专题02 二次函数对称性与最值类考点专练（期末复习专项训练）九年级数学上学期沪科版

专题02 二次函数对称性与最值类考点专练 题型1 已知抛物线上对称的两点求对称轴（重点） 题型4 定轴定区间求最值问题（重点） 题型2 根据二次函数的对称性求函数值（重点） 题型5 定轴动区间求最值问题（重点） 题型3 根据二次函数的对称性求最短路径 题型6 动轴定区间求最值问题（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 已知抛物线上对称的两点求对称轴（共8小题） 1．（24-25九年级上·江西赣州·期末）将抛物线向左平移个单位长度后得到新抛物线，若新抛物线与直线相交于，，则的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的平移以及二次函数的性质，先求出平移前后的对称轴，然后根据平移的性质列方程求解即可． 【详解】解：的对称轴是直线． ∵新抛物线与直线相交于，， ∴新抛物线对称轴是直线， ∵抛物线向左平移个单位长度后得到新抛物线， ∴， ∴． 故选C． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）若抛物线经过点，则下列各点，必在抛物线上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据抛物线图象的性质进行解答即可． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴抛物线的对称轴为轴， 又， ∴必在抛物线L上的是， 故选：D． 3．（24-25九年级上·江西南昌·期末）约定：当时，代数式的值记为；当时，代数式的值记为．若，且，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的应用，设，根据对称轴公式求出对称轴，然后根据，可知当和当时函数值相等，从而求出对称轴，得出关于m、n的方程，于是得出，再把和分别代入解析式即可得出的值． 【详解】解：设， 由抛物线的对称性及可得， ∴， ∴， 故选：B． 4．（25-26九年级上·河北·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为．若抛物线(h，k为常数)与线段交于C，D两点，且，则k的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题意，可以得到，设点C的坐标为，则点D的坐标为，得到h的值，然后将点C的坐标代入抛物线的解析式，即可得到k的值，本题得以解决． 【详解】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴． ∵抛物线(h，k为常数)与线段交于C，D两点，且， ， ∴设点C的坐标为， 则点D的坐标为， ， ∴抛物线为， 把点代入，得， 解得：． 故答案为：5． 5．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知二次函数图象上有两个不同点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的对称性，先判定点关于抛物线的对称轴对称，再求解抛物线的对称轴为直线，从而可得答案. 【详解】解：点在二次函数的图象上， ∴点关于抛物线的对称轴对称， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴； 故答案为：． 6．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，抛物线与轴相交于点，点，与轴相交于点，点在抛物线上，当轴时， ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，利用抛物线的对称性确定抛物线的对称轴是解题的关键． 根据题意得出抛物线的对称轴为直线，根据抛物线与轴相交于点，轴，即可得到答案． 【详解】解：抛物线与轴相交于点，点， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴相交于点， ， 轴，点在抛物线上， ， ， 故答案为： ． 7．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）已知，是抛物线上任意两点． （1）若当，时，，则 ．； （2）若对于任意，，都有，则的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得点M、N关于对称轴对称，然后根据二次函数的对称性可进行求解； （2）根据题意可知点，需满足在对称轴的左侧或者右侧，然后分类进行求解即可． 【详解】解：（1）∵当，时，，且，是抛物线上任意两点， ∴点M、N关于对称轴对称， ∴， ∴； 故答案为：． （2）由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线，由“对于任意，，都有”可知：点，需满足在对称轴的左侧或者右侧，则有： ①当点，在对称轴的左侧时，需满足，即； ②当点，在对称轴的右侧时，需满足，即； 综上所述：b的取值范围为或． 故答案为：或． 8．（24-25九年级上·浙江金华·期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数（，，是常数，且）的图象上有点，点，设图象的对称轴为直线． （1）若，则的值为 ； （2）若，则的取值范围为 ． 【答案】 4 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，解题的关键是采用数形结合的思想，借助图象和性质来求解． （1）根据对称点，即可求解对称轴； （2）根据，可知函数图象开口向上，与轴的交点坐标为，图象有点，点，根据函数的性质即可判断出答案． 【详解】解：（1）若，则点关于直线对称， ∴， 故答案为：4； （2）， 图象开口向上，与轴的交点坐标为， 图象有点，点，且， ∴ ∴， 故答案为：． 题型二 根据二次函数的对称性求函数值（共8小题） 9．（24-25八年级下·福建福州·期末）已知点，为抛物线上的两点，当，时，下列选项正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若时，都有 D．若，存在 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键．由函数解析式可知，抛物线开口向上，其对称轴为直线，然后根据二次函数的图象与性质逐项分析判断即可． 【详解】解：∵， 抛物线开口向上，其对称轴为直线， ∵，， ∴， A中，若， ∴，即的中点在的左侧， ∴，故A错误， B中，若， ∴，即的中点在的右侧， ∴，故B正确， C中，∵， 若时， ∴，即，可能有，即，故C不正确；      D中，若， ∴， ∴两点都在对称轴右侧，y随x的增大而增大， 故不存在，故D错误， 故选：B． 10．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）若点在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线开口向下且对称轴为直线知离对称轴水平距离越远，函数值越大，据此求解可得． 【详解】解：抛物线的对称轴为，开口向上， 点的距离为， 点的距离为， 点的距离为， 由于开口向上，距离对称轴越远，y值越大， ∵， ∴． 故选：A． 11．（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）抛物线的对称轴为直线，与直线交于点，，则满足不等式组的整数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据二次函数的对称性可知二次函数与x轴的另一个交点坐标为，然后根据图象可知当时，x的取值范围为，然后问题可求解． 【详解】解：设二次函数与x轴的另一个交点坐标为，则由抛物线的对称轴为直线，与直线交于点，，可知： ， ∴，即二次函数与x轴的另一个交点坐标为， 由图象可知：当时，x的取值范围为， ∴满足不等式组的整数只有3一个； 故选：A． 12．（24-25九年级上·河南郑州·期末）已知点在函数图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，先求出关于y轴的对称点为，再根据在y轴左侧，y随着x的增大而增大，，得到即可． 【详解】解：函数图象开口向下，对称轴为y轴， ∴关于y轴的对称点为， ∵在y轴左侧，y随着x的增大而增大，， ∴． 故选：C 13．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知抛物线上有三点，且，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由，从而抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，又抛物线过，可得对称轴是直线，又，且抛物线过，故，再分类讨论判断即可得解． 【详解】解：由题意，∵， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大． 又∵抛物线过， ∴对称轴是直线． 又∵，且抛物线过， ∴． ∴． ①当时，， ∴； ②当时，， ∴； ③当时，， ∴无解； 综上所述，或． 故答案为：或． 14．（24-25九年级上·山东淄博·期末）已知二次函数（，为常数，且），当时的函数值与当时的函数值相等，则当时的函数值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，根据题意得到是解答本题的关键． 由当时的函数值与当时的函数值相等可得，即，从而得到函数解析式为，继而即可求得时的函数值． 【详解】解：当时的函数值与当时的函数值相等， 二次函数图象的对称轴，即， 则二次函数的解析式为， 当时，， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴只有一个交点，与平行于轴的直线交于、两点，若，则点到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性．由题意知，对称轴为直线，，两点的纵坐标相同，设为，有，点A的横坐标是，点的横坐标是，由，可知，计算求解即可． 【详解】解：∵与轴只有一个交点， ∴，对称轴为直线， ∵抛物线与平行于轴的直线交于，两点， ∴，两点的纵坐标相同，设为， 则时，， 解得：， ∴点A的横坐标是，点的横坐标是， ∵， ∴， 解得：； 故答案为：． 16．（24-25九年级上·吉林松原·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是抛物线与轴的交点，点是这条抛物线上的另一点，且轴，则以为边的正方形的周长为 ． 【答案】 【分析】此题考查二次函数的性质，正方形的性质，根据二次函数的性质得出、关于对称轴对称，根据点的横坐标得出长，再根据正方形的性质求出即可． 【详解】点是抛物线与轴的交点，点是这条抛物线上的另一点，且轴， 的横坐标为，、关于对称轴对称， 点的横坐标是，则 即正方形的边长是， 所以正方形的周长是， 故答案为：． 题型三 根据二次函数的对称性求最短路径（共4小题） 17．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图所示，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且 ，点、是直线上的两个动点，且（点在点的上方），给出以下结论：①；②且，则；③若是抛物线上除顶点外的任意一点横坐标，则；④的最小值是其中说法正确的有 ．（填写正确结论的序号） 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，平行四边形的性质与判定，已知两点坐标求两点距离等；①先求出点的坐标，求出求出点的坐标即可求出抛物线解析式，从而求出点的坐标，即可判断①；根据对称性得出，即可判断②，根据二次函数的性质得出最大值为，即可判断③；取 ，连接，，，可证四边形是平行四边形，得到，则四边形的周长，再由点，关于直线对称，得到，则，故当、、三点共线时，最小，最小为，即此时最小，即可判断④． 【详解】解：点是抛物线与轴交点， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， ， 抛物线解析式为， 抛物线对称轴为直线， 令，则， 解得或， 点的坐标为， ∴，故①正确； ∵且， 设，则关于对称， ∴，故②错误， ∵时，函数有最大值为， 若是抛物线上除顶点外的任意一点横坐标，则纵坐标为， ∴ 即，故③正确 取 ，连接，，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 点，关于直线对称， ， ， 当、、三点共线时，最小，最小为，即此时最小， ， 四边形的最小值为．故④正确 故答案为：①③④． 18．（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如下图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点的左侧，点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式． (2)是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式、二次函数和一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握函数图象上点的特征． （1）由题意得点的坐标为，将点的坐标代入抛物线即可求得答案； （2）因为抛物线的对称轴为直线，点和点关于对称轴对称，的值最小转化为求，结合（1）求得点的坐标，利用点的坐标求得直线解析式，即可求得答案． 【详解】（1）解：点的坐标为，， ， 即点的坐标为． 将代入，得， 解得 故答案为：抛物线的解析式为． （2）解：由抛物线的解析式，得对称轴为直线， 是抛物线对称轴上的一个动点， 设点的坐标为． 连接交直线于点，连接，如图． 点关于对称轴的对称点为，即 的值最小为， 设直线的解析式为． 将代入，得， 解得 直线的解析式为． 当时，． 故当的值最小时，点的坐标为． 故答案为： 19．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）如图，已知：二次函数的图象与轴交于，两点，其中点坐标为，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线的对称轴上有一动点，求出当最小时点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、求一次函数的解析式、最短路线问题． 把点、点的坐标代入，用待定系数法求出二次函数的解析式； 根据两点之间线段最短可知，当点、、三点共线时，最小，用待定系数法求出直线的解析式，直线与抛物线对称轴的交点即为点． 【详解】（1）解：把点、点的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式是； （2）解：如下图所示，连接交对称轴于点，连接， 点、关于对称轴对称， ， ， 当点、、三点共线时，最小， 设直线的解析式是， 把点、点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 抛物线的对称轴是， 当时，， 点的坐标是． 20．（25-26九年级上·山东滨州·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线解析式和点坐标； (2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值； (3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点，依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可； （2）根据抛物线的对称性，得到，得到,,当三点共线时，的值最小，为的长，求出直线的解析式，解析式与对称轴的交点即为点的坐标，两点间的距离公式求出的长，即为最小值； （3）根据题意，补全图形，设，得到，将的最大值转化为二次函数求最值，即可得解． 【详解】（1）解抛物线的对称轴是直线， ， ， 抛物线与轴交于，两点，点的坐标是，， 联立得，解得， 即该二次函数的解析式为， 令得，解得或， 点的坐标为． （2）如图，连接，线段与直线的交点就是所求作的点， 设直线的解析式为， 把和代入得，解得， 直线的解析式为， 当时，， ，在中，， 点，关于直线对称，， ．    （3）解：如图补全图形，由（1）得抛物线的解析式为，由（2）得，故设，则， ， 过点作，垂足为，则是等腰直角三角形， ， ， 当时，有最大值，此时点． 题型四 定轴定区间求最值问题（共8小题） 21．（24-25九年级上·广西河池·期末）二次函数有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数图象的开口向下，对称轴是直线， ∴当时，该函数有最大值， 故选：A． 22．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数的图象经过点，则代数式有（ ） A．最小值 B．最小值2 C．最大值 D．最大值2 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质是解题关键．将点代入二次函数解析式，得出，再代入代数式得到关于的二次函数，再求最值即可． 【详解】解：二次函数的图象经过点， ， ， ， ， 代数式有最大值2， 故选：D． 23．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为、，二次函数（，是常数）的图像的顶点在线段上，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图像上点的坐标特征，熟知二次函数的图像和性质是解题的关键； 先用，表示出二次函数图像的顶点坐标，再结合该顶点在线段上即可解决问题； 【详解】解：∵二次函数解析式为（，是常数）， 顶点坐标为， 又，， 直线的函数解析式为， 二次函数图像的顶点在线段上， ，且， 则， 当时，有最大值为； 故选：B 24．（24-25九年级上·山东烟台·期末）形状与抛物线相同，并且图象有最低点，则抛物线可能是（  ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数的性质，二次函数的最值，根据二次函数的性质判断即可． 【详解】∵所求抛物线与抛物线的图象形状相同， ∴所求抛物线的二项式的系数为1或， 所求抛物线的图象有最低点， ∴所求抛物线的二次项系数为1， ，A正确，BCD均有抛物线的二次项系数为的式子，BCD错误， 故选：A． 25．（24-25八年级下·重庆·期末）当时，二次函数有最大值m，最小值n，则的值为 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，将二次函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，有最小值为， ∵， ∴当时，，当时，， ∵当时，二次函数有最大值m，最小值n， ∴，， ∴， 故答案为：． 26．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）二次函数在范围内的最大值与最小值的差为 ． 【答案】36 【分析】此题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，已知自变量的值求函数值，正确理解函数的开口方向确定最值是解题的关键． 将函数化为顶点式，确定函数的最小值，再分别计算时，当时的函数值，得到函数值的范围即可． 【详解】解：， 抛物线开口向上，抛物线对轴为直线，当时，有最小值0， 当时，， 当时，， 当时，最大值为36，最小值为0， 二次函数在范围内的最大值与最小值的差为：． 故答案为：36． 27．（24-25九年级上·贵州黔南·期末）已知抛物线经过点． (1)求这条抛物线对应的函数解析式； (2)当时，的取值范围是___________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）把已知点的坐标代入中求出a的值，从而得到抛物线解析式； （2）先利用配方法得到顶点式，则当时，y有最小值2，再分别计算出和对应的函数值，然后根据二次函数的性质求解． 【详解】（1）∵抛物线经过点， ∴， 解得． ∴这条抛物线对应的函数解析式为； （2）∵， ∴当时，y有最小值，最小值为2， 当时，； 当时，， 当时，y的取值范围为． 故答案为：． 28．（24-25九年级上·广东汕尾·期末）已知二次函数的图象交轴于点，，交y轴于点． (1)求此二次函数的解析式；（结果用一般式表示） (2)当时，求函数值y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题、待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是关键． （1）设交点式，然后把点坐标代入求出值即可； （2）结合函数性质，写出当时对应的函数值的范围即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，， 设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 所以抛物线的解析式为， 即； （2）解：抛物线与轴交点坐标为，， 抛物线的对称轴为直线， 当时，，函数最大值为， 当时，， 当时，， 当时，函数值的取值范围为：． 题型五 定轴动区间求最值问题（共6小题） 29．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知点A（，）（）是二次函数（）图象上一点，当时，二次函数的最大值和最小值分别为6和，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的增减性、区间最值，结合对称轴对区间进行分类讨论是解题的关键． 把代入中可得函数解析式，进而可得二次函数开口向上以及对称轴，结合知区间的中点在对称轴的右侧，由于区间中点在对称轴右侧，故函数在区间右端点的值大于左端点的值，再对区间左端点分类讨论即可． 【详解】解：∵把代入中，得：, ∴， ∴函数解析式为：， ∵， ∴二次函数开口向上，对称轴为轴， ∵， ∴，， ①当，即时，函数在处取得最大值，在处取得最小值， ∴， 解得：， 且， 则有， 解得：； ②当，即时，函数在处取得最大值， ∴， 解得：，这与矛盾，故不成立； 综上可得：． 故答案为： ． 30．（24-25九年级上·江苏常州·期末）已知二次函数的图像如图所示，交轴于点、两点，若该函数在的范围内有最小值为，最大值为12，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，先利用交点式写出抛物线解析式为，再利用配方法得到，则当时，y有最小值为，再解方程得，，即自变量为或7时，函数值为12，然后利用该函数在的范围内有最小值为，最大值为12，从而确定的取值范围． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴抛物线解析式为， 即， ∵， ∴当时，y有最小值为， 当时，， 解得，， ∵该函数在的范围内有最小值为，最大值为12， ∴． 故答案为：． 31．（24-25九年级上·广东惠州·期末）若点、在二次函数的图象上，当时，函数的最大值为9，最小值为，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由，当时，取最大值为9；抛物线上的点离对称轴越远函数值越小，结合当时，函数的最大值为9，最小值为，故，且，进而可以判断得解． 【详解】解：， 当时，取最大值为9， 抛物线上的点离对称轴越远函数值越小，当时，函数的最大值为9，最小值为， ，且， ， 故答案为：． 32．（24-25九年级上·安徽宣城·期末）当，函数的最小值为2，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数图象上的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数解析式得到二次函数开口向上，在时取得最小值，再结合二次函数最值情况进行求解，即可解题． 【详解】解：， ， 二次函数开口向上，在时取得最小值， 当，函数的最小值为2， 当时，，解得或（不合题意，舍去）， 当时，，解得或（不合题意，舍去）， 综上所述，m的值为或． 33．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知二次函数过点． (1)求二次函数的解析式； (2)当时，求二次函数的最小值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的和为6，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2或 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值． （1）依据题意，由在的图象上，可得，则，进而可以得解； （2）依据题意，由二次函数为，从而当时，y取最大值为8，结合当时，；当时，，进而可以判断得解； （3）根据对称轴直线在范围内外分情况讨论，分别求出最值，再利用二次函数的最大值与最小值的和为6列方程，求出t即可判断得解． 【详解】（1）解：把代入得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵二次函数为， ∴当时，y取最大值为8， 当时，， 当时，， ∴时，当时，二次函数的最小值； （3）解：当对称轴直线在范围内时，，即， 由（2）得，当时，， ∵当时，二次函数的最大值与最小值的和为6， ∴当或时，有最小值为，即， 解得， 当时，不满足； 当时，，不满足； ∴当对称轴直线在范围内时，二次函数的最大值与最小值的和不可能等于6， ∴范围在直线的一边， ∴当、时，函数有最大值或最小值， ∴， 解得，． 即的值为2或． 34．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）已知二次函数（，为常数）的图象经过点，对称轴是直线． (1)求此二次函数的表达式． (2)求二次函数的最大值． (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）根据二次函数的对称轴可得的值，再将点代入可得的值，由此即可得； （2）将二次函数的解析式化成顶点式即可得； （3）先求出当时，；当时，；当时，，再结合二次函数的图象即可得． 【详解】（1）解：∵二次函数的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为， 将点代入二次函数得：， 解得， ∴此二次函数的表达式为． （2）解：二次函数， ∵这个抛物线的开口向下，对称轴是直线， ∴当时，取得最大值，最大值为． （3）解：对于二次函数， 当时，；当时，， 由二次函数的对称性可知，当时，， 画出函数的大致图象如下： ∵当时，二次函数的最大值与最小值的差为，且， ∴结合函数图象可知，． 题型六 动轴定区间求最值问题（共6小题） 35．（24-25八年级上·江西景德镇·期末）已知关于的二次函数，其中为实数，当－2≤≤1时，的最小值为4，满足条件的m的值为 或 ； 【答案】 【分析】本题考查二次函数的最值，二次函数的性质，正确理解二次函数的性质是本题解题的关键． 由题求得抛物线的对称轴为直线，分类讨论，，，根据函数的增减性，即可得出答案． 【详解】解：原式变形为， 对称轴为， 二次函数当时，有最小值为4， ①当时， 当时，有最小值为4， ， 解得：,(舍去)， ②当时， 当，有最小值为， 化简整理得， 解得：（舍去），（舍去）， ③当时， 当，有最小值为， 化简整理得， 解得：（舍去）， 满足条件的m的值为或． 故答案为：；． 36．（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于点． (1)若将点向右平移4个单位，再次落在该函数的图象上，则的值为____________； (2)在（1）的条件下，若点，均在该函数的图象上，且，求的取值范围； (3)当时，这个二次函数的最小值为3，求的值． 【答案】(1)2 (2) (3)或5 【分析】本题主要考查了二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化——平移，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由二次函数的图象交轴于点，可得，又将点向右平移4个单位得到，故此时在二次函数上，从而计算得解； （2）依据题意，由点，在二次函数的图象上，从而，，结合，故，进而计算可以得解； （3）依据题意，分当、和进行分类讨论，进而计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意，二次函数的图象交轴于点， ， 将点向右平移4个单位得到， 又此时在二次函数上， ， ， 故答案为：2； （2）解：∵点，在二次函数的图象上， ，         ，         ， ，         ． （3）解：①当时， 二次函数在的范围内随的增大而增大， 当时，的最小值为3． ， 解得，（舍去）；         ②当时， 二次函数的最小值为，不合题意，舍去；         ③当时， 二次函数在的范围内随的增大而减小， 当时，的最小值为3． ， 解得（舍去），． 综上可知，的值为或5． 37．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）已知抛物线． (1)若点在抛物线上． ①求抛物线的对称轴； ②当时，的最大值为，求抛物线的函数表达式； (2)当时，（）最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】(1)①直线；② (2)或 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、解一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）①将点代入函数表达式得到，再利用二次函数的性质求解即可；②根据二次函数的开口方向和对称轴方程可得函数的最大值为，进而求得c值即可； （2）先得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，则当时，该函数的最小值为，然后分当时和当时两种情况，分别利用二次函数的性质得到最大值，再根据已知列方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵点在抛物线上， ∴，解得， ∴， ∴该抛物线的对称轴为直线； ②∵该抛物线的开口向上，对称轴为直线， 又∵时， ∴当时，y有最大值，最大值为， ∵当时，的最大值为， ∴， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：由得抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∵，， ∴当时，该函数的最小值为， 当时，当时，该函数取得最大值， ∵最大值与最小值的差为， ∴，即， 解得或（不合题意，舍去）； 当时，当时，该函数取得最大值c， ∵最大值与最小值的差为， ∴，即， 解得或（不合题意，舍去）， 综上，符合题意的b值为或． 38．（24-25九年级上·广西南宁·期末）已知：二次函数． (1)当时， ①求这个二次函数的解析式及其对称轴； ②已知点与分别在该拋物线对称轴两侧的图象上，且，求m的取值范围； (2)将这个二次函数图象向右平移个单位长度，若平移后的二次函数图象在的范围内有最大值为，求k的值． 【答案】(1)（1）①； ② (2)或 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握二次函数顶点式的特点，最值的计算方法，对称性是解题的关键． （1）①把代入得到二次函数解析式，再配方得到顶点式，由此即可求解；②把点点与代入抛物线得到，，根据题意可得，解得，再根据点在该抛物线对称轴两侧的图象上，得到，解得，由不等式解集的取值方法即可求解； （2）根据二次函数平移的规律可得平移后的二次函数的解析式为， 分类讨论：若，①当时，由对称性可得，当时，y有最大值；②当时，由对称性可得，当时，y有最大值；若，当时，在的范围内y的最大值是，而不是；由二次函数最值的计算即可求解． 【详解】（1）解：①当时， 二次函数的解析式为， 配方可得：， 对称轴是直线； ②点与分别在该抛物线的图象上， ，， ， ， 解得：， 点与分别在该抛物线对称轴两侧的图象上， ， ， ． （2）解：二次函数的解析式为，配方可得：， 将二次函数图象向右平移个单位长度， 平移后的二次函数的解析式为， 若， ①当时， 由对称性可得，当时，y有最大值， 把代入，得， 解得：，， ， ； ②当时， 由对称性可得，当时，y有最大值， 把代入，得， 解得：，， ， ； 若， 当时，在的范围内y的最大值是，而不是， 不符合题意，舍去． 综上，k的值为或． 39．（24-25九年级上·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数． (1)若对称轴为直线，与y轴交于点． ①求抛物线的顶点坐标． ②当时，求y的取值范围． (2)若，当时，的最大值与最小值的差为，求b的值． 【答案】(1)①② (2)b的值为或 【分析】（1）①根据已知条件用待定系数法求出表达式并求出顶点坐标；②根据二次函数性质求出在自变量相应的范围内函数值的范围即可； （2）根据题意分类讨论对称轴的位置，从而得出的最大值与最小值，即可求出结论． 【详解】（1）解：二次函数，对称轴为直线，与y轴交于点， ， ， 二次函数表达式为， ①， 抛物线的顶点坐标是； ②， 当时，y取最小值为， 当时，； 当时，； 当时，； （2）解：由题意得：二次函数对称轴为直线， 二次函数图像开口向上， 当时，y随x增大而减小；当时，y随x增大而增大， ， 对称轴， 当对称轴，即时， 当时，y随x增大而减小， 当时，y取最大值为； 当时，y取最小值为； 当时，的最大值与最小值的差为， ， 解得：（不合题意舍去）； 当对称轴，即时， 当时，y最小值为， 当时，； 当时，； ①当时，y最大值为时， ， ， ， 当时，的最大值与最小值的差为， ， 解得：（不合题意舍去）； ②当时，y最大值为时， ， ， ， 当时，的最大值与最小值的差为， ， 解得：或（不合题意舍去）； 综上所述，b的值为或． 40．（24-25九年级上·河北唐山·期中）规定1：一个点纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”． 例如：点，则它的“纵横值”为． 规定2：若点是函数图象上任意一点，则函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如：点在函数图象上，图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 根据规定，解答下列问题： (1)点的“纵横值”为______； (2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求的值； (3)若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为2，求的值． 【答案】(1)8； (2)的值为4； (3)的值为或5． 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了二次函数的图象及性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，学会二次函数求最值的方法，理解最优纵横值的定义是解题的关键． （1）根据纵横值的定义直接求解即可； （2）由抛物线的对称轴公式可以求得，得到二次函数的解析式为，再通过配方法得到，结合函数的最优纵横值为5，得到，即可求解的值； （3）先得到二次函数的纵横值为，再令，则由题意得：当时，w的最大值为2，再分类①；②；③，讨论3种情况即可求解的值． 【详解】（1）解：点， 它的“纵横值”为． （2）的顶点在直线上， ， 解得：， 二次函数为， 二次函数纵横值为， 当时，有最大值， 又的最优纵横值为5， ， 解得：， 的值为4． （3）二次函数纵横值为， 令，则由题意得：当时，w的最大值为2， 下面分3种情况讨论： ①若， 当时，w的最大值为， ， 解得：， ， 舍去， ； ②若， 当时，w的最大值为， 无解； ③若， 当时，w的最大值为， ， 解得：， ， 舍去， ； 综上所述，的值为或5． $高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02二次函数对称性与最值类考点专练 题型归纳·内容导航 题型1已知抛物线上对称的两点求对称轴（重点） 题型4定轴定区间求最值问题（重点) 题型2根据二次函数的对称性求函数值（重点） 题型5定轴动区间求最值问题（重点） 题型3根据二次函数的对称性求最短路径 题型6动轴定区间求最值问题（重点） 题型通关·靶向提分 题型一已知抛物线上对称的两点求对称轴（共8小题） 1.(24-25九年级上江西赣州期末)将抛物线y=ax2-4ax+c(a<0)向左平移t(t>0)个单位长度后得 到新抛物线，若新抛物线与直线相交于P(t,m),Q(t-2,m),则t的值为() A.3 B.2 c.2 D. 2.(24-25九年级上浙江杭州·期末)若抛物线Ly=x2+bx+3经过点P(1,n),则下列各点，必在抛物线 L上的是() A.(-1n) B.(-1,-n) C.(b-1,n) D.(-b-1n) 3.(24-25九年级上江西南昌期末)约定：当x=1时，代数式2x2+mx+n的值记为C1:当x=2时，代 数式2x2+mx+n的值记为C②：若Cm)=C+),且m知+1，则Cu+C23的值为() A.6 B.8 C.10 D.12 4.(25-26九年级上河北期末)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,2)，点B的坐标为(6,2) ·若抛物线y=-3(x-h)2+kh,k为常数)与线段AB交于C,D两点，且CD=专AB,则k的值为」 5.(24-25九年级上浙江金华期末)已知二次函数y=x2+2026x+c图象上有两个不同点 A(a,m),B(b,m),则a十b= 6.(24-25九年级上辽宁葫芦岛期末)如图，抛物线y=ax2+bx十c与x轴相交于点A(1,0),点B(5,0), 与y轴相交于点C,点D在抛物线上，当CDK轴时，CD= 1/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A O C 7.(24-25九年级上安徽蚌埠期末)已知N(my),N(n,y2)是抛物线y=x2+bx+c上任意两点. (1)若当m=0,n=2时，yy2,则b= ·； (2)若对于任意0<m<1,1<n<2,都有yy2,则b的取值范围是 8.(24-25九年级上浙江金华.期末)在平面直角坐标系中，已知二次函数y=x2+bx+c(a,b,c是常数， 且a>0)的图象上有点A(2,m),点B(6,n),设图象的对称轴为直线x=t. (1)若m=n,则t的值为 (2)若mn<c,则t的取值范围为 题型二根据二次函数的对称性求函数值（共8小题） 9.(24-25八年级下福建福州期末)已知点A(xy),B(x2J2)为抛物线y=ax2-4ax+1(a>0)上的 两点，当t<1<t1,t+2X2<t+3时，下列选项正确的是() A.若t≤0，则y1y2 B.若t21,则yy2 C.若0<t≤1时，都有yy2 D.若t>2,存在yy2 10.(2425八年级下湖南长沙期末)若点A(-2,y1)B(2y2)C(3y3)在抛物线y=2x+1)2+m上， 则yVy3的大小关系是() A.y 2 ys B.y2 y ys C.y2-ys<y D.ys y2 V 11.(24-25九年级上湖北咸宁期末)抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=支，与直线y2=x+b交于 点A(-1,0),B(4,3),则满足不等式组y2y1>0的整数x共有() B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 12.(2425九年级上河南郑州期末)已知点(-3y1)(-1y2)(2y3)在函数y=-2x243图象上，则 yyy3的大小关系是() A.y V2 V3 B.y2 y ys C.y ys y2 D.ys y2V1 13.(24-25九年级上·浙江金华.期末)已知抛物线y=-x2+bx-5(b>0)上有 A(y)B(3y2)C(t+2,y1)三点，且yy2>-5,则t的取值范围是 14.(24-25九年级上山东淄博·期末)已知二次函数y=mx2+nx+2024(m,n为常数，且m≠0)，当 x=5时的函数值与当x=2020时的函数值相等，则当x=2025时的函数值为 15.(2425九年级上四川绵阳期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=(x-h)2与x轴只有一个交 点M,与平行于x轴的直线交于A、B两点，若AB=3,则点M到直线的距离为 VA M 16.(24-25九年级上·吉林松原期末)如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线 y=(x+2)2+(a≠0)与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB引k轴，则以AB为边的正方形 ABCD的周长为一· 题型三根据二次函数的对称性求最短路径（共4小题） 17.(24-25九年级上山东烟台期末)如图所示，抛物线y=-x2+bx+3与x轴交于点A和点B,与y轴交 于点C,且0A=OC,点M、N是直线x=-1上的两个动点，且MN=2(点N在点M的上方)，给出以下结 论：①0B=1;②-x十bx1=-3十bx2且81x2,则X1十82=-1；③若m是抛物线上除顶点外的任意一点 横坐标，则-1b>一m2+bm:④BM+CN的最小值是√10其中说法正确的有_一·（填写正确结论的 序号) 3/8 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M A 18.(24-25九年级上新疆乌鲁木齐期中)如下图，抛物线y=x2+bx+C与y轴交于点C,与x轴交于A,B 两点，点A在点B的左侧，点B的坐标为(1,0)，0C=30B, (1)求抛物线的解析式. (2)M是抛物线对称轴1上的一个动点，当MB+MC的值最小时，求点M的坐标. 19.(25-26九年级上·甘肃武威期中)如图，己知：二次函数y=X2十bx+C的图象与x轴交于A,B两点， 其中A点坐标为(-3,0)，与y轴交于点C(0,-3). B (1)求抛物线的表达式： (2)抛物线的对称轴上有一动点P,求出当PB+PC最小时点P的坐标 20.(25-26九年级上·山东滨州期中)如图，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A,B两点，与y轴交 于点C.已知点A的坐标是(-1,0)，抛物线的对称轴是直线x=1· B B 01出 O1 备用图 4/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线解析式和B点坐标； (2)在对称轴上找一点P,使PA+PC的值最小，求点P的坐标和PA+PC的最小值； (3)第一象限内的抛物线上有一动点M,过点M作MNLx轴，垂足为N,连接BC交MN于点Q,依题意补全图 形，当MQ+√2CQ的值最大时，求点M的坐标。 题型四定轴定区间求最值问题（共8小题） 21.(24-25九年级上广西河池期末)二次函数y=-(x+1)2-2有() A.最大值-2B.最小值-2 C.最大值2 D.最小值2 22.（24-25九年级上江苏无锡期末)已知二次函数y=x2+mx+n的图象经过点(1,3)，则代数式mn+1 有() A.最小值-2B.最小值2 C.最大值-2 D.最大值2 23.(24-25九年级上江苏无锡期末)如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为(4,0)、 (0,-2),二次函数y=-2+2aX十b(a,b是常数)的图像的顶点在线段AB上，则b的最大值为() A.晋 B.-器 c.号 D.器 24.（24-25九年级上·山东烟台·期末)形状与抛物线y=-x2+8相同，并且图象有最低点，则抛物线可能 是() A.y=x2+8x+7 B.y=-x2+8x+7 C.y=-x2-8x+7 D.y=x2+8x+7或y=-x2+8x+7 25.（24-25八年级下.重庆·期末)当-1≤x≤3时，二次函数y=x2-4x+5有最大值m,最小值n,则 m-n的值为 26.(24-25八年级下·辽宁盘锦·期末)二次函数y=x2-2x+1在-5≤x≤3范围内的最大值与最小值的差 为一 27.(24-25九年级上·贵州黔南期末)已知抛物线y=ax2-2x+3(a≠0)经过点(2,3). (I)求这条抛物线对应的函数解析式： (2)当0≤x≤4时，y的取值范围是 5/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 28.(24-25九年级上广东汕尾期末)已知二次函数的图象交x轴于点A(-1,0),B(3,0),交y轴于点 C(0,3). ()求此二次函数的解析式：（结果用一般式表示） (2)当-2Sx≤2时，求函数值y的取值范围， 题型五定轴动区间求最值问题（共6小题） 29.(24-25九年级上·浙江金华期末)已知点A(m,2m)(m>2)是二次函数y=x2+k(a>0)图象 上一点，当m一4≤x≤m时，二次函数的最大值和最小值分别为6和一2，则a的值为一 30.（24-25九年级上江苏常州期末)已知二次函数y=x2十bx+C的图像如图所示，交x轴于点A、B两点， 若该函数在-1≤x≤m的范围内有最小值为-4，最大值为12，则m的取值范围是_ A1,0) /B(5,0) 31.（24-25九年级上·广东惠州期末)若点P(m-2t1)、Q(mt2)在二次函数y=-x2+4x+5的图象上， 当m一2≤m时，函数的最大值为9，最小值为t2,则m的取值范围是一· 32.(24-25九年级上·安微宣城期末)当m≤≤m+1,函数y=x2-2x-1的最小值为2，则m的值为 33.（24-25九年级上浙江金华.期末)已知二次函数y=ax2-(a-2)8+6过点(3,0). (1)求二次函数的解析式： (2)当0≤x≤5时，求二次函数的最小值： (3)当t≤≤t+1时，二次函数的最大值与最小值的和为6，求t的值. 34.(24-25九年级上浙江宁波期末)已知二次函数y=-x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点 A(3,2),对称轴是直线x= ()求此二次函数的表达式. (2)求二次函数y=-x2+bx十c的最大值， (3)当0≤x≤t时，二次函数y=一x2+bx+c的最大值与最小值的差为后，求t的取值范围， 题型六动轴定区间求最值问题（共6小题） 35.(24-25八年级上江西景德镇·期末)已知关于x的二次函数y=3x26mx+4m2+2m+2,其中m为 6/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 实数，当一2≤x≤1时，y的最小值为4，满足条件的m的值为 或 36.(24-25九年级上江苏南通期末)已知平面直角坐标系x0y中，二次函数y=(x-t)2-1的图象交y轴 于点P (I)若将点P向右平移4个单位，再次落在该函数的图象上，则t的值为 (2)在(1)的条件下，若点(my),（m+3y2)均在该函数的图象上，且y:y2,求m的取值范围： (3)当1≤x≤3时，这个二次函数的最小值为3，求t的值. 37.（24-25九年级上安微合肥·期末)己知抛物线y=x2-2bx+c. (1)若点(2，c)在抛物线上. ①求抛物线的对称轴； ②当0≤x≤3时，y的最大值为4，求抛物线的函数表达式； (2)当0≤x≤1时，y=x2-2bx+c(0<b<1)最大值与最小值的差为屏，求b的值. 38.（24-25九年级上广西南宁.期末)已知：二次函数y=ax2+4ax+3a(a≠0). (1)当a=1时， ①求这个二次函数的解析式及其对称轴； ②已知点(my与(m+3,y)分别在该拋物线对称轴两侧的图象上，且yy2,求m的取值范围； (2)将这个二次函数图象向右平移k(0<k<2)个单位长度，若平移后的二次函数图象在-2≤x≤0的范围内 有最大值为a,求k的值. 39.(24-25九年级上山东聊城期末)在平面直角坐标系x0y中，己知二次函数y=X2+bx+C. (1)若对称轴为直线x=-1,与y轴交于点(0，-3). ①求抛物线的顶点坐标， ②当-3≤x≤4时，求y的取值范围. (2)若b<0,当0≤x≤1时，y=x2+bx+c的最大值与最小值的差为号，求b的值 40.(24-25九年级上河北唐山期中)规定1：一个点A(xy)纵坐标y与横坐标x的差“y-x”称为点A的“纵 横值”. 例如：点A(1,3),则它的“纵横值”为3-1=2. 规定2：若点A(xy)是函数图象上任意一点，则函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优 纵横值”. 例如：点A(y)在函数y=2x+1(3≤≤6)图象上，图象上所有点的“纵横值”可以表示为 y-X=2x+1-X=X+1,当3≤x≤6时，x+1的最大值为6+1=7，所以函数y=2x+1(3≤6)的“最优 7/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 纵横值”为7. 根据规定，解答下列问题： (1)点B(-6,2)的“纵横值”为： (2)若二次函数y=-x2+bx+c的顶点在直线x=号上，且最优纵横值为5，求c的值； (3)若二次函数y=-x2+(2b+1)x-b2+3,当-1≤x≤4时，二次函数的最优纵横值为2，求b的值. 8/8