专题05 离心率有关的10类综合问题（期末专项训练）高二数学上学期苏教版

专题05 离心率有关的10类综合问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 定义法求解离心率（共5小题） 1.（25-26高二上·辽宁·期中）双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D．2 2.（25-26高二上·江苏·期中）通常把过椭圆的焦点且与过焦点的长轴垂直的弦称为椭圆的通径.已知椭圆的通径长为6，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高二上·江苏常州·月考）已知椭圆的左右焦点分别为，点为坐标原点，点为椭圆上一点，点为中点，若的周长为6，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 4.（24-25高二上·重庆·期末）已知，设双曲线和椭圆的离心率分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 5.（24-25高二上·内蒙古包头·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是 . 题型二 用正弦定理求解离心率（共4小题） 6.（24-25高二上·浙江金华·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 7.（24-25高二上·江苏常州·期中）已知，分别是椭圆（）的左，右焦点，椭圆上一点P满足，且，则该椭圆的离心率等于（    ） A． B． C． D． 8.（24-25高二上·江西南昌·期末）已知椭圆与双曲线有公共焦点，、分别为其左、右焦点，且椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，点为它们在第一象限的交点，满足，则椭圆离心率的值是 . 9.（25-26高二上·浙江·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，抛物线以为焦点，且与椭圆在第一象限相交于点，记，若，则椭圆的离心率取值范围是 ． 题型三 用余弦定理求解离心率（共6小题） 10.（24-25高二上·河北张家口·期末）已知分别是椭圆的左，右焦点，过作垂直于轴的直线交于两点，若直线与直线互相垂直，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 11.（24-25高二上·江苏扬州·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上位于第一象限内的一点，若，（为坐标原点），则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 12.（2025·云南昭通·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，过原点的直线与交于两点，，且的面积为，则的离心率是（    ） A． B． C． D． 13.（24-25高二上·四川凉山·期末）已知椭圆上两点、关于原点对称，为椭圆的右焦点，交椭圆于点，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 14.（24-25高二上·北京大兴·期末）已知椭圆的右焦点为 F ，过原点的直线l与C 交于 A，B 两点，若，且，则椭圆C 的离心率为（    ） A． B． C． D． 15.（24-25高二上·湖南永州·期中）已知，是双曲线的左、右焦点，，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为 . 题型四 用双余弦定理求解离心率（共6小题） 16.（25-26高二上·贵州贵阳·期中）已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于、，若，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 17.（24-25高二上·山西运城·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点，且，，则椭圆的离心率为 . 18.（24-25高二上·广东·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与交于A，B两点，且，以AB为直径的圆过点，设的离心率为，则 . 19.（24-25高二上·福建泉州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别是点，点是右支上的一点，以为直径的圆交右支于另一点，若，则的离心率为 ． 20.（24-25高二上·上海闵行·期末）如图，已知分别为双曲线的左，右焦点，为坐标原点，过点的直线与双曲线交于两点，以为直径的圆经过点，且，则双曲线的离心率为 . 21.（24-25高二上·云南昆明·期末）已知双曲线：（）的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点，且，以线段为直径的圆恰好过点，则的离心率为 . 题型五 利用点差法求离心率（共3小题） 22.（24-25高二上·江苏南通·期末）已知直线与双曲线交于两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D．3 23.（24-25高二上·河北·期末）过第一象限内椭圆C：上一点P作三条直线，，，过原点并交C于另一点A，轴于点H，交C于另一点B，若直线AB平分线段PH，    则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 24.（24-25高二上·云南昆明·期末）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 题型六 焦点三角形双角度型求离心率（共5小题） 25.（24-25高二上·江苏徐州·月考）已知、分别是椭圆的左、右焦点，是以为直径的圆与椭圆的一个交点，且，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 26.（24-25高二上·江苏镇江·期末）设椭圆的左，右焦点分别为，点P在C上，若，，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 27.已知双曲线的左､右焦点分别为，为双曲线右支上的一点，若在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 28.（25-26高二上·广东·期末）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 29.已知，分别是椭圆：的左右两个焦点，若在上存在点使，且满足，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型七 利用几何性质求离心率（共6小题） 30.（24-25高二上·吉林长春·期末）已知是双曲线的左焦点，为坐标原点，过点 且斜率为的直线与 的右支交于点，与左支交于点，则 离心率为 （     ） A．2 B．3 C． D． 31.（24-25高二上·浙江杭州·期末）设F是双曲线的右焦点，O为坐标原点，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若的内切圆的半径，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 32.（24-25高二上·广东深圳·期末）已知双曲线（，），为其左右焦点，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线分别交的左右两支于，两点．若，则的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 33.已知分别为椭圆的左顶点和左焦点，是椭圆上关于原点对称的点，若直线交线段于 ，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 34.（24-25高二上·广东广州·期末）在直角坐标系中，是椭圆的左焦点，，分别为左、右顶点，过点作轴的垂线交椭圆于，两点，连接交轴于点，连接交于点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为 . 35.（24-25高二上·江西吉安·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，过点作轴的垂线与双曲线在第一象限交于点为坐标原点，若，且，则双曲线的离心率为 ． 题型八 坐标法求解离心率（共8小题） 36.（24-25高二上·江苏南京·期末）已知双曲线左、右顶点分别为．若直线与两条渐近线分别交于，且，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 37.（25-26高二上·江苏扬州·期中）椭圆的左顶点为，点，均在上且关于轴对称.若直线，的斜率之积为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 38.（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知椭圆的右顶点，上顶点和上焦点分别是，若轴恰与过三点的圆相切，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 39.（24-25高二上·浙江杭州·月考）过椭圆上的点作圆的两条切线，切点分别为，.若直线在轴，轴上的截距分别为，，若，则椭圆离心率为（   ） A． B． C． D． 40.（24-25高二上·江苏常州·期末）若椭圆与直线交于点，，点为的中点，直线（为原点）的斜率小于，则椭圆的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 41.（24-25高二上·山东泰安·期末）已知，是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，且直线、的斜率分别为，若的最小值为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 42.（24-25高二上·广东汕头·期末）已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 43.（24-25高二上·江苏·期末）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆上任意一点，直线垂直于OP且交线段于点M，若，则该椭圆的离心率的取值范围 ． 题型九 椭圆和双曲线共焦点型离心率问题（共5小题） 44.（24-25高二上·浙江杭州·期末）设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线渐近线的斜率小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 45.（24-25高二上·吉林长春·期末）已知点，是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，若双曲线的离心率的取值范围是，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 46.（24-25高二上·重庆·期末）已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（    ） A． B．1 C． D．2 47.（24-25高二上·安徽宣城·期末）已知点，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们在第一象限的一个公共点，且，若和的离心率分别为，，则的取值范围是 . 48.（24-25高二上·江西南昌·期末）已知椭圆与双曲线有公共焦点，、分别为其左、右焦点，且椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，点为它们在第一象限的交点，满足，则椭圆离心率的值是 . 题型十 与离心率有关的其他问题（共2小题） 49.（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”．利用这个原理，小明在家里用射灯（射出的光锥视为圆锥）在墙上投影出椭圆（图1）．图2是射灯投影的直观图，圆锥的轴截面是等腰直角三角形，椭圆所在的平面与平面垂直，且点为线段中点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 50.（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期末）圆与椭圆有密切联系，将圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，圆会变形为椭圆；同样的，将椭圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，椭圆会变形为不同的椭圆或圆.已知二面角的大小为，半平面内的圆在半平面上的投影是椭圆，在半平面上的投影是椭圆，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． $专题05 离心率有关的10类综合问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 定义法求解离心率（共5小题） 1.（25-26高二上·辽宁·期中）双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】画出双曲线图象，确定为其渐近线，结合即可求解. 【详解】 由的图象可知，其两条渐近线分别为， 两条渐近线的夹角为， 所以离心率， 故选：B 2.（25-26高二上·江苏·期中）通常把过椭圆的焦点且与过焦点的长轴垂直的弦称为椭圆的通径.已知椭圆的通径长为6，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先得出椭圆的焦点在轴上，根据椭圆通径的长为以及椭圆离心率的公式即可求解. 【详解】由可知，椭圆的焦点在轴上， 所以，，， 因为椭圆的通径长为6，所以，即， 解得或（舍去），故椭圆的离心率. 故选：C 3.（25-26高二上·江苏常州·月考）已知椭圆的左右焦点分别为，点为坐标原点，点为椭圆上一点，点为中点，若的周长为6，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由中位线性质得出焦点的周长，从而求得半焦距，再由离心率的定义式计算可得． 【详解】因为为的中点，而是中点，所以， 所以的周长是周长的一半， 又的周长为6，所以周长是12， 即，得， 又，所以，． 故选：B． 4.（24-25高二上·重庆·期末）已知，设双曲线和椭圆的离心率分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线和椭圆离心率求法可得，计算可得结果. 【详解】易知，， 由可得，解得； 所以. 故选：C 5.（24-25高二上·内蒙古包头·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】由条件结合双曲线的定义求，根据，即可求出结果. 【详解】因为点在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得， 又，所以，即，则， 因为双曲线中，， 即，则，即， 又双曲线的离心率大于，所以. 所以双曲线离心率的取值范围是. 故答案为：. 题型二 用正弦定理求解离心率（共4小题） 6.（24-25高二上·浙江金华·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得、，再由正弦定理以及椭圆的定义，可算得与的关系，进而求出椭圆的离心率. 【详解】 由题意，， ， ， 由正弦定理得，又， 所以，，又， 可得，所以椭圆的离心率. 故选：B. 7.（24-25高二上·江苏常州·期中）已知，分别是椭圆（）的左，右焦点，椭圆上一点P满足，且，则该椭圆的离心率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，，然后利用正弦定理求出的关系，再利用关系求出后即可得离心率. 【详解】设，则，又， 则，得，即， 又， ， 由正弦定理得， 设， 则，即， 又，所以， 所以离心率. 故选：D. 8.（24-25高二上·江西南昌·期末）已知椭圆与双曲线有公共焦点，、分别为其左、右焦点，且椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，点为它们在第一象限的交点，满足，则椭圆离心率的值是 . 【答案】 【分析】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，，利用正弦定理得到，再由椭圆的定义及双曲线的定义得到，结合得到，两边除以得到的方程，解得，再求出. 【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，， 由正弦定理得. ∵，∴，∴. ∵，，∴，∴. 又∵， 所以，两边除以并化简得， ∴或（舍去），则. 故答案为： 9.（25-26高二上·浙江·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，抛物线以为焦点，且与椭圆在第一象限相交于点，记，若，则椭圆的离心率取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用正弦定理化角为边，根据椭圆与抛物线的定义及性质，结合已知条件构造不等式求出离心率的取值范围． 【详解】   椭圆的左右焦点分别为， ，，， 抛物线以为焦点， ，解得，抛物线方程为， 在中，由正弦定理得， ，，解得， ，， 在抛物线上，， 由椭圆的焦半径公式得：，，解得， 则， ，整理得，解得， 又，． 故答案为：． 题型三 用余弦定理求解离心率（共6小题） 10.（24-25高二上·河北张家口·期末）已知分别是椭圆的左，右焦点，过作垂直于轴的直线交于两点，若直线与直线互相垂直，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，再由直线与直线互相垂直可知，所以，解方程即可得出答案. 【详解】令可得，则，所以， 所以，因为直线与直线互相垂直， 所以， 所以在中，，所以， 所以，所以， 所以或（舍去）， 所以的离心率为. 故选：C. 11.（24-25高二上·江苏扬州·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上位于第一象限内的一点，若，（为坐标原点），则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意判断为直角三角形，然后根据勾股定理列出方程，求得离心率. 【详解】如图，    由，得，， 其中，所以， 可得为直角三角形， ，且， 解得，， 再由勾股定理可得： 得，． 故选：D． 12.（2025·云南昭通·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，过原点的直线与交于两点，，且的面积为，则的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，根据对称性可知四边形为矩形，从而得到，再由椭圆的定义，即可求出、，再在中利用勾股定理得到、的关系，即可求出离心率. 【详解】不妨假设在第一象限，因为，所以．由图形的对称性知四边形为矩形， 因为的面积为，所以的面积为， 所以，即． 又因为，所以，， 在中，，则，所以. 故选：A． 13.（24-25高二上·四川凉山·期末）已知椭圆上两点、关于原点对称，为椭圆的右焦点，交椭圆于点，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设椭圆的左焦点为，不妨设，根据题意分析可得，，结合勾股定理可得，即可得离心率. 【详解】设椭圆的左焦点为，连接， 不妨设，则， 因为，且，可知为矩形， 则，， 又因为，， 即， 可得，，则， 在中，， 即，解得， 可得，则， 即，可得， 所以椭圆的离心率为. 故选：B. 14.（24-25高二上·北京大兴·期末）已知椭圆的右焦点为 F ，过原点的直线l与C 交于 A，B 两点，若，且，则椭圆C 的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设椭圆的左焦点为，由椭圆的对称性以及题设条件可得四边形为矩形，结合题设和椭圆定义推出，利用勾股定理可求出关系式，即可求得答案. 【详解】设椭圆的左焦点为，由椭圆的对称性可得，， 则四边形为平行四边形，结合，则四边形为矩形， 则， 由，得， 又，则， 在中，，即， 则，即椭圆C 的离心率为， 故选：C 15.（24-25高二上·湖南永州·期中）已知，是双曲线的左、右焦点，，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【分析】先作辅助线，根据双曲线的对称性以及双曲线的定义得到边长之间的关系，再结合勾股定理可求得离心率. 【详解】延长与双曲线交于点，因为， 根据对称性知，四边形为平行四边形， ， 设，则，，可得，即， 所以，则，， 即，可知， 在中，由勾股定理得， 即，解得. 故答案为：. 题型四 用双余弦定理求解离心率（共6小题） 16.（25-26高二上·贵州贵阳·期中）已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于、，若，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，设，，根据题意在中，根据求出的关系，即可求出，在中，根据求出的关系，再结合离心率求解即可. 【详解】连接，设，，则， 因为，所以， 在中，，所以， 化简得，则，所以， 所以，， 在中，， 所以，即，所以离心率. 故选：C. 17.（24-25高二上·山西运城·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点，且，，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】设的中点为，根据已知条件可得，设，结合椭圆的定义和勾股定理解出与的关系，再根据离心率公式求解即可. 【详解】如图所示，设的中点为， 因为，，所以， 设，则，由可得，所以， 在中，①， 在中，②， 在中，③， 由①②③联立解得，， 所以在中，解得， 故答案为： 18.（24-25高二上·广东·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与交于A，B两点，且，以AB为直径的圆过点，设的离心率为，则 . 【答案】/ 【分析】分析题意可知：过点的直线与双曲线的左支交于A，B两点.设，则.由双曲线定义可知，.又以AB为直径的圆过点，所以，解得.在和中，分别求即可得到关于与的二次齐次式，离心率即可求解. 【详解】分析可知：过点的直线与双曲线的左支交于A，B两点，如图所示. ，∴设，则. 由双曲线定义可知，. ∵以AB为直径的圆过点，，即， 化简整理得，即，解得（舍去），或. ∴，，，. 在中，. 在中，， 即，即. . 故答案为：. 19.（24-25高二上·福建泉州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别是点，点是右支上的一点，以为直径的圆交右支于另一点，若，则的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】由双曲线的性质，结合双曲线的定义及勾股定理求解. 【详解】设，因为，则， 所以，， 又为直径，所以，在直角三角形中，由勾股定理可得： ， 解得， 即， 在直角三角形中，由勾股定理可得：， 即， 即. 故答案为：. 20.（24-25高二上·上海闵行·期末）如图，已知分别为双曲线的左，右焦点，为坐标原点，过点的直线与双曲线交于两点，以为直径的圆经过点，且，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】由已知得到，根据得到，进而得到为的中点，设，根据双曲线定义分别表示各线段长，再利用勾股定理求解即可. 【详解】因为以为直径的圆经过点，所以， 又，故点在以为直径的圆上，所以, 所以，因为为的中点，所以为的中点， 设，则，，， ， 在中，， 即，得，所以，， 在中，，即， 所以双曲线的离心率. 故答案为： 21.（24-25高二上·云南昆明·期末）已知双曲线：（）的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点，且，以线段为直径的圆恰好过点，则的离心率为 . 【答案】 【分析】由题意，设，，由双曲线定义表示出，,在直角中求得和，再在中，利用余弦定理求出，即可得离心率. 【详解】如图，因为，设，，，则， 由双曲线定义知，， 以线段为直径的圆恰好过点，则， 由，得， 化简得，即， 因为， 所以，. 在中，， 在中，由余弦定理， 所以，解得，所以， 因，所以. 题型五 利用点差法求离心率（共3小题） 22.（24-25高二上·江苏南通·期末）已知直线与双曲线交于两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】利用点差法可求的关系，从而可求双曲线的离心率. 【详解】设，则，且， 所以，整理得到：， 因为是弦的中点， 所以，所以即 所以， 故选：A. 23.（24-25高二上·河北·期末）过第一象限内椭圆C：上一点P作三条直线，，，过原点并交C于另一点A，轴于点H，交C于另一点B，若直线AB平分线段PH，    则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出点的坐标，则可得出点坐标及中点坐标，然后分别由三点共线、及椭圆方程点差法得到坐标关系式；整理可得关系式，进而求得离心率. 【详解】设线段PH的中点为D，，，则，， 所以，， 所以， 所以①． 因为A，D，B三点共线，所以， 所以②． 由得③ 将①②代入③可得，故，即， 则C的离心率为． 故选：B. 24.（24-25高二上·云南昆明·期末）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法,结合斜率公式即可求解. 【详解】设,则且， 故，故, 故，即， 因此， 故选：D 题型六 焦点三角形双角度型求离心率（共5小题） 25.（24-25高二上·江苏徐州·月考）已知、分别是椭圆的左、右焦点，是以为直径的圆与椭圆的一个交点，且，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合焦点三角形的性质和椭圆离心率e的公式求解 【详解】因为是以为直径的圆与该椭圆的一个交点，所以，因为，所以．在中，因为，所以，由椭圆定义可得，所以．故选A． 26.（24-25高二上·江苏镇江·期末）设椭圆的左，右焦点分别为，点P在C上，若，，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在直角三角形中，，得，由，得，进行求解即可． 【详解】解：如图： 因为，所以， 则在直角三角形中，， 得， 由，得， 即椭圆的离心率为：． 故选：A 27.已知双曲线的左､右焦点分别为，为双曲线右支上的一点，若在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在以为直径的圆上，， ，，，， 由双曲线定义知：，即， ； ，，， 则，， 即双曲线离心率的取值范围为. 28.（25-26高二上·广东·期末）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆定义及焦点三角形为直角三角形求解即可. 【详解】设，，，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且， 可得，，，可得， 所以，所以椭圆的离心率为：． 故选：A． 29.已知，分别是椭圆：的左右两个焦点，若在上存在点使，且满足，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，且满足，所以，，所以、，所以，所以； 故选：B 题型七 利用几何性质求离心率（共6小题） 30.（24-25高二上·吉林长春·期末）已知是双曲线的左焦点，为坐标原点，过点 且斜率为的直线与 的右支交于点，与左支交于点，则 离心率为 （     ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】设的中点为P，设为双曲线的右焦点，设，利用推出N为的中点，继而可得，结合直线的斜率即可推出，再结合双曲线的定义可得的关系，求得答案. 【详解】设的中点为P，设为双曲线的右焦点，连接， 因为，故，设， 则，而P为的中点，则， 故，即N为的中点， 而O是的中点，故是的中位线，则， 又，故，则为等腰三角形，即得，（c为双曲线的半焦距）； 又直线的斜率为，即，则。（为锐角）， 在中，，故，即， 则， 由双曲线定义知，即得，即， 故，即双曲线E的离心率为3， 故选：B 31.（24-25高二上·浙江杭州·期末）设F是双曲线的右焦点，O为坐标原点，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若的内切圆的半径，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意，首先求出，结合及通过运算得到，再利用之间的关系得到离心率.即可判断. 【详解】解：由题可得双曲线的渐近线方程为：，即， 设右焦点，其到渐近线的距离为， ， 的内切圆的半径， 如图， 又因为的内切圆的半径， 得，∴得， 上式两边平方得，，即， ∴，即， 故双曲线C的离心率为 故选：A. 32.（24-25高二上·广东深圳·期末）已知双曲线（，），为其左右焦点，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线分别交的左右两支于，两点．若，则的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】作出辅助线，得到，故，，由双曲线定义得到方程，求出，求出离心率. 【详解】设直线与的切点为，连接， 则， 因为，所以， 而，所以，， 而，所以， 所以，． 因此，所以， 离心率. 故选：B． 33.已知分别为椭圆的左顶点和左焦点，是椭圆上关于原点对称的点，若直线交线段于 ，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，取取椭圆的右焦点为,连接，证得，由，结合条件建立方程求解即得. 【详解】    如图，取椭圆的右焦点为,连接, 因是椭圆上关于原点对称的点，且,可得, 即有,又,则有， 即，解得，故. 故选：B. 34.（24-25高二上·广东广州·期末）在直角坐标系中，是椭圆的左焦点，，分别为左、右顶点，过点作轴的垂线交椭圆于，两点，连接交轴于点，连接交于点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】作出图，连接，则由椭圆的对称性易得，，所以，所以.由相似三角形的性质求解即可. 【详解】    如图，连接，则由椭圆的对称性易得，， 所以，所以. 因为，所以， 因为，所以，     从而有， 又因为是线段的中点， 所以， 故答案为：. 35.（24-25高二上·江西吉安·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，过点作轴的垂线与双曲线在第一象限交于点为坐标原点，若，且，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，确定直角三角形的直角顶点位置，建立方程并结合双曲线定义求出，再借助相似三角形性质列式求解作答. 【详解】根据题意轴，所以为直角三角形，由有， 设，把代入有，所以，即， 由有，由， 即. 故答案为：. 题型八 坐标法求解离心率（共8小题） 36.（24-25高二上·江苏南京·期末）已知双曲线左、右顶点分别为．若直线与两条渐近线分别交于，且，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】将双曲线渐近线分别与直线联立，求得两点的横坐标，结合可得，运算得解. 【详解】因为渐近线方程，所以，解得，同理， 由，则，即，整理得， 所以离心率. 故选：D.      37.（25-26高二上·江苏扬州·期中）椭圆的左顶点为，点，均在上且关于轴对称.若直线，的斜率之积为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先设出点的坐标，再代入斜率公式，结合点在椭圆上，即可化简求解. 【详解】设，，， ，即，则， 所以椭圆的离心率. 故选：B 38.（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知椭圆的右顶点，上顶点和上焦点分别是，若轴恰与过三点的圆相切，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用过三点的圆恰与轴相切，求出圆的标准方程，再利用点在圆上，坐标适合方程即可求解． 【详解】由已知可得：，，， 线段的垂直平分线方程为，过三点的圆恰与轴相切， 所以圆心坐标为，圆的半径为， 所以经过三点的圆的方程为， 在圆上，所以， 整理得：，所以，所以， 化为：，由，解得． 故选：B． 39.（24-25高二上·浙江杭州·月考）过椭圆上的点作圆的两条切线，切点分别为，.若直线在轴，轴上的截距分别为，，若，则椭圆离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出相关点的坐标，借助向量垂直关系的坐标表示求出直线方程，进而求出，再代入，得到，即可求出离心率. 【详解】设，则，即， 又， 令坐标原点为，， 因为切圆于，所以， 则，所以， 同理可得，因此直线的方程为，则， 因此，即， 所以椭圆离心率. 故选：C. 40.（24-25高二上·江苏常州·期末）若椭圆与直线交于点，，点为的中点，直线（为原点）的斜率小于，则椭圆的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，结合斜率关系求出离心率范围. 【详解】依题意，由消去得：，, ，解得，设， 则，点，由直线的斜率小于，得， 则，椭圆焦点在轴上，， 所以椭圆的离心率的取值范围为. 故选：C 41.（24-25高二上·山东泰安·期末）已知，是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，且直线、的斜率分别为，若的最小值为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对称点得出斜率积为定值，结合最小值得出，从而可得离心率. 【详解】设椭圆方程为，其中， 已知，是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，且直线，的斜率分别为， 设，，， 则，， 又，， 则， 又，当且仅当时取等号， 又的最小值为， 则， 则， 即， 即． 故选：A． 42.（24-25高二上·广东汕头·期末）已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得线段的方程为，在线段上取一点，由已知可得关于的方程，在时有实根，根据二次方程根的分布可得出关于、、的不等式组，由此可解得的取值范围． 【详解】由已知，点，，，，， 则线段的方程为，则， 在线段上取一点， ，， 所以 ， 由，得， 因为，所以， 从而，整理得，即， 即，即， 结合，解得． 故选：B． 43.（24-25高二上·江苏·期末）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆上任意一点，直线垂直于OP且交线段于点M，若，则该椭圆的离心率的取值范围 ． 【答案】 【分析】先考虑点为顶点时，求出，再考虑不为顶点时，设，根据得到，进而表达出，根据⊥，得到方程，结合得到，解得，又，解得，求出离心率取值范围. 【详解】设， 若点为右顶点，则，此时点重合， ，由得，故， 若点为左顶点，则，此时点重合， ，由得，无解， 若点是椭圆上下顶点，此时重合，，，不合要求，舍去， 若点不是椭圆顶点时， 由得，其中， 故，解得， 所以， 又⊥，， 故， 即， 整理得①， 因为②，两式联立得， 解得或， 因为，所以（舍去）， 又，解得， 综上， 所以椭圆离心率取值范围是. 故答案为： 题型九 椭圆和双曲线共焦点型离心率问题（共5小题） 44.（24-25高二上·浙江杭州·期末）设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线渐近线的斜率小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求得，再利用椭圆、双曲线离心率的意义列式求出范围. 【详解】双曲线的渐近线方程为，由双曲线的渐近线的斜率小于，得， 因此，由，得， 则，即，， 所以的取值范围是. 故选：D 45.（24-25高二上·吉林长春·期末）已知点，是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，若双曲线的离心率的取值范围是，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设椭圆与双曲线的离心率分别为、，利用圆锥曲线的定义与余弦定理建立、、的关系式，进而推导出，结合，利用不等式的性质算出的取值范围． 【详解】设椭圆的长轴长为2m，双曲线的实轴长为2n，它们的焦距为2c，且 设点P在第一象限，则根据椭圆与双曲线的定义，可得，解得 在中，，由余弦定理得， 即，整理得 两边都除以c，可得，设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为， 则可得，整理得， 因为，所以，可得， 所以，可得，可得 故选： 46.（24-25高二上·重庆·期末）已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】根据椭圆和双曲线定义可求得，再利用勾股定理以及离心率定义化简计算可得结果. 【详解】如下图所示： 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，它们的半焦距都为； 易知，解得； 又，利用勾股定理可得， 即，整理可得， 即，即， 所以. 故选：D 47.（24-25高二上·安徽宣城·期末）已知点，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们在第一象限的一个公共点，且，若和的离心率分别为，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由椭圆方程和双曲线方程的定义可得，进而由得，设，由，可得，，由可得. 【详解】 设椭圆和双曲线的方程分别为，， 所以，可得， 设椭圆的半焦距为，因为， 所以，即， 化简得，即，即， 令，则，取， 因为，，所以，， 所以，故， 则， 时，， 因为， 所以，所以， 所以 故答案为： 48.（24-25高二上·江西南昌·期末）已知椭圆与双曲线有公共焦点，、分别为其左、右焦点，且椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，点为它们在第一象限的交点，满足，则椭圆离心率的值是 . 【答案】 【分析】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，，利用正弦定理得到，再由椭圆的定义及双曲线的定义得到，结合得到，两边除以得到的方程，解得，再求出. 【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，， 由正弦定理得. ∵，∴，∴. ∵，，∴，∴. 又∵， 所以，两边除以并化简得， ∴或（舍去），则. 故答案为： 题型十 与离心率有关的其他问题（共2小题） 49.（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”．利用这个原理，小明在家里用射灯（射出的光锥视为圆锥）在墙上投影出椭圆（图1）．图2是射灯投影的直观图，圆锥的轴截面是等腰直角三角形，椭圆所在的平面与平面垂直，且点为线段中点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆锥的轴截面性质找出椭圆的长轴和短轴所在位置，利用勾股定理和余弦定理以及三角形相似性质，分别求出短轴和长轴，再由离心率定义计算可得结果. 【详解】设，由于圆锥的轴截面是等腰直角三角形， 因此可得，所以； 又点为线段中点，所以， 由勾股定理可得， 由椭圆对称性可知，连接，延长交于点，如下图所示， 由于都是中点，所以在中，， 在中，， 在中，由余弦定理可得， 又在中，，可得； 因此可得， 设椭圆的短轴的两个端点为，连接并延长分别交圆锥底面于点， 易知，所以， 因为为圆锥母线，所以，因此， 在中，由勾股定理可知， 所以在椭圆中，， 因此可得， 可得椭圆离心率. 故选：B 50.（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期末）圆与椭圆有密切联系，将圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，圆会变形为椭圆；同样的，将椭圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，椭圆会变形为不同的椭圆或圆.已知二面角的大小为，半平面内的圆在半平面上的投影是椭圆，在半平面上的投影是椭圆，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不妨设圆与二面角的棱切于点，过作与垂直的平面分别交半平面，于射线，，设圆的半径为，椭圆，的中心分别为，，长短半轴分别为，，，，由平面几何知识可求得，进而可求得离心率. 【详解】不妨设圆与二面角的棱切于点，过作与垂直的平面分别交半平面，于射线，（如图）. 设圆的半径为，椭圆，的中心分别为，，长短半轴分别为，，，， 则，，，由平面几何知识易得，， 故椭圆的离心率. 故选： $