专题01 二次函数系数与图象的关系类考点专练（期末复习专项训练）九年级数学上学期沪科版

高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01二次函数系数与图象的关系类考点专练 题型归纳·内容导航 题型1二次函数图象与各项系数（重点） 题型2根据二次函数的图象判断式子的符号（重点) 题型通关·靶向提分 题型一二次函数图象与各项系数（共10小题） 1.(24-25九年级上广西防城港·期末)若抛物线y=x2+2x的开口向下，则a的值可以是() A.1 B.0 C.-1 D.2 2.(24-25九年级上浙江湖州期末)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)，满足 a一b=ab=c,则以下结论正确的是() A.若a=-2,该函数图象经过点(1,2) B.若c=2,该函数图象经过点(1,2) C.若a,b,c的绝对值相等，则该函数图象可能经过点(1,2) D.若a,b,c中有两数相等，则该函数图象可能经过点(1,2) 3.(24-25九年级上山东临沂·期末)二次函数y=ax2bx十c的图象如图所示，对称轴是直线x=-1,则 过点M(-c,2a-b)和点N(a-b+cb2-4ac)的直线一定不经过() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.(24-25九年级上云南昭通·期末)已知，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点P(a,c)所在的 象限是() 1/13 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.(24-25九年级上山东淄博期末)已知二次函数y=ax2+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+c的图 象一定经过() A.第一、二、三象限 B.第二、三、四象限 C.第一、二、四象限 D.第一、三、四象限 6.(24-25九年级上江苏南京期末)已知函数y=x2+bx+c(a,b,c是常数，且a≠0)图象经过 (0,2),(3,-1),(1m)三点.下列结论：①3a+b=-1;②如果0x<3,那么-1y<2;③如果a>0 ,那么m<1.其中所有正确结论的序号是() A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 7.(24-25九年级上广西柳州期末)抛物线y=ax2+bx十c(a≠0)的图象如图所示，则下列选项中正确的 是() A.a>0,b>0,c>0 B.a<0,b<0,c>0 C.a<0,b>0,c<0 D.a>0,b<0,c<0 8.(24-25九年级上·重庆渝中.期末)二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示，则c的值可能是() 2/13 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.-2 B.-1 C.0 D.3 9.(24-25九年级上·辽宁鞍山期末)二次函数y=ax2+bx+c,其中a<0,b>0,c<0,这个函数的图象大致 是() 1 10.(23-24九年级上安微合肥期末)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点(b,)在（) A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 题型二根据二次函数的图象判断式子的符号（共30小题） 11.(25-26九年级上·河南安阳·期末)二次函数y=ax2十bx+c的图像如图所示，则下列结论正确的是(） A.abc>0a+b+c>0 B.abc<0a+b+c<0 C.abc>0,a+b+c<0 D.abc<0,a+b+c>0 12.(24-25九年级上河北张家口期末)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴相交于 点A(-3,0),B(1,0);则下列结论错误的是() 3/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B A.abc<0 B.若点(-4y1),（y2)在抛物线上，则yy2 C.b2-4ac>0 D.对任意实数m,am2+bm≥a-b均成立 13.（25-26九年级上湖北期末)己知二次函数y=ax2+bx十c(a≠0)图象的对称轴为直线x=-1,部分 图象如图所示，下列结论中：①a=b:②5a+c>0:③若t为任意实数，则有a-bt≤atP+b:④点 (1,2)在抛物线上时，方程ax2+bx+C-2=0的两根为X1X2(81X2),则X1十2x2二-1，其中正确的结 论的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 14.(24-25九年级上山东烟台期末)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-2.下列 说法：①abc<0;②c-3a>0;③当x>-1时，y随x的增大而减小；④4a22ab≥a2t2+abt(t为任意 实数)，其中正确的个数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 15.(24-25八年级下·重庆期末)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，下列说法正确的是 () 4/13 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 x=1 1234 A.abc>0 B.b=2a C.9a+3b+c<0 D.3a+c>0 16.(24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点 A(1,0),与y轴交于点C,对称轴为x=-1·给出五个结论：①b2>4ac;②2a+b=0;③ab+c<0: ④当x=-t2-2时，y≥2b-7a;⑤若0C=3,点P是抛物线对称轴上一点，则△APC周长的最小值为 3V2+V10,其中正确结论的个数是() O x=-1 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 17.(24-25九年级上河南驻马店·期末)丽从如图所示的二次函数y=ax2+bx十c的图象中，观察得出了下 面五条信息：①c<0;②abc>0;③a-b+c>0;④2a-3b=0;⑤4a+2b+c>0.你认为其中正确信息 的个数有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 18.(24-25八年级下·湖南长沙.期末)二次函数y=ax2+bx十c(a≠0)的图象如图所示.下列结论：① abc<0;②2a+b=0;③m为任意实数，则a+b≥am2+bm;④(a+c)2-b2>0;⑤若点(y1)和点 (2y2)都在抛物线上，则yy2·其中正确结论的个数有() 5/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 19.(24-25八年级下湖南长沙期末)如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=-1,与x轴的一个交点位于(-2,0)，(-3,0)两点之间，下列结论： ①bc<0;②2a-b<0;③若x1,x2为方程ax2+bx+c=0的两个根，则-3<X1X2<0;④若抛物线与x轴 的两交点和其顶点组成的三角形为等边三角形，则62_4ac=12,其中正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 20.(24-25九年级上江苏宿迁期末)如图，二次函数y=x2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的图象与 x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,对称轴为直线x=1,下列四个结论：①abc>0;②2a+c>0;③ am2+bm≥a+b(m为任意实数)：④若-<c<-,则-2<a+b+c<-1,其中正确结论为() A.①② B.①③ C.②③ D.①③④ 21.(24-25九年级上广东广州期末)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-2,0),B(4,0), 交y轴的正半轴于点C,对称轴交抛物线于点D,交x轴于点E,则下列结论：①2a+b=0;②abc>0;③ 3a十c<0;④△ABC的面积等于-24a,其中正确的有() 6/13 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D OE B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 22.(24-25九年级上湖北荆州期末)如图，函数y=ax2+bx+c经过点(3,0)，对称轴为直线x=1:① b2-4ac>0:②abc<0;③9a-3b+c=0:④5a+b+c=0;⑤若点A(a+1y1)、B(a+2,y2)在抛物线 上，则y:y2;⑥am2+bm≥a+b(m为任意实数)，其中结论正确的有(）个 0 A.2 B.3 C.4 D.5 23.(24-25九年级上山东泰安期末)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)关于直线x=1对称.下 列五个结论：①abc>0;②2a+b=0;③4a+2b+c>0;④am2+bm≤a+b;⑤3a+c<0;其中正确的有 () A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 24.(24-25九年级上山西长治期末)抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)的对称轴为直线x=-2, 过点(1，-2)和点(xoyg),有下列结论：①abc<0;②对任意实数m都有：am2+bm≥4a-2b;③ 16a十c>4b;④若-4X<0,则y。>℃.其中正确结论的个数为() 7/13 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 25.(24-25九年级上河南周口期末)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数且a≠0)的图 象关于直线x=1对称，则下列五个结论：①2a+b=0;②abc>0;③5a+b+c>0;④若k≠1，则 a(k2-1)+b(k-1)>0,其中正确的有() 2 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 26.（24-25九年级上·安微池州期末)如图是二次函数y=ax2+bx十c(a≠0，a,b,c为常数)图象的一部分， 与x轴的交点A在点(2,0)和(3,0)之间，对称轴是直线x=1,对于下列说法：①abc<0;②2a十b=0;③ 3a+c>0;④a+b≥m(am+b)(m为实数)；⑤当-1x<3时，y>0,其中正确的有() -10234x x=1 A.①②③ B.①②④ C.①②③⑤ D.①④⑤ 27.(24-25九年级上湖北期末)如图，已知顶点为(-3，-6)的抛物线y=x2+bx+c过(-1，-4)，则 下列结论：①abc<0;②对于任意的m,均有am2+bm十c+6>0;③5a-c=4;④若ax2+bx+c≥-4， 则x≥-1；⑤a=；⑥不等式ax2+bx+c>x-3的解集为-3x<-1;其中正确的个数为() 8/13 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.2 B.3 C.4 D.5 28.（24-25九年级上·广东东莞期末)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-2,抛物 线与x轴的一个交点在(-3,0)和(-4,0)之间，其部分图象如图所示.有下列结论：①4ab=0;② abc>0;③-3a+c>0:④4a-2b≥at2+bt(t为实数)；⑤若(-4y1),（-3y2),（-2y3)是该抛 物线上的三点，则y:y,y3·其中正确的个数是() -2 A.4 B.3 C.2 D.1 29.(24-25九年级上安徽准北期末)如图所示是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图像，该函数图像 的对称轴是直线x=1,图像与y轴交点的纵坐标是2.则下列结论：①2a+b=0;②方程ax2+bx十c=0一 定有一个根在-2和-1之间；③b-a<2;④方程ax2+bx+c-号=0一定有两个不相等的实数根；其中正确 的结论是() A.①② B.①③ C.①④ D.②④ 30.(24-25九年级上江西宜春期末)抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)经过点A(2,0)，抛物 线的对称轴为直线x=一1，点B(m,n)是抛物线上任意一点，有下列结论：①abc<0;②a十b+c>0;③ 4ac>b2:④一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为和-：⑤若-3≤m≤0，则-5an≤-9a.其中正 9/13 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 确结论的个数是() O A龙 x=-1 A.2 B.3 C.4 D.5 31.（22-23九年级上·安徽合肥期末)二次函数y=ax2十bx+C的图象如图所示，对称轴是直线x=1.下列 结论：①abc<0:②3a十c>0;③(a+c)2-b2<0;④a+b≤m(am+b)(m为实数).其中结论正确的为 32.（24-25八年级下·重庆·期末)已知二次函数y=x2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出下列结论： ①abc>0 ②若点(-1y1),(y2)均在二次函数图象上，则y1y2 ③-2a+c<0 ④对于任意实数m,总有am2+bm>a+b 其中正确的结论是： 33.(24-25九年级上江苏镇江·期末)平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+C(a≠0)的对称轴为直线 x=1,且经过A(-1,0),其部分图象如图所示，下列结论：①a>0;②2a-b=0;③点P(4,t)在抛物线 上，则t>0:④点Q(m,n)在抛物线上且n>c,则m<0,正确结论的序号是一· 10/13专题01 二次函数系数与图象的关系类考点专练 题型1 二次函数图象与各项系数（重点） 题型2 根据二次函数的图象判断式子的符号（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二次函数图象与各项系数（共10小题） 1．（24-25九年级上·广西防城港·期末）若抛物线的开口向下，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的性质得出，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：抛物线的开口向下， ， A.，故该选项不符合题意； B.，故该选项不符合题意； C.，故该选项符合题意； D.，故该选项不符合题意； 故选：C ． 2．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）二次函数（a，b，c为常数，且），满足，则以下结论正确的是（   ） A．若，该函数图象经过点 B．若，该函数图象经过点 C．若a，b，c的绝对值相等，则该函数图象可能经过点 D．若a，b，c中有两数相等，则该函数图象可能经过点 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数图象与系数关系，掌握二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数图象与系数关系是解题的关键． 根据条件逐一判断即可解答． 【详解】解：A、当时，，解得，，，当，，故A不符合题意； B、当时，，假设经过，则当，，即，又，故，此时与相矛盾，故B不合题意； C、若，，的绝对值相等，，，，则，不合题意，故C不合题意； D、若，则，，当，，当，；故D符合题意． 故选：D． 3．（24-25九年级上·山东临沂·期末）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，根据二次函数与y轴交于y轴的正半轴得到，根据对称轴计算公式得到，即，则在x轴负半轴上；由二次函数顶点在第二象限，得到当时，，再由二次函数与x轴无交点，得到，则点在第四象限，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数与y轴交于y轴的正半轴， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∴在x轴负半轴上； ∵二次函数顶点在第二象限， ∴当时，， ∵二次函数与x轴无交点， ∴， ∴点在第四象限， ∴经过点和点的直线一定经过第二、三、四象限，不经过第一象限， 故选：A． 4．（24-25九年级上·云南昭通·期末）已知，二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据二次函数图象判断系数的大小，平面直角坐标内的点所在的象限， 根据抛物线的开口方向可得，与y轴交点在负半轴可得，再判断点所在的象限． 【详解】解：根据图象可知，， ∴点在第四象限． 故选：D． 5．（24-25九年级上·山东淄博·期末）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，判定一次函数图象经过的象限，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 根据二次函数图象的性质判定，结合一次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：二次函数的图象如图所示， ∴， ∴一次函数的图象一定经过第一、二、四象限， 故选：C ． 6．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知函数是常数，且图象经过，三点．下列结论：①；②如果，那么；③如果，那么．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，把，代入整理后即可判断①；利用二次函数的性质，根据二次函数的最值即可判断②；把代入解析式即可判断③．正确理解二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：函数，，是常数，且图象经过，， ， 解得，故①正确； 如果为顶点时，抛物线开口向下， 那么时，，故②不正确； ， ， ， ， ， ，故③正确； 故选：B． 7．（24-25九年级上·广西柳州·期末）抛物线的图象如图所示，则下列选项中正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查根据二次函数图象判断各项系数的符号，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．根据抛物线的开口方向和对称轴的位置确定a、b的符号由抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∵， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在负半轴上， ∴， 故选：D． 8．（24-25九年级上·重庆渝中·期末）二次函数的图象如图所示，则c的值可能是（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象，根据抛物线与y轴的交点即可判断c的符号． 【详解】解：∵抛物线交y轴的正半轴， ∴， ∵只有D符合题意， 故c的值可能是3， 故选：D． 9．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期末）二次函数，其中，这个函数的图象大致是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图像的判断，根据可得出抛物线开口向下，再根据可得出对称轴在y轴右侧．再根据可得出抛物线交y轴于负半轴，进而可得出答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下， ∵， ∴对称轴直线 ∴对称轴在y轴右侧． ∵， ∴抛物线交y轴于负半轴， 故选：B． 10．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）二次函数的图象如图所示，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数系数符号的确定以及第三象限点的坐标特点，由抛物线的开口向下知，由与y轴的交点为在y轴的正半轴上可以得到，由对称轴在y轴的左侧为可以推出，然后根据象限的特点即可得出答案． 【详解】解：由图象可知 ∴， ∴点在第三象限， 故选C． 题型二 根据二次函数的图象判断式子的符号（共30小题） 11．（25-26九年级上·河南安阳·期末）二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握函数各项系数对图像的影响是解题的关键． 根据二次函数图像的开口方向，对称轴位置，与y轴交点，以及时的函数值，判断的符号和的符号． 【详解】解：函数开口向下， ， 函数对称轴为直线， ， 函数图像与y轴交于负半轴， 当时，， ， 根据图像可知当时，． 故选：C． 12．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，；则下列结论错误的是（    ） A． B．若点，在抛物线上，则 C． D．对任意实数m，均成立 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，根据抛物线与轴相交于点，，求出其对称轴，再由抛物线的开口方向，结合二次函数的性质即可判断得解． 【详解】解：抛物线与轴相交于点，， 对称轴是直线． ． ． 又图象可得，，， ． ，故A正确，不符合题意； 抛物线开口向上， 抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． 又， ，故B错误，符合题意； ∵函数图象与x轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴，故C正确，不符合题意； 对称轴是直线，且抛物线开口向上， 当时，取最小值为． 对于任意的，当时，函数值． ，故D正确，不符合题意； 故选：B． 13．（25-26九年级上·湖北·期末）已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：：：若为任意实数，则有：点在抛物线上时，方程的两根为，则，其中正确的结论的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据二次函数的图象判断式子符号，二次函数的图象性质，二次函数图象与各项系数符号，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据对称轴为直线，得， 结合函数图象，得当时，，且，得，当时，取得最小值，即，得二次函数与直线的一个交点为，即，，则，即可作答． 【详解】解：观察函数图象，得抛物线开口向上， ， 二次函数图象的对称轴为直线，即， ，故符合题意； 观察函数图象，当时，， ， 而， ， ， ，故符合题意； 时，取得最小值， （为任意实数）， ， 即，故符合题意； 点在抛物线上时，方程的两根为， 二次函数与直线的一个交点为， 二次函数图象的对称轴为直线， 二次函数与直线的一个交点为， 即，， ，故符合题意； 故选：D． 14．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，抛物线的对称轴为直线．下列说法：①；②；③当时，y随x的增大而减小；④（t为任意实数）．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数性质是解题关键，①分别判断a、b、c的符号，再判断的符号；②由对称轴为直线，可知a与b的数量关系，消去b可得仅含a、c的解析式，找特定点可判断的符号；③利用二次函数的性质即可判断；④用a与b的数量关系，可将原式化简得到关于t的不等式，再用函数的性质（t为全体实数）判断． 【详解】解：①因图象开口向下，可知：； 又∵对称轴为直线， ∴，整理得：，即a、b同号． 由图象可知，当时，， 又∵对称轴为直线，可知：当时，； 即； ∴，故①正确． ②由①得：． 代入原解析式得：； 由图知，当时，，即， ∴，故②正确． ③∵抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而减小． ∴当时，y随x的增大而减小，故③正确． ④设，则， ∴两边加c得到， ∴不等式左侧为时的函数值为最大值，右侧为时的函数值，则不成立，故④错误． 综上，①②③正确，共3个． 故选：C． 15．（24-25八年级下·重庆·期末）抛物线的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，利用二次函数的图象判断系数的符号，式子的符号，根据抛物线的开口方向，对称轴，与轴的交点位置，特殊点，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可知：， ∴， ∴；故A，B错误； 由图象可知，当时，；故C错误， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴与时的函数值相同， ∴， ∵， ∴；故D正确； 故选D． 16．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图是二次函数图象的一部分，图象过点，与y轴交于点C，对称轴为．给出五个结论：①；②；③；④当时，；⑤若，点P是抛物线对称轴上一点，则周长的最小值为，其中正确结论的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题可根据二次函数的图象与性质，分别对五个结论进行分析判断．本题主要考查了二次函数的图象与性质，勾股定理，熟练掌握二次函数的对称轴、与轴交点个数与判别式的关系以及最短路径问题是解题的关键． 【详解】解：抛物线与轴有两个交点 ，即，故①正确 对称轴为 ，即，，故②错误 当时， ，故③错误 抛物线开口向下， 当时， ，， 又， 无法确定与的大小关系，故④错误 抛物线的对称轴为， 点关于对称轴的对称点为 的周长为 的周长的最小值为 ， 的周长的最小值为，故⑤正确 综上，正确的结论有①⑤，共个 故选：A． 17．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）丽从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：①；②；③；④；⑤．你认为其中正确信息的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口，当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置，当a与b同号时，对称轴在x轴左侧，当a与b异号时，对称轴在x轴右侧，常数项决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于，掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键． 【详解】解：∵函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴可知， ∴． ∴①正确． ∵函数图象开口向上， ∴， 由函数的对称轴在x的正半轴上可知，x，， 又由①知，, ∴， ∴②正确． ∵把代入函数解析式，由函数的图象可知，时，即， ∴③正确． ∵，， ∴． ∴． ∴④错误； ∵把代入函数解析式，由函数的图象可知，时， 即， ∴⑤正确． 其中正确的有①②③⑤． 故选：A． 18．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③为任意实数，则；④；⑤若点和点都在抛物线上，则．其中正确结论的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数对称轴，以及与轴交点情况，即可判断①；利用二次函数对称轴列式变形即可判断②；利用二次函数的最值情况即可判断③，利用抛物线对称性和增减情况即可判断④，利用二次函数增减情况即可判断⑤． 【详解】解：①由图知，对称轴在轴右侧， ， 函数图象与轴交于正半轴， ， ， 故①正确； ②函数图象对称轴为， 则， 故②正确； ③函数图象开口向下， 则当时，函数取得最大值， 即为任意实数，则 为任意实数，则， 故③正确； ④函数图象与轴正半轴交点小于， 函数图象与轴负半轴交点大于， 即时，， 当时，， 则， 故④错误； ⑤若点和点都在抛物线上， ， 则， 故⑤错误； 综上所述，正确结论的个数有3个； 故选：B． 19．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的对称轴为，与轴的一个交点位于，两点之间．下列结论：①；②；③若，为方程的两个根，则；④若抛物线与轴的两交点和其顶点组成的三角形为等边三角形，则．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由图象得，，由对称轴为直线得，可得，，判断①②；抛物线与x轴的一个交点在，两点之间，由对称性知另一个交点在，之间，得，于是，进一步推知，由根与系数关系知，判断③；顶点纵坐标为，抛物线与轴的两交点间的距离为，两交点和其顶点组成的三角形为等边三角形，，，判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， 故①正确； 故②不正确； ∵抛物线与x轴的一个交点位于，两点之间，对称轴为直线， ∴另一个交点在，之间， ∴当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，为方程的两个根， ∴， ∴， 故③正确； ∵顶点纵坐标为，，， ∴， ∵抛物线与轴的两交点和其顶点组成的三角形为等边三角形，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故④正确； ∴正确的有①③④，共3个． 故选：C． 20．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③（为任意实数）；④若，则，其中正确结论为（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了利用二次函数的性质判断符合特征等，①由图象得，由对称轴可判断的符号，即可判断；②由对称轴得图象与x轴交于另一点，，可得，将化为，即可判断；③由二次函数的最值得，可得，即可判断；④由②可求，，代入，即可判断．能熟练利用二次函数的性质进行运算判断是解题的关键． 【详解】解：①由图象得：， ∴， ∴，故①正确； ②∵对称轴为直线， 图象与轴交于点， ∴图象与轴交于另一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②错误； ③∵，对称轴为直线， ∴当时，， ∴，即（为任意实数）， ∴，故③正确； ④由②得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论有：①③④， 故选：D． 21．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，抛物线与轴交于点，，交轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴于点，则下列结论：①；②；③；④的面积等于，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，结合函数图象，根据抛物线的开口方向，对称轴，与轴的交点坐标，与轴的交点，逐一判断各结论，即可得到结果．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线与轴交于点，， 抛物线的对称轴为直线， ， ， ， 故结论①正确，符合题意； 抛物线图象开口向下，与轴的正半轴相交， ，， ， ， ， 故结论②错误，不符合题意； 抛物线与轴交于点， 当时，，即， ， ， ， 故结论③错误，不符合题意； 抛物线与轴交于点，， ， ①②得：， ， ， ， ， ， 故结论④正确，符合题意； 综上所述，正确的结论有①④，为2个， 故选：B． 22．（24-25九年级上·湖北荆州·期末）如图，函数经过点，对称轴为直线：①；②；③；④；⑤若点、在抛物线上，则；⑥（m为任意实数），其中结论正确的有（  ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是综合运用二次函数的相关知识． ①根据图象与轴有两个交点，即可判断； ②根据图象的开口方向、对称轴、图象与轴的交点即可判断； ③根据图象可得对称轴为，与轴的一个交点为，则另一个交点为，再根据抛物线增减性即可判断； ④根据图象抛物线与轴的一个交点为，可得，对称轴为，可得，将代入，即可判断； ⑤根据图象可得，即可得出，再结合对称轴，运用二次函数增减性即可判断； ⑥对称轴为， ，运用二次函数增减性即可判断． 【详解】解：①∵抛物线与轴有两个交点， ， ，故①符合题意； ②∵抛物线开口向上， ， ∵抛物线对称轴在轴右侧， ∴与异号，即， ∵抛物线与轴交点在轴下方， ，故②不符合题意； ③∵抛物线对称轴为，与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∵抛物线开口向上，在对称轴左侧随增大而减小， ∴当时，， ，故③不符合题意； ④∵抛物线与轴的一个交点为， ， ∵抛物线对称轴为， ， ， ，故④符合题意； ∵， ∵抛物线对称轴为，抛物线开口向上，在对称轴右侧随增大而增大， 故⑤不符合题意； ⑥抛物线对称轴为，抛物线开口向上， 时，有最小值， （为任意实数），故⑥符合题意； 综上所述，①④⑥符合题意，共有个； 故选：B． 23．（24-25九年级上·山东泰安·期末）如图，抛物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤；其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与性质，由图象得到系数的符号，再结合对称轴、抛物线最值以及抛物线上点的特征即可得到答案，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：由图开口向下得到， 对称轴为，则，即， 抛物线与轴交于正半轴，则， ，故①错误； 由得到，即，故②正确； 抛物线对称轴为，且与负半轴交点的横坐标大于， 抛物线与正半轴交点的横坐标小于， 则当时，，故③正确； 当时，抛物线有最大值为；当时，抛物线， ，则，故④正确； ， ， 当时，，即，故⑤正确； 综上所述，正确的结论是②③④⑤，共4个， 故选：A． 24．（24-25九年级上·山西长治·期末）抛物线（a，b，c为常数）的对称轴为直线，过点和点，有下列结论：①；②对任意实数m都有：；③；④若，则．其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数图像的对称性、增减性以及二次函数图像上点的坐标特征是解题的关键．根据抛物线的对称轴和增减性可知，进而判断①；根据函数的最大值可判断②；由时的函数值大于0，可判断③；由点的对称点为，可判断④． 【详解】解：∵抛物线（a，b，c为常数）的对称轴为直线，过点， ∴抛物线开口向下，则，即， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，即， ∴，故①错误； ∵抛物线开口向下，对称轴为， ∴函数的最大值为， ∴对任意实数m都有：，即，故②错误； ∵对称轴为，，即函数图像与y轴的交于正半轴， ∴点的关于直线的对称点为， ∴当时的函数值大于0，即， ∴，故③正确； ∵对称轴为，点关于直线的对称点为，抛物线开口向下， ∴若，则，故④正确； 综上，正确的有③④共2个． 故选：B． 25．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，已知二次函数（，，是常数且）的图象关于直线对称，则下列五个结论：①；②；③；④若，则．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据对称轴判断①，开口方向，与轴的交点位置判断②，对称轴结合特殊点判断③，最值判断④． 【详解】解：由图象可知，抛物线的开口向上，对称轴为直线，与轴交于负半轴， ∴， ∴，，故①②正确； 由图象可知：当时，， ∴， ∵， ∴；故③正确； ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数值最小为， 当时，， ∴， ∴；故④正确； 故选D． 26．（24-25九年级上·安徽池州·期末）如图是二次函数（为常数）图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线，对于下列说法：①；②；③；④（m为实数）；⑤当时，，其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①②③⑤ D．①④⑤ 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及；当时，；然后由图象判断时，y的取值． 【详解】解：抛物线开口向下，与y轴的交点位于正半轴， ，， 对称轴在y轴右侧， a，b异号， ， ， 故①正确； 对称轴是直线， ， ， ， 故②正确； 抛物线与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线， 抛物线与x轴的另一交点在点和之间，如图： 当时，， ， 故③错误； 由图可知，当时，y有最大值， 即， （m为实数）； 故④正确； 如上图，当时，可能大于0，也可能小于0， 故⑤错误； 综上可知，正确的有①②④， 故选B． 27．（24-25九年级上·湖北·期末）如图，已知顶点为的抛物线过，则下列结论：①；②对于任意的，均有；③；④若，则；⑤；⑥不等式的解集为；其中正确的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式；先利用待定系数法求出抛物线的解析式为，即，则可对①③⑤进行判断；当时，有最小值可对②进行判断；利用利用抛物线的对称性得到当或时，，利用函数图象得到抛物线不在直线的下方所对应的自变量的范围可对④进行判断；通过解方程抛物线与直线的交点的横坐标分别为、，写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围可对⑥进行判断，熟练利用二次函数性质是解题的关键． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得，所以⑤正确， ， 即， ，，， ，所以①正确； ，， ，所以③正确； 当时，有最小值， 对于任意的，均有，所以②错误； 抛物线的对称轴为直线， 当或时，， 当时，或，所以④错误； 解方程得，， 抛物线与直线的交点的横坐标分别为、， 当或时，， 不等式的解集为或，所以⑥错误． 故选：B． 28．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示．有下列结论：①；②；③；④（为实数）；⑤若，，是该抛物线上的三点，则．其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与性质、二次函数与系数之间的关系，根据二次函数的对称轴即可判断①；根据抛物线与x轴的两个交点的位置可判断抛物线与y轴交点的位置判断的符号，根据开口方向以及对称轴判断的符号，即可判断②；根据抛物线与x轴的两个交点的位置可得点的位置，即可判断③；根据抛物线的对称轴求出顶点坐标为，由此可得为抛物线的最大值，即可判断④；根据抛物线开口向下，且对称轴为，可得抛物线上离对称轴水平距离越小，函数的值越大，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线开口向下，顶点在第二象限，与x轴的一个交点在和之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在和之间， ∴抛物线与y轴的交点在负半轴上， ∴， ∵抛物线开口向下， ∴ ∵ ∴ 故②错误； 对于，当时，， ∵抛物线与x轴的另一个交点在和之间，顶点在第二象限，开口向下， ∴点在第二象限， ∴， 由①得，，即， ∴， 即，故③正确； 对于，当时，，当（t为实数）时，， ∵抛物线对称轴为， ∴点为抛物线的顶点， 又∵抛物线开口向下， ∴为抛物线的最大值， ∴， 即，故④正确； ∵抛物线开口向下，且对称轴为， 观察图象可得，在抛物线上离对称轴水平距离越小，函数的值越大， ∴，故⑤正确； 故正确的有①③④⑤，共4个， 故选：A． 29．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图所示是二次函数的部分图像，该函数图像的对称轴是直线，图像与y轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③；④方程一定有两个不相等的实数根；其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，根与系数的关系，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据对称轴即可判断①，根据函数图像可知，方程一定有一个根在和之间，根据二次函数的对称性即可判断②；由图像可知，时，，再由图像与轴交点求出即可判段③；抛物线与直线有两个交点，即可判断④． 【详解】解：该函数图象的对称轴是直线，故， ， 故①正确； 根据函数图像可知，方程一定有一个根在和之间， 根据二次函数的对称性可知，和对称，和对称， 故方程一定有一个根在和之间； 故②错误； 由图像可知，时，， 即， 由图像与轴交点得到， 故 ； 故③错误； 抛物线与直线有两个交点， 故方程一定有两个不相等的实数根； 故④正确； 故选：C 30．（24-25九年级上·江西宜春·期末）抛物线（为常数，）经过点，抛物线的对称轴为直线，点是抛物线上任意一点，有下列结论：①；②；③；④一元二次方程的两个根为和；⑤若，则．其中正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据已知，结合图象可得，，即可判断结论①；当时，可有，即可判断结论②；根据图象与轴有两个交点，即可判断结论③；将方程整理为，求解即可判断结论④；结合函数图象，可知当时，可有，当时，可有，即可判断结论⑤，进而可得答案． 【详解】解：∵抛物线经过点，对称轴为直线，由图象可知， ∴该抛物线与轴的另一交点为， ∴可有，， ∴，， ∴，故结论①错误； 当时，可有，故结论②正确； ∵图象与轴有两个交点， ∴， ∴故③错误， ∵，， ∴方程， ∵， ∴方程可整理为， 解得和，故结论④正确； 如下图， ∵， ∴该抛物线开口向下， 若， 则当时，有， 当时，可有， ∴，故结论⑤正确． 综上所述，结论正确的有3个． 故选：B． 31．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②③；④（为实数）．其中结论正确的为 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象判断式子的符号，根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，判断①，特殊点结合对称轴判断②，特殊点结合平方差公式判断③，最值判断④即可． 【详解】解：由图象可知：， ∴， ∴；故①错误， 当时，， ∴；故②正确； ∵时，函数有最小值，且由图象可知最小值为：， ∴，故③正确； ， ∴；故④正确； 故答案为：②③④ 32．（24-25八年级下·重庆·期末）已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论： ① ②若点均在二次函数图象上，则 ③ ④对于任意实数m，总有 其中正确的结论是： 【答案】②③ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握a，b，c对抛物线的决定作用是求解本题的关键． ①根据函数图象分别判断a、b、c的正负，求出的正负；②根据二次函数图象的性质：当图象开口向上，离对称轴越近的点y值越小；③代入以及之间的关系即可求解；④化简不等式，用a表示b，根据及不等式的性质得到只含有m的不等式，判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴的交点在正半轴上，对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴， ∴，故①不正确； ∵与对应的函数值都为1， ∴对称轴为直线， ∵， ∴点离对称轴更近， ∴，故②正确； ∵时，， 又∵， ∴， ∴，故③正确； ∵④，， 即证， 变形可得，即， ∵， ∴故原式不成立，故④不正确， 故答案为： ②③． 33．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且经过，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③点在抛物线上，则；④点在抛物线上且，则，正确结论的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】根据抛物线的图象的开口方向，对称轴，与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标，逐一判断各结论，即可得到结果． 本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线的图象开口向上， ， 故结论①正确； 抛物线的对称轴为直线， ∴， 则， ∴， 故结论②错误； 抛物线经过，对称轴为直线， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 抛物线的图象开口向上，点在抛物线上， ， 故结论③正确； 抛物线的图象与y轴交点坐标为，点在抛物线上且， 或， 故结论④错误， 故正确结论的序号为①③． 故答案为：①③． 34．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，二次函数的图象与轴的正半轴相交于、两点，与轴交于点．对称轴为直线，且，下列结论：①；②；③若，则；④若点、点在该二次函数图象上，当且时，则其中正确的结论是 (填写正确结论的序号) 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质．抛物线与轴的交点，熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与不等式的关系是解题的关键．特别是利用好题目中的，是解题的关键．由二次函数图象的对称轴而可判断①；由时，，结合，即可判断②；判断直线过，两点，根据图象即可判断③；由题意可知点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离即可判断④． 【详解】解：对称轴为直线， ， ， ，故①正确； 时，， ， ， ， ，故②错误； ，， ， ， 直线与轴的交点为， 直线过，两点， 观察图象，若，则，故③正确； 由题意可知点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， 抛物线开口向下， ．故④正确； 故答案为：①③④． 35．（24-25九年级上·广东湛江·期末）如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点，且．给出下列4个结论：①；②；③；④若m为任意实数，则． 其中正确的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键； 由图象可知，，，则可判断①符合题意；由抛物线的对称轴为直线，，可得，，得到点，点，当时，，即，可判断②符合题意；由抛物线的对称轴为直线，即，得到，进一步得到，可得，即可判断③符合题意；当时，函数有最大值，由，可得，则可判断④不符合题意； 【详解】解：观察图象，可知，，， ，故①符合题意； 该抛物线的对称轴为直线，， ，， 点，点， 当时，，即，故②符合题意； 抛物线的对称轴为直线，即， ， ， ， ， ， ， ，故③符合题意； 当时，函数有最大值， 由，可得， 若为任意实数，则，故④不符合题意， 综上，正确的序号是①②③； 故答案为：①②③ 36．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，已知二次函数的对称轴为直线，顶点的纵坐标为，有下列说法：①；②时，的值随值的增大而减小；③；④若关于的一元二次方程有实数根，则．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①③ 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．由抛物线的位置可判断①，根据抛物线的性质，从而判断②，③，由抛物线与直线交点个数判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ∴，， ∵对称轴在轴的左边， ∴， ∴，故①正确． 由图象得：当时，随的增大而增大，故②是错误的； ∵抛物线对称轴为直线， ∴， 由图象得，当时，，故③是正确的； ∵若关于的一元二次方程有实数根， ∴关于的一元二次方程有实数根， ∴，故④是错误的， 故答案为：①③． 37．（24-25九年级上·黑龙江·期末）二次函数的图象如图所示，以下结论：①；②；③；④其顶点坐标为；⑤当时，随的增大而减小；⑥；⑦方程有实数解．其中结论正确的序号为 ． 【答案】①②③⑤ 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识点．①根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可判断；②根据抛物线与x轴的交点个数即可判断；③根据抛物线的对称轴即可判断；④根据抛物线与y轴的交点和顶点坐标即可判断；⑤根据抛物线的性质即可判断；⑥根据当时y的值即可判断；⑦先说明二次函数的最小值为，则抛物线与没有交点即可判断． 【详解】解：①∵抛物线开口方向向上， ∴， ∵对称轴， ∴， ∵抛物线与y轴的交点的纵坐标为， ∴， ∴，即①正确； ②∵抛物线与x轴有两个交点，即方程有两个不同的解， ∴，即， ∴，②正确； ③∵抛物线的对称轴，即， ∴， ∴，即③正确； ④∵抛物线与y轴的交点坐标为， ∴抛物线的顶点的纵坐标不能为，即④错误； ⑤∵二次函数的图象与x轴交点的横坐标为， ∴抛物线的对称轴为：， 根据抛物线的性质可知： ∴当时，随的增大而减小，即⑤正确； ⑥由函数图象可知：当时，， ∴，即⑥错误； ⑦由图象可得：抛物线过点， 则，解得：， ∴， ∴二次函数的最小值为， ∴二次函数与无交点， ∴方程无实数解，即⑦错误． 故答案为①②③⑤． 38．（24-25九年级上·北京·期末）如图，抛物线与x轴交于点和点B，对称轴为直线，下列结论：；；；当抛物线沿着y轴向下平移1个单位长度就可能经过点其中正确的结论为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．根据抛物线的开口方向、对称轴、特殊点的位置、以及与x轴y轴的交点，综合判断即可． 【详解】解：①由抛物线的开口向下知， 对称轴位于轴的右侧 抛物线与轴交于正半轴， 故错误； ②对称轴为直线，得， 故错误； ③抛物线与x轴交于点， ，即， 故③错误； ④抛物线与x轴交于点和点B，对称轴为直线， ， 设二次函数关系式为， 抛物线沿着y轴向下平移1个单位长度后的函数关系式为， 当时，， 抛物线沿着y轴向下平移1个单位长度后经过点 故④正确； 综上所述，正确的结论为： 故答案为：． 39．（24-25九年级上·广东珠海·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①；②；③若，则；④不论m取任何实数，均有．其中正确的有 ． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了二次函数与系数的关系、二次函数图像上点的坐标特征及抛物线与轴的交点，根据所给函数图像，得出，，的符号，再结合抛物线的对称性及增减性对所给结论依次进行判断即可．熟知二次函数的图像与性质是解题的关键． 【详解】解：由所给图像可知， ，，， 所以． 故①正确． 因为抛物线的对称轴为直线， 所以， 则． 故②正确． 因为点坐标为， 由得，， 所以点的坐标为， 则， 所以． 因为抛物线的对称轴为直线，且点坐标为， 所以点的坐标为． 由得， ， 所以． 故③正确． 因为抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 所以当时，二次函数有最大值， 即对于抛物线上的任意一点（横坐标为，总有，即． 故④错误． 故答案为：①②③． 40．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）已知抛物线（是常数，）经过点，且．下列个结论中正确的是 （填写序号）． ①方程有两个不相等的实数根； ②若对任意的实数m，都有，则； ③若抛物线经过点，在抛物线上有且仅有两个点到轴的距离等于n（），则； ④点，在抛物线上，且都在y轴右侧，若，则． 【答案】①② 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键； 根据对称轴公式可求出，进而可判断①正确；由题意可得，可得对称轴为，再由可得，再根据c的范围即可判断②正确；根据对称性可得对称轴为，再由抛物线经过点和可求得顶点的纵坐标为，由抛物线上有且仅有2个点到到x轴的距离等于n，可得n大于顶点的纵坐标，进而可判断③正确，由可得对称轴为，再根据增减性求解即可判断④错误． 【详解】解：抛物线（是常数，）经过点， ， ， ， ，， ， ，即方程有两个不相等的实数根，故①正确； 由，可得， 即对任意的实数m，都有， 时，， 故可得此时对称轴为直线， ， ， ，即， ， ，解得，故②正确； 由题意可得抛物线开口向下，经过和，可得抛物线的对称轴为直线， 抛物线上有且仅有两个点到轴的距离等于n（）， 大于顶点纵坐标， ， ， ， ， ，即， ，故③错误； ， 对称轴为直线， ， 对称轴在轴左侧， 点，在抛物线上，且都在y轴右侧，， 当时，，此时， 当时，，此时， 故④错误， 故正确的为：①②， 故答案为：①②． $