精品解析：重庆市长寿中学校2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

2025年秋期长寿中学高一年级第三次段考 数学试题 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则下列关系正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系依次判断即可. 【详解】因为集合是表示大于的有理数构成的集合，而是无理数，则，故B正确，CD错误； 另外，是表示集合，在此它显然不是元素，故A错误. 故选：B. 2. 汽车现在已经是我们出行不可分离的工具，小明由于经常出差，每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种方案，第一种方案：第一次加油元，第二次加油元；第二种方案：第一次加油升，第二次加油升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实惠（    ） A. 第一种 B. 第二种 C. 不确定 D. 一样实惠 【答案】A 【解析】 【分析】分别设两次加油的单价，计算全程的均价，结合基本不等式比较大小即可判断. 【详解】设第一次加油的单价为元/升，第二次加油的油单价为元/升， 则方案一的均价：，当且仅当时等号成立； 方案二的均价：，当且仅当时等号成立； 又两次加油单价不同， 则方案一的均价，方案二的均价， 所以， 故选：A. 3. 不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】整理可得，解不等式即可. 【详解】因为，即，解得或， 所以不等式的解集是或. 故选：B. 4. 已知定义在上的函数满足，为偶函数，且，若，则正整数的最小值为（ ） A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知函数是奇函数，8是函数的周期，利用函数的周期性和奇偶性得到，，，的值，结合的周期性即可得到答案. 【详解】因为为偶函数，所以，所以， 又，所以，所以是上的奇函数， 所以，所以，得 所以8是函数的周期，4是函数的周期， 所以，，， 所以， ，， ，， 所以， ， 所以正整数的最小值为22. 故选：B. 5. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】将点代入函数解析式可求得，进而得到，进而代值求解即可. 【详解】由题意得，，解得， 则，所以. 故选：C 6. 随着市场需求和消费习惯的转变，摆摊创业正吸引着越来越多创业者．小李打算批发某种水果摆摊售卖，设他进货总费用（百元）与进货量（单位：百斤）之间的关系为（为常数），若满足“随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小”，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】表示出平均价格的函数，再利用其单调性列式求解. 【详解】设水果每斤的平均价格为， 则， 随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小，即函数在单调递减， 则需满足，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 7. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及常见函数的单调性判断各选项即可. 【详解】对于A，函数的定义域为， 且，则函数为偶函数，故A错误； 对于B，函数在上单调递增，故B错误； 对于C，的定义域为， 且，则函数为奇函数， 而函数在上单调递减， 则在上单调递减，故C正确； 对于D，函数在上单调递增，故D错误. 故选：C 8. 若是奇函数，则的值为（ ） A. －2 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】分析有意义的条件，结合奇函数定义域关于原点对称的性质列方程求，再由，化简求，由此可得结论. 【详解】因为， 所以， 又， 所以， 由有意义可得， 所以当时，， 当时，，且， 因为函数是奇函数， 所以函数的定义域关于原点对称，故，其，所以， 因为是奇函数， 所以， 所以， 又， ， 所以，故， 所以， 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列选项正确的是（   ） A. 若，则的最小值为4 B. 若，则的最小值为2 C. 若正实数，满足，则的最小值为8 D. 若，则的最小值为2 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，举反例即可判断；对B，直接利用基本不等式即可判断；对C，利用乘“1”法即可判断；对D，利用基本不等式并注意取等条件即可判断. 【详解】对A，当时，，故A错误； 对B，若，则则，当且仅当时等号成立，故B正确； 对C，若，，则， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对D，， 当且仅当时等号成立，但此时无实数解，故取不到最小值2，故D错误. 故选：BC. 10. 已知定义在上的函数满足不是常数函数，则（ ） A. B. 是增函数 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，令，即可得结果；对于D，令，可得结合对称性定义判断；对于B，C举反例说明即可. 【详解】因为. 对于A，令，可得，即，故A正确； 对于BC，例如，则，符合题意， 但是减函数，且的图象不关于直线对称，故BC错误； 对于D，令，可得，即，可得， 所以的图象关于点对称，故D正确. 故选：AD. 11. 已知函数的定义域为，为偶函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 若函数有四个零点，，，，则的取值范围为 B. 若函数有四个零点，，，，则的取值范围为 C. 函数的零点个数为5个 D. 函数的零点个数为6个 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意得到函数对称轴，作出函数大致图象.结合函数图象和对数的运算知函数的零点与的关系，且得到的取值范围，即可判断A选项；由与的关系化简，利用的范围及函数的单调性求得取值范围，判断B选项；由函数的零点，得到时的值，然后分别由函数图像知道对应零点个数，即可判断C选项；令，求得的值，分别求解方程，即可求得函数的零点个数，判断D选项. 【详解】∵函数为偶函数，即 则函数关于对称， 当时，，， ∴函数的大致图像如下图， 令，则，，，为方程的解,所以 ∴，即，∴，∴， 由图可知，，∴，A选项错误； ∵，∴，且∴， 令，由双勾函数的性质可知，函数在上单调递减，∴，B选项正确； ∵有两个零点或，∴时，或， 当时，由函数图象可知，函数有3个零点， 当时，由函数图象可知，函数有2个零点， ∴函数存在5个零点，C选项正确； 令，即，则或或 ，即；，即；，无解； ，即；，无解；，即； 故函数有4个零点，D选项错误. 故选：BC 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某团队调查在某自助餐厅吃饭的100名顾客时，发现其中有80名顾客选了A菜品，有60名顾客选了B菜品，则两种菜品都选了的顾客最多有__________名，最少有__________名． 【答案】 ①. 60 ②. 40 【解析】 【分析】本题可根据集合的性质，通过分析选A菜品和选B菜品的顾客人数，利用集合交集的性质来确定A、B两种菜品都选了的顾客人数的最大值和最小值． 【详解】当选了B菜品的顾客也选了A菜品时，两种菜品都选了的顾客最多，最多有60名， 当这100名顾客至少选了两种菜品中的一种时，两种菜品都选了的顾客最少， 最少有名． 故答案为：60；40． 13. 某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高元（，），则被租出去的汽车会减少辆.若要使该公司每天租赁汽车的收入超过万元，则该公司每辆汽车每天的租金定价为__________元. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出收入表达式，则得到一元二次不等式，解出即可. 【详解】依题意，每天有辆汽车被租出去， 该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入为 元. 因为要使该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入超过万元， 所以， 即，解得，又因为且，所以， 即该汽车租赁公司每辆汽车每天的租金应定为元. 故答案为：. 14. 设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，则函数的值域是__________. 【答案】 【解析】 【分析】化简函数解析式，先求出，当时，令函数，由基本不等式及函数的奇偶性得到函数的值域，从而求得函数的值域，再由定义可得函数的值域. 【详解】， 当时，， 当时，， 设函数，，函数为奇函数， 当时，，当且仅当时取等号， ∴函数，则， ∴ 综上可得，函数的值域为，则的值域为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设集合，. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】直接根据交集和并集运算计算即可. 【小问1详解】 因为，，所以 【小问2详解】 因为，，所以 16. 已知函数，. （1）若不等式对于一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； （2）求关于x的不等式的解集. 【答案】（1） （2）当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或. 【解析】 【分析】（1）先判断时是否合题意，当时，结合二次函数的图象开口向下，且与x轴无交点，列式求解即可； （2）分，，讨论即可，其中，时还要比较对应一元二次方程的两个根的大小关系. 【小问1详解】 ①当时，恒成立，符合题意； ②当时，由已知可得，解得. 综上，a的取值范围是. 【小问2详解】 不等式可化为，即， ①当时，可化为，得，原不等式的解集； 当时，方程的两根为和2， ②当时，可化为，解得，原不等式的解集为； ③当时，解得或，则原不等式的解集为或； ④当时，解得，则原不等式的解集为 ⑤当时，解得或，则原不等式的解集为或； 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 17. 俄国数学家切比雪夫（）是研究直线逼近函数的理论先驱.对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数的最大值称为的“偏差”. （1）函数，求的“偏差”； （2）函数，若的“偏差”为，求的值. 【答案】（1）8 （2）1 【解析】 【分析】（1）根据题意得，进而结合二次函数的性质求最值即可得答案； （2）令，进而根据函数单调性与函数值的符号得到，再根据“偏差”函数的概念解即可. 【小问1详解】 解：， 因为，， 所以，即， 所以函数与的“偏差”为8. 【小问2详解】 解：令， ∵，均为上的单调递减函数， ∴是上的单调减函数， 令得，， 又，， 所以 所以，即的“偏差”为， 因为的“偏差”为， 所以，解得 所以，当的“偏差”为，. 18. 设函数，其中且，且. （1）当时，求的定义域； （2）当时，利用定义法证明：在定义域内单调递增； （3）若存在，使得，证明：. 【答案】（1）； （2）证明：当时，，设的定义域为. 在上任取，，且，， 当时，指数函数在上单调递增. 由于，则，. 又，故在区间上单调递增， 所以，即. 故当时，在上单调递增； 当时，指数函数在上单调递减. 由于，则，. 又，故在区间上单调递减， 所以，即. 即当时，在上单调递增. 综上，当或时，对于任意，且，均有， 故在其定义域内单调递增. （3）证明：令，则，即，即， 故原题等价于关于的方程在区间上有解. 设. 当时，在上单调递增；当时，在上单调递减， 又由在区间上有解及零点存在性定理知， 即，又且，解得. 所以，若存在，使得，则. 【解析】 【分析】（1）对数函数定义域问题，需要真数位置大于零. （2）定义法证明函数单调性，需讨论底数和1的大小关系. （3）存在问题转化为函数零点问题，需结合零点存在性定理解题. 【小问1详解】 当时，. 根据对数函数的定义可知，即， 故的定义域为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 设函数的定义域为D，对于区间（，），若满足以下两条性质之一，则称I为的一个“区间”.性质1：对任意，有；性质2：对任意，有. （1）分别判断区间是否为下列两函数的“区间”（直接写出结论）；①；②. （2）若（）是函数的“区间”，求m的取值范围； （3）已知定义在R上，且图象连续不断的函数满足：对任意a，，且，有.求证：存在“区间”，且存在，使得不属于的任意一个“区间”. 【答案】（1）①是（满足性质1）；②不是 （2） （3） 证明：对于任意区间，记， 由已知得在I上单调递减，故， 因为，即S的长度大于I的长度，故不满足性质①， 所以若I为的“区间”，必满足性质②，这只需， 即只需或， 由显然不恒成立，所以存在常数c使得. 如，取，区间满足性质②； 如，取，区间满足性质②； 综上，函数一定存在“区间”； 记，则图象连续不断，下证明有零点： 因为在R上是减函数，所以在R上是减函数，记； 若，则是的零点， 若，则，即，， 由零点存在性定理，可知存在，使得， 若，则，即，， 由零点存在性定理，可知存在，使得， 综上，有零点，即， 因为的所有“区间”I都满足性质②，故.（否则，与性质②不符） 即不属于的任意一个“区间”，证毕. 【解析】 【分析】（1）根据题设中的新定义，结合函数和，进行判定，即可求解； （2）若I为的“区间”，则不满足性质②，必满足性质①，即，由，根据二次函数的性质，分类讨论，即可求解； （3）对于任意区间，记，根据单调性得到，若I为的“区间”，必满足性质②，转化为或，得出一定存在“区间”，记，结合函数的单调性和零点的存在性定理，得到存在，使得，即可求解. 【小问1详解】 解：①中，函数，当时，可得，所以区间是函数的一个“区间”； ②中，函数，当时，可得，此时不满足，所以区间不是函数的一个“区间”； 所以①是（满足性质1）.②不是. 【小问2详解】 解：记，，可得，故若I为的“区间”， 则不满足性质②，必满足性质①，即； 由， 当时，在上单调递增，且， 即，所以不包含于，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，所以，不合题意； 综上可知，，即实数的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期长寿中学高一年级第三次段考 数学试题 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则下列关系正确的是 （ ） A. B. C. D. 2. 汽车现在已经是我们出行不可分离的工具，小明由于经常出差，每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种方案，第一种方案：第一次加油元，第二次加油元；第二种方案：第一次加油升，第二次加油升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实惠（    ） A. 第一种 B. 第二种 C. 不确定 D. 一样实惠 3. 不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 4. 已知定义在上的函数满足，为偶函数，且，若，则正整数的最小值为（ ） A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 5. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 6. 随着市场需求和消费习惯的转变，摆摊创业正吸引着越来越多创业者．小李打算批发某种水果摆摊售卖，设他进货总费用（百元）与进货量（单位：百斤）之间的关系为（为常数），若满足“随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小”，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 8. 若是奇函数，则的值为（ ） A. －2 B. 0 C. 1 D. 2 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列选项正确的是（   ） A. 若，则的最小值为4 B. 若，则的最小值为2 C. 若正实数，满足，则的最小值为8 D. 若，则的最小值为2 10. 已知定义在上的函数满足不是常数函数，则（ ） A. B. 是增函数 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 11. 已知函数的定义域为，为偶函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 若函数有四个零点，，，，则的取值范围为 B. 若函数有四个零点，，，，则的取值范围为 C. 函数的零点个数为5个 D. 函数的零点个数为6个 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某团队调查在某自助餐厅吃饭的100名顾客时，发现其中有80名顾客选了A菜品，有60名顾客选了B菜品，则两种菜品都选了的顾客最多有__________名，最少有__________名． 13. 某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高元（，），则被租出去的汽车会减少辆.若要使该公司每天租赁汽车的收入超过万元，则该公司每辆汽车每天的租金定价为__________元. 14. 设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，则函数的值域是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设集合，. （1）求； （2）求. 16. 已知函数，. （1）若不等式对于一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； （2）求关于x的不等式的解集. 17. 俄国数学家切比雪夫（）是研究直线逼近函数的理论先驱.对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数的最大值称为的“偏差”. （1）函数，求的“偏差”； （2）函数，若的“偏差”为，求的值. 18. 设函数，其中且，且. （1）当时，求的定义域； （2）当时，利用定义法证明：在定义域内单调递增； （3）若存在，使得，证明：. 19. 设函数的定义域为D，对于区间（，），若满足以下两条性质之一，则称I为的一个“区间”.性质1：对任意，有；性质2：对任意，有. （1）分别判断区间是否为下列两函数的“区间”（直接写出结论）；①；②. （2）若（）是函数的“区间”，求m的取值范围； （3）已知定义在R上，且图象连续不断的函数满足：对任意a，，且，有.求证：存在“区间”，且存在，使得不属于的任意一个“区间”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $