精品解析：陕西省汉中市西乡县第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

2028届高一年级第二次月考试题数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集的定义求解即得. 【详解】因，， 则. 故选：B 2. 函数的零点所在区间为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在定理计算求解. 【详解】因为函数，且在上单调递增，连续不断， 又因为， 所以结合零点存在定理得函数的零点所在区间为. 故选：C. 3. 若函数为上的奇函数，且当时，，则（ ） A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和对数的运算性质即可求解. 【详解】由题意知，. 故选：D 4. 已知幂函数，且的图象在第一象限内单调递增，则实数 （ ） A. 0 B. C. 3 D. 3或 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及性质得到，解得即可. 【详解】因为幂函数，且的图象在第一象限内单调递增， 所以，解得. 故选：C 5. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数以及对数函数的单调性即可求解. 【详解】故 所以， 故， 故选：D 6. 若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的运算性质得且，利用指数幂的运算性质，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】由，得且， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为. 故选：B 7. 2025年1月25日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟七号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道．已知火箭的最大速度（单位：km/s）与燃料质量（单位：kg）、火箭（除燃料外）的质量（单位：kg）的函数关系为．若已知火箭的质量为3100kg，火箭的最大速度为11km/s，则火箭需要加注的燃料质量为（ ）（参考数值：，结果精确到kg） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件列方程，化简求得正确答案. 【详解】根据题意，， 令，则， 所以，则， 即 所以. 故选：B 8. 已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】考虑的两段分段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系即可求解出a的范围． 【详解】因为单调递减，故对应的指数函数部分、二次函数部分都要单调递减， 对指数函数在单调递减，需， 对二次函数，开口向下、对称轴，故二次函数在单调递减，满足要求， 此外还需满足分段点处的函数值满足，整理得，解得或， 结合，可得， 故选：B． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】A举反例；B利用不等式的性质；C利用对数函数的单调性；D利用指数函数的单调性. 【详解】当时，不满足，故A错误； 因，则，故B正确； 因在上单调递减，，则，故C正确； 因在上单调递增，，则，故D正确. 故选：BCD 10. 下列命题中正确的是（    ） A. 函数的最大值为 B. 已知，，，则的最小值为9 C. 已知函数的定义域为，则定义域为 D. 若函数，则 【答案】AD 【解析】 【分析】A：令，求在上的最大值；B：利用基本不等式求解；C：计算即可；D：令，利用换元法求解. 【详解】A选项，令，则， 因在上单调递减，则的最大值为，故A正确； B选项，由题意得，， 等号成立时，故B错误； C选项，由题意得，，得， 故定义域为，故C错误； D选项，令，则， 则，故D正确. 故选：AD 11. 已知定义在非零实数上的函数满足，当时，，则下列说法中正确的是（    ） A. B. 是偶函数 C. 函数在上单调递增 D. 不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法可求出的值，可判断A选项；利用赋值法求出的值，再令结合函数奇偶性的定义可判断B选项；利用函数单调性的定义可判断C选项；利用偶函数的性质以及单调性可得出，解之即可. 【详解】定义在非零实数上的函数满足， 令可得，，解得，所以A正确； 令可得，，解得. 令可得，故函数为偶函数，所以B正确； 对于C选项，任取且，则， 由，可得，所以， 故函数在上为增函数， 又因为函数为偶函数， 故函数在上为减函数，C错误； 对于D选项，因为函数为偶函数，且该函数在上为增函数，由可得，解得或， 因此，不等式的解集为，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上． 12. 函数的定义域为____. 【答案】 【解析】 【分析】 根据解析式有意义可得出关于实数的不等式组，进而可求得函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得. 因此，函数的定义域为. 故答案为：. 13. 函数的单调递减区间是_______． 【答案】； 【解析】 【分析】利用复合函数的单调区间求解方法可得答案. 【详解】设，则，； 因为为减函数，在区间为减函数，在区间为增函数， 所以函数的单调递减区间为. 故答案为： 14. 已知是定义在R上的偶函数，当时，恒成立，且，则不等式的解集为____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意构造新函数，判定其奇偶性及单调性进行计算即可. 【详解】因为，，所以， 即，令，则有， 则在上单调递增. 又是定义在R上的偶函数，， 所以是定义在R上的偶函数. 由，可得， 整理得， 即， 由是偶函数且在单调递增，在单调递减， 可得，解得或. 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算： （2）计算： （3）已知，，请用，表示 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算性质直接化简计算即可； （2）由对数的运算性质直接化简计算即可； （3）利用指对互化及换底公式计算即可. 【详解】（1） . （2） （3）∵，，∴，， ∴由换底公式可得：. 16. 已知全集为R，集合集合 . （1）求集合A，B及； （2）若， 且满足，求实数的取值范围. 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）对于集合，根据指数函数单调性求解的范围. 对于集合，根据对数函数的性质，求解的范围，对于，求两个集合的交集，即求既属于又属于的元素组成的集合. （2）对于，根据集合的包含关系，再根据集合的定义求解的取值范围. 【小问1详解】 因为，指数函数是单调递增函数， 所以，解，即. 因为，对数函数单调递增函数. 所以，解得，即. 则 【小问2详解】 对于集合， 因为，所以. 则有. 解第一个不等式得. 解第二个不等式，得. 所以的取值范围是. 17. 已知函数，且点在函数的图象上． （1）求的值； （2）在图中的直角坐标系中画出函数的图象； （3）若方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）图象见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据可得出的值，可得出函数的解析式，然后代值计算可得的值； （2）根据函数的解析式直接作图即可； （3）由题意可知，直线与函数的图象有三个交点，数形结合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为函数，且点在函数的图象上， 则，解得，所以，， 所以，，因此，. 【小问2详解】 作出函数的图象如下图所示： 【小问3详解】 由可得， 由题意可知，直线与函数的图象有三个交点， 当直线与函数的图象有三个交点时，， 因此，实数的取值范围是. 18. 已知函数，. （1）当时，求关于的不等式的解集； （2）求关于的不等式的解集； （3）设函数，求函数在上的最小值的表达式. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式解法可得出原不等式的解集； （2）将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法可得出原不等式的解集； （3）对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，即可得出的表达式. 【小问1详解】 当时，， 由可得，解得， 故当时，原不等式的解集为. 【小问2详解】 由，可得， 当时，解原不等式可得或； 当时，解不等式可得； 当时，解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 【小问3详解】 的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，即当时，函数在上单调递增，此时； 当时，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时； 当时，即当时，函数在上单调递减，此时. 综上所述，. 19. 已知函数（且）在上的最大值与最小值之积等于8，设函数． （1）求a的值，判断函数的单调性并用单调性定义证明； （2）判断的奇偶性并证明； （3）若不等式对恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1），在R上单调递增，证明见解析 （2）奇函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据的单调性求出，然后利用单调性的定义求证； （2）利用奇函数的定义求证； （3）利用参变分离求函数最值，设，结合基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 由在上单调，则其最值必在端点处取得， 则由题意得，解得， 故，函数定义域为R， 在R上单调递增，证明如下： 任取，令， 则， 由，，则，即， 所以在R上单调递增； 【小问2详解】 奇函数，证明如下： ，函数定义域为R，关于原点对称， 则， 所以为奇函数； 【小问3详解】 ， 因不等式对恒成立， 所以，即恒成立， 则， 令， ，当且仅当，即时取等号， 所以，即. 所以实数m的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2028届高一年级第二次月考试题数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的零点所在区间为（ ）. A. B. C. D. 3. 若函数为上的奇函数，且当时，，则（ ） A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 4. 已知幂函数，且的图象在第一象限内单调递增，则实数 （ ） A. 0 B. C. 3 D. 3或 5. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 2025年1月25日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟七号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道．已知火箭的最大速度（单位：km/s）与燃料质量（单位：kg）、火箭（除燃料外）的质量（单位：kg）的函数关系为．若已知火箭的质量为3100kg，火箭的最大速度为11km/s，则火箭需要加注的燃料质量为（ ）（参考数值：，结果精确到kg） A. B. C. D. 8. 已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中正确是（    ） A. 函数的最大值为 B. 已知，，，则的最小值为9 C. 已知函数的定义域为，则定义域为 D. 若函数，则 11. 已知定义在非零实数上的函数满足，当时，，则下列说法中正确的是（    ） A. B. 是偶函数 C. 函数在上单调递增 D. 不等式的解集为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上． 12. 函数的定义域为____. 13. 函数的单调递减区间是_______． 14. 已知是定义在R上的偶函数，当时，恒成立，且，则不等式的解集为____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算： （2）计算： （3）已知，，请用，表示 16. 已知全集为R，集合集合 . （1）求集合A，B及； （2）若， 且满足，求实数的取值范围. 17. 已知函数，且点在函数的图象上． （1）求的值； （2）在图中的直角坐标系中画出函数的图象； （3）若方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围． 18. 已知函数，. （1）当时，求关于的不等式的解集； （2）求关于的不等式的解集； （3）设函数，求函数在上的最小值的表达式. 19. 已知函数（且）在上最大值与最小值之积等于8，设函数． （1）求a的值，判断函数的单调性并用单调性定义证明； （2）判断奇偶性并证明； （3）若不等式对恒成立，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $