专题05 三角函数的图像与性质12类题型（期末专项训练）高一数学上学期苏教版

专题05 三角函数的图像与性质 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 “五点法”求三角函数解析式或参数（共4小题） 1．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知下表为“五点法”绘制函数图象时的五个关键点的坐标（其中，，）．则的解析式为 ． 【答案】 【分析】根据题设，直接求出，进而可得，再利用图象过点，即可求解. 【详解】由表易知，，又，所以，解得， 又时，，所以，得到， 又，所以，则， 故答案为：. 2.用“五点法”画一个周期内的简图时，要找五个关键点 0 0 0 0 【答案】 【分析】略 【详解】略 故答案为：；；；；. 3.如图是函数的部分图象，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先通过观察图像可得A和周期，根据周期公式可求出，再代入最低点坐标可得. 【详解】由图象知，，，； 所以，又因为函数图象过点，所以， 所以，所以，结合，得． 故选：D. 4.（24-25高一上·江西·期末）用“五点法”画出函数在一个周期内的简图时，需要作出以下表格： 0 1 0 0 1 (1)请将上表补充完整，并求出函数的解析式； (2)求函数在上的单调增区间． 【答案】(1)表格见详解， (2)， 【分析】(1)利用表格中当时，；当时，，可求得，，的值，从而可完成表格的填写和求解析式； (2)先求在上的单调递增区间，再将取值，可求得在上的单调增区间. 【详解】（1）补充表格如下： 0 1 2 0 0 1 根据表格可知，当时，；当时，， 所以，所以，， 又由当时，，可知， 所以函数的解析式为； （2）令，则， 所以在上的单调递增区间为， 当时，；当时，， 所以函数在上的单调增区间为，. 题型二 三角函数的定义域（共5小题） 5.（24-25高一上·江苏南京·期末）已知，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据对数型函数定义域求法结合三角函数图象求解即可. 【详解】要使函数有意义，则必有，即， 结合正弦函数的图象及可知，， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 6.（24-25高一上·浙江·期末）在内，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题直接求函数定义域即可. 【详解】由题意得，解得，所以， 即在内，函数的定义域为． 故选：C. 7.（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简得出，然后解不等式，可得出函数的定义域. 【详解】因为， 对于函数有，可得， 解得， 故函数的定义域为. 故选：D. 8.（24-25高一上·北京·期末）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据题意，由函数的解析式可得，求出x的取值范围，即可得到函数的定义域． 【详解】， 则，解得， 所以， 即函数的定义域为. 故答案为： 9.（24-25高一上·浙江宁波·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正切函数的定义域，利用整体思想，建立不等式，可得答案. 【详解】因为，所以. 则函数的定义域为 故选：A. 题型三 图像法与换元法求三角函数最值或值域（共5小题） 10，（24-25高一上·云南红河·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用整体法，结合余弦函数的性质即可求解. 【详解】因为，所以，则， 故，故的值域为. 故选:C. 11.函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦二倍角公式整理函数，利用换元法，根据二次函数的性质，可得答案. 【详解】由，令，则， 由，则函数的值域为. 故选：C. 12.函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，令，转化为二次函数求解. 【详解】， 令，由，得，变为． 该二次函数开口向下，对称轴，在递增，递减． 当时，时，，所以值域为. 故选：C. 13.函数在上的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，令，转化为二次函数求解. 【详解】解：依题意， 令， 故. 故当时，有最大值，当时，有最小值3， 故所求值域为. 故选：B. 14.（24-25高一上·江苏·期末）函数的最大值为 . 【答案】2 【分析】根据二次函数、余弦函数的性质求函数的最大值. 【详解】令，则， 显然，，而时，， 所以时，函数最大值为2. 故答案为：2 题型四 三角函数的周期（共6小题） 15.（24-25高一上·云南·期末）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由题结合正弦函数最小正周期计算公式可得答案. 【详解】因，则最小正周期为：. 故选：C 16．（24-25高一上·江苏徐州·期末）已知函数f（x）=2sin（-3x）+1，则函数的最小正周期为 A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用正弦函数的周期公式计算即可求出结果 【详解】函数f（x）=2sin（-3x）+1=-2in（3x-）+1． 函数的最小正周期T=． 故选D． 17.（24-25高一上·甘肃庆阳·期末）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦型函数的周期公式可求得的最小正周期. 【详解】由题意可知，函数的最小正周期为. 故选：A. 18.函数的最小正周期是（    ） A． B． C．2π D．5π 【答案】D 【分析】利用函数的周期公式，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，函数，所以函数的最小正周期是：. 故选：D． 19.（24-25高一上·山东日照·期末）函数的最小正周期为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用正切型函数的最小正周期公式求解即可. 【详解】函数的最小正周期为. 故选：A. 20.（24-25高一上·河南·期末）“”是“的最小正周期为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由正切函数的周期计算公式及充分条件和必要条件的概念分析即可. 【详解】的最小正周期为，则，得， 故“”是“的最小正周期为”的充分不必要条件． 故选：A． 题型五 三角函数的单调性及求参数（共5小题） 21.（24-25高一上·江苏宿迁·期末）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由计算出的取值范围，根据正切函数的单调性可得出，由此可得出关于的不等式组，由此可得出实数的取值范围. 【详解】当时，由于，则， 因为在区间上单调递增，则， 所以，，解得，因此，的取值范围为. 故选：A. 22.已知函数在区间上单调，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，利用单调性计算求出参数范围. 【详解】因为，所以， 因为在上单调递增，在上单调递减，且， 所以当时，即时，函数在上单调递增， 则的取值范围. 故选：B. 23.（24-25高一上·浙江宁波·期末）函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用整体法即可结合正弦函数的性质求解. 【详解】时，则， 由于在区间上不单调，则，故， 故答案为： 24.（24-25高一上·广东广州·期末）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据余弦函数的单调性即可求解. 【详解】在上单调递增，在上单调递减， . 故答案为：． 25.（24-25高一上·广东·期末）已知函数的图象过点. (1)求的解析式和最小正周期； (2)求的单调递增区间； (3)若关于的不等式在区间上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）解方程得到解析式，然后求最小正周期； （2）利用整体代入的方法求单调区间； （3）将在区间上有解转化为，然后求最小值即可. 【详解】（1）由题意得， ， ， ，即， ， ， 所以的最小正周期为. （2）设， 因为的单调递增区间是， 所以由， 解得， 所以函数的单调递增区间为. （3）不等式在区间上有解， 即为在区间上有解， 因为，所以， 当，即时， 取得最小值， 所以只需， 故实数的取值范围是. 题型六 三角函数的对称性及求参数（共5小题） 26.（25-26高一上·广东·期末）函数图象的对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦函数的图象和性质即得. 【详解】令，，解得， 图象的对称轴是． 故选：C． 27.（25-26高一上·贵州·期末）函数的图象： ①关于点对称；②关于直线对称；③关于点对称；④关于直线对称． 正确的序号为 ． 【答案】①④ 【分析】由条件根据正弦函数的图象的对称性，得出结论． 【详解】关于函数的图象， 令，求得，可得它的图象关于点对称，故①正确； 令，求得，不是最值，故它的图象不关于直线对称，故②不正确； 令，求得，可得它的图象不关于点对称，故③不正确； 令，求得，可得它的图象关于直线对称，故④正确， 故答案为：①④． 28.（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线 C．是奇函数 D．若，则 【答案】B 【分析】将选项A，B，C中的条件分别代入函数的解析式中，计算判断对应结论；取特值计算判断D作答. 【详解】对于A，因，则函数的图象关于点不对称，A不正确； 对于B，因，而，则数图象的一条对称轴是直线，B正确； 对于C，， 令，，，所以不是奇函数，C不正确； 对于D，取，显然有，而，，此时，D不正确. 故选：B 29.（24-25高一上·内蒙古·期末）已知函数的最小正周期为，且的图象关于点对称，则 ，的最小正值为 ． 【答案】 4 【分析】利用正弦函数的最小正周期公式求解第一空，利用整体代入法求解对称中心，进而得到a的最小正值求解第二空即可. 【详解】若的最小正周期为，可得， 则，令， 解得，当时，，则a的最小正值为． 故答案为：4； 30.（24-25高一上·江苏镇江·期末）若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】易得函数与的周期相等，从而可求出，再根据余弦函数和正切函数的对称性分别求出两个函数的对称中心，进而可得出答案. 【详解】因为函数的相邻对称中心的距离都是半个周期， 且函数与函数图象的对称中心完全一致， 所以函数与的周期相等， 则函数的周期，即，所以， 则， 令，故， 令，则， 故，解得， 因为，所以． 故选：D． 题型七 三角函数的零点问题（共6小题） 31.（24-25高一上·江苏·期末）已知函数，若且在区间内恰有个零点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时，求出的取值范围，根据在区间内的零点个数可得出关于的不等式，求出的取值范围，再根据可得出的表达式，再结合的取值范围可求得的值. 【详解】因为，当时，， 因为函数在区间内恰有个零点，则，解得， 因为，所以，可得， 由，解得，因为，故，则. 故选：B. 32.（24-25高一上·江西抚州·期末）已知函数在内单调递增，则在内的零点个数最多为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦型函数的单调性求出的取值范围，分析可知，当取最大值时，函数在内的零点个数最多，然后结合正弦型函数的基本性质可求得结果. 【详解】当时，， 由于正弦函数的增区间是， 所以，， 即，解得，即． 又因为，由于，，可得， 显然，越大，周期越小，零点也越多，故当时零点最多， 当时，，， 令，可得， 所以，函数在区间内的零点个数最多为. 故选：B. 33.（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）设，当实数变化时，在区间中至少有个零点，至多有个零点，则 . 【答案】66 【分析】易知在中恰有2个零点，由，分析中的零点数量即可. 【详解】由已知最小正周期为，故，在中恰有2个零点. 因为， 而区间中恰有个零点， 只需分析区间中的零点数量， 注意到相邻零点间的距离交替为，，而开区间长度为， 所以该区间中至少0个零点，至多2个零点，所以，， 所以. 故答案为：66 34.（24-25高一上·浙江金华·期末）已知函数在区间上恰有5个零点，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】设函数，作出在区间上的大致图象可得答案. 【详解】设函数，作出在区间上的大致图象， 如图所示.令，得，由图可知，当时， 直线与在区间上的图象恰有5个不同的交点， 即在区间上恰有5个零点. 故答案为：. 35.（24-25高一上·江苏南京·期末）已知函数图象上相邻的一个最高点和一个最低点分别为，. (1)求的解析式； (2)求在上的单调增区间； (3)设，证明：函数在上必有零点. 【答案】(1) (2)和 (3)证明过程见解析 【详解】（1）因为图象上相邻的一个最高点和一个最低点分别为，， 所以该函数的最小正周期为，且， 又因为， 所以由， 把代入解析式中，得， 又因为，所以令，即，因此； （2）由， 因为， 所以令，得，即，而， 所以； 令，得，即，而， 所以 所以函数在上的单调增区间为，和； （3）， 当时，， 则，且在上的图象为一条连续不间断的曲线， 所以根据函数零点存在原理，函数在上必有零点 36.（24-25高一上·浙江杭州·期末）设a为常数，函数. (1)当时，求的值域； (2)讨论在区间上的零点的个数； (3)设n为正整数，在区间上恰有2025个零点，求所有可能的正整数n的值. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)1350 【分析】（1）对函数化简得，然后利用换元法得到，，从而求解； （2）根据（1）中换元后得，且，然后分类讨论的情况，从而求解； （3）由（1）（2）知有两个零点，然后分类讨论的情况，根据有零点个，从而求解出的值. 【详解】（1）由题意，令，， 所以，，所以，，， 当时，，对称轴，所以，， ，所以， 故的值域为. （2）由（1）知，记的两零点为，， 当，即时，则，无零点； 当，即时，则，有个零点； 当，即时，则，有个零点； （3）由（1）（2）知，有两个零点，， 当，即时，得，在（为正整数），内零点个数为， 在内零点个数为，因为，所以； 当，即时，，在（为正整数）内零点个数为， 在内零点个数为，因为，所以； 当时，则，.，在和（为正整数）内零点个数均为，此时没有满足题意得n； 当时，则，，在（为正整数）内零点个数均为，此时没有满足题意得n； 当，则，，在和（为正整数）内零点个数均为，此时没有满足题意得n； 综上的所有可能值为1350. 题型八 “w”的取值范围问题（共6小题） 37.（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知函数（，），为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为（   ） A．10 B．12 C．14 D．18 【答案】C 【分析】根据零点和对称轴列式求得，根据单调区间得，根据正弦函数性质依次判断和，即可得解. 【详解】由题意知，，所以，又因为，所以. 当时，，因为，所以，此时， 经检验，在上不单调，舍去； 当时，，因为，所以，此时， 经检验，在上单调递减. 故选：C. 38.（24-25高一上·江苏·期末）已知函数的一个零点是，且在上单调，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】整理可得，以为整体，根据单调性分析可得，再结合零点分析求解. 【详解】因为， ，且时， 可得，且， 若在上单调，则，解得， 又因为的一个零点是，则，解得， 所以. 故选：B. 39.设，已知函数在区间恰有6个零点，则ω的取值范围为 【答案】. 【分析】令，求得从左到右的零点依次为：，结合题意，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数， 令，即或， 解得的正零点为或， 所以函数从左到右的零点依次为：， 为了使得在区间恰有6个零点，只需，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 40.（24-25高一上·湖南永州·期末）已知函数在区间上单调递减，且在区间上恰有个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】当时，求出的取值范围，根据函数在区间内的零点个数可得出关于的不等式；当时，求出的取值范围，根据函数在区间上的单调性，可得出关于的不等式组，综合可得出的取值范围. 【详解】因为函数在区间上恰有个零点， 令，可得，当时，， 所以，，解得， 又因为函数在区间上单调递减， 当时，， 则，其中， 所以，，解得，， 由解得，故，则， 综上所述，正实数的取值范围是. 故答案为：. 41.已知函数（，）的图象与轴的交点为，且在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据结合求得，然后求出在坐标原点两侧最接近0的两个零点，根据题意列不等式求解即可. 【详解】由题意知，则.因为，所以，所以. 令，得，令，得， 所以在坐标原点两侧最接近0的两个零点分别为和， 由题意且，解得，即的取值范围是. 故答案为： 42.（24-25高一上·江苏南京·期末）已知函数图象的一个对称中心是，一条对称轴是直线，且在区间上有且仅有两个零点，则 . 【答案】18 【分析】根据给定条件，结合正弦函数的对称性列式求出及的表达式，再利用零点个数求出范围，求出值并验证得解. 【详解】依题意，，解得， ，而，则， ，由，得， 由在区间上有且仅有两个零点，得，解得， 于是，或，当时，，，不符合要求， 当时，，，符合题意， 所以. 故答案为：18 题型九 正余弦函数图像的变换（共5小题） 43.（多选）（24-25高一上·福建莆田·期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A．右移个单位 B．左移个单位 C．右移个单位 D．左移个单位 【答案】AB 【分析】根据选项中的平移单位和平移方向，进行验证即可. 【详解】，； 因为，所以将函数的图象右移个单位可得的图象，A正确； 因为，所以将函数的图象左移个单位可得的图象，B正确； 将函数的图象右移个单位, 得到的图象，C不正确； 将函数的图象左移个单位， 得到的图象，与目标函数的图象不符，D不正确； 故选：AB 44.（24-25高二下·云南·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】D 【分析】根据平移变换的原则即可得解. 【详解】要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位. 故选：D. 45.（24-25高一上·江苏·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得平移后的解析式，然后根据函数的奇偶性求得即可. 【详解】函数的图象向右平移， 得到， 由于偶函数，所以，即， 由于，所以取，得. 故选：A 46．（24-25高一上·北京顺义·期末）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 【答案】A 【分析】先应用平移规则得出的解析式，再结合余弦函数的单调性判断各个选项即可. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数， 当，则在区间上单调递减，A选项正确；B选项错误； 当， 则在区间上单调递增，在区间上单调递减，C选项错误；D选项错误； 故选：A. 47．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角函数图像的平移法则，结合诱导公式进行求解. 【详解】将函数的图像向右平移个单位，得到图像， 所以函数， 故选：A. 题型十 由部分图像求函数的解析式（共6小题） 48.（24-25高一上·江苏·期末）已知函数（其中，，.）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用周期公式结合函数图象求出和的值，即，再找一点坐标代入函数解析式即可求值，再根据平移变换求出即可. 【详解】由函数图象可知，即，解得， 函数的最大值为，则， 所以函数解析式为， 将点代入解析式得，则, 解得， 又因为，所以时，， 所以函数解析式为， 将函数图象上所有点向左平移个单位长度， 得到函数. 故选：A 49.（多选）（24-25高一上·广东汕头·期末）已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A．函数的图象可由的图象向左平移个单位得到 B．直线是图象的一条对称轴 C．函数的周期为 D．直线与函数在上的图象有7个交点 【答案】BCD 【分析】根据三角函数的图象与性质及图象变换规律，针对各个选项，即可求解． 【详解】根据题意可得，所以，所以C选项正确； 所以，所以， 又根据图象及“五点法”可得， 所以，所以， 将的图象向左平移个单位得到的图象，所以A选项错误； 因为， 所以直线是图象的一条对称轴，所以B选项正确； 因为时，，又， 所以根据基本初等函数正弦函数的性质可得： 在上与有7个交点， 故直线与函数在上的图象有7个交点，所以D选项正确． 故选：BCD．    50．（24-25高一上·江苏·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（   ）    A． B．将的图象上所有点横坐标变为原来2倍，再向左平移个单位，得到的图象，则 C．的对称中心为， D．若，且，则 【答案】D 【分析】根据函数图象确定相关参数，可求出函数解析式，判断A；利用正弦函数图象平移变换可判断B；根据正弦函数的对称性可判断C；对于D，结合已知利用换元法推出，代入求值，即可判断. 【详解】由图知，故， 又过点，且该点在函数增区间上，故， 则，则，结合，则， 故，A错误； 将的图象上所有点横坐标变为原来2倍，可得的图象， 再向左平移个单位，得到的图象，则，B错误； 令，则， 即的对称中心为，，C错误； 因为，且，令， 则，则， 则， 故，D正确， 故选：D 51．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知函数的部分图像，如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)将函数的图像向右平移个单位，再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的单调递增区间. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）结合三角函数的图像求参数的值即可得解； （2）由三角函数图像的平移和伸缩变换求出函数的解析式，再结合三角函数单调区间的求法即可. 【详解】（1）由题图得， 因为，∴. 由，得， 所以，解得. 又因为，∴当时，. 又由，得. 故. （2）将 的图像向右平移个单位， 得到的图像， 再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 得到的图像. 由，，得， 当时，；当时，， 因为，所以函数在区间上的单调递增区间为， 52.（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式及对称中心坐标； (2)将的图象向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数的图象．求不等式的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据最值求出，根据周期求出，然后利用求出，即可求出的解析式，最后令即可求出对称中心； （2）根据图象变换得出，最后结合正弦函数图象即可求出. 【详解】（1）由图象可得，得， 由图象可知，所以，即， 即； 又因为，即， 所以，则， 结合，可得， 所以； 令得， 所以曲线的对称中心为． （2）把曲线向右平移个单位后的曲线为； 把曲线上每一点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线； 把曲线向上平移个单位，得到曲线； 令，得， 结合正弦函数图象可得不等式的解集为. 53.（25-26高一上·全国·期末）已知函数的部分图象如图所示．    (1)求的解析式； (2)先将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，若对任意，，求实数的最小值． 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）根据图象上的最值、周期和点的坐标，结合正弦函数的图象和性质求解即可； （2）先根据三角函数图象的伸缩变换得到，再求出在上的值域，将原问题转化为即可求解. 【详解】（1）根据图象可得，，则， 因为，所以， 将代入的解析式，得， 结合图象知，解得， 因为，所以， 所以． （2）由（1）知， 将的图象向左平移个单位长度得的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍得的图象， 因为，所以，则， 所以， 故在上的值域为， 对任意的，，则只需即可， 所以，即实数的最小值为12． 题型十一 三角函数图像与性质的综合应用（共7小题） 54.（多选）（25-26高一上·广东·期末）已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的图象关于直线对称 B． C．若，则将的图象向右平移个单位后，所得的图象与函数的图象重合 D．若关于的方程在区间内有两个实数解，则的取值范围为 【答案】ABD 【分析】A计算即可；B根据周期公式，代入计算函数值；C得出平移后的函数解析式，再利用诱导公式化简；D解方程，再求出符合题意的根，进而约束范围即可. 【详解】若，则，则为函数的最小值， 即直线为函数的一条对称轴，A正确； 因为，所以，B正确； 若，则将的图象向右平移个单位后， 所得的图象对应的函数为， 而，C错误； 由，得，，即，， 当时；当时；当时；当时； 若在区间内有两个实数解，则，解得，D正确． 故选：ABD． 55.（多选）（25-26高一上·全国·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若的最小正周期是，则 B．当时，图象的对称中心的坐标为 C．当时， D．若在区间上单调递增，则 【答案】AB 【分析】A选项根据周期公式求解，B选项根据正切函数的对称中心坐标公式求解，C选项直接代入求解，D选项根据正切函数的单调区间代入求解. 【详解】A选项，当的最小正周期是时，，则,故正确 B选项，当时，，所以令， 解得，所以函数图象的对称中心的坐标为，故正确. C选项，当时，，，故错误. D选项， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为， 因为在区间上单调递增，所以， 解得， 另一方面，即，所以， 又因为，所以由，得，由，得， 所以的取值范围是，故错误. 故选：AB 56.（多选）（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知函数，则（    ） A．的值域为 B．的最小正周期为π C．在区间上单调递增 D．在上有2个零点 【答案】AD 【分析】由题可化简.对于A，由化简式及三角函数值域知识可判断选项正误；对于B，通过特殊值验证可判断选项正误；对于C，由题可得在区间上的解析式，据此可得单调区间；对于D，由题可得在上的解析式，据此可得零点. 【详解】 ； 又，； ，，. 则，. 对于A，，， ，. 其中，则，故A正确； 对于B，注意到，， 则B错误； 对于C，， 则在上单调递增，在上单调递减，故C错误. 对于D，， 则，即有2个零点，故D正确. 故选：AD 57.（多选）（24-25高一上·江苏扬州·期末）已知函数，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．在上单调递增 C．的图象关于点对称 D．当时，曲线与的交点个数为4 【答案】ABD 【分析】应用代入法验证对称轴和对称中心判断A、C，整体法判断函数的区间单调性判断B；根据正弦型函数的区间单调性、值域确定曲线交点个数判断D. 【详解】A：由，则的图象关于直线对称，对； B：由题设，结合正弦函数性质知单调递增，对； C：由，则的图象关于直线对称，故不是对称中心，错； D：由在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且在、、上对应值域依次为、、， 由题设，令， 则在、、上单调递增，对应值域依次为、、， 在、上单调递减，对应值域均为， 所以在、、上单调递增，对应值域依次为、、， 在、上单调递减，对应值域均为， 所以与分别在、、、上各有一个交点，即共有4个交点，对. 故选：ABD 58.（24-25高一上·江苏泰州·期末）已知函数的最小正周期为. (1)求函数在区间上的单调递增区间； (2)已知函数的最小值为1； ①求的值； ②若，使得，求实数m的取值范围. 【答案】(1)函数单调递增区间为，. (2)① ② 【分析】（1）由周期求得函数解析式，由正弦函数的性质求得函数的单调区间，即可得答案； （2）①令.若由二次函数的最小值点建立方程解得并验证；若得函数最小值；若，再讨论对称轴的范围，从而得到对于情况的最小值，解得；即可求得符合条件的. ②由①中结论求得和在对应区间的范围，讨论，，时分别求得的范围，由集合的包含关系建立不等式组，解得实数m的取值范围. 【详解】（1）由题意可知，∴，即， 令，则， ∴函数单调递增区间为，. （2）①令，则， 当时，函数开口向下，则或为函数的最小值， 即或， 解得（舍去）或. 当时，，此时最小值为，不合题意舍去. 当时，，不合题意舍去. 当时，函数的对称轴， 当，即，此时函数最小值为，解得（舍去）； 当，即，此时函数最小值为，整理得，即，解得（舍去）或； ∴. ②由①可知当时，函数， 由（1）可知函数在区间上单调递增，在上单调递减， ∴时，， 当时，，不合题意舍去， 当时，，由题意得， 即，解得， 当时，，由题意得， 即，解得， ∴. 59.（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在区间内的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由图象确定周期和最值得到，，再结合点，即可求解； （2）确定平移后解析式，即可求解. 【详解】（1）设的最小正周期为T， 由图可知，，，即， 且，所以， 此时， 将代入得，即， 且，则， 可得，解得， 所以． （2）将函数的图象向右平移个单位长度， 得到； 再将横坐标变为原来的2倍，得； 因为，， 所以函数在区间内的值域为． 60.（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数． (1)写出由的图象变换得到的图象的过程； (2)求在上的单调减区间； (3)若，且，求． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）方法一：先将的图象向左平移个单位，再将每个点的横坐标变为原来的一半（纵坐标不变），最后将每个点的纵坐标变为原来的两倍（横坐标不变）即可； 方法二：先将的图象的每个点的横坐标变为原来的一半（纵坐标不变），再向左平移个单位，最后将每个点的纵坐标变为原来的两倍（横坐标不变）即可； （2）方法一：由求出的范围，结合正弦函数性质列不等式求函数的单调递减区间， 方法二：由不等式求出函数的单调递减区间，再求结论； （3）由条件可得，结合关系化简方程可得，，由此可求结论. 【详解】（1）方法一：由的图象变换得到的图象的过程为， 先将的图象向左平移个单位可得的图象， 再将的图象的每个点的横坐标变为原来的一半（纵坐标不变），可得的图象， 最后将的图象的每个点的纵坐标变为原来的两倍（横坐标不变）可得函数的图象； 方法二：由的图象变换得到的图象的过程为， 先将的图象的每个点的横坐标变为原来的一半（纵坐标不变），可得的图象， 再将的图象向左平移个单位可得函数的图象， 最后将的图象的每个点的纵坐标变为原来的两倍（横坐标不变）可得函数的图象； （2）法一：因为，所以， 因为y＝sinx在上单调递减，在和上单调递增， 令，可得， 所以函数在上的单调减区间为．（注意端点开闭均可） 法二： 由，，可得，， 所以函数的单调递减区间为，， 因为，所以，， 即函数f（x）在[0，π]上的单调减区间为．（注意端点开闭均可） （3）因为，所以， 因为，所以， 所以，， 所以， 即，所以． 题型十二 三角函数图像与性质的实际应用（共4小题） 61.（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知某地区某天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系，且这天的最大温差为，则 ；若温度不低于需要开空调降温，则这天需要降温的时长为 h． 【答案】 4 6 【分析】根据题意结合正弦函数的图象和性质求解即可. 【详解】对于，其最小正周期， 故这天的最大温差即为的最大值与最小值的差， 又，故，解得， 令，即，， 由，得， 所以或，解得， 则一天中需要降温的时长为， 故答案为：4；6 62.（24-25高一上·广东广州·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则 【答案】B 【分析】根据周期求出，代入得到，从而得到函数解析式，即可判断A，代入求值判断B，根据正弦函数的性质判断C，利用特殊值判断D. 【详解】由题可知小球运动的周期，又，所以，解得， 当时，，即，，所以， 则，故A错误； 因为，， 所以秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为，故B正确； 若，则，又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故C错误； 因为，令，， 则，， 满足且时刻小球偏离于平衡位置的距离相同， 此时，故D错误. 故选：B 63.（24-25高一上·福建厦门·期末）如图所示，齿轮A和齿轮B相互啮合（齿的尺寸忽略不计），其半径之比为，当时，齿轮A上的点和齿轮B上的点均与坐标原点重合．当两齿轮旋转时，和在相同时间内运动的弧长相等，则，运动的角速度之比为 ．若，则关于t的一个函数解析式为 ． 【答案】 （或2） （答案不唯一）． 【分析】做圆周运动的质点在相同时间内运动的弧长相等，通过计算可求的角速度之比，利用待定系数法设，利用周期、振幅、相位等概确定三角函数表达式中的参数即可求得结果. 【详解】因为做圆周运动的质点在单位时间t内运动经过的弧长，且和在相同时间内运动的弧长相等，所以和在运动的角速度之比等于运动半径之比的倒数，即， 所以周期之比为二者的旋转方向相反． 设，由可知． 又因为的值域为，所以齿轮A的半径为1，的取值范围为． 所以，解得． 当时，，得， 所以．． 故答案为：（或2）；（答案不唯一）． 64.（24-25高一上·浙江杭州·期末）某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型即（其中），现从图示位置，即1号座舱（可视为A点）位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．    (1)求旋转分钟后号座舱（点）离地面的距离； (2)求1号座舱（点）与地面的距离与时间的函数关系的解析式（写出定义域）； (3)在前24分钟内，求1号座舱（点）与地面的距离为17米时的值． 【答案】(1)米 (2) (3)或 【分析】（1）首先求出旋转的角度，再求出初始高度及旋转上升的高度，即可得解； （2）依题意设，即可得到，，再由周期求出，最后求出即可； （3）令，结合正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为旋转一周所需时间分钟，所以旋转分钟转过的角度为， 号座舱（点）离地面的初始高度为米， 又摩天轮的半径为30米，所以逆时针旋转时上升的高度为米， 所以旋转分钟后号座舱（点）离地面的距离米； （2）依题意1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为（其中）， 依题意可得，，则． 又，， 当时，，又，所以， 所以． （3）令，即，， ，， 或，解得或， 故或时，1号座舱与地面的距离为17米． $专题05 三角函数的图像与性质 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 “五点法”求三角函数解析式或参数（共4小题） 1．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知下表为“五点法”绘制函数图象时的五个关键点的坐标（其中，，）．则的解析式为 ． 2.用“五点法”画一个周期内的简图时，要找五个关键点 0 0 0 0 3.如图是函数的部分图象，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 4.（24-25高一上·江西·期末）用“五点法”画出函数在一个周期内的简图时，需要作出以下表格： 0 1 0 0 1 (1)请将上表补充完整，并求出函数的解析式； (2)求函数在上的单调增区间． 题型二 三角函数的定义域（共5小题） 5.（24-25高一上·江苏南京·期末）已知，则函数的定义域为 ． 6.（24-25高一上·浙江·期末）在内，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 7.（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 8.（24-25高一上·北京·期末）函数的定义域为 . 9.（24-25高一上·浙江宁波·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 题型三 图像法与换元法求三角函数最值或值域（共5小题） 10，（24-25高一上·云南红河·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 11.函数的值域是（   ） A． B． C． D． 12.函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 13.函数在上的值域为（   ） A． B． C． D． 14.（24-25高一上·江苏·期末）函数的最大值为 . 题型四 三角函数的周期（共6小题） 15.（24-25高一上·云南·期末）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D．1 16．（24-25高一上·江苏徐州·期末）已知函数f（x）=2sin（-3x）+1，则函数的最小正周期为 A．8 B． C． D． 17.（24-25高一上·甘肃庆阳·期末）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 18.函数的最小正周期是（    ） A． B． C．2π D．5π 19.（24-25高一上·山东日照·期末）函数的最小正周期为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 20.（24-25高一上·河南·期末）“”是“的最小正周期为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型五 三角函数的单调性及求参数（共5小题） 21.（24-25高一上·江苏宿迁·期末）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 22.已知函数在区间上单调，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 23.（24-25高一上·浙江宁波·期末）函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为 ． 24.（24-25高一上·广东广州·期末）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是 ． 25.（24-25高一上·广东·期末）已知函数的图象过点. (1)求的解析式和最小正周期； (2)求的单调递增区间； (3)若关于的不等式在区间上有解，求实数的取值范围. 题型六 三角函数的对称性及求参数（共5小题） 26.（25-26高一上·广东·期末）函数图象的对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 27.（25-26高一上·贵州·期末）函数的图象： ①关于点对称；②关于直线对称；③关于点对称；④关于直线对称． 正确的序号为 ． 28.（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线 C．是奇函数 D．若，则 29.（24-25高一上·内蒙古·期末）已知函数的最小正周期为，且的图象关于点对称，则 ，的最小正值为 ． 30.（24-25高一上·江苏镇江·期末）若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（    ） A． B． C． D． 题型七 三角函数的零点问题（共6小题） 31.（24-25高一上·江苏·期末）已知函数，若且在区间内恰有个零点，则（   ） A． B． C． D． 32.（24-25高一上·江西抚州·期末）已知函数在内单调递增，则在内的零点个数最多为（    ） A． B． C． D． 33.（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）设，当实数变化时，在区间中至少有个零点，至多有个零点，则 . 34.（24-25高一上·浙江金华·期末）已知函数在区间上恰有5个零点，则a的取值范围是 . 35.（24-25高一上·江苏南京·期末）已知函数图象上相邻的一个最高点和一个最低点分别为，. (1)求的解析式； (2)求在上的单调增区间； (3)设，证明：函数在上必有零点. 36.（24-25高一上·浙江杭州·期末）设a为常数，函数. (1)当时，求的值域； (2)讨论在区间上的零点的个数； (3)设n为正整数，在区间上恰有2025个零点，求所有可能的正整数n的值. 题型八 “w”的取值范围问题（共6小题） 37.（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知函数（，），为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为（   ） A．10 B．12 C．14 D．18 38.（24-25高一上·江苏·期末）已知函数的一个零点是，且在上单调，则（    ） A． B． C． D． 39.设，已知函数在区间恰有6个零点，则ω的取值范围为 40.（24-25高一上·湖南永州·期末）已知函数在区间上单调递减，且在区间上恰有个零点，则的取值范围是 . 41.已知函数（，）的图象与轴的交点为，且在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是 . 42.（24-25高一上·江苏南京·期末）已知函数图象的一个对称中心是，一条对称轴是直线，且在区间上有且仅有两个零点，则 . 题型九 正余弦函数图像的变换（共5小题） 43.（多选）（24-25高一上·福建莆田·期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A．右移个单位 B．左移个单位 C．右移个单位 D．左移个单位 44.（24-25高二下·云南·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 45.（24-25高一上·江苏·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 46．（24-25高一上·北京顺义·期末）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 47．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 题型十 由部分图像求函数的解析式（共6小题） 48.（24-25高一上·江苏·期末）已知函数（其中，，.）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 49.（多选）（24-25高一上·广东汕头·期末）已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A．函数的图象可由的图象向左平移个单位得到 B．直线是图象的一条对称轴 C．函数的周期为 D．直线与函数在上的图象有7个交点 50．（24-25高一上·江苏·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（   ）    A． B．将的图象上所有点横坐标变为原来2倍，再向左平移个单位，得到的图象，则 C．的对称中心为， D．若，且，则 51．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知函数的部分图像，如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)将函数的图像向右平移个单位，再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的单调递增区间. 52.（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式及对称中心坐标； (2)将的图象向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数的图象．求不等式的解集． 53.（25-26高一上·全国·期末）已知函数的部分图象如图所示．    (1)求的解析式； (2)先将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，若对任意，，求实数的最小值． 题型十一 三角函数图像与性质的综合应用（共7小题） 54.（多选）（25-26高一上·广东·期末）已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的图象关于直线对称 B． C．若，则将的图象向右平移个单位后，所得的图象与函数的图象重合 D．若关于的方程在区间内有两个实数解，则的取值范围为 55.（多选）（25-26高一上·全国·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若的最小正周期是，则 B．当时，图象的对称中心的坐标为 C．当时， D．若在区间上单调递增，则 56.（多选）（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知函数，则（    ） A．的值域为 B．的最小正周期为π C．在区间上单调递增 D．在上有2个零点 57.（多选）（24-25高一上·江苏扬州·期末）已知函数，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．在上单调递增 C．的图象关于点对称 D．当时，曲线与的交点个数为4 58.（24-25高一上·江苏泰州·期末）已知函数的最小正周期为. (1)求函数在区间上的单调递增区间； (2)已知函数的最小值为1； ①求的值； ②若，使得，求实数m的取值范围. 59.（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在区间内的值域． 60.（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数． (1)写出由的图象变换得到的图象的过程； (2)求在上的单调减区间； (3)若，且，求． 题型十二 三角函数图像与性质的实际应用（共4小题） 61.（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知某地区某天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系，且这天的最大温差为，则 ；若温度不低于需要开空调降温，则这天需要降温的时长为 h． 62.（24-25高一上·广东广州·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则 63.（24-25高一上·福建厦门·期末）如图所示，齿轮A和齿轮B相互啮合（齿的尺寸忽略不计），其半径之比为，当时，齿轮A上的点和齿轮B上的点均与坐标原点重合．当两齿轮旋转时，和在相同时间内运动的弧长相等，则，运动的角速度之比为 ．若，则关于t的一个函数解析式为 ． 64.（24-25高一上·浙江杭州·期末）某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型即（其中），现从图示位置，即1号座舱（可视为A点）位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．    (1)求旋转分钟后号座舱（点）离地面的距离； (2)求1号座舱（点）与地面的距离与时间的函数关系的解析式（写出定义域）； (3)在前24分钟内，求1号座舱（点）与地面的距离为17米时的值． $