专题04 三角函数及诱导公式14类题型（期末专项训练）高一数学上学期苏教版

专题04 三角函数与诱导公式 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 终边相同的角（共4小题） 1．（多选）（25-26高一上·广东·期末）下列各角中，与终边相同的有（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知角，那么的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（多选）（24-25高一上·广东阳江·期末）下列各角中，与终边相同的有（    ） A． B． C． D． 题型二 根据图形写出角的范围（共4小题） 5．集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（   ） A．   B．   C．   D．   6．（23-24高一上·河北张家口·期末）终边落在第一象限的角的集合表示为 . 7．（24-25高一上·山东烟台·期末）如图所示，终边落在阴影部分包括边界的角的集合是 . 8．（1）如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合．          （2）已知角，将改写成的形式，并指出是第几象限角． 题型三 n倍角与n分角（共6小题） 9．（多选）设为第二象限角，则可能是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 10．（多选）（24-25高一上·吉林长春·期末）若角是第二象限角，则下列各角中是第三象限角的是（    ） A． B． C． D． 11．（多选）（24-25高一上·安徽阜阳·期末）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角 12．（24-25高一上·北京·期末）已知，且是第二象限角，那么的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 13．（24-25高一上·四川凉山·期末）的终边在第三象限，则的终边可能在（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限或轴非负半轴 D．第三、四象限或轴非正半轴 14．（24-25高一上·贵州毕节·期末）若是钝角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 题型四 角度与弧度的相互转化（共5小题） 15．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）考生你好，语文考试需要150分钟，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高一上·广东汕头·期末）要在半径厘米的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB的长为厘米，那么圆心角的大小是（    ）度 A．30 B．45 C．60 D．90 18．（24-25高一上·河北承德·期末）在世界级的比赛当中，参加滑雪大跳台项目的女子选手所进行的空中转体动作的旋转度数分为720度、900度、1080度、1260度、1440度5个维度，则1260度的弧度数为 19．（24-25高一上·贵州六盘水·期末）（1）将化成角度； （2）用弧度表示第二象限的角的集合. 题型五 弧长有关的计算（共3小题） 20.（24-25高一上·云南昆明·期末）已知扇形面积为1，圆心角为1弧度，则扇形的周长为（    ） A． B． C． D． 21．（25-26高一上·全国·期末）《九章算术》是一部中国古代的数学专著．第一章“方田”主要讲各种形状的田地面积的计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”．书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小（单位：弧度）为 ．（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝） 22．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）伊丽莎白塔俗称“大本钟”，是英国伦敦的标志性建筑．该钟的时针长约为2.8m，则经过，时针的针尖走过的路程约为（    ） A． B． C． D． 题型六 扇形面积有关的计算（共5小题） 23.（24-25高一上·四川泸州·期末）已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为 ． 24．（25-26高一上·贵州·期末）如图，在中，，以点为圆心，2为半径的与相切于点，交于，交于，点是上的一点，且，则图中阴影部分的面积是 ．(结果保留) 25．已知扇形的圆心角，半径为4，则该扇形的面积为 ． 26.（24-25高一上·河北保定·期末）在某中学2025年“创意之光”文创设计大赛中，一名学生设计了一把“紫堡文创”扇子．其扇面可以近似的理解为扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇面的近似面积为（    ） A． B． C． D． 27．（24-25高一上·甘肃武威·期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为，弧长等于的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（参考数据） 题型七 用三角函数定义求值或求参（共8小题） 28．已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（    ） A．-6 B． C． D． 29．（24-25高一下·山东威海·期末）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 30．在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称为该函数的“不动点”．若函数的“不动点”为m，角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过，则（   ） A． B． C． D． 31．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知点是角α的终边上一点，则 ． 32．（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知点在角的终边上，若，则（   ） A． B．为第二象限的角 C． D． 33．（24-25高一上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，且，则等于 34．（24-25高一上·江苏南京·期末）已知角的始边与轴非负半轴重合，终边经过点，且，则（    ） A． B． C． D． 35．已知点是角终边上的一点，且，则的值为（   ） A．2 B． C．或2 D．或 题型八 角的范围与三角函数式的符号（共6小题） 36．（24-25高一上·江苏·期末）已知角，则“α为第二象限角”是“”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 37．在平面直角坐标系中，已知角，的终边关于y轴对称，且，则，的一组取值可以为 ； ． 38．（多选）（24-25高一上·广东深圳·期末）若，则角的终边可能落在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 39．（24-25高一上·江苏苏州·期末）“点在第二象限”是“角为第三象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 40．（多选）（25-26高一上·广东·期末）若为第二象限角，则下列正确的有（    ） A．， B．， C．， D．， 41．（24-25高一上·湖北武汉·期末）若是第四象限角，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型九 sinα±cosα与sinα·cosα的关系（共6小题） 42．（25-26高一上·贵州·期末）如果角满足，那么的值是（   ） A． B． C．1 D．2 43．（多选）（24-25高一上·江苏·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 44．若，且，则的值为 ． 45．已知，，则（   ） A． B． C． D． 46．（多选）（24-25高一上·吉林通化·期末）已知，，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 47．（多选）（24-25高一上·甘肃平凉·期末）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 题型十 利用三角函数平方关系求参数（共4小题） 48．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若，，则 ． 49．（24-25高一上·江苏·期末）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 50．已知若为第二象限角，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．或 D． 51．已知是方程的两个实数根． (1)求的值： (2)若为第二象限角，求的值． 题型十一 正余弦齐次式的计算（共6小题） 52．已知角满足，则 ． 53．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知，则 . 54．（24-25高一上·江苏·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 55．已知角的终边落在上，则 ． 56．（24-25高一上·江苏镇江·期末）设，则（   ） A． B． C． D．1 57．若，则（   ） A．2或 B．或 C． D．2 题型十二 三角函数的化简与证明（共5小题） 58．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知，则（    ） A． B． C．1 D． 59.（24-25高一上·四川巴中·期末）已知是第三象限角，则化简结果为（    ） A． B． C． D． 60.（24-25高一上·广东佛山·期末）已知. (1)求； (2)若是第一象限角，求的值. 61.证明：. 62．求证： (1)； (2). 题型十三 利用诱导公式化简与求值（共6小题） 63．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 64．（24-25高一上·江苏·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 65.（24-25高一上·陕西渭南·期末）已知角的终边上有一点，则（   ） A． B．2 C． D．3 66.（多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 67.已知. (1)化简； (2)若，求. 68．计算求值. (1)已知，求的值. (2)若，且，求下列式子的值. （i）；（ii）. 题型十三 利用诱导公式证明三角恒等式（共5小题） 69.（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知下列等式的左右两边都有意义，则下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 70．求证：当或3时，. 71.证明：． 72．求证： 73．求证：＝． $专题04 三角函数与诱导公式 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 终边相同的角（共4小题） 1．（多选）（25-26高一上·广东·期末）下列各角中，与终边相同的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据终边相同的角的知识确定正确答案. 【详解】，即与终边相同，A正确； ，即与终边相同，B正确； ，即与终边不相同，C错误； ，即与终边相同，D正确． 故选：ABD 2．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据终边相同的角和象限角的定义计算. 【详解】因为，易知的终边在第二象限， 故角的终边在第二象限. 故选：B. 3．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知角，那么的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据终边相同角的定义计算确定角的象限即可. 【详解】因为，其中，故的终边在第四象限． 故选:D． 4．（多选）（24-25高一上·广东阳江·期末）下列各角中，与终边相同的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由已知结合终边相同角的关系检验各选项即可判断． 【详解】，即与终边相同，A正确； ，即与终边相同，B正确； ，即与终边不相同，C错误； ，即与终边相同，D正确． 故选：ABD. 题型二 根据图形写出角的范围（共4小题） 5．集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】分是奇数、偶数两种情况讨论即可求解. 【详解】当时，，， 此时表示的范围与表示的范围一样， 当时，，， 此时表示的范围与表示的范围一样. 故选：C. 6．（23-24高一上·河北张家口·期末）终边落在第一象限的角的集合表示为 . 【答案】 【分析】按照第一象限角的概念直接写出即可. 【详解】终边落在第一象限的角的集合表示为， 故答案为：. 7．（24-25高一上·山东烟台·期末）如图所示，终边落在阴影部分包括边界的角的集合是 . 【答案】 【分析】写出终边落在边界上的角，即可求出. 【详解】因为终边落在y轴上的角为， 终边落在图中直线上的角为； ， 即终边在直线上的角为，， 所以终边落在阴影部分的角为， 故答案为： 8．（1）如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合．          （2）已知角，将改写成的形式，并指出是第几象限角． 【答案】（1）答案见解析；（2）；是第一象限角． 【分析】（1）根据终边相同的角及角的概念求解即可得； （2）根据弧度制与角度概念转化书写即可. 【详解】（1）① ； ②． （2）∵，∴． 又，所以与终边相同，是第一象限角． 题型三 n倍角与n分角（共6小题） 9．（多选）设为第二象限角，则可能是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】CD 【分析】为第二象限角，得到，得到答案. 【详解】为第二象限角，故， 所以， 所以可能是第三象限角，也可能是第四象限角,或轴的负半轴. 故选：CD 10．（多选）（24-25高一上·吉林长春·期末）若角是第二象限角，则下列各角中是第三象限角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用不等式表示象限角，根据象限角的定义逐项判断可得答案. 【详解】因为角是第二象限角，所以，， 对于A ，，，故是第三象限角，故A正确； 对于B，，，故是第一象限角，故B不正确； 对于C ，，，故是第三象限角，故C正确； 对于D，,,故是第三象限角或轴负半轴上的角或第四象限角，故D不正确. 故选：AC 11．（多选）（24-25高一上·安徽阜阳·期末）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角 【答案】AB 【分析】由与关于x轴对称，判断A选项； 由已知得，，再根据不等式的性质可判断B选项； 由是第一象限角判断C选项； 由不等式的性质可得，，由此可判断D选项． 【详解】解：因为与关于x轴对称，而是第二象限角，所以是第三象限角，所以是第一象限角，故A选项正确； 因为是第二象限角，所以，，所以，，故是第一或第三象限角，故B选项正确； 因为是第二象限角，所以是第一象限角，故 C选项错误； 因为是第二象限角，所以，，所以，，所以的终边可能在y轴负半轴上，故D选项错误． 故选：AB. 12．（24-25高一上·北京·期末）已知，且是第二象限角，那么的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据象限角和任意角三角函数的概念，以及倍角公式，进行判断即可. 【详解】由是第二象限角， 所以， 所以， 由，所以， 所以为第三象限角. 故选：C 13．（24-25高一上·四川凉山·期末）的终边在第三象限，则的终边可能在（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限或轴非负半轴 D．第三、四象限或轴非正半轴 【答案】C 【解析】根据题意得出，求出的范围，据此可判断出角的终边的位置. 【详解】由于的终边在第三象限，则， 所以，， 因此，的终边可能在第一、二象限或轴非负半轴. 故选：C. 14．（24-25高一上·贵州毕节·期末）若是钝角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【分析】利用钝角的取值范围得出的范围即可得出其对应象限. 【详解】若是钝角可得，因此； 显然此时是第一象限角. 故选：A 题型四 角度与弧度的相互转化（共5小题） 15．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将角度转换为弧度后借助扇形面积公式计算即可得. 【详解】设该扇形的圆心角弧度为，则， 则. 故选：A. 16．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）考生你好，语文考试需要150分钟，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】经过150分钟，钟表的时针相当于转了1圈的，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可求解. 【详解】经过150分钟，钟表的时针相当于转了1圈的，1圈的弧度数为， 则1圈的的弧度数为， 且钟表的时针按顺时针转所形成的角应为负角， 因此钟表的时针转过的弧度数为，故D正确. 故选：D. 17．（24-25高一上·广东汕头·期末）要在半径厘米的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB的长为厘米，那么圆心角的大小是（    ）度 A．30 B．45 C．60 D．90 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用弧长公式求出圆心角即得. 【详解】依题意，，所以圆心角的大小是. 故选：C 18．（24-25高一上·河北承德·期末）在世界级的比赛当中，参加滑雪大跳台项目的女子选手所进行的空中转体动作的旋转度数分为720度、900度、1080度、1260度、1440度5个维度，则1260度的弧度数为 【答案】 【分析】利用角度与弧度的互化公式把角度化成弧度即可. 【详解】因为． 故答案为： 19．（24-25高一上·贵州六盘水·期末）（1）将化成角度； （2）用弧度表示第二象限的角的集合. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据弧度与角度的互化公式求解即可； （2）根据象限角的定义，结合第二象限的角的特点进行求解即可. 【详解】（1）； （2）因为在第二象限， 所以终边落在第二象限的角的集合为： . 题型五 弧长有关的计算（共3小题） 20.（24-25高一上·云南昆明·期末）已知扇形面积为1，圆心角为1弧度，则扇形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由弧长公式，扇形面积公式直接求解. 【详解】设扇形的弧长为，半径为， 则扇形的面积，又， 解得， 所以扇形的周长. 故选：C. 21．（25-26高一上·全国·期末）《九章算术》是一部中国古代的数学专著．第一章“方田”主要讲各种形状的田地面积的计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”．书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小（单位：弧度）为 ．（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝） 【答案】6 【分析】设所在扇形的圆心角为，中周对应的半径为步，则外周对应的半径为步，即，解出即可求解. 【详解】设所在扇形的圆心角为，中周对应的半径为步，则外周对应的半径为步，则，解得， 即所在扇形的圆心角大小为6． 故答案为：6. 22．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）伊丽莎白塔俗称“大本钟”，是英国伦敦的标志性建筑．该钟的时针长约为2.8m，则经过，时针的针尖走过的路程约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由弧长公式即可求解； 【详解】因为时针每转一周， 故经过，时针的针尖转过的弧度数为， 走过的路程约为． 故选：C 题型六 扇形面积有关的计算（共5小题） 23.（24-25高一上·四川泸州·期末）已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为 ． 【答案】 【分析】根据弧长及扇形面积公式计算求解即可. 【详解】设扇形的半径为，弧长为的弧所对的圆心角为，所以，所以， 则该弧所在的扇形面积为. 故答案为：. 24．（25-26高一上·贵州·期末）如图，在中，，以点为圆心，2为半径的与相切于点，交于，交于，点是上的一点，且，则图中阴影部分的面积是 ．(结果保留) 【答案】 【分析】先运用圆与直线相切（得垂直关系）及圆周角定理，得到三角形面积和扇形面积，再用“三角形面积扇形面积”即可得到阴影面积. 【详解】解：因为是切线，点是切点，且， 所以，，， 则， 所以扇形的面积为：， 又因为， 即图中阴影部分的面积是， 故答案为：． 25．已知扇形的圆心角，半径为4，则该扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】圆心角转换为弧度制，再根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】因为，所以扇形面积. 故答案为：. 26.（24-25高一上·河北保定·期末）在某中学2025年“创意之光”文创设计大赛中，一名学生设计了一把“紫堡文创”扇子．其扇面可以近似的理解为扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇面的近似面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据扇形的面积公式进行求解即可. 【详解】因为，，， 所以扇面的近似面积为， 故选：C 27．（24-25高一上·甘肃武威·期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为，弧长等于的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（参考数据） 【答案】8.92平方米 【分析】根据已知求出矢，弦，再利用已知公式求解. 【详解】因为圆心角为，弧长等于，所以圆的半径， 如图，在中，所以，， 所以矢，则弦， 所以弧田面积弦矢矢平方米． 故答案为：8.92平方米 题型七 用三角函数定义求值或求参（共8小题） 28．已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（    ） A．-6 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的定义，建立方程，结合象限角的定义，可得答案. 【详解】依题意，，其中，为坐标原点，则， 所以. 故选：D. 29．（24-25高一下·山东威海·期末）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据任意角正弦函数的定义即可求解. 【详解】由题意有， 所以. 故选：A. 30．在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称为该函数的“不动点”．若函数的“不动点”为m，角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“不动点”定义求出，再利用三角函数定义求解即可. 【详解】由，得，解得，点， 所以. 故选：A 31．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知点是角α的终边上一点，则 ． 【答案】/ 【分析】先求出的值，再根据三角函数的定义计算即得. 【详解】点即， 依题意，. 故答案为:. 32．（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知点在角的终边上，若，则（   ） A． B．为第二象限的角 C． D． 【答案】D 【分析】根据终边上的点及已知函数值得，即，再结合三角函数的定义判断各项的正误. 【详解】由题设，可得，A错； 所以，则为第三象限的角，B错； ，C错； ，D对. 故选：D 33．（24-25高一上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，且，则等于 【答案】 【分析】利用三角函数的定义可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】在平面直角坐标系中，角的终边经过点，且， 由三角函数的定义可得，则， 整理可得，解得或（舍）. 故答案为：. 34．（24-25高一上·江苏南京·期末）已知角的始边与轴非负半轴重合，终边经过点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据任意角的三角函数的定义结合题意列方程求解即可. 【详解】因为角的始边与轴非负半轴重合，终边经过点，且， 所以，化简得， 因为，所以. 故选：B 35．已知点是角终边上的一点，且，则的值为（   ） A．2 B． C．或2 D．或 【答案】D 【分析】由三角函数的定义计算可得； 【详解】由三角函数定义可得，解得， 所以的值为或. 故选：D. 题型八 角的范围与三角函数式的符号（共6小题） 36．（24-25高一上·江苏·期末）已知角，则“α为第二象限角”是“”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据象限角的性质即可结合充分必要条件的定义求解. 【详解】若α是第二象限角，则，故充分性成立， 若，则是第二象限角或者第三象限角或者终边在轴负半轴上，故必要性不成立，“α为第二象限角”是“”的充分不必要条件， 故选：A 37．在平面直角坐标系中，已知角，的终边关于y轴对称，且，则，的一组取值可以为 ； ． 【答案】 【分析】根据角的对称及正切的正负，写出一组答案即可. 【详解】因为的终边关于轴对称，且， 所以可取，. 故答案为：，.（答案不唯一） 38．（多选）（24-25高一上·广东深圳·期末）若，则角的终边可能落在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】CD 【分析】根据各象限三角函数的正负情况判断即可. 【详解】因为，所以或， 所以为第三象限或第四象限角. 故选：CD 39．（24-25高一上·江苏苏州·期末）“点在第二象限”是“角为第三象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据三角函数值在各象限的符号及充分条件与必要条件的概念判断. 【详解】若点在第二象限，则，则角为第三象限角，故充分性成立， 若角为第三象限角，则，则点在第二象限，故必要性成立， ∴“点在第二象限”是“角为第三象限角”的充要条件. 故选：C. 40．（多选）（25-26高一上·广东·期末）若为第二象限角，则下列正确的有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BC 【分析】根据三角函数的符号规律直接判断即可. 【详解】若为第二象限角，则，，． 所以，为第二象限角，则或或． 故选：BC． 41．（24-25高一上·湖北武汉·期末）若是第四象限角，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据，即可求解. 【详解】由于是第四象限角，故， 故在第三象限， 故选：C 题型九 sinα±cosα与sinα·cosα的关系（共6小题） 42．（25-26高一上·贵州·期末）如果角满足，那么的值是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】将给定等式切化弦，再利用同角三角函数的基本关系计算即可. 【详解】，，即， 那么，即D正确. 故选：D． 43．（多选）（24-25高一上·江苏·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用同角三角函数的关系，结合正、余弦值的符号逐项计算判断. 【详解】由，得，所以， 又，所以，结合， 解得，所以. 故选：AC. 44．若，且，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】首先利用平方关系求的值，再利用平方关系求的值. 【详解】，得， 则， 且，则，所以. 故答案为： 45．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将题给等式两边同时平方得到，结合范围可判断的符号，再利用同角三角函数基本关系可即求得. 【详解】， 故， 又且，故， ，故. 故选：A. 46．（多选）（24-25高一上·吉林通化·期末）已知，，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对A，将条件式平方化简得解；对B，利用与的关系，结合求解判断；对C，由选项B，结合条件求出得解；对D，由平方差公式结合选项B求解. 【详解】对于A，由，则，化简得，故A正确； 对于B，由，，则，即， ，，故B正确； 对于C，由，解得，所以，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABD. 47．（多选）（24-25高一上·甘肃平凉·期末）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意，由同角三角函数的平方关系结合完全平方公式代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为①， 所以，则， 因为，所以，，所以，故A正确； 所以， 所以②，故D正确； 由①②联立可得，，，故B错误； 所以，故C错误． 故选：AD 题型十 利用三角函数平方关系求参数（共4小题） 48．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若，，则 ． 【答案】0或 【分析】根据，代入整理求解得出的值，进而得出的值，即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 所以，， 整理可得，，解得或. 当时，，，； 当时，，，. 综上所述，或. 故答案为：0或. 49．（24-25高一上·江苏·期末）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数的基本关系化简可得出所求代数式的值. 【详解】因为，则，所以，. 故选：D. 50．已知若为第二象限角，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据同角平方和关系即可结合角的范围求解. 【详解】由可得或， 由于为第二象限角，所以， 故当时，不符合要求， 则符合要求， 故选：D 51．已知是方程的两个实数根． (1)求的值： (2)若为第二象限角，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可确定m的范围，再结合根与系数的关系以及同角的三角函数关系，即可求得答案； （2）根据角所在象限，确定的正负，平方后结合同角的三角函数关系，化简求值，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知是方程的两个实数根， 故； 且， 因为，故， 解得，满足， 故； （2）因为为第二象限角，所以，则， 由（1）知， 所以， 则. 题型十一 正余弦齐次式的计算（共6小题） 52．已知角满足，则 ． 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系，分子分母同时除以，即可求解． 【详解】， 分子分母同时除以，原式， 故答案为：． 53．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知，则 . 【答案】/ 【分析】先由条件得到，结合二倍角公式，化弦为切，代入求出答案. 【详解】因为，所以， . 故答案为： 54．（24-25高一上·江苏·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据商数关系，由弦化切求值即可. 【详解】由. 故选：C 55．已知角的终边落在上，则 ． 【答案】 【分析】根据已知可得，再应用同角三角函数关系及齐次式的求法求值即可. 【详解】角的终边落在上， ， ． 故答案为： 56．（24-25高一上·江苏镇江·期末）设，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】将分子上的1用，然后分子分母同除以，化为只含的式子，再代值计算即可. 【详解】因为， 所以 . 故选：A 57．若，则（   ） A．2或 B．或 C． D．2 【答案】C 【分析】由同角三角函数商的关系，弦化切即可求解； 【详解】， 即， 解得：或，又，， 所以， 故选：C 题型十二 三角函数的化简与证明（共5小题） 58．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】将化成，再结合化简即可. 【详解】原式， 因为，则，所以上式. 故选：A 59.（24-25高一上·四川巴中·期末）已知是第三象限角，则化简结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的平方关系，结合弦函数的值域化简即可. 【详解】 ， 因为是第三象限角，所以， 所以原式化简结果为. 故选：D 60.（24-25高一上·广东佛山·期末）已知. (1)求； (2)若是第一象限角，求的值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）配凑分母，根据正余弦齐次式的求法可构造方程求得结果； （2）利用同角三角函数关系化简所求式子，并求得的值，代入即可得到结果. 【详解】（1）， ，解得：或. （2）， 是第一象限角，，， 由（1）知：，由得：， . 61.证明：. 【答案】证明见解析. 【分析】根据平方关系将所证等式的左侧化简，再根据商的关系将其转化为正切即可. 【详解】左边右边. 所以. 62．求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用平方关系和商关系可证结论； （2）利用平方关系可证结论. 【详解】（1）证明：左边= =右边. （2）证明：左边= =右边. 题型十三 利用诱导公式化简与求值（共6小题） 63．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数定义，结合诱导公式求解可得. 【详解】因为角的终边经过点，所以， 所以. 故选：C 64．（24-25高一上·江苏·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过对所求式子进行变形，利用已知条件得出答案即可. 【详解】，． 故选：. 65.（24-25高一上·陕西渭南·期末）已知角的终边上有一点，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义先求，再利用诱导公式化简即可求解. 【详解】由题意有，所以， 故选：D. 66.（多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】已知及的范围，结合同角三角函数的基本关系可以求出，进而可得，再结合诱导公式对选项进行验证即可. 【详解】因为，所以，则． 则，， ，． 故选：AC 67.已知. (1)化简； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由诱导公式化简求值； （2）在（1）基础上得到，凑角后利用诱导公式即得答案. 【详解】（1）； （2）由可得， 则. 68．计算求值. (1)已知，求的值. (2)若，且，求下列式子的值. （i）；（ii）. 【答案】(1). (2)（i），（ii）. 【分析】（1）由诱导公式化简原式，然后代入求值； （2）由同角三角函数的关系求出，（i）分子分母同除，得到关于的代数式，然后代值求结果；（ii）由诱导公式化简代数式，然后代值求结果. 【详解】（1） （2）∵ ∴， 则 （i） （ii） 题型十三 利用诱导公式证明三角恒等式（共5小题） 69.（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知下列等式的左右两边都有意义，则下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对于A、B，由同角三角函数的基本关系进行化简证明即可，对于C、D，由诱导公式进行化简证明即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：ABC. 70．求证：当或3时，. 【答案】证明见解析 【分析】根据题设，应用诱导公式化简等式左侧即可. 【详解】当时，左边=； 当时，左边=； 综上，或有原等式恒成立. 71.证明：． 【答案】证明见解析 【分析】利用诱导公式化简即可. 【详解】左边右边， 所以． 72．求证： 【答案】证明见解析 【分析】对等式左边用诱导公式进行化简证明 【详解】左边＝＝右边，所以原等式成立． 73．求证：＝． 【答案】证明见解析 【分析】运用诱导公式结合同角三角函数的基本关系将等式两边分别化简，进而证明问题. 【详解】左边 . 右边. ∴左边＝右边，故原等式成立． $