部分面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（      ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查动点函数图象问题，分3种情况，分别求出函数解析式，进行判断即可． 【详解】解：由题意，当点与点重合时：，当点与点重合时：，当点与点重合时：， ∴当时，如图，重叠部分为梯形， 由题意，得：是等腰直角三角形， ∴， 则：，， ∴； 此时函数图象为开口向下的抛物线的一部分； 当时，如图，重叠部分为， ∴， 此时图象为平行于轴的直线的一部分； 当时，如图，重合部分为的面积， 此时， ∴， 此时图象为开口向上的抛物线的一部分； 综上，符合题意的只有选项A； 故选A． 7．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图1，在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿的方向匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为，当点由点运动到点A时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，则由图象可知线段的长为（   ） A．7 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数图象、二次函数的应用、求二次函数解析式、勾股定理等知识点，求得抛物线的解析式成为解题的关键． 在中，，，则，再求得的长，然后用待定系数法求得函数解析式，易得，最后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：在中，，，则． 当时，，解得∶（负值已舍去）， ， 抛物线经过点．由图象知抛物线顶点为． 设抛物线解析式为， 将代入，得，解得， ． 当时，，解得或（舍去）， ． 在中，由勾股定理得． 故选D． 8．（24-25九年级上·山东聊城·期末）如图，在四边形中，，，，．点E由B出发，沿折线向D运动，，垂足为M，，垂足为N，设，矩形的面积为y，那么y与x间的函数关系的图象大致是（    ） A． B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数和二次函数的应用，结合实际问题与图象解决问题．分两种情况：点E在未到达C之前或点E到达C之后，利用面积列出二次函数和一次函数解析式，利用面积的变化选择答案． 【详解】解：当点E在未到达C之前， 作于点H，   ， ， 四边形是矩形， ，， ， 点E在未到达C之前，， ，，， ， ， 且，当x从0变化到3时，y逐渐变大，当时，y有最大值，当时，y逐渐变小； 当点E到达C之后，如下图：   ， ， 综上所述，y与x间的函数关系的图象符合的只有A， 故选：A． 9．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，和是全等的等腰直角三角形，，与在直线l上，开始时C点与E点重合，直到B点与F点重合为止．设和的重叠部分（即图中阴影部分）的面积为，的长度为，则y与x之间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，用到的知识点是等腰直角三角形的性质及面积的求法、二次函数的图象，关键是根据题意求出y与x之间的函数关系式，要注意x的取值范围． 根据△ABC和△DEF是全等的等腰直角三角形，得出和的重叠部分也是等腰直角三角形，再根据当沿直线ɭ 自点E向右平移到点F，分和两种情况求出重叠部分的面积，即可得出答案． 【详解】解：∵和是全等的等腰直角三角形， ∴和的重叠部分也是等腰直角三角形， 当沿直线ɭ 自点E向右平移到点F，即时， 和的重叠部分的面积yx2， 当时，和的重叠部分的面积， 则y与x之间的函数图象大致是C． 故选：C． 10．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在矩形中，，点M，N同时从点A出发，点M以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C→D的方向运动，点N以每秒1个单位长度的速度沿A→D→C的方向运动，当M、N两点相遇时，它们同时停止运动．设M，N两点运动的时间为t秒，的面积为S（平方单位），则的面积S与运动时间t之间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． E． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的几何动点，一次函数，函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键．读懂题意，则进行分类讨论，即当时，当时，当时，点M在线段上，分别根据面积公式列式化简，得，即可作答． 【详解】解：∵在矩形中，，且点M，N同时从点A出发，点M以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C→D的方向运动，点N以每秒1个单位长度的速度沿A→D→C的方向运动， ∴（秒），（秒）， ∴当时，点M在线段上，点N在线段上， ∴， 此时它是开口向上的二次函数， 如图，当时，点M在线段上，点N在线段上， ∴ ． ∴；， 此时它是开口向下的二次函数， 依题意，（秒）， ∴点P、Q从出发到相遇所用的时间是4秒， ∴当时，点M在线段上，点N在线段上， ∴， ∴， 此时随着的增大而减小的一次函数， 综上，． 故选：D． 题型三 线段长度与周长问题（共5小题） 11．（25-26九年级上·重庆·期末）如图1，已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，P为线段下方抛物线上的一个动点，过点P作轴交于点M，作轴交y轴于点N，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图3，连接、，在抛物线上是否存在一点Q，使得，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为4，此时 (3)存在，或 【分析】本题考查了二次函数的综合应用． （1）利用抛物线经过的点以及对称轴的信息，通过解方程组求出抛物线的解析式； （2）先求出直线的解析式，再设出点P的坐标，进而表示出与的长度，得到关于点P横坐标的函数表达式，根据二次函数的性质求出最大值； （3）分点Q在上方和下方两种情况，通过构造全等三角形，利用全等三角形的性质以及角度关系来确定点Q的坐标． 【详解】（1）解：∵已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为，且抛物线对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：∵A点的坐标为，且抛物线对称轴为直线， ∴， 当，， ∴， 设直线解析式为：， ∴， 解得 ∴直线表达式为：， 设， 则由题意得：， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值为4，此时． （3）解：①当Q点位于上方时，在上取一点D，使得，连接并延长交抛物线与点Q， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴此时使得， ∵， ∴ ∵， 同上可求直线得解析式为， 联立，解得：或， ∴； ②当Q点位于下方时，如图，作轴，作于点F，与抛物线的交点为E，连接， ∵， ∴当时，， 解得：或， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 则点E与点Q重合， ∴， 综上所述：或． 12．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，点D为直线下方抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点D作y轴的平行线，交于点P，小明认为当点D为抛物线顶点时，此时最大，试判断小明的说法是否正确，并说明理由． (3)求三角形面积的最大值． 【答案】(1) (2)不正确，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了用待定系数法求函数表达式，二次函数图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解决本题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，进而求出直线的解析式，设，则，则，由此即可求出答案； （3）根据求出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象与x轴交于，两点， ∴抛物线解析式可设为， 即， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：小明的说法不正确． 理由如下： ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，，则， 设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴当，最大， 而抛物线的顶点坐标为， ∴小明的说法不正确． （3）解：由（2）知， ∴ ， ∴当，最大，最大值为． 13．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过原点和点．经过点A的直线与该二次函数图象交于点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的解析式及点C的坐标； (2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线上方时，过点P作轴于点E，与直线交于点D，设点P的横坐标为m．m为何值时线段的长度最大，并求出最大值． 【答案】(1)， (2)当m时，PD是最大值 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求出二次函数和直线解析式，然后令，求出y，即可求出C的坐标； （2）设，根据P、D的坐标求出长，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数经过，，， ∴将三点坐标代入解析式得， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∵直线经过A、B两点，设直线解析式为， ∴将A、B两点代入得， 解得， ∴直线解析式为， ∵点C是直线与y轴交点， ∴令，则， ∴． （2）解：∵点P在直线上方， ∴， 由题知，， ∴， ∵， ∴当时，是最大值． 14．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，抛物线的图象与x轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，点为抛物线的顶点．点的坐标为，点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点为线段上一点（点不与点、重合），过点M作x轴的垂线，与直线交于点E，与抛物线交于点P，过点P作交抛物线于点Q，过点Q作轴于点N．若点P在点左边，当矩形的周长最大时，求的面积； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）设点的坐标为，则点P的坐标为，结合二次函数对称性得到点Q的坐标为，点N的坐标为，利用表示出矩形的周长，即可推出当矩形的周长最大时，的值，利用待定系数法求出直线的解析式，得到点E的坐标，再利用三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】（1）解：由题知，抛物线的图象过点，， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设点的坐标为， 则点P的坐标为， 抛物线的对称轴为直线，， 点Q的坐标为， 点N的坐标为， 则矩形的周长 ， ， 当时，矩形的周长最大，最大值为， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 则有，解得， 直线的解析式为， 则点E的坐标为， ， 的面积为． 15．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，抛物线的图象与x 轴交于、B两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)若点E在抛物线上，且，求点E 的坐标； (3)点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作轴于M，过点P作交抛物线于点Q，过点Q作轴于点N．设点P的横坐标为m，请用含m的代数式表示矩形的周长，并求矩形的周长最大值． 【答案】(1)； (2)， (3)；10 【分析】本题考查了二次函数的综合运用,待定系数法求解析式,面积问题,线段周长问题,正确记忆超过知识点是解题关键. （1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据三角形的面积公式求得E点的横坐标为，即可求解； （3）根据对称轴为直线，设M点的横坐标为m，则，表示出矩形的周长，然后根据二次函数的性质求得最值，即可求解． 【详解】（1）解：将代入解析式得，解得 抛物线的解析式为 ， ∵， ∴顶点D得坐标为． （2）解：将代入， 得，解得，， ． ， 点得横坐标为． 时，， 时，， ，； （3）解：由抛物线可知对称轴为， 点P的横坐标为m，轴， M点横坐标为m， 则， , ∴矩形的周长 ∴当时，矩形的周长最大值为10． 题型四 面积问题（共5小题） 16．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于，，三点，点P是直线下方抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)是否存在点P，使是以为底的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由； (3)动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为 (3)点坐标为 【分析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想等知识． （1）由、、三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）由题意可知点在线段的垂直平分线上，则可求得点纵坐标，代入抛物线解析式可求得点坐标； （3）过作轴，交轴于点，交直线于点，用点坐标可表示出的长，则可表示出的面积，利用二次函数的性质可求得面积的最大时点的坐标． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为，把，，三点坐标代入可得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：存在，理由如下： 作的垂直平分线，交于点，交下方抛物线于点，如图1， ，此时点即为满足条件的点， ∵， ， 点纵坐标为， 代入抛物线解析式可得，解得（小于0，舍去）或， ∴存在满足条件的点，其坐标为； （3）解：由题意可设， 过作轴于点，交直线于点，如图2， 设直线解析式为，则有： ，解得：， ∴直线解析式为， ， ， ， ∴当时，最大值为8，此时， ∴点坐标为． 17．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）已知二次函数的图象过点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图，二次函数的图象与y轴交于点B，二次函数图象的对称轴与直线交于点P，求P点的坐标； (3)在第一象限内的抛物线上有一点Q，当的面积最大时，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数的性质、二次函数与面积的综合等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）将A、C的坐标代入函数解析式，解方程组求出b、c的值即可得到函数的解析式； （2）先求得二次函数的对称轴，令求出B点坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，再在直线解析式中令即可求得点P坐标； （3）设，的面积为S，连接，则，用含m的代数式表示S，然后利用二次函数的最值即可求出点Q的坐标即可． 【详解】（1）解：把点代入中， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为， 在中，当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． （3）解：∵，， ∴， 设，的面积为S，连接， 则， ， ， ∴当时S最大，此时， ∴． 18．（24-25九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点，抛物线与轴相交于点，点在此抛物线上，其横坐标为，该抛物线在、之间的部分（包括、两点）记为图像，过作轴，点的横坐标为． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)当时，过点作轴于点，当时，求值． (3)当图像的最高点与最低点的纵坐标之差为4时，求的取值范围． (4)若以、为邻边构造平行四边形，当平行四边形的面积被抛物线的对称轴分成的两部分时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）先将点带入（是常数）再计算求解即可； （2）先确定点坐标，再分析线段和的长度，根据求解即可； （3）先明确图像的范围、抛物线的性质，再分析图像上的最高点和最低点，最后根据纵坐标之差为4求解的取值范围； （4）根据点、的相对位置分2种情况讨论，画出示意图，再利用图形的面积公式列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线（是常数）经过点， ∴， 解得， ∴该抛物线对应的函数表达式为． （2）解：∵轴且点的横坐标为， ∴， ∴， ∵轴于点， ∴， ∵， 当时， ， ∴， ∵轴且点的横坐标为， ∴， 当时， ， ∴， 当时， ， 解得：， ∵， ∴． （3）解：∵抛物线与轴相交于点， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知， ∵，且， ∴二次函数开口向下，顶点坐标为， ∵抛物线在、之间的部分（包括、两点）记为图像， 当时，， ①当， ∵图像的最高点与最低点的纵坐标之差为4， ∴， 解得：（不符合，舍去）； ②当时， ∵顶点在图像内， ∴最高点为顶点， 当时，，最低点为，差为，满足条件， 当时，，最低点为，差大于4，不满足条件； 当时，， 在时，随的增大而增大， 最高点：（右端点，最大）， 最低点：（左端点，最小）， ∴（）， 解得：， 综上，或． （4）解：由题意得，，， ∵， ∴关于直线对称， 即关于抛物线的对称轴对称， 设直线的解析式为， 代入和，得， 解得：， ∴直线的解析式为， ①当时，点在点的左侧， 设抛物线的对称轴分别交、于点、， 则，，， ∴，， ∵平行四边形的面积被抛物线的对称轴分成的两部分， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍去）或或（舍去）， ∴； ②当时，点在点的右侧， ∵平行四边形， ∴，， ∴， 同理可得，直线的解析式为， 当，即时， 设抛物线的对称轴分别交、于点、， 则，， ∴，， ∵平行四边形的面积被抛物线的对称轴分成的两部分， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍去）或， ∴； 当，即时， 设抛物线的对称轴分别交、于点、， 则，， ∴，， ∵平行四边形的面积被抛物线的对称轴分成的两部分， ∴梯形与梯形的面积之比为或， ∴或， ∴或， 解得：（舍去）或（舍去）； 综上，的值为或． 19．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）如图，抛物线（b、c为常数）与x轴相交于点、，与y轴相交于点C，其对称轴与x轴相交于点D，作直线． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P为抛物线的顶点，求的面积； (3)若点P为直线下方抛物线上的一点，是否存在点P使的面积为最大？ 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在， 【分析】本题考查了待定系数法、二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键． （1）把、两点坐标代入抛物线解析式，可求得、的值，可求得抛物线解析式； （2）由抛物线解析式可求得、的坐标，可求得直线解析式，设对称轴交直线于点，则可求得点坐标，可求得的长，则可求得的面积； （3）设，则，，根据列出关系式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：抛物线、为常数）与轴相交于点、， ， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：， ，且， 设直线解析式为，则有， 解得， 直线解析式为， 设对称轴交于点，则， ， ； （3）解：设，则， ∴， ， ∴当时，的面积最大，此时点P的坐标为． 20．（24-25九年级上·广东云浮·期末）如图，抛物线． (1)试说明无论为何值，抛物线必经过某个定点． (2)若抛物线与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴交于点，且满足． ①求的值． ②抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)说明见解析 (2)①；②存在，点的坐标为或 【分析】（）把代入函数解析式得，即可说明； （）①由题意可知，，可得，即可求出点的坐标，进而求解的值；②连接，在轴上取点，使得，过点作，交抛物线于点，可得，把代入求出点的坐标，求出直线的解析式，进而求得直线的表达式，最后联立函数解析式即可求解； 本题考查了待定系数法，二次函数的几何应用，二次函数与一次函数的交点问题，求出二次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， ∴无论为何值，抛物线必经过定点； （2）解：①由题意，知，， ∵抛物线必经过定点 ∴， ∵， ∴， 解方程，得（舍去），， ∴点的坐标是， 把点代入，得， 解得； ②∵， ∴抛物线的解析式是． 如图，在轴上取点，使得，过点作交抛物线于点， 则， ∵点的坐标是， ∴点的坐标是． 把代入，得， ∴点的坐标是， 设直线的解析式是． 则， 解得， ∴直线的解析式是， 设直线的解析式是， 把点代入，得， ∴直线的解析式是 联立函数式得， 解得或， ∴抛物线上存在点，使得，点的坐标是或． 题型五 角度问题（共5小题） 21．（24-25八年级下·重庆·期末）抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是抛物线上一动点，若，求满足条件的点P的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线经过点C且与直线另一交点为点K，M 为新抛物线上的一动点，当时，请直接写出符合条件的点M的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，计算可得，求出直线的解析式为，作轴交于，设，则，求出，表示出，结合，可得，计算即可得解； （3）求出直线的解析式为，由（2）可得，直线的解析式为，令将抛物线向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到新抛物线，求出新抛物线，联立，求得，分两种情况：当点位于直线的下方时，此时；当点在直线的上方时，作点关于直线的对称点，连接交新抛物线于；分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于点和点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，，即， ∴， ∵点，点， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，作轴交于， ， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理可得：或 解可得：或，对应的的坐标为或， 解可得无实数根， ∴点的坐标为或 ，点P是抛物线上一动点，若， （3）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 由（2）可得，直线的解析式为， ∵将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线， ∴令将抛物线向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到新抛物线， ∵抛物线的解析式为， ∴， ∵新抛物线经过点C， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴新抛物线， 联立， 解得：或， ∴， ∵M 为新抛物线上的一动点，且， ∴当点位于直线的下方时，如图， ， 此时， ∴设直线的解析式为， 将代入解析式可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：（不符合题意，舍去）或， 此时； 如图，当点在直线的上方时，作点关于直线的对称点，连接交新抛物线于， ， 由轴对称的性质可得：，，的中点在直线上， ∴， 设，则， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：（不符合题意，舍去）或， 此时； 综上所述，点的坐标为或． 22．（24-25九年级上·重庆渝中·期末）如图，一次函数与二次函数交于点和点． (1)求二次函数的解析式； (2)点P为直线下方抛物线上一动点，轴交于点M，，垂足为N，求的最大值，及此时点P的坐标； (3)将二次函数图象向某个方向平移，平移后（2）中求得的点P的对应点为，且新抛物线与x轴交于E，F两点（点E在点F的左侧），交y轴于点G．H为新抛物线位于第四象限上的一动点，过H作轴，垂足为K，连接．若，直接写出新抛物线的解析式和点H的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时，点 (3)， 【分析】（1）根据题意，先得到，把点，代入二次函数解析式，运用待定系数法即可求解； （2）如图所示，设直线分别与x、y轴交于点T、R，可得是等腰直角三角形，由平行线的性质可得是等腰直角三角形，，设点，则点，所以，当时，有最大值，最大值为，由此即可求解； （3）根据题意可得，图象向左平移2个单位，向下平移2个单位，则得到平移后二次函数解析式，根据二次函数与坐标轴的交点可得，如图所示，设与y轴交于点W，可得，设设，则，由勾股定理可得，则可得点，联立直线与二次函数可得点H的坐标，由此即可求解． 【详解】（1）解：把点代入一次函数，则， ， 把，代入二次函数表达式， 得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：如图所示，设直线分别与x、y轴交于点T、R， 一次函数，当时，；当时，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 轴， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 点P为直线下方抛物线上一动点， 设点，则点， 则， 则 ， 当时，有最大值，最大值为， ， 此时，点； （3）平移后（2）中求得的点P的对应点为， 则函数向左平移2个单位向下平移2个单位， 则新抛物线的表达式为： ， 当时，，则， 当时，， ， ， 如图所示，设与y轴交于点W， 轴， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 解得：， ， 设直线的解析式为，把代入， ， 解得：， 直线的解析式为， ， 解得：，（不合题意舍去）， 在第四象限， ． 23．（24-25九年级上·山东滨州·期末）如图①，抛物线与轴交于和点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的面积是面积的时，求点的坐标； (3)如图②，点是在直线上方的抛物线上一动点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求解的面积是，设直线解析式为，可得直线解析式为，设，则，求解，可得，再进一步即可求出结果； （3）设直线交轴于，证明，求得D的坐标，同理得直线解析式为，联立方程组，解方程组即可得出答案． 【详解】（1）解：把，代入中得， ， ， 抛物线解析式为； （2）解：在中， 当时， ， 如图，连接， ，，， ∴， ∵的面积是面积的， ∴的面积是， 设直线解析式为， ， 直线解析式为， 设，则， ． ∴， 解得：， 此时； （3）解：如图，设直线交轴于， ，，， ， ， ， 同理可得：直线解析式为． 联立， 解得或（不符合题意舍去）， ． 24．（24-25九年级上·天津·期末）如图，抛物线，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为，点B坐标为． (1)求此拋物线的函数解析式． (2)点P是直线上方拋物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为点E，求的最大值，及此时P点的坐标． (3)点M为该拋物线上的点，当时，请直接写出满足条件的点M的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为，点的坐标为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）直接利用抛物线的交点式可得抛物线的解析式； （2）先求解，及直线为，设，可得，再建立二次函数求解即可； （3）如图，以为对角线作正方形，可得，与抛物线的另一个交点即为，如图，过作轴的平行线交轴于，过作于，则，设，则，求解，进一步求解直线为：，直线为，再求解函数的交点坐标即可. 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． ∴； （2）解：当时，， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 设， ∴， ∴ ； 当时，有最大值； 此时； （3）解：如图，以为对角线作正方形， ∴， ∴与抛物线的另一个交点即为， 如图，过作轴的平行线交轴于，过作于，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴, ∴， 由可得： ∴， 解得：， ∴， 设为：， ∴，解得：， ∴直线为：， ∴， 解得：或， ∴， ∵，，，正方形， ∴， 同理可得：直线为， ∴， 解得：或， ∴， 综上：点的坐标为或. 25．（24-25九年级上·广东湛江·期末）如图所示，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是轴正半轴上一动点，过点作轴于点，交直线于点，交抛物线于点，连结． ①当点在线段上时，若与相似，求点的坐标； ②若，求出的值． 【答案】(1) (2)①点的坐标为或；②的值为或5 【分析】（1）把代入求出一次函数解析式，则的坐标为，再把代入中即可求出抛物线的解析式． （2）①求出，根据，求出，，结合轴，求出，设，则，，分为当和当，分别求解即可；②求出直线的解析式，分为当点P在x轴上方时，如图，连接，延长交x轴于N，证明，求出，从而求出直线的解析式，即可求解．当点P在x轴下方时，得出，全等三角形的性质求出，求出直线的解析式即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：， 故， 则的坐标为， 把代入中 得， 解得：， ∴抛物线的解析式的为：． （2）解：①∵， 令，则，解得：或3， ∴， 又∵， ∴，，， 又轴， ， ， ， ∵， ∴，， ， 当，即时，， 解得：（舍去）或， 故； 当，即时，， 解得：（舍去）或， 故， 综上，或． ②∵点，， 设直线的解析式为：， 则，解得：， ∴直线的解析式为：， 当点P在x轴上方时，如图，连接，延长交x轴于N， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为：，则，解得：， ∴直线的解析式为：， ， 解得：（舍去）； 当点P在x轴下方时，如下图所示： ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为：，则，解得：， ∴直线的解析式为：， ， 解得：（舍去）； 综上所述，的值为：或5． 题型六 特殊三角形问题（共5小题） 26．（24-25九年级上·湖北恩施·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且关于直线对称． (1)求线段的长； (2)当时，求的取值范围； (3)如图，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，试证明：为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（）根据对称性求出点的坐标，即可求出的长； （）利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出函数的最大值及最小值即可求解； （）分别过作直线的垂线，垂足为，可证，得到，，即得，又可得，即得到，可得，即可求证； 本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，对称轴为直线， ∴, ∴， 即线段的长为； （2）解：由题意得，， 解得， ∴抛物线， ∵， ∴当时，取最大值，， 又∵当时，， ∴当时，的取值范围为； （3）证明：如图，分别过作直线的垂线，垂足为， 则， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 即为定值． 27．（24-25九年级上·广西梧州·期末）如图，已知抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，试求面积的最大值； (3)点E是线段上异于B，C的动点，过点E的直线轴于点N，交抛物线于点M．当为直角三角形时，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式、求二次函数的最值、等腰直角三角形的判定，二次函数的性质等知识点，正确用坐标差表示线段的长是解题的关键． （1）将点代入关系式求得a、b的值即可解答； （2）如图1：过点P作轴，垂足为M，交于点D，设点P的横坐标为m，则，求出，再根据二次函数的最值即可； （3）分和两种情况，分别根据等腰直角三角形的性质以及二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴相交于两点， 则，解得：， ∴抛物线的关系式为． （2）解：∵抛物线与y轴相交于点C，即当时，， ∴点． 设直线的关系为， 将点B，点C的坐标分别代入得： ，解得：， ∴． 如图1：过点P作轴，垂足为M，交于点D， 设点P的横坐标为m，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，的最大值为． （3）解： 如图2，当时，轴， ∴点C与点M关于对称轴直线对称， ∴点． 如图3，当，过点M作轴，垂足为F， ∵， ∴， ∴， ∴． 设，则点， ∴，解得：（不合题意，舍去），， ∴点． 综上所述，点M的坐标为或． 28．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点． (1)求线段的长； (2)若点是抛物线上，两点之间的一个动点（不与点，重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点． （ⅰ）当线段的长有最大值时，求点的坐标； （ⅱ）过点作交抛物线于点，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ） ；（ⅱ）或． 【分析】本题为二次函数综合运用题，涉及到一次函数、二次函数的性质，等腰三角形的性质． （1）由待定系数法求出抛物线表达式，进而求解； （2）（Ⅰ）由题意知点的坐标为，点的坐标为，即可求解； （Ⅱ）由得到当时，为等腰直角三角形，再根据点在对称轴右侧或左侧分情况讨论，分别画出图形求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线， ， 解得， 抛物线的解析式为． 令，得，解得，， ，， ； （2）解：（ⅰ）由（1）知抛物线的解析式为． 令，得， ． 设直线的解析式为， 将，代入，得 解得， 直线的解析式为， 由题意知点的坐标为，点的坐标为， ， 当时，线段的长有最大值， 此时， 点的坐标为； （ⅱ）， ， 即当时，为等腰直角三角形． ①如图1，点在对称轴右侧． ，轴，抛物线的对称轴是直线，点的横坐标为， ． 由（ⅰ）知， ， 解得或（不合题意，舍去）， ； ②如图2，点在对称轴左侧． ，轴，抛物线的对称轴是直线，点的横坐标为， ． 由（ⅰ）知， ， 解得或（不合题意，舍去）， ． 存在，的值为或． 29．（24-25九年级上·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到新抛物线，点为新抛物线上一点． (1)直接写出平移后新抛物线的表达式； (2)当时，记新抛物线与原抛物线组成的图象为，过点作轴的垂线，若直线与图象只有一个交点，求的取值范围； (3)若点在原抛物线上的对应点为，连接，当为直角三角形，且为直角边，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，抛物线的平移，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据函数图象的平移规律可得新抛物线的表达式为； （2）画出图象C的示意图，仔细观察图象即可求解； （3）分两种情况∶①当时，构造三垂直模型利用三角函数即可列比例式求解∶②当时，构造三垂直模型利用三角函数即可列比例式求解． 【详解】（1）解∶将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移4个单位， 根据平移规律：上加下减，左加右减，可得新抛物线的解析式为：； （2）解∶根据题意，画出图象如下： 由，可得顶点坐标， 根据图象可得： ①当点与顶点重合时， 直线与图象只有一个交点，此时 ②设与轴相交于点，令，得， 当直线经过点时，记直线与新抛物线的另一交点为， 根据对称性得 记新抛物线与正半轴的交点为，令，求得 （舍去）即由图可知，当时，直线与图象只有一个交点综上，的取值范围是或； （3）解∶①当时，由图象可知，此时点在第一象限， 理由：由平移可知知点在轴上方，即在第一象限， 过点作轴于点于点，由平移，得， ， ， ，， ， ， 因为点，得，即， 又点在上， 得到， 即，解得（舍去）， 所以，即点； ②当时，过点作轴于点于点，由平移，得，同①可证明， ，， 设，得， 又点在上，得到， 即，解得（舍去）， 所以，即点， 根据平移得， 综上或． 30．（24-25九年级上·四川德阳·期末）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求b，c，m的值； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把，代入，解二元一次方程组即可得b，c的值，令即可得m的值； （2）设，则，表示出四边形的周长，根据二次函数的最值即可求解； （3）过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K，证明，再求解，求解直线的解析式为： 可得 设，再利用勾股定理表示，，，再分两种情况建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 解得． ∴这个抛物线的解析式为：， 令，则， 解得，， ∴， ∴； （2）解：∵抛物线的解析式为； ∴对称轴为， 设， ∵轴， ∴， ∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的周长 ∵ ∴当时，四边形的周长最大，则， ∴当四边形的周长最大时，点D的坐标为； （3）解：过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K， ∴， 由翻折得， ∵． ∴， ∴， ∵对称轴于H， ∴轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线的解析式为：， ∴对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为： ∴， 设， ∴，，， 分两种情况： ①当时，， ∴ 解得：， ∴； ②当时，， ∴ 解得：， ∴点的坐标为； 综上，所有符合条件的点P的坐标为或． 题型七 四边形的存在性问题（共3小题） 31．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧)，直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2． (1)求A、B 两点的坐标及直线的函数表达式； (2)P是线段上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值； (3)点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)，， 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及到了待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的判定、二次函数的性质等重要知识点，综合性强，解答本题的关键是要求学生掌握分类讨论，数形结合的数学思想方法，此题有一定的难度． (1)因为抛物线与x轴相交，所以可令，解出A、B的坐标．再根据C点在抛物线上，C点的横坐标为2，代入抛物线中即可得出C点的坐标．再根据两点式方程即可解出AC的函数表达式； (2)根据P点在上可设出P点的坐标．E点坐标可根据已知的抛物线求得．因为PE都在垂直于x轴的直线上，所以两点之间的距离为，列出方程后结合二次函数的性质即可得出答案； (3)此题要分两种情况：①以为边，②以为对角线．确定平行四边形后，可直接利用平行四边形的性质求出F点的坐标． 【详解】（1）解：令，得 ， 解得或， ∴， 将C点的横坐标代入得 ， ∴， ∴设直线的函数解析式为，将，分别代入，得 ，解得， ∴直线的函数解析式是； （2）设P点的横坐标为， 则P、E的坐标分别为，， ∵P点在E点的上方， ∴， 由，对称轴，抛物线开口向下， ∴当时，PE的最大值为； （3）(3)存在4个这样的点F，分别是，． ①如图1， 连接C与抛物线和y轴的交点， ∴轴， ∴，， ∴F点的坐标是； ②如图2， ，A点的坐标为， ∴F点的坐标为； ③如图3， 此时C，G两点的纵坐标互为相反数， ∴G点的纵坐标为3，代入抛物线中，得 ， 解得（不符合题意，舍去）， ∴G点的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴直线与x轴的交点F的坐标为； ④如图4， 同③可求出F的坐标为， ∴符合条件的F点共有4个，为，，． 32．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，拋物线的对称轴与交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，将拋物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，为直线=1上一个动点，在平面内是否存在一个点，使得以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)点坐标为或． 【分析】（1）利用二次函数的顶点式运算求解即可； （2）求出直线的解析式，过点作轴交对称轴于点，过点作轴交直线于点，分别表达出，，的坐标，再利用三角形面积公式列式运算即可； （3）设点关于直线的对称点为，利用折叠和等腰三角形的性质求得．设，求得，，，从而得出，求得n的值，进一步得出结果． 【详解】（1）解：∵拋物线的顶点的坐标为， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在，理由如下： 由（1）知抛物线的解析式为， 令，则， ∴， 设直线的解析式为，代入和可得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴与交于点， ∴把代入可得：， ∴， ∴， 过点作轴交对称轴于点，过点作轴交直线于点，如图所示： 设点G的坐标为，则，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴； （3）解：由（2）知，，又， ∴， 设点关于直线的对称点为，如图所示， 则，， ∵， ∴， ∴， 即是等腰直角三角形， ∴， 由抛物线的对称性可知，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵是以B、E、M、N为顶点的矩形的对角线， ∴， 设， ∵，，， ∴， ∴或， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上所述：点坐标为或． 33．（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，点，与轴交于点，点的坐标为，点是抛物线上一个动点． (1)求二次函数解析式； (2)若点在第一象限运动，过点作轴于点，与线段交于点，当点运动到什么位置时，线段的值最大？请求出点的坐标和的最大值； (3)连接，，并把沿翻折，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为，的最大值为 (3)存在，或 【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、二次函数图象与面积问题、二次函数与特殊四边形等知识，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出直线的解析式为，设，则，表示，可知当时，取得最大值，最大值为，此时，，即可求解坐标以及面积最大值； （3）根据菱形的对角线垂直且互相平分即可求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， 二次函数的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为， 设，则， ∴ ， 当时，取得最大值，最大值为， 此时， 点的坐标为，的最大值为； （3）解：存在．如图， 设点，交于点，若四边形是菱形，连接，则，， ， 解得， 或． 34．（24-25九年级上·山西大同·期末）综合与探究：如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)点是直线下方的抛物线上一动点，连接，，，当四边形的面积最大时，求点的坐标． (3)点是抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）根据待定系数法求抛物线解析式； （2）过点作轴于点，交于点．设，则， ，，进而根据二次函数的性质求得取得最大值时，的值，进而求得点的坐标； （3）分情况讨论，根据抛物线的性质以及平行四边形的性质先求得的坐标进而求得点的坐标． 【详解】（1）将，分别代入， 得 解得 该抛物线的表达式为． （2）对于，令，则， ， 可设直线的表达式为， 将代入， 得，解得， 如图（1），过点作轴于点，交于点． 设，则， ． ，，， ，，， ， ，， 当时，取最大值，最大值为， 此时点的坐标为． （3）存在．点的坐标为或或或． 设，． ，． 如图（2），①当为平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式，可得 解得（舍去）或 ，． ②当为平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式，可得 解得或 ，或， ． ③当为平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式，可得 解得（舍去）或 ，． 综上所述，点的坐标为或或或． 35．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图1，若二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)面积的最大值为此时 (3)存在点或或或 【分析】（1）把和代入求解即可; （2）先解得直线的解析式为，设，，得到的的值，当时，最大，进而根据三角形的面积公式，即可求解; （3）分情况讨论，当为矩形一边时，且点在轴的下方；当为矩形一边时，且点在轴的上方；当为矩形对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：把和代入，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）设直线的解析式为，把，点的坐标代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为 点P为直线下方抛物线上的点， 设， ， ， 当时，， ∴即面积的最大值为 ； （3）由题意可得：， 的对称轴为. ∵，， ∴， 如图3.1：当为矩形一边时，且点在轴的下方，过作轴于点， ∵D在的对称轴上， ， ∵，， ∴， ，，即点， ∴点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点，则点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点； 如图3.2：当为矩形一边时，且点在轴的上方，的对称轴为与轴交于点， ∵D在的对称轴上， ∴， ， ，即， ，即点， ∴点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点，则点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点； 如图3.3：当为矩形对角线时，设，，的中点F的坐标为， 依意得：，解得， 又， ， 解得：， 联立， 解得：， ∴点E的坐标为或. 综上，存在点或或或，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形． $