第21章 二次函数与反比例函数 单元练习 2025-2026学年沪科版九年级数学上册

第21章 二次函数与反比例函数 同步练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.抛物线与轴的交点坐标是(    ) A. B. C. 和 D. 和 2.二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是(    ) A. B. C. D. 或 3.二次函数的图象如图所示，下面关于一元二次方程的根的情况，说法正确的是(    ) A. 方程有两个相等的实数根 B. 方程的两个实数根的积为负数 C. 方程有两个正的实数根 D. 方程没有实数根 4.如果反比例函数的图象分布在第一、三象限，那么的值可以是  (    ) A. B. C. D. 5.某企业是一家专门生产季节性产品的企业，当产品无利润时，企业会停产，进行维护设备经过调研预测，一年中每个月获得的利润万元和月份之间满足函数关系式，则企业一年中停产的时间为(    ) A. 个月 B.   个月 C.   个月 D.   个月 6.中国贵州省内的射电望远镜是目前世界上口径最大，精度最高的望远镜根据有关资料显示，该望远镜的轴截面呈抛物线状，口径为米，最低点到口径面的距离是米，若按图建立平面直角坐标系，则抛物线的函数表达式是(    ) A. B. C. D. 7.已知某抛物线与二次函数的图象的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为，则该抛物线对应的函数表达式为(    ) A. B. C. D. 8.今年，某公司推出一款新的手机深受消费者推崇，但价格不菲．为此，某电子商城推出分期付款购买新手机的活动，一部售价为元的新手机，前期付款元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月的付款额元与付款月数为正整数之间的函数关系式是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.已知二次函数的图象过，对称轴直线，那么这个二次函数的图象一定经过除外的另一点，这点的坐标是______． 10.设，为实数，已知点是抛物线与轴的交点，点是抛物线的顶点，过，的直线为，则______，______． 11.已知与成反比例，且当时，，则当时，的值为          ． 12.反比例函数，当时，函数的最大值为，则反比例函数的最大值为______用含的代数式表示． 13.如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是米，跨度是米，在线段上离中心处米的地方，桥的高度是______米 14.已知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为          ． 15.近视眼镜镜片的度数度与镜片焦距米成反比例已知度近视眼镜镜片的焦距是米小江原来佩戴度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗后，只需佩戴镜片焦距为米的眼镜了，则小江现在所戴近视眼镜的度数为______度． 16.已知二次函数图象与轴的一个交点坐标为，顶点坐标为，则该二次函数的解析式为          ． 三、解答题：本题共6小题，共52分。 17.本小题分 某超市销售一批成本为元千克的绿色健康食品，深受游客青睐，经市场调查发现，该食品每天的销售量千克与销售单价元千克之间满足一次函数关系，其图象如图所示． 写出关于的函数关系式：______，销售利润为______元用含有代数式表示； 为尽可能让利于顾客，当该超市每天销售这种绿色健康食品获利元时，销售单价为多少元？ 请求出销售利润的最大值及此时销售单价． 18.本小题分 为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙墙长的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如图所示若设矩形小花园边的长为，面积为． 求与之间的函数关系式以及自变量的取值范围． 当为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？ 19.本小题分 如图，已知反比例函数的图象经过点． 求这个反比例函数的解析式； 若，是这个反比例函数图象上的两个点，请比较，的大小，并说明理由． 20.本小题分 小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． 求反比例函数的表达式． 将三角板绕点顺时针旋转，边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标． 21.本小题分 某农户种植有如图所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图所示，其横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的水平线，点是塑料顶棚与地面的交点，是保温墙，并且塑料顶棚最高点到点的水平距离是，到地面的高度是现以所在直线为轴，过点垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系．若保温墙到点的距离，请你求出保温墙的高度． 22.本小题分 如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？ 素材 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为元件． 素材 该商品的网上销售价定为元件，平均每天销售量是件，在实体店的销售价定为元件，平均每天销售量是件，按公司规定，实体店的销售价保持不变且销售量不低于件，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价． 素材 据调查，网上销售价每降低元，网上销售量平均每天多售出件，同时实体店的销售量受网上影响，平均每天销售量减少件． 问题解决 任务 计算所获利润 当该商品网上销售价为元件时，求公司在网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润各是多少元？ 任务 拟定价格方案 公司要求每天的总毛利润总毛利润网上毛利润实体店毛利润达到元，求每件商品的网上销售价下降多少元？ 任务 优化价格方案 当每件商品的网上销售价下降多少元时，该公司在网上销售与实体店销售的总毛利润最大？ 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：令，则，解得或， 故交点坐标为和． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便． 根据图象，写出函数图象在轴上方部分的的取值范围即可． 【解答】 解：函数值大于，即对应的函数图象应位于轴的上方， 此时对应的自变量的范围是或 或时，． 故选D． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了抛物线与轴的交点，根据图象与轴交点的个数和位置判断一元二次方程根的情况． 根据抛物线与轴交点个数和位置判断一元二次方程的根的情况即可． 【解答】 解：根据图象可以看出抛物线与轴有两个不同的交点， 故一元二次方程有两个不相等的实数根， 由于两交点位于原点的两侧， 故一元二次方程有一正根一负根， 故只有B正确． 故选B． 4.【答案】  【解析】【分析】 见答案． 【解答】 见答案． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查二次函数的实际应用，判断二次函数、、，要把二次函数写成交点式，看看图象与轴的交点，结合开口分析，进行判断． 知道利润和月份之间函数关系式，求利润时，的取值． 【解答】 解：由题意知，利润和月份之间函数关系式为， ， 当、、时，， 当时，， 当时，， 故停产的月份是月、月、月、月、月，共个月． 6.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，正确设出函数解析式是解题关键． 直接利用抛物线解析式结合已知点坐标得出答案． 【解答】 解：由题意可得：，， 设抛物线解析式为：， 则， 解得：， 故抛物线解析式为：． 故选：． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，属于基础题． 先设顶点式，然后根据二次函数的性质确定的值． 【解答】 解：抛物线的顶点坐标为， 抛物线的解析式为， 抛物线与二次函数的图象的开口大小相同，开口方向相反， ， 抛物线的解析式为． 故选：． 8.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式，正确理解题意是解题关键． 直接利用后期每个月分别付相同的数额，进而得出与的函数关系式． 【解答】解：由题意可得：． 故选C． 9.【答案】  【解析】解：根据对称性，二次函数的图象一定还过点， 故答案为：． 先确定点关于直线的对称点的坐标为，然后根据抛物线的对称性求解． 本题考查了二次函数图象的对称性．熟练掌握该知识点是关键． 10.【答案】    【解析】解：由抛物线可知， 令，则， ， 过，的直线为， ，解得． 故答案为，． 根据抛物线的解析式求得、的坐标，代入得到关于、的方程组，解方程组即可求得． 本题考查了二次函数的性质，求得、点的坐标是解题的关键． 11.【答案】  【解析】首先根据题意设出反比例函数解析式，再利用待定系数法把当时，代入求出的值，进而可得当时，的值． 【详解】解：与成反比例， ， 当时，， ， 反比例函数解析式为， 当时，， ， 故答案为：． 12.【答案】  【解析】解：反比例函数， 此函数的图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大， 当时，函数的最大值为， 当时，， ，即， 反比例函数中，， 函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小， ， 当时，． 故答案为：． 先根据判断出函数图象所在的象限及其增减性，进而可得出结论． 本题考查的是反比例函数的图象，反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：建立平面直角坐标系，如右图所示， 由题意可得，点的坐标为，点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 点在该抛物线上， ， 解得， 设抛物线的解析式为， 将代入，得：， 即在线段上离中心处米的地方，桥的高度是米， 故答案为：． 先建立合适的平面直角坐标系，然后求出抛物线的解析式，再将代入解析式求出相应的的值即可． 本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，建立合适的坐标系，求出相应的抛物线解析式． 14.【答案】  【解析】本题考查了正比例函数图象、反比例函数图象的对称性，熟记才能灵活运用．根据反比例函数的图象与正比例函数图象的两个交点一定关于原点对称即可求解． 【详解】解：反比例函数的图象与正比例函数图象的两个交点一定关于原点对称， 另一个交点的坐标与点关于原点对称， 即该点的坐标为． 故答案为：． 15.【答案】  【解析】解：设函数的解析式为， 度近视眼镜镜片的焦距为米， ， 解析式为， 当时，， 答：小江现在所戴近视眼镜的度数为度， 故答案为：． 设函数的解析式为，由时，可求，进而可求函数关系式，然后求得焦距为米时的眼镜度数即可． 此题考查了反比例函数的应用，根据题意求得反比例函数的解析式是解答本题的关键． 16.【答案】  【解析】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，求二次函数解析式时，要根据条件选择简单的形式求解．已知三点时，设一般式：；已知顶点和一点时，设顶点式：，其中顶点为，为待定系数；已知与轴的两交点时，设交点式：，其中分别为两交点的横坐标，为待定系数． 已知顶点，一般应该设抛物线解析式的顶点式，只需要求待定系数的值即可确定解析式． 【详解】解：二次函数图象的顶点为， ， 又由二次函数图象与轴的一个交点坐标为， ， 解得， ． 故答案为：． 17.【答案】，；   元；   销售单价元时，销售利润最大，最大值是元．  【解析】设， 由题意可得：， ， ； 销售单价为元千克， 每千克的利润为元千克， 销售利润为元； 故答案为：，； 由题意得：， 解得：， 由题意可得：销售单价应定为元千克， 答：销售单价为元； 当时，销售利润最大，最大值是元． 设关于的函数关系式是，因为图象经过点，，可得关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，即可得到关于的函数关系式；根据销售成本为元千克，销售单价为元千克，可得每千克的利润为元千克，根据销售利润每千克利润销售量，可得元； 根据每天销售这种绿色健康食品获利元，可得关于的一元二次方程：，解方程可得当销售单价定为元和元时，销售利润均可达到元，因为超市要让利于顾客，所以单价应定为元； 把二次函数整理成顶点坐标式，可得：，根据二次函数的性质可知：当时，销售利润最大，最大值是元． 本题主要考查了一次函数的应用、二次函数的应用、一元二次方程的应用，正确进行计算是解题关键． 18.【答案】与之间的函数关系式为；   当时，小花园的面积最大，最大面积是．  【解析】由题意得：， ， ， 与之间的函数关系式为； 由知，， ，， 当时，有最大值，最大值为， 答：当时，小花园的面积最大，最大面积是． 根据矩形的面积公式写出函数解析即可； 根据函数的性质求最值即可． 本题考查的是二次函数的实际应用．关键是根据函数的性质求最值． 19.【答案】【小题】 解：  【小题】 理由：，在每一象限内，函数值随的增大而增大，而点，都在第四象限，且，．   【解析】 略  略 20.【答案】解：含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为：； ， ， 含角的三角板为等腰直角三角形，， ，， 如图，连接，旋转到的位置， ， 的对应点在的图象上， ， ， 由旋转可得：， ．  【解析】把的坐标为代入反比例函数，即可得到答案； 求解，证明，求得，如图，连接，旋转到的位置；可得，结合的对应点在的图象上，可得，进一步求解即可． 本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，反比例函数的应用，理解题意是解本题的关键． 21.【答案】解：设塑料顶棚所在抛物线的解析式为， 点， 把，代入抛物线解析式，得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 当时，， 答：保温墙的高度是米．  【解析】根据顶点坐标，设函数的表达式为，再将原点坐标代入求出函数的表达式，最后将代入求解即可． 本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握函数的顶点式，会用待定系数法求解函数的表达式是解题的关键． 22.【答案】任务公司在网上销售该商品每天的毛利润为元，实体店销售该商品每天的毛利润为元； 任务每件商品的网上销售价下降元； 任务当每件商品的网上销售价下降元时，该公司在网上销售与实体店销售的总毛利润最大．  【解析】解：任务根据题意得： 元； 元． 答：公司在网上销售该商品每天的毛利润为元，实体店销售该商品每天的毛利润为元； 任务设每件商品的网上销售价下降元，则网上销售该商品每件的销售利润为元，每天网上销售量为件，实体店的销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ， ， 不符合题意，舍去． 答：每件商品的网上销售价下降元； 任务设当每件商品的网上销售价下降元时，该公司在网上销售与实体店销售的总毛利润为元， 根据题意得：， ， ，且， 当时，取得最大值． 答：当每件商品的网上销售价下降元时，该公司在网上销售与实体店销售的总毛利润最大． 任务利用总利润每件的销售利润日销售量，即可求出结论； 任务设每件商品的网上销售价下降元，则网上销售该商品每件的销售利润为元，每天网上销售量为件，实体店的销售量为件，根据每天的总毛利润总毛利润网上毛利润实体店毛利润达到元，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，结合实体店每天的销售量不少于件，即可确定结论； 任务设当每件商品的网上销售价下降元时，该公司在网上销售与实体店销售的总毛利润为元，利用总毛利润网上毛利润实体店毛利润，可找出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题． 本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算以及二次函数的应用，解题的关键是：任务根据各数量之间的关系，列式计算；任务找准等量关系，正确列出一元二次方程；任务根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． 第6页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $$