九年级上学期第一次月考押题重难点检测卷（培优卷）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升讲练（沪科版2012）

九年级上学期第一次月考押题重难点检测卷（培优卷） （满分150分，考试时间120分钟，共23题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二次函数与反比例函数； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题4分，共40分） 1．（2023·四川眉山·模拟预测）已知函数的图象如图所示，有以下结论：①；②在图象所在的每个象限内随的增大而减小；③若点、点在图象上，则；④若点在图象上，则点也在图象上．其中正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（2025·青海西宁·中考真题）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，．下列结论错误的是（   ） A． B．与的面积相等 C．的面积是 D．当时， 3．（2023·陕西·中考真题）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 3 5 … y … 16 0 … 则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（   ） A．图象的顶点在第一象限 B．有最小值 C．图象与x轴的一个交点是 D．图象开口向下 4．（2024·四川宜宾·模拟预测）如图，抛物线与交于点，过点A作轴的平行线，分别交两抛物线于B，C两点，且D，E分别为顶点．则下列结论：①；②；③为等腰直角三角形；④当时，．其中结论正确的是（ ） A． B． C．3 D． 5．（2024·湖南长沙·模拟预测）若反比例函数的图象上存在，，，三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，点A是反比例函数（）图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B，的面积为6．若点也在此函数的图象上，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）将抛物线向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，能得到抛物线的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）某宾馆有20个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出40元的各种费用．则房价定为多少时，宾馆利润取得最大值是（    ） A．210 B．220 C．230 D．240 9．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形中，，，与交于点O，M是的中点．P，Q两点分别沿着和方向从点B，点M同时出发，且都以的速度运动，当点Q到达点D时，两点同时停止运动．在P，Q两点运动的过程中，与的面积随时间变化的图象最接近的是（   ） A． B． C． D． 10．（2025·山东济南·中考真题）已知二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根； ②当时，y的值随x值的增大而减小；③； ④；⑤对于任意实数t，总有． 以上结论正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 第II卷（非选择题） 二、填空题（4小题，每小题5分，共20分） 11．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）在恒温下，气体对汽缸壁的压强p（）与汽缸内气体体积V（）的函数关系如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 mL． 12．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中有，两点，如果抛物线与线段没有公共点，则a的取值范围是 ． 13．（23-24九年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知抛物线（为常数，且），当时，该抛物线对应的函数值有最大值，则的值为 ． 14．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，抛物线 与x轴交于点，两点， 顶点D纵坐标为4，连接交y轴于点C，连接，，点E是抛物线上一动点，的面积与的面积相等，则点E的横坐标为 ． 三、解答题（9小题，共90分） 15．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，矩形为某中学课外活动小组围建的一个生物苗圃园，其中两边靠墙（墙足够长），另外两边用总长度为16米的篱笆（虚线部分）围成．设边的长度为x米（），矩形的面积为y平方米． (1)求y与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； (2)当矩形的面积是60平方米时，的长是多少？ 16．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）已知抛物线的顶点为，原点为，该抛物线交轴于点． (1)当为何值时，随着的增大而增大； (2)求的面积． 17．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，二次函数的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点A及点B． (1)求二次函数与一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出时x的取值范围． 18．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）根据下列条件，分别求出二次函数的解析式． (1)已知图象过点，顶点坐标为． (2)已知图象经过点，，且对称轴为直线． 19．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）已知二次函数，一次函数 (1)求函数与的交点坐标； (2)自变量x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值． 20．（23-24九年级上·天津宝坻·阶段练习）某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长），墙对面有一个宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长 (1)若养鸡场面积为，求鸡场长和宽各为多少米？ (2)如何设计可使养鸡场面积达到最大值并求出最大面积． 21．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）如图，已知、B是反比例函数图象上的两个点，轴于点C，若的面积为2． (1)求m的值； (2)以边作菱形，使点D在第二象限，点E在x轴负半轴上，求菱形的面积． 22．（24-25九年级上·四川泸州·期中）如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于两点． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，过点C的直线与抛物线相交于点D，若，求点D的坐标； (3)点N为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点M，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（2025·宁夏·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于点A，与直线交于点，过点A作直线的平行线，交抛物线于点C． (1)求抛物线的解析式． (2)点D为直线下方抛物线上一点，过点D作轴交直线于点E，交直线于点Q，过点Q作于点F，连接，求面积的最大值及此时点D的坐标． (3)如图2，在（2）条件下，将原抛物线向右平移，使抛物线再次经过（2）条件下的点D，新抛物线与x轴交于点M，N（点M在点N的左侧），与y轴交于点G，连接，点P为新抛物线上一点，连接交直线于点H，使得，直接写出所有符合条件的点P的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期第一次月考押题重难点检测卷（培优卷） （满分150分，考试时间120分钟，共23题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二次函数与反比例函数； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题4分，共40分） 1．（2023·四川眉山·模拟预测）已知函数的图象如图所示，有以下结论：①；②在图象所在的每个象限内随的增大而减小；③若点、点在图象上，则；④若点在图象上，则点也在图象上．其中正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质，牢记反比例函数的比例系数的符号与其图象的关系是解决本题的关键．根据反比例函数的图象的位置确定其比例系数的符号，利用反比例函数的性质进行判断即可． 【详解】解：①由图象可以看到，函数图象位于第一、三象限， ∴根据反比例函数图象的性质，可得，因此结论①是正确的； ②由结论①可知， ∴在图象所在的每个象限内，随的增大而减小，结论②是正确的； ③因为点、点都在反比例函数的图象上，且， 又∵在第一象限内随的增大而减小，(由结论②可知) ∴当的值越小，对应的值越大，即，结论③是正确的； ④已知点在反比例函数的图象上， 得：， 两边同时乘以，得到， ∵点也在反比例函数的图象上， 得：， 把代入右边，可得， ∴左边等于右边， ∴说明点也在该反比例函数的图象上，所以结论④是正确的； 故选：A． 2．（2025·青海西宁·中考真题）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，．下列结论错误的是（   ） A． B．与的面积相等 C．的面积是 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，坐标系中三角形的面积，函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键． 先根据待定系数法求出两个函数的解析式，即可判断A选项，对于一次函数，分别令，，求出点A，B的坐标，根据三角形的面积公式求出各个三角形的面积，即可判断B、C选项，根据图象即可判断D选项． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数为， ∵反比例函数的图象过点， ∴，解得， ∴， ∵一次函数的图象过点，， ∴， 解得， 故A选项正确； ∴一次函数的解析式为． ∵对于一次函数，令，则； 令，则， 解得， ∴，， ∴，， ∴， ， ， ∴，故B选项正确； ，故C选项错误； ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴由图象可得当时，，故D选项正确． 故选：C． 3．（2023·陕西·中考真题）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 3 5 … y … 16 0 … 则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（   ） A．图象的顶点在第一象限 B．有最小值 C．图象与x轴的一个交点是 D．图象开口向下 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是学会根据表格中的信息求得函数的解析式．由表格中的几组数求得二次函数的解析式，然后通过函数的性质得到结果． 【详解】解：设二次函数的解析式为, 由题意知 ， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∴函数的图象开口向上，顶点为， ∴顶点在第四象限，函数有最小值， 令，则， ∴或， ∴图象与x轴的一个交点是和， 故A、B、D选项不正确，选项C正确，符合题意． 故选：C． 4．（2024·四川宜宾·模拟预测）如图，抛物线与交于点，过点A作轴的平行线，分别交两抛物线于B，C两点，且D，E分别为顶点．则下列结论：①；②；③为等腰直角三角形；④当时，．其中结论正确的是（ ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是关键．把点坐标代入，求出的值，即可判断①；得到函数解析式，将代入中，求出点的横坐标，然后求出点的坐标即可求出和的长，从而判断②；求出、、的长，可判断③；求出两个二次函数图象另一个交点坐标，结合图象即可判断④． 【详解】解：抛物线与交于点， ， 解得：，故①正确； 将代入中，得 ， 解得：，， ∴点的坐标为， ， 是抛物线的顶点， ， ， ，故②错误； ∵点是抛物线的顶点， ， ，，， ∴ 不是等腰直角三角形，故③错误； 联立， 解得：或， ∴两个抛物线的交点为和， 由图象可知：当时，，故④错误． 故选：A． 5．（2024·湖南长沙·模拟预测）若反比例函数的图象上存在，，，三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，分别将点A，B，C的坐标代入反比例函数的解析式求出，，，然后再比较它们的大小即可得出答案． 【详解】解：将代入，得：，即：， 将代入，得：，即：， 将代入，得：，即：， ∴． 故选：D． 6．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，点A是反比例函数（）图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B，的面积为6．若点也在此函数的图象上，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．先根据反比例函数的几何意义求出的值，得到反比例函数解析式，再将点坐标代入解析式求出． 【详解】解：∵点在反比例函数图象上，轴，， ∴． 又∵反比例函数图象在第一象限，， ∴，解得． ∴反比例函数解析式为． ∵点在上， ∴， 解得． 故选：B． 7．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）将抛物线向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，能得到抛物线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数图象平移的性质，解题的关键是掌握平移的性质． 采用倒推的思想，利用平移的性质进行求函数解析式即可． 【详解】解：由先向右平移1个单位长度后解析式为， 再向上平移2个单位长度后解析式为， 故选：B． 8．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）某宾馆有20个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出40元的各种费用．则房价定为多少时，宾馆利润取得最大值是（    ） A．210 B．220 C．230 D．240 【答案】B 【分析】本题涉及二次函数的实际应用，核心是根据利润的构成建立二次函数模型，再利用二次函数的顶点式（或顶点坐标公式）求利润的最大值，其中利润 每个房间利润 入住房间数是建立函数的关键。设房价定为元，根据利润 （房价 支出费用） 入住房间数，列出利润的函数表达式，再根据二次函数的性质求最值． 【详解】设房价定为元，宾馆的利润为元， 当房价为元时，每个房间的定价增加了元， 因为每增加元就有一个房间空闲，所以空闲的房间数为，则入住的房间数为， 每个房间的利润为元， 所以利润， 化简： ， 对于二次函数（），当时，函数在处取得最大值， 在中，，， 则． 故选：B． 9．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形中，，，与交于点O，M是的中点．P，Q两点分别沿着和方向从点B，点M同时出发，且都以的速度运动，当点Q到达点D时，两点同时停止运动．在P，Q两点运动的过程中，与的面积随时间变化的图象最接近的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分三种情况：当时，点P，Q在上；当时，点在上，点在上；当时，点，在上．利用矩形的性质和三角形的面积公式求得的面积随时间变化的函数解析式，再利用函数的图形的性质解答即可． 【详解】解：当时，点P，Q在上， 连接，如图， 四边形为矩形， ，， 是的中点， ∴，，， ， ，两点分别沿着和方向从点，点同时出发，且都以的速度运动， ∴ ， ； 当时，点在上，点在上， 连接，过点作于点，如图， 四边形为矩形， ，， ， ， ∴， ， 由题意得：，，，， ． 当时，点，在上， 过点作于点，如图， 此时，， ． 综上，的面积随时间变化的图象分为三部分， 当时，，图象为平行于轴的线段， 当时，图象为顶点为的抛物线的一部分， 当时，图象为平行于轴的线段， 与的面积随时间变化的图象最接近的是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，三角形的面积，分类讨论的思想方法，函数的图象，熟练掌握三角形的面积公式和二次函数的性质是解题的关键． 10．（2025·山东济南·中考真题）已知二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根； ②当时，y的值随x值的增大而减小；③； ④；⑤对于任意实数t，总有． 以上结论正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，结合题意画出函数图像，结合函数图像一一判断即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是， 且经过，两点， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴，抛物线与x轴的交点为：和， 图象如下所示： 令，即把向下平移一个单位， 再结合函数图像可知有两个不相等的实数根， 故关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；故①正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y的值随x值的增大而减小，故②正确； ∵抛物线与x轴的交点为：和 ∴二次函数为， ∴， ∵ ∴， 解得，故③正确， 结合函数图像可知，当时，，故④正确， ∵ ∴， ∴ ， ∵，， ∴， 即对于任意实数t，，故⑤正确， 综上：①②③④⑤正确， 故选：A． 第II卷（非选择题） 二、填空题（4小题，每小题5分，共20分） 11．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）在恒温下，气体对汽缸壁的压强p（）与汽缸内气体体积V（）的函数关系如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 mL． 【答案】20 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，涉及从图象中获取信息、待定系数法确定函数关系式，数形结合，熟练掌握待定系数法确定函数关系式是解决问题的关键． 根据题意压强p与汽缸内气体体积V成反比例函数，设，代入点可得，再求两种气压下对应气体体积即可求解． 【详解】由图可知，气体对汽缸壁的压强p（）与汽缸内气体体积V（）成反比例函数关系， 设， ∵函数图象过点， ∴，解得， ∴， 当时，，解得， 当时，，解得， ， 气体体积压缩了L． 故答案为：20． 12．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中有，两点，如果抛物线与线段没有公共点，则a的取值范围是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．分别把M、N点的坐标代入得a的值，根据二次函数的性质得到a的取值范围． 【详解】解：当时， 把点代入，得； 把点代入，得， 如图： ∵如果抛物线与线段没有公共点， ∴a的取值范围为或． 当时。抛物线开口向下，与线段没有公共点， 综上，a的取值范围是或或． 故答案为：或或． 13．（23-24九年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知抛物线（为常数，且），当时，该抛物线对应的函数值有最大值，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象及其性质，二次函数的最大值． 由二次函数的解析式可得顶点坐标和开口方向，根据的取值范围，对顶点横坐标的取值范围进行分段讨论，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴ 顶点为，开口向下， ∵ ， 若，则抛物线的最大值为，不符合题意， 若，则当时，抛物线取最大值， ∴，， 解得， ∴的值为． 故答案为：． 14．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，抛物线 与x轴交于点，两点， 顶点D纵坐标为4，连接交y轴于点C，连接，，点E是抛物线上一动点，的面积与的面积相等，则点E的横坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的面积问题，解方程，熟练掌握待定系数法，解方程是解题的关键．先利用待定系数法分别求得抛物线、直线、直线、直线的解析式，然后过点D作轴，交直线于点G，过点E作轴，交直线于点F，根据求得面积，接着设，则，求得，结合解答即可． 【详解】解：∵抛物线 与x轴交于点，两点， 顶点D纵坐标为4， ∴抛物线的对称轴为直线， 故顶点， 设抛物线的解析式为 ∴， 解得， 故 ∴， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， ∵对于，当时，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 过点D作轴，交直线于点G，过点E作轴，交直线于点F， ∵， ∴点的横坐标为，且点在直线：上， ∴当时，， ∴ ∴， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． ∵点E是抛物线上一动点，点在直线直线：上， ∴设，则， 则， ∴， 整理，得或 故或 解得或无解 故． 故点E的横坐标为或， 故答案为：或． 三、解答题（9小题，共90分） 15．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，矩形为某中学课外活动小组围建的一个生物苗圃园，其中两边靠墙（墙足够长），另外两边用总长度为16米的篱笆（虚线部分）围成．设边的长度为x米（），矩形的面积为y平方米． (1)求y与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； (2)当矩形的面积是60平方米时，的长是多少？ 【答案】(1) (2)当矩形的面积是60平方米时，的长为6米 【分析】此题考查了二次函数的应用和一元二次方程的应用． （1）设边的长度为x米，则矩形的另一边的长为米，利用矩形的面积公式列出矩形面积y与x的关系式； （2）根据题意得，解一元二次方程取合适的值即可． 【详解】（1）解：设边的长度为x米，则矩形的另一边的长为米， ， 故y与x之间的函数关系式为； （2）解：根据题意，当时，，即， 解得：， 当时，， 当时，， 由于，所以． 故当矩形的面积是60平方米时，的长为6米． 16．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）已知抛物线的顶点为，原点为，该抛物线交轴于点． (1)当为何值时，随着的增大而增大； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)16 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的图像与系数的关系、抛物线的顶点坐标及函数的增减性是解题的关键． （1）根据抛物线中二次项系数即可判断出抛物线的开口方向向上，对称轴为直线，据此判断即可； （2）根据抛物线解析式求得点、的坐标，然后得到，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线，， ∴该抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大． （2）解：∵抛物线的顶点为， ∴， ∵该抛物线交轴于点， ∴令时，，即， ∴， ∴． 17．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，二次函数的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点A及点B． (1)求二次函数与一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出时x的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，熟练掌握函数图象上点的坐标特征以及通过图象比较函数值大小是解题的关键． （1）对于二次函数，将点代入其表达式求出，进而得到二次函数解析式，再求出点坐标，根据对称轴求出点坐标，最后将、代入一次函数求出解析式． （2）通过观察图象，找出二次函数图象在一次函数图象上方时的取值范围． 【详解】（1）解：把代入，可得 解得， 所以二次函数解析式为，展开得． 当时，， 所以． 二次函数的对称轴为直线， 因为点与关于对称轴对称， 所以． 把，代入，可得 解得，， 所以一次函数解析式为． （2）解：∵，， ∴由图象可知，时的取值范围是或． 18．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）根据下列条件，分别求出二次函数的解析式． (1)已知图象过点，顶点坐标为． (2)已知图象经过点，，且对称轴为直线． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解，解决本题的关键是根据已知信息建立合适的函数解析式． （1）根据顶点坐标为，设函数解析式为，再将点代入函数解析式求解a的值即可； （2）设函数解析式为，再根据经过A点与B点代入和对称轴公式求解即可． 【详解】（1）解：∵顶点坐标为， ∴设函数解析式为， ∵函数经过点， ∴， 解得， ∴函数解析式为； （2）解：设函数解析式为， ∵经过点，， ∴， 解得， ∵对称轴为直线， ∴，整理可得， 联立， 解得， ∴函数解析式为． 19．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）已知二次函数，一次函数 (1)求函数与的交点坐标； (2)自变量x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，函数值大小比较，不等式的求解，理解题意准确计算为解题关键． （1）联立两个函数的解析式，求解方程组得到交点的横、纵坐标即可； （2）通过联立函数解析式并移项，转化为不等式求解即可． 【详解】（1）解：联立与， ， 整理可得：，解得：，， 当时，代入，可得， 当时，代入，可得， 函数与的交点坐标为和； （2）要使一次函数的值大于二次函数的值，即， 可得不等式， 整理得：， 可得， 解得：， 当时，一次函数的值大于二次函数的值． 20．（23-24九年级上·天津宝坻·阶段练习）某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长），墙对面有一个宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长 (1)若养鸡场面积为，求鸡场长和宽各为多少米？ (2)如何设计可使养鸡场面积达到最大值并求出最大面积． 【答案】(1)鸡场长为12米，宽为10米 (2)设计为垂直于墙的边长为，平行于墙的边长为时，养鸡场面积取得最大值，且为 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设垂直于墙的边长为，根据鸡场的面积列出方程，解之即可； （2）设垂直于墙的边长为，养鸡场面积，根据矩形面积公式建立函数关系式，再根据二次函数的性质求解最值． 【详解】（1）解：设垂直于墙的边长为． 由题意可得：， 解得，， 当时，，不合题意，舍去． 当时，，符合题意 ， 此时， 答：鸡场长为12米，宽为10米； （2）解：设垂直于墙的边长为，养鸡场面积为， 由题意得， ∵， ∴当时，养鸡场面积取得最大值，且为， 此时平行于墙的边长（米），符合题意， 答：设计为垂直于墙的边长为，平行于墙的边长为时，养鸡场面积取得最大值，且为． 21．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）如图，已知、B是反比例函数图象上的两个点，轴于点C，若的面积为2． (1)求m的值； (2)以边作菱形，使点D在第二象限，点E在x轴负半轴上，求菱形的面积． 【答案】(1)m的值为1 (2)菱形的面积为 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征及菱形的性质，熟知反比例函数的图象与性质、菱形的性质是解题的关键． （1）根据反比例函数系数的几何意义求出的值，据此求出m的值即可； （2）根据菱形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知点B在反比例函数图像上， 因为轴于点C，的面积为2， 所以， 又， 所以， 则反比例函数解析式为， 将点代入得， 解得， 所以m的值为1． （2）解：由（1）知，则， 因为四边形是菱形， 所以，且边上的高为点A的纵坐标值，即为4， 所以菱形的面积为． 22．（24-25九年级上·四川泸州·期中）如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于两点． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，过点C的直线与抛物线相交于点D，若，求点D的坐标； (3)点N为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点M，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，M点的坐标为或或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式，即可作答； （2）设与x轴交于E，得到，求得，解方程组，即可得到结论； （3）设，，根据平行四边形的对角线分三种情况讨论，利用中点坐标公式建立方程，求出M点的横坐标，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点C，与x轴交于两点． ∴将代入 ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：依题意，设与x轴交于E， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于点C， ∴令，则， 即， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 依题意，得， 解得或（不合题意舍去）， ∴； （3）解：依题意，设，， 当为平行四边形的对角线时，如图所示： ∴与互相平分 由（2）得， ∵ ∴ 整理得， 解得（舍去）或， 把代入，得， ∴M点的坐标为； 当为平行四边形的对角线时，如图所示： ∴与互相平分 ∴， 整理得， 解得（舍）或， 把代入，得， ∴M点的坐标为； 当为平行四边形的对角线时，如图所示： ∴与互相平分 同理得， 解得或， 把代入，得； 把代入，得； ∴或 综上所述：M点的坐标为或或 【点睛】本题考查了二次函数与特殊四边形的综合，一次函数与二次函数的交点问题，待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 23．（2025·宁夏·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于点A，与直线交于点，过点A作直线的平行线，交抛物线于点C． (1)求抛物线的解析式． (2)点D为直线下方抛物线上一点，过点D作轴交直线于点E，交直线于点Q，过点Q作于点F，连接，求面积的最大值及此时点D的坐标． (3)如图2，在（2）条件下，将原抛物线向右平移，使抛物线再次经过（2）条件下的点D，新抛物线与x轴交于点M，N（点M在点N的左侧），与y轴交于点G，连接，点P为新抛物线上一点，连接交直线于点H，使得，直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为3，点D的坐标为 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式即可解题； （2）设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，根据平行设直线的解析式为，利用抛物线为得到，将代入求得直线的解析式，设，则，过点作交于点，记交于点，证明为等腰直角三角形，，再根据面积公式得到 ，最后利用二次函数的最值，即可解题； （3）利用平移的特点得到平移后的拋物线解析式为，以及，，，①连接，作的垂直平分线交于点，利用垂直平分线性质，等腰三角形性质，以及三角形外角定理得到，设，利用勾股定理建立等式，得到点，利用待定系数法求直线的解析式，根据点为新拋物线上的一点，连接交直线于点，联立平移后的拋物线解析式和直线的解析式求解，即可解题，②作关于的对称点，连接，求解过程与①类似． 【详解】（1）解：抛物线与直线交于点， ，解得， 抛物线为； （2）解：设直线的解析式为， 过点点， ，解得， 直线的解析式为， ， 设直线的解析式为， 当时，，解得，， ， ，解得， 设，则， 过点作交于点，记交于点， 由平移的性质可知， ， ， 即， ，轴交直线于点， ， ， 即为等腰直角三角形， ， ， ， 当时，面积的最大值为，点的坐标为； （3）解：原拋物线向右平移1个单位， 平移后的拋物线解析式为， 平移后的拋物线解析式为， 同理，求得，，， ①连接，作的垂直平分线交于点， 有， ， ， 设直线的解析式为， 过点， ，解得， 直线的解析式为， 设，则，， ，解得， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 点为新拋物线上的一点，连接交直线于点， ， 整理得， 解得，， 当时，， 点的坐标为， ②作关于的对称点，连接、，交抛物线于点， ，，， ， ， 由对称性可知， ， 设， ，， ， 整理得， 解得，， 当时，， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， ， 整理得， 解得，， 当时，， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解函数解析式，一次函数与二次函数交点情况，等腰三角形性质，对称的性质，勾股定理求两点间距离，垂直平分线性质，三角形外角定理，函数平移的规律，熟练掌握相关性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $