专题24 任意角、弧度制及三角函数的定义（七类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册

专题24 任意角、弧度制及三角函数的定义 （七类重难点题型） 目录 典例解析 类型一、终边相同的角的应用 类型二、判断角所在的象限 类型三、由图形写出角（范围） 类型四、弧长与扇形面积相关计算 类型五、扇形中的最值问题 类型六、由终边或终边上的点求三角函数值 类型七、由三角函数值求终边上的点或参数 压轴专练 类型一、终边相同的角的应用 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是． 【技巧方法】 （1）终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决． （2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角． 例1．集合中的最大负角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用终边相同的角的定义求解即可. 【解析】因为， 所以集合中的最大负角为. 故选：C. 变式1-1．若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分为第一象限角和第三象限角时，求出的取值集合再求并集. 【解析】根据题意，角的终边在直线上，为第一象限角时，； 为第三象限角时，； 综上，角的取值集合是. 故选：D. 变式1-2．(多选)下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据弧度制与角度值不能混用即可排除AB，根据角度制与弧度制的互化以及终边相同角的概念即可判断CD. 【解析】对A,B在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以A，B错误． 对C，，则与终边相同，而与终边相同， 且化为角度制即为，则与的终边相同， 则是与的终边相同的角的表达式，故C正确； 对D，由C得与终边相同， 则与终边相同的角可以写成的形式，则D正确． 故选：CD． 变式1-3．把表示成的形式，则θ的值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用终边相同的角的定义求解即可. 【解析】∵，∴， 故选：B． 类型二、判断角所在的象限 求或nθ(n∈N*)所在象限的步骤： (1)将θ的范围用不等式(含有k，且k∈Z)表示． (2)两边同除以n或乘以n． (3)对k进行讨论，得到或nθ(n∈N*)所在的象限． 【技巧方法】 象限角的两种判断方法： 图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角 转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角 例2．已知是第二象限角，则（ ） A．是第一象限角 B． C． D．是第三或第四象限角 【答案】C 【分析】为第二象限角，得到，，，，得到答案. 【解析】∵是第二象限角， ∴，，即，， ∴是第一象限或第三象限角，故A错误； 由是第一象限或第三象限角，或，故B错误； ∵是第二象限角， ∴，， ∴，， ∴是第三象限，第四象限角或终边在轴非正半轴，，故C正确，D错误. 故选：C． 变式2-1．如果角的终边在第三象限，则的终边一定不在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据角的终边在第三象限，得，即，然后分类讨论，再结合象限角定义可判断. 【解析】∵α为第三象限角，∴， ∴， 令，，时，，， 可得的终边在第一象限； 令，时，，， 可得的终边在第三象限， 令，时，，， ∴可得的终边在第四象限， 故选:B． 变式2-2．已知，，则的终边在（ ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 【答案】D 【分析】为第二象限角，得到，，得到答案. 【解析】因为，， 所以为第二象限角，即， 所以， 则的终边所在象限为所在象限， 即的终边在第一、二、四象限. 故选：D. 变式2-3．已知角第二象限角，且，则角是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【分析】写出象限角的取值范围，可求出是第一象限角或第三象限角，再由可得出选项. 【解析】因为角第二象限角，所以， 所以，所以角是第一象限角或第三象限角． 又因为，即，所以角是第一象限角， 故选：A． 变式2-3．已知，且，则为（ ） A．第一或二象限角 B．第二或三象限角 C．第一或三象限角 D．第二或四象限角 【答案】C 【分析】为第二象限角，得到，得到答案. 【解析】由，得，则且，又， 因此且，是第二象限角，即， 则，当为偶数时，是第一象限角，当为奇数时，是第三象限角， 所以是第一或三象限角. 故选：C 类型三、由图形写出角（范围） 【技巧方法】 表示区域角的三个步骤： (1)按逆时针方向找到区域的起始和终止边界； (2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的－360°～360°范围内的角α，β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°； (3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整倍数，即得区域角的集合． 例3．如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据任意角的概念以及角的终边所在位置，即可确定角的集合. 【解析】终边落在阴影部分的角为，， 即终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是． 故选：B． 变式3-1．已知集合则角α的终边落在阴影处(包括边界)的区域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，由此判断出正确选项. 【解析】令，则，故B选项符合. 故选：B 变式3-2．用弧度制分别表示每个图中顶点在原点、始边重合于x轴的非负半轴、终边落在阴影部分内（包括边界）的角的集合.    【答案】(1)；(2).(3) 【分析】结合图形，由终边相同的角的集合，即可得到结果. 【解析】图1：易知； 图2：； 图3：或 或 或 变式3-3．用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界），如图所示. (1) (2) 【答案】(1)；(2). 【分析】结合图形，由终边相同的角的集合，即可得到结果. 【解析】（1）因为的终边相同，，所以阴影部分所表示的区域位于与之间且跨越x轴的正半轴，所以终边落在阴影部分的角的集合为. （2）因为，，阴影部分所表示的区域由两部分组成，所以终边落在阴影部分的角的集合为 . 类型四、弧长与扇形面积相关计算 弧长与扇形面积公式： ①；②，其中是扇形的半径，是弧长，是圆心角，是扇形面积． 【技巧方法】 应用弧度制解决问题的方法: （1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． （2）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 例4．(1)已知扇形的周长为，则这个扇形的面积为，则该扇形圆心角的弧度数为 ． 【答案】或 【分析】由扇形弧长公式及由扇形面积公式计算即可. 【解析】设扇形半径为， 由题意可知：扇形的弧长为， 则扇形的面积为，解得或2， 可得扇形的弧长为或3，所以该扇形圆心角的弧度数为或. 故答案为：或. (2)如图，曲线段是一段半径为的圆弧，若圆弧的长度为，则A，B两点间的距离为（ ） A．R B．R C．R D．2R 【答案】C 【分析】先由弧长公式求出圆心角，再由三角形中计算得出； 【解析】设所对的圆心角为. 则由题意，得.所以， 所以， 故选:C. 变式4-1．某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有50个齿，小轮有15个齿，小轮每分钟转10圈，若大轮的半径为，则大轮每秒转过的弧长是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由扇形弧长公式计算即可. 【解析】由大轮有50个齿，小轮有15个齿，小轮每分钟转10圈，得大轮每分钟转的圈数为， 因此大轮每秒钟转的弧度数为， 所以大轮每秒转过的弧长是. 故选：D 变式4-2．扇子发源于我国，我国的扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，历来我国有“制扇王国”之称.现有某工艺厂生产的一款优美的扇环形扇子，如图所示，其扇环面是由画有精美图案的油布构成，扇子对应的扇环外环的弧长为48cm，内环的弧长为16cm，油布径长（外环半径与内环半径之差）为24cm，则该扇子的油布面积大约为（ ）（油布与扇子骨架皱折部分忽略不计） A．1024cm2 B．768cm2 C．640cm2 D．512cm2 【答案】B 【分析】由扇形弧长公式及由扇形面积公式计算即可. 【解析】设扇子对应的扇形的圆心角为，内环的半径为cm，外环的半径为cm， 则，因为扇环外环的弧长为48cm，内环的弧长为16cm， 所以，则， 所以该扇子的油布面积为cm2. 故选：B 变式4-3．建于明朝的杜氏雕花楼被誉为“松江最美的一座楼”，该建筑内有很多精美的砖雕，砖雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖墙精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知，弧，弧，则此扇环形砖雕的面积为 ．    【答案】 【解析】设圆心角为，则， 所以，解得，所以， 所以此扇环形砖雕的面积为 . 故答案为： 类型五、扇形中的最值问题 【技巧方法】 从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为的不等式或利用二次函数求值的方法确定相应最值； 例5．已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r． (1)若，求扇形的弧长． (2)若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积． 【答案】(1);(2) 【分析】（1）由扇形弧长公式计算；（2）由扇形面积公式及二次函数求最值即可. 【解析】（1）设扇形的弧长为l． 因为，即， 所以． （2）由题设条件，知，则， 所以扇形的面积． 当时，S有最大值36， 此时， 所以当时，扇形的面积最大，最大面积是36． 变式5-1．体育老师为了方便学生练习掷铅球，在操场上画了一块扇环形区域（图中阴影部分），其中和均以为圆心，．若，，且（表示弧长），则这块扇环形区域的面积最大值为（ ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合扇形的弧长公式可得，再结合扇形面积公式及二次函数性质可得最值. 【解析】由扇形弧长公式可得， 即， 又， 所以 ， 所以当时，最大为， 故选：C. 变式5-2．若扇形的周长为18，则扇形面积取得最大值时，扇形圆心角的弧度数是 . 【答案】2 【分析】由扇形弧长公式、扇形面积公式及二次函数求最值即可. 【解析】设扇形的半径为，弧长为，则，即， 所以扇形面积， 所以当时，取得最大值为，此时， 所以圆心角为（弧度）. 故答案为：2 变式5-3．某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度． (1)求关于的函数解析式； (2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大?并求出最大值． 【答案】(1)；(2)当时，y的值最大，最大值为． 【分析】(1)根据弧长公式和周长列方程得出关于的函数解析式； (2)根据面积公式求出关于的函数表达式，根据二次函数性质可得的最大值． 【解析】（1）根据题意，弧的长度为米，弧的长度米， ， ． （2）依据题意，可知， 化简得：，， 当，． ∴当时，y的值最大，且最大值为． 类型六、由终边或终边上的点求三角函数值 任意角的三角函数： （1）定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，． （2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，， 三角函数的性质如下表： 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 ＋ ＋ － － ＋ － － ＋ ＋ － ＋ － 记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 【技巧方法】 利用三角函数的定义，已知角终边上一点的坐标可求的三角函数值；已知角三角函数值也可求出角终边的位置． 例6．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数定义相关知识可求. 【解析】由角的终边经过点，所以 根据任意角三角函数定义，得. 故选：C 变式6-1．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，点 在角的终边上，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数正弦定义相关知识可求. 【解析】因为角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，点 在角的终边上， 所以， 故选：D 变式6-2．（多选）已知角的终边上有一点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据三角函数的定义即可求解. 【解析】由题知，因为，所以点在第三象限， 所以，， 故选：BD. 变式6-3．在平面直角坐标系中，角与角均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于直线对称．若，则___________ 【答案】 【分析】由三角函数的定义分角的终边在第一象限和第二象限讨论即可. 【解析】若角的终边在第一象限，设终边上一点，则关于对称点在终边上， 此时； 若角的终边在第二象限，设终边上一点，则关于对称点在终边上， 此时. 故答案为： 类型七、由三角函数值求终边上的点或参数 【技巧方法】 三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法: (1)已知角α的终边上的一点P的坐标，求角α的三角函数值． 方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解． (2)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值． 方法：先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题． (3)已知角α的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函数值． 方法：先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P到原点的距离(注意a的符号，对a分类讨论)，再利用三角函数的定义求解． 例7．已知点是角终边上的一点，且，则的值为（ ） A．2 B． C．或2 D．或 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义求出，再由定义计算可得. 【解析】由三角函数定义可得，解得， 所以的值为或. 故选：D. 变式7-1．已知点在角终边上，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义求出，再由定义计算可得. 【解析】因为点在角终边上，且， 即，解得， 所以. 故选：A 变式7-2．若，且角的终边经过点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义，列出方程，求解即可得出答案. 【解析】由已知可得，， 根据三角函数的定义可得， 所以，，且， 所以，. 故选：D． 变式7-3．在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意有求参数y，再由正弦函数的定义求. 【解析】由题意，且，解得， 所以. 故选：D. 变式7-4．设为第四象限角，其终边上的一个点是，且，则=________;=_______. 【答案】， . 【分析】先求得，然后求得. 【解析】依题意，为第四象限角，其终边上的一个点是，则， ，解得，则 所以， . 故答案为:， . 1.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（ ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【解析】当时，，此时表示的范围与表示的范围一样； 当时，，此时表示的范围与表示的范围一样， 故选：C． 2.若角满足＝(k∈Z)，则的终边一定在（ ） A．第一象限或第二象限或第三象限 B．第一象限或第二象限或第四象限 C．第一象限或第二象限或x轴非正半轴上 D．第一象限或第二象限或y轴非正半轴上 【答案】D 【解析】当时，，终边位于第一象限 当时，，终边位于第二象限 当时，，终边位于轴的非正半轴上 当时，，终边位于第一象限 综上可知，则的终边一定在第一象限或第二象限或轴的非正半轴上 故选：D 3.如图所示的圆形中心阴影部分为镂空的图案是我国古代建筑中的一种图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥.已知图中外圆的半径为1，阴影部分由四条四分之一圆弧围成，则图案的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设是外圆的圆心，是相邻的两个四等分点， 由题意可知，又， 所以弓形的面积为， 所以图案的面积为. 故选：C. 4.已知角的终边经过点，则的值不可能是（ ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【解析】由定义，， 当，合题意； 当，化简得，由于横坐标，角的终边在一、四象限， 所以． 故选：D． 5.质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为圆与射线的交点.则当与第2024次重合时，的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设两质点重合时，所用时间为，则重合点坐标为， 由题意可知，两质点起始点相差角度为， 则，解得， 若，则，则重合点坐标为， 若，则，则重合点坐标为，即， 若，则，则重合点坐标为，即， 当与第2024次重合时，，则， 则重合点坐标为，即. 故选：B. 6.（多选）若角α是第二象限角，则角2α的终边不可能在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】AB 【解析】∵角α是第二象限角，∴k×360°＋90°＜α＜k×360°＋180°，k∈Z. ∴2k×360°＋180°＜2α＜2k×360°＋360°，k∈Z. ∴2α可能是第三或第四象限角或是终边在y轴的非正半轴上的角，即其终边不可能在第一、二象限. 故选AB. 7.（多选）若角的终边在第三象限，则的值可能为（ ） A．0 B．2 C．4 D． 【答案】BC 【解析】由角的终边在第三象限，得，则， 因此是第二象限角或第四象限角， 当是第二象限角时，， 当是第四象限角时，. 故选：BC 8.（多选）已知角的终边经过点，则的值可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据三角函数的概念求解，即可得的值. 【解析】已知角的终边经过点 所以， 则当时，，此时； 当时，，此时； 所以的值可能为或. 故选：CD. 9.已知一个扇形的弧所对的圆心角为，半径，则扇形的弧长为 cm. 【答案】 【分析】直接利用弧长公式即可求解. 【解析】因为一个扇形的弧所对的圆心角为，所以该扇形的弧长为， 故答案为： 10.圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环．如图所示，扇环的内圆弧的长为，外圆弧的长为，圆心角，则该扇环的面积为___________ 【答案】 【分析】根据扇形面积公式计算即可得解. 【解析】由扇形面积公式（其中为扇形弧长，为扇形圆心角，为扇形半径）可得，扇环面积. 故答案为： 11.已知扇形的周长为，则当扇形的圆心角 扇形面积最大． 【答案】2 【分析】设扇形所在圆的半径为r，结合已知，用r表示出扇形面积，再利用二次函数性质求解作答. 【解析】设扇形的半径为，弧长为， 由题意，， 扇形的面积为 ，所以当时， 扇形面积取最大值，此时， 所以扇形的圆心角时，扇形面积最大. 故答案为：2 12.已知直线与以原点为原心的单位圆交于两点，点在轴的上方，是坐标原点，则以射线为终边的角的正切值为____________ 【答案】1 【分析】先求出点坐标，再根据三角函数的定义求值；再求出点坐标，再根据三角函数的定义求值即可； 【解析】由题意可知点坐标为， 所以，. 由题意可得点坐标为，所以. 故答案为：1 13.已知角的集合为，回答下列问题： (1)集合M中有几类终边不相同的角？ (2)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？ (3)求集合M中的第二象限角． 【答案】(1)；(2)－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°;(3)，. 【解析】（1）集合M中的角可以分成四类，即终边分别与－150°，－60°，30°，120°的终边相同的角． （2）令，得， 又，所以终边不相同的角，所以集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个， 分别是:－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°． （3）集合M中的第二象限角与120°角的终边相同， 所以，. 14.已知角的终边与单位圆交于点，其中． (1)求实数的值； (2)求的值． 【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）由题意可得，再结合可求得答案； （2）根据任意角的三角函数的定义求解即可. 【解析】（1）由角的终边与单位圆交于点，有， 又由，解得； （2）因为角的终边与单位圆交于点， 所以． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题24 任意角、弧度制及三角函数的定义 （七类重难点题型） 目录 典例解析 类型一、终边相同的角的应用 类型二、判断角所在的象限 类型三、由图形写出角（范围） 类型四、弧长与扇形面积相关计算 类型五、扇形中的最值问题 类型六、由终边或终边上的点求三角函数值 类型七、由三角函数值求终边上的点或参数 压轴专练 类型一、终边相同的角的应用 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是． 【技巧方法】 （1）终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决． （2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角． 例1．集合中的最大负角为（ ） A． B． C． D． 变式1-1．若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（ ） A． B． C． D． 变式1-2．(多选)下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ） A． B． C． D． 变式1-3．把表示成的形式，则θ的值可以是（ ） A． B． C． D． 类型二、判断角所在的象限 求或nθ(n∈N*)所在象限的步骤： (1)将θ的范围用不等式(含有k，且k∈Z)表示． (2)两边同除以n或乘以n． (3)对k进行讨论，得到或nθ(n∈N*)所在的象限． 【技巧方法】 象限角的两种判断方法： 图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角; 转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角 例2．已知是第二象限角，则（ ） A．是第一象限角 B． C． D．是第三或第四象限角 变式2-1．如果角的终边在第三象限，则的终边一定不在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式2-2．已知，，则的终边在（ ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 变式2-3．已知角第二象限角，且，则角是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 变式2-3．已知，且，则为（ ） A．第一或二象限角 B．第二或三象限角 C．第一或三象限角 D．第二或四象限角 类型三、由图形写出角（范围） 【技巧方法】 表示区域角的三个步骤： (1)按逆时针方向找到区域的起始和终止边界； (2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的－360°～360°范围内的角α，β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°； (3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整倍数，即得区域角的集合． 例3．如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（ ） A． B． C． D． 变式3-1．已知集合则角α的终边落在阴影处(包括边界)的区域是（ ） A． B． C． D． 变式3-2．用弧度制分别表示每个图中顶点在原点、始边重合于x轴的非负半轴、终边落在阴影部分内（包括边界）的角的集合.    变式3-3．用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界），如图所示. (1) (2) 类型四、弧长与扇形面积相关计算 弧长与扇形面积公式： ①；②，其中是扇形的半径，是弧长，是圆心角，是扇形面积． 【技巧方法】 应用弧度制解决问题的方法: （1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． （2）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 例4．(1)已知扇形的周长为，则这个扇形的面积为，则该扇形圆心角的弧度数为 ． (2)如图，曲线段是一段半径为的圆弧，若圆弧的长度为，则A，B两点间的距离为（ ） A．R B．R C．R D．2R 变式4-1．某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有50个齿，小轮有15个齿，小轮每分钟转10圈，若大轮的半径为，则大轮每秒转过的弧长是（ ） A． B． C． D． 变式4-2．扇子发源于我国，我国的扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，历来我国有“制扇王国”之称.现有某工艺厂生产的一款优美的扇环形扇子，如图所示，其扇环面是由画有精美图案的油布构成，扇子对应的扇环外环的弧长为48cm，内环的弧长为16cm，油布径长（外环半径与内环半径之差）为24cm，则该扇子的油布面积大约为（ ）（油布与扇子骨架皱折部分忽略不计） A．1024cm2 B．768cm2 C．640cm2 D．512cm2 变式4-3．建于明朝的杜氏雕花楼被誉为“松江最美的一座楼”，该建筑内有很多精美的砖雕，砖雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖墙精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知，弧，弧，则此扇环形砖雕的面积为 ．    类型五、扇形中的最值问题 【技巧方法】 从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为的不等式或利用二次函数求值的方法确定相应最值； 例5．已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r． (1)若，求扇形的弧长． (2)若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积． 变式5-1．体育老师为了方便学生练习掷铅球，在操场上画了一块扇环形区域（图中阴影部分），其中和均以为圆心，．若，，且（表示弧长），则这块扇环形区域的面积最大值为（ ）    A． B． C． D． 变式5-2．若扇形的周长为18，则扇形面积取得最大值时，扇形圆心角的弧度数是 . 变式5-3．某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度． (1)求关于的函数解析式； (2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大?并求出最大值． 类型六、由终边或终边上的点求三角函数值 任意角的三角函数： （1）定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，． （2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，， 三角函数的性质如下表： 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 ＋ ＋ － － ＋ － － ＋ ＋ － ＋ － 记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 【技巧方法】 利用三角函数的定义，已知角终边上一点的坐标可求的三角函数值；已知角三角函数值也可求出角终边的位置． 例6．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，则（ ） A． B． C． D． 变式6-1．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，点 在角的终边上，则 （ ） A． B． C． D． 变式6-2．（多选）已知角的终边上有一点，若，则（ ） A． B． C． D． 变式6-3．在平面直角坐标系中，角与角均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于直线对称．若，则___________ 类型七、由三角函数值求终边上的点或参数 【技巧方法】 三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法: (1)已知角α的终边上的一点P的坐标，求角α的三角函数值． 方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解． (2)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值． 方法：先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题． (3)已知角α的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函数值． 方法：先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P到原点的距离(注意a的符号，对a分类讨论)，再利用三角函数的定义求解． 例7．已知点是角终边上的一点，且，则的值为（ ） A．2 B． C．或2 D．或 变式7-1．已知点在角终边上，且，则（ ） A． B． C． D． 变式7-2．若，且角的终边经过点，则（ ） A． B． C． D． 变式7-3．在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（ ） A． B． C． D． 变式7-4．设为第四象限角，其终边上的一个点是，且，则=________;=_______. 1.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（ ） A．   B．   C．   D．   2.若角满足＝(k∈Z)，则的终边一定在（ ） A．第一象限或第二象限或第三象限 B．第一象限或第二象限或第四象限 C．第一象限或第二象限或x轴非正半轴上 D．第一象限或第二象限或y轴非正半轴上 3.如图所示的圆形中心阴影部分为镂空的图案是我国古代建筑中的一种图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥.已知图中外圆的半径为1，阴影部分由四条四分之一圆弧围成，则图案的面积为（ ） A． B． C． D． 4.已知角的终边经过点，则的值不可能是（ ） A． B．0 C． D． 5.质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为圆与射线的交点.则当与第2024次重合时，的坐标为（ ） A． B． C． D． 6.（多选）若角α是第二象限角，则角2α的终边不可能在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7.（多选）若角的终边在第三象限，则的值可能为（ ） A．0 B．2 C．4 D． 8.（多选）已知角的终边经过点，则的值可能为（ ） A． B． C． D． 9.已知一个扇形的弧所对的圆心角为，半径，则扇形的弧长为 cm. 10.圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环．如图所示，扇环的内圆弧的长为，外圆弧的长为，圆心角，则该扇环的面积为___________ 11.已知扇形的周长为，则当扇形的圆心角 扇形面积最大． 12.已知直线与以原点为原心的单位圆交于两点，点在轴的上方，是坐标原点，则以射线为终边的角的正切值为____________ 13.已知角的集合为，回答下列问题： (1)集合M中有几类终边不相同的角？ (2)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？ (3)求集合M中的第二象限角． 14.已知角的终边与单位圆交于点，其中． (1)求实数的值； (2)求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $