专题05 三角函数（期末复习知识清单）高一数学上学期人教A版

该高中数学三角函数专题知识清单系统梳理了三角函数核心内容，涵盖任意角与弧度制、三角函数定义、图象性质、三角恒等变换等10大知识范畴，构建了从基础概念到实际应用的递进式学习支架。 清单通过星级标注（★★到★★★★★）区分重难点，20类题型搭配例题变式与归纳总结，3个易错点剖析与2种方法清单助力突破关键问题。融入“奇变偶不变”等记忆口诀，培养学生数学思维与数学语言表达能力，既方便学生自主梳理知识，也为教师教学设计提供精准支持。

专题05三角函数（10知识&20题型&3易错&2方法清单） 【清单01】任意角、弧度制★★ 一、角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． 二、角的表示 如图,OA是角α的始边,OB是角α的终边,O是角α的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”． 三、角的分类 名称 定义 图示 正角 按逆时针方向旋转形成的角 负角 按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有作任何旋转形成的角 三、象限角 把角放在平面直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限． 四、终边相同的角 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和． 五、弧度制 (1)定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．(2)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角． 六、角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2πrad 2πrad＝360° 180°＝πrad πrad＝180° 1°＝rad≈0.01745rad 1rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 七、弧度制下的弧长与扇形面积公式 设扇形的半径为R,弧长为l,α(0<α<2π)为其圆心角,则(1)弧长公式：l＝αR. (2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2. 【清单02】三角函数的概念★★★★ 一、任意角的三角函数的定义 设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y),点P的纵坐标y叫做α的正弦函数,记作sinα,即sinα＝y；点P的横坐标x叫做α的余弦函数,记作cosα,即cosα＝x；把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切,记作tanα,即tanα＝(x≠0)． 二、正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 1．图示： 2．口诀：“一全正,二正弦,三正切,四余弦”． 【清单03】同角三角函数的基本关系式★★★★★ 1．平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,即sin2α＋cos2α＝1. 2．商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切,即＝tan α其中α≠kπ＋(k∈Z)． 二级结论：①；② 【清单04】诱导公式★★★★ 三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sinα －sinα －sinα sinα cosα cosα 余弦 cosα －cosα cosα －cosα sinα －sinα 正切 tanα tanα －tanα －tanα 口诀 函数名不变,符号看象限 函数名改变,符号看象限 解读：“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化． 【清单05】正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质★★★★★ 一、正弦、余弦函数的图象与性质 正弦函数 余弦函数 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在(k∈Z)上单调递增, 在(k∈Z)上单调递减 在[2kπ－π,2kπ](k∈Z)上单调递增, 在[2kπ,2kπ＋π](k∈Z)上单调递减 最值 x＝＋2kπ(k∈Z)时,ymax＝1； x＝－＋2kπ(k∈Z)时,ymin＝－1 x＝2kπ(k∈Z)时,ymax＝1； x＝2kπ＋π(k∈Z)时,ymin＝－1 二、函数y＝tan x的图象与性质 解析式 y＝tanx 图象 定义域 值域 R 最小正周期 π 奇偶性 奇函数 单调性 在每个开区间(k∈Z)上都是增函数 对称性 对称中心(k∈Z) 【清单06】两角和与差的余弦、正弦、正切公式★★★★★ 一、两角和与差的余弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差的余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β α,β∈R 两角和的余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β α,β∈R 二、两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正弦 S(α＋β) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β α,β∈R 两角差的正弦 S(α－β) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β α,β∈R 三、两角和与差的正切公式 名称 公式 简记符号 条件 两角和的正切 tan(α＋β)＝ T(α＋β) α,β,α＋β≠kπ＋(k∈Z) 两角差的正切 tan(α－β)＝ T(α－β) α,β,α－β≠kπ＋(k∈Z) 【清单07】二倍角公式★★★★★ 记法 公式 S2α sin 2α=2sinαcosα     C2α cos 2α=  cos2α-sin2α   =1-2sin2α=2cos2α-1 T2α tan 2α= 【清单08】简单的三角恒等变换★★★ 一、半角公式 sin ＝±, cos ＝±, tan ＝±＝＝. 二、辅助角公式 辅助角公式： asin x＋bcos x＝sin(x＋θ). 【清单09】函数的图象★★★★★ 由y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0,ω＞0)的图象 【清单10】三角函数图象的应用 一、三角函数模型的作用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用． 2．用函数模型解决实际问题的一般步骤 收集数据―→画散点图―→选择函数模型―→求解函数模型―→检验． 二、函数y＝Asin(ωx＋φ),A>0,ω>0中参数的物理意义 【题型一】求终边相同的角 【例1】（2025-2026黑龙江大庆期中）下面与角终边相同的角是（   ） A．25° B． C． D．225° 【答案】D 【解析】因为,所以与终边相同的最小正角是．故选D 【变式1-1】(2025-2026吉林四平12月月考)在与角终边相同的角中,最大的负角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】与角终边相同的角的集合为,令,可得,又,所以,且,所以与角终边相同的角中,最大的负角是故选B. 【题型二】判断角所在象限 【例2】（2024-2025北京市八一学校期中）角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】,所以与终边相同,所以终边在第一象限.故选A. 【归纳总结】(1)研究象限角,注意角的顶点与坐标原点重合,角的始边与轴的非负半轴重合. (2)注意象限角,如第四象限角的集合既可以表示为{α|270°+k·360°<α<360°+k·360°,k∈Z},又可表示为{α|90°+k·360°<α<k·360°,k∈Z} (注意不能表示为{α|90°+k·360°<α<360°+k·360°,k∈Z}), 【变式2-1】（2024-2025上海市晋元高中月考）已知的顶点位于坐标原点,始边与x轴正半轴重合,若,则是第象限角. 【答案】二 【解析】,是第二象限角. 【题型三】扇形弧长与面积公式的应用 【例3】（2025-2026安徽省皖豫联考期中）已知扇形的面积为,圆心角为1弧度,则扇形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】记扇形的弧长、半径、圆心角分别为,,,,则扇形的面积为,解得,则弧长为,所以扇形的周长为．故选D 【变式3-1】（2025-2026百师联盟12月联考）如图,为的中点,则扇面（图中扇环）部分的面积是 ．    【答案】 【解析】由题意知,因为, 由扇形面积公式得: 所以． 【变式3-2】（2025-2026黑龙江哈尔滨12月月考）一个扇形的弧长和面积都是,则这个扇形的圆心角的弧度数为 . 【答案】 【解析】设该扇形的半径为,圆心角的弧度数为,由题意可得,解得, 因此,这个扇形的圆心角的弧度数为. 【题型四】已知一个角的一种三角函数值,求该角的其它三角函数值 【例4】（2025-2026河北保定期中）已知角的终边经过点,则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为角的终边经过点,所以.故选C 【变式4-1】（2025-2026海南省部分学校月考）已知角α的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点,则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】终边过点,则,,故选A． 【变式4-2】（2025-2026山东潍坊月考）已知角终边上一点坐标,则. 【答案】 【解析】由题设. 【变式4-3】已知角的终边上有一点,且． (1)求x的值; (2)求的值． 【解析】（1）依题意得,由 （2）由（1）可知, 当时,此时,, 当时,此时,, 综上所述：的值为或. 【题型五】判断三角函数值的符号 【例5】（2025-2026天津西青区期中）若为第四象限角,则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由α为第四象限角,可得,所以 此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上,所以故选B 【变式5-1】（2025-2026贵州贵阳月考）已知角的终边过点,则点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】因为角的终边过点,所以为第二象限角,所以, 所以位于第四象限.故选D. 【变式5-2】（2025-2026河北邢台市卓越联盟NT20名校联考）已知角是第四象限角,且,则角是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【解析】因为角是第四象限角,所以,所以,所以角是第二象限角或第四象限角．又因为,即,所以角是第四象限角． 故选D． 【题型六】同角三角函数关系式的基本应用 【例6】（2025-2026陕西咸阳月考）（1）已知,在第二象限,求,的值； （2）已知,求的值． 【解析】（1）在第二象限, ,. （2）因为,所以, 所以. 【归纳总结】已知tan α的值,求关于sinα,cos α的齐次分式的值的问题, 比如求的值,因为cos α≠0,所以用cos α除之,将待求式化为关于tan α的表达式,可整体代入tan α＝m的值,从而完成待求式的求值 【变式6-1】已知点在角的终边上,且． (1)求的值； (2)求的值． 【解析】（1）由题得,且, 解得或（舍去）． 故, （2）由（1）知,即,所以, 故原式 . 【题型七】的应用 【例7】已知,则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】,, ,,从而,,可得,,则且, ,与联解,可得,因此.故选B. 【变式7-1】（2025-2026重庆渝北质量监测）已知角,且满足是方程（为常数）的两个根. (1)求实数的值； (2)求的值. 【解析】（1）因为是方程（为常数）的两个根, 所以, 由, 得,解得； （2）由（1）得, 又,, 所以,所以, 所以. 【题型八】诱导公式的应用 【例8】（2025-2026福建南安段考）已知角的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,为角α终边上一点.求的值； 【解析】根据任意角三角函数的定义可得 所以. 所以的值为. 【变式8-1】（2025-2026江苏靖江12月阶段检测）已知函数,其中. (1)化简； (2)若,求的值； (3)若,求的值. 【解析】（1）由且； （2）由题设及（1）知,而 （3）由题设,即, 所以,可得, 所以,即, 所以,即. 【变式8-2】（2025-2026广东广州12月阶段测试） . 【答案】 【解析】,, 则. 【变式8-3】（2025-2026江苏靖江段考）已知则 . 【答案】 【解析】. 【题型九】三角函数的值域与最值问题 【例9】（2024-2025安徽蚌埠月考）（1）若,求的值域． （2）求函数的值域． 【解析】（1）因为,所以,则令, 所以.又二次函数的图象开口向上,对称轴为, 所以时,函数单调递增,则当时,,当时,.综上,函数的值域为. （2）因为,所以,且. 又因为,所以,即, 整理得,解得或, 综上,函数的值域为. 【变式9-1】（2025-2026天津武清区）已知函数的最小正周期为,则在区间上的最小值是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【解析】因为函数的最小正周期为,所以周期,解得,所以,因为,所以,所以当,即时,函数在区间上取得最小值.故选D. 【题型十】求三角函数的最小正周期 【例10】（2024-2025山东菏泽段考）设函数,则为（  ） A．周期函数,最小正周期为 B．周期函数,最小正周期为 C．周期函数,最小正周期为 D．非周期函数 【答案】C 【解析】,故A错误； ,故B错误； ,故C正确D错误.故选C 【归纳总结】y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为,y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为. 【变式10-1】（多选题）（2024-2025安徽蚌埠月考）下列关于的最小正周期和一个对称中心正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】最小正周期,D错误,令,解得,选项A,时,,所以是得一个对称中心正确,A正确；选项B,时,解得,B错误；选项C,时,,所以是得一个对称中心正确,C正确.故选AC. 【题型十一】判断三角函数的单调性 【例11】（2024-2025江苏连云港阶段检测）下列函数中,以为周期且在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A,因为,所以,由,得,所以单调递增,故A错误；对于B,因为,所以,由,得,所以不单调,故B错误；对于C,,其图象如图：    由图象知,在上单调递减,故C正确；对于D,,其图象如图：      由图象知,,由,得,所以在上不单调,故D错误. 故选C. 【归纳总结】求三角函数单调区间的两种方法：①求函数的单调区间应遵循简化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”②求形如y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)的单调区间时,要视“ωx＋φ”为一个整体,通过解不等式求解．若ω＜0,应先用诱导公式化x的系数为正数,以防止把单调性弄错． 【变式11-1】（2025-2026吉林省吉林市）已知函数． (1)求的最小正周期和对称中心： (2)求在区间内的单调递增区间； (3)当时,求的最大及最小值． 【解析】（1）解：由函数,可得函数的最小正周期为, 令,解得, 所以函数的对称中心为. （2）解：由,可得, 令,可得；令,可得, 所以函数的单调递增区间为. （3）解：由,可得, 当时,即时,函数取得最小值,最小值为； 当时,即时,函数取得最大值,最大值为, 所以函数在上的最大值为,最小值为. 【题型十二】三角函数图象的变换 【例12】（2024-2025陕西咸阳期末）将函数的图象向右平移个单位长度后,得到函数的图象,若是偶函数,则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的图象向右平移,得到, 由于偶函数,所以,即,由于,所以取,得. 故选A 【归纳总结】(1)把图象上的所有点向左()或向右()平移个单位长度,得到的图象,左右平移时,当自变量x的系数不为1时,要确定平移单位,需要将系数先提出,求解非同名三角函数图象的左右平行要先利用诱导公式与三角变换化为同名函数(2)把图象上的所有点向上()或向下()平移个单位长度,得到的图象(3)把图象上的所有点的横坐标变化到原来的倍（纵坐标不变）得到的图象, 把图象上的所有点的纵坐标变化到原来的倍（横坐标不变）得到的图象 【变式12-1】（2024-2025浙江宁波期末）为了得到函数的图象,只需把余弦曲线上所有的点（   ） A．横坐标缩短到原来的,纵坐标不变 B．横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 C．纵坐标缩短到原来的,横坐标不变 D．纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变 【答案】A 【解析】只需把余弦曲线上所有的点横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数的图象,故选A. 【变式12-2】（2024-2025北京市顺义区期末）将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,则（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 【答案】A 【解析】将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数,当,则在区间上单调递减,A选项正确；B选项错误；当,则在区间上单调递增,在区间上单调递减,C选项错误；D选项错误；故选A. 【题型十三】由三角函数性质求参数范围 【例13】（2024-2025山东省淄博质量检测）已知函数在区间上单调递增,则的取值范围为 . 【答案】 【解析】,又函数在单调递增, 所以,解得. 【变式13-1】（2025-2026广东广州荔湾区调研）．已知函数的图象在区间上有且仅有1条对称轴和1个对称中心,则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当时,,由函数的图象在区间上有且仅有1条对称轴和1个对称中心,得或,解得或则,所以实数的取值范围是, 【变式13-2】（2025-2026上海虹口区段考）已知函数,,若对于任意的,总存在,使得,则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】对于任意的,总存在,使得, 且；当时,, 当时,；当时,； 当时,；当时,； ,解得：,即实数的取值范围为. 【题型十四】两角和与差的三角函数公式的基本应用 【例14】（2024-2025福建省莆田期末）的值为（） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【解析】 .故选D. 【变式14-1】（2024-2025北京顺义区期末）已知为第二象限角,且,则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为第二象限角,且,所以, 则.故选B. 【变式14-2】（2024-2025辽宁葫芦岛期末）已知. (1)求的值； (2)若是第一象限角,,求的值. 【解析】（1） 即,解得或. （2）由是第一象限角,由（1）可知,,又, 因为, 故. 【题型十五】二倍角公式的基本应用 【例15】（2024-2025福建泉州段考）已知是第二象限角, (1)求和的值； (2)求和和的值. 【解析】（1）已知是第二象限角,,则； （2）由题意, ,. 【变式15-1】（2024-2025辽宁省重点中学协作校期末）已知,则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为,所以,即得,则, 故,故选A 【题型十六】给式求值 【例16】（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】原式 .故选D. 【变式16-1】（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】 . 【变式16-2】 . 【答案】 【解析】原式 . 【题型十七】给值求角 【例17】（2024-2025江苏南通期中）已知 (1)求的值； (2)求的值. 【解析】（1）由题意知,故, 故； （2）由于,且,则, 结合,可得, 结合（1）可得,而, 故, 由于,故. 【归纳总结】已知三角函数值求角的解题步骤 (1)界定角的范围,根据条件确定所求角的范围.(2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数.(3)结合三角函数值及角的范围求角. 【变式17-1】（2024-2025河南南阳市六校联考）若为锐角,,则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为,所以,,因为, 所以,所以, 所以 ,因为,所以.故选B. 【题型十八】三角函数式的化简 【例18】化简：． 【解析】因. 则, . 【变式18-1】化简：． 【解析】原式= . 【题型十九】三角函数式的证明 【例19】（2024-2025辽宁省县域重点高中期中）已知,且,证明： (1)； (2). 【证明】（1）因为,所以, 两边同时除以,得,即. （2）因为,所以, 所以, 所以, 所以. 【变式19-1】已知,求证：． 【证明】因为,所以． 即． 去分母,得． 又 , 所以, 即, 所以, 于是, 故． 【归纳总结】证明三角恒等式的原则与步骤 (1)观察恒等式的两端的结构形式,处理原则是从复杂到简单,高次降低,复角化单角,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想. (2)证明恒等式的一般步骤： ①先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异； ②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的. 【题型二十】三角函数的实际应用 【例20】（2024-2025江苏盐城期末）一个半径为6m的水轮如图所示,水轮圆心O距离水面3m,已知水轮每分钟逆时针转动4圈,且当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．    (1)将点P距离水面的高度y（单位：m．在水面下,则y为负数）表示为时间x（单位：s）的函数； (2)在转动的一个周期内,点P在水中的时间是多少？ 【解析】（1）如图,建立平面直角坐标系, 设角是以Ox为始边,为终边的角, 易知OP在xs内所转过的角为,    故点P的纵坐标为,则, 当时,,可得,所以, 则． （2）在转动的一个周期内,点P在水中转动,而, 故点P在水中的时间是s． 【变式20-1】（2024-2025上海交大附中测试）如图,有一块边长为50 m的正方形球场ABCD,其中阴影部分ATN是一个半径为30 m的扇形,由于天气原因,这个扇形内有积水,无法在上面踢球,但是球场的其余部分可以正常使用．一群热爱足球的正在准备“霸王杯”比赛的高一同学相在可以正常使用的球场上截取一块矩形场地PQCR进行训练,其中R,Q两点分别在边CD,BC上,点P落在弧TN上（包括T,N两点）．设,矩形PQCR的面积为．    (1)求关于的函数表达式； (2)求的最大值,并求此时的值． 【解析】（1）延长RP交AB于E,延长QP交AD于F, 由四边形ABCD是正方形,四边形PQCR是矩形,可知,, 由,,,可得,, 所以,, 所以 故S关于θ的函数表达式为．    （2）令, 则,即, 而, 由,则, 即,即, 所以, 函数开口向上,对称轴为,所以当时,即, 解得或,此时S取得最大值,最大值为 【题型一】忽视角的范围出错 【例1】已知sin α＝,sin β＝,且α,β为锐角,则α＋β＝________. 【错解】∵α、β为锐角,∴cos α＝＝,cos β＝＝. ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝. 又0<α＋β<π.∴α＋β＝或α＋β＝π. 【错因分析】没有注意到sin α＝,sin β＝本身对角的范围的限制,造成错解． 【正解】因为α,β为锐角,所以cos α＝＝,cos β＝＝. 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝, 又因为0<α＋β<π,所以α＋β＝. 【易错提醒】根据三角函数值求角,一般是先求出该角的某一个三角函数值,再确定角的范围,确定角的范围时不仅要看已知条件中角的范围,还要挖掘隐含条件,根据三角函数值缩小角的范围；本题中(0,π)中的角和余弦值一一对应,最好在求角时选择计算cos(α＋β)来避免增解． 【变式1-1】设是方程的两根,且,则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【解析】因为是方程的两根,所以, 所以,因为,所以,所以, 则,所以.故选B. 【题型二】求解三角函数图象平移变换问题,平移方向或平移单位出错 【例2】要得到y＝sin(－3x)的图象,需将y＝(cos 3x－sin 3x)的图象 A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【错解】选A,B,C. 【错因分析】y＝(cos 3x－sin 3x)＝sin＝sin.题目要求是由y＝sin→y＝sin(－3x)．右移平移方向和平移量都错了；右移平移方向错了． 【正解】　y＝(cos 3x－sin 3x)＝sin＝sin,要由y＝sin到y＝sin(－3x)只需对x加上即可,因而是对y＝(cos 3x－sin 3x)向左平移个单位,故选D. 【易错提醒】函数图象的左右平移是自变量x发生变化,如ωx→ωx±φ(φ>0)这个变化的实质是x→x±,所以平移的距离并不是φ. 【变式2-1】（2024-2025山西吕梁月考）要得到函数的图象,只需将函数的图象（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【答案】D 【解析】因为,为了得到函数的图象,只需将函数的图象向右平行移动个单位长度.故选D. 【题型三】双三角函数有界问题考虑不全面出错 【例3】已知,则的取值范围是. 【错解】由得,因为,所以. 【错因分析】忽略了. 【正解】由题意可得,所以,由得,因为,所以.所以的取值范围是. 【纠错笔记】若一个式子中含有2个变量的弦函数,要保证每个弦函数的范围都在． 【变式3-1】,则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由 ,,及,得的取值范围是. 【题型一】由f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0,ω＞0)的图象求解析式的方法 1.已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0,ω＞0)的部分图象求A的方法： (1)利用最高点或最低点的纵坐标求A；(2)把某点的坐标代入求A. 2.已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0,ω＞0)的部分图象求ω的方法： 由ω＝,即可求出ω.常用结论：(1)相邻两个极大（小）值点之间的距离为；(2)相邻两个零点之间的距离为；(3)极值点到相邻的零点,自变量取值区间长度为. 3.求φ的值时最好选用最值点求．峰点：ωx＋φ＝＋2kπ；谷点：ωx＋φ＝－＋2kπ.也可用零点求,但要区分该零点是升零点,还是降零点．升零点(图象上升时与x轴的交点)：ωx＋φ＝2kπ；降零点(图象下降时与x轴的交点)：ωx＋φ＝π＋2kπ(以上k∈Z)．此外也可以把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)． 【例1】（2025-2026江西南昌月考）已知函数的部分图象如图所示,    (1)求函数的解析式； (2)设,若对任意的,,都有,求实数a的取值范围. 【解析】（1）由图知函数图像过,,,即, ,,,即, ,解得, 又,即,,； （2）因为对任意的,,都有,所以. 因为,所以,所以,所以, ,令,则,. 对称轴为,所以①,可得, ②,可得,③,可得,综上. 【变式1-1】（2024-2025四川泸州市三校联盟期末）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式及对称中心坐标； (2)将的图象向右平移个单位,再将横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,最后将图象向上平移1个单位,得到函数的图象．求不等式的解集． 【解析】（1）由图象可得,得, 由图象可知,所以,即, 即； 又因为,即, 所以,则, 结合,可得, 所以； 令得, 所以曲线的对称中心为． （2）把曲线向右平移个单位后的曲线为； 把曲线上每一点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得到曲线； 把曲线向上平移个单位,得到曲线； 令,得, 结合正弦函数图象可得不等式的解集为. 【题型二】辅助角公式及应用 辅助角公式：asinα＋bcosα＝sin(α＋φ),其中cosφ＝,sinφ＝,或tanφ＝,φ角所在象限与点(a,b)所在象限相同,φ角的终边经过点(a,b)．辅助角公式在研究三角函数性质中有着广泛的应用,对于形如的函数可以直接利用辅助角公式,对于形如的函数,可以先降幂,再使用辅助角公式. 【例2】（2024-2025福建泉州期中）已知函数. (1)把化成的形式； (2)若,且,求的值. (3)在中,若,求的取值范围. 【解析】（1） . （2）由（1）知,则, 由,得,则, 则 . （3）在中,,由,得, 则,解得,则, 于是, 由,得,则,即, 所以的取值范围为. 【变式2-1】（2024-2025江苏盐城期中）已知函数． (1)求函数的值域； (2)若,求的值． 【解析】（1）＝ ＝＝＝, 因为,所以,所以, 即函数的值域为. （2）由,, 得, 所以 ＝. 【变式2-2】函数的最大值为 ． 【答案】 【解析】由题知,且锐角满足,故函数的最大值为. 学科网（北京）股份有限公1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05三角函数（10知识&20题型&3易错&2方法清单） 【清单01】任意角、弧度制★★ 一、角的概念 角可以看成平面内一条 绕着它的端点 所成的图形． 二、角的表示 如图,OA是角α的 ,OB是角α的 ,O是角α的 ．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”． 三、角的分类 名称 定义 图示 正角 按 方向旋转形成的角 负角 按 方向旋转形成的角 零角 一条射线没有作任何旋转形成的角 三、象限角 把角放在平面直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几 ；如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限． 四、终边相同的角 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S＝ ,即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和． 五、弧度制 (1)定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．(2)1弧度的角：长度等于 的圆弧所对的圆心角． 六、角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝ rad 2πrad＝ ° 180°＝ rad πrad＝ ° 1°＝rad≈0.01745rad 1rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 七、弧度制下的弧长与扇形面积公式 设扇形的半径为R,弧长为l,α(0<α<2π)为其圆心角,则(1)弧长公式：l＝ . (2)扇形面积公式：S＝lR＝ . 【清单02】三角函数的概念★★★★ 一、任意角的三角函数的定义 设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y),点P的纵坐标 叫做α的正弦函数,记作sinα,即sinα＝ ；点P的横坐标 叫做α的余弦函数,记作cosα,即cosα＝ ；把点P的纵坐标与横坐标的比值 叫做α的正切,记作tanα,即tanα＝ (x≠0)． 二、正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 1．图示： 2．口诀：“一全正,二正弦,三正切,四余弦”． 【清单03】同角三角函数的基本关系式★★★★★ 1．平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,即 . 2．商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切,即＝ 其中α≠kπ＋(k∈Z)． 二级结论：①；② 【清单04】诱导公式★★★★ 三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sinα 余弦 cosα 正切 tanα 口诀 函数名不变,符号看象限 函数名改变,符号看象限 解读：“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化． 【清单05】正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质★★★★★ 一、正弦、余弦函数的图象与性质 正弦函数 余弦函数 图象 定义域 R R 值域 奇偶性 单调性 在 上单调递增, 在 (k∈Z)上单调递减 在 上单调递增, 在 上单调递减 最值 时,ymax＝1； 时,ymin＝－1 时,ymax＝1； 时,ymin＝－1 二、函数y＝tan x的图象与性质 解析式 y＝tanx 图象 定义域 值域 R 最小正周期 π 奇偶性 单调性 在每个开区间 上都是增函数 对称性 对称中心(k∈Z) 【清单06】两角和与差的余弦、正弦、正切公式★★★★★ 一、两角和与差的余弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差的余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝ α,β∈R 两角和的余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝ α,β∈R 二、两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正弦 S(α＋β) sin(α＋β)＝ α,β∈R 两角差的正弦 S(α－β) sin(α－β)＝ α,β∈R 三、两角和与差的正切公式 名称 公式 简记符号 条件 两角和的正切 tan(α＋β)＝ T(α＋β) α,β,α＋β≠kπ＋(k∈Z) 两角差的正切 tan(α－β)＝ T(α－β) α,β,α－β≠kπ＋(k∈Z) 【清单07】二倍角公式★★★★★ 记法 公式 S2α sin 2α=     C2α cos 2α=   =1-2sin2α=2cos2α-1 T2α tan 2α= 【清单08】简单的三角恒等变换★★★ 一、半角公式 sin ＝ , cos ＝ , tan ＝ ＝＝. 二、辅助角公式 辅助角公式： asin x＋bcos x＝ . 【清单09】函数的图象★★★★★ 由y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0,ω＞0)的图象 【清单10】三角函数图象的应用 一、三角函数模型的作用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用． 2．用函数模型解决实际问题的一般步骤 收集数据―→画散点图―→选择函数模型―→求解函数模型―→检验． 二、函数y＝Asin(ωx＋φ),A>0,ω>0中参数的物理意义 【题型一】求终边相同的角 【例1】（2025-2026黑龙江大庆期中）下面与角终边相同的角是（   ） A．25° B． C． D．225° 【答案】D 【解析】因为,所以与终边相同的最小正角是．故选D 【变式1-1】(2025-2026吉林四平12月月考)在与角终边相同的角中,最大的负角是（    ） A． B． C． D． 【题型二】判断角所在象限 【例2】（2024-2025北京市八一学校期中）角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】,所以与终边相同,所以终边在第一象限.故选A. 【归纳总结】(1)研究象限角,注意角的顶点与坐标原点重合,角的始边与轴的非负半轴重合. (2)注意象限角,如第四象限角的集合既可以表示为{α|270°+k·360°<α<360°+k·360°,k∈Z},又可表示为{α|90°+k·360°<α<k·360°,k∈Z} (注意不能表示为{α|90°+k·360°<α<360°+k·360°,k∈Z}), 【变式2-1】（2024-2025上海市晋元高中月考）已知的顶点位于坐标原点,始边与x轴正半轴重合,若,则是第象限角. 【题型三】扇形弧长与面积公式的应用 【例3】（2025-2026安徽省皖豫联考期中）已知扇形的面积为,圆心角为1弧度,则扇形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】记扇形的弧长、半径、圆心角分别为,,,,则扇形的面积为,解得,则弧长为,所以扇形的周长为．故选D 【变式3-1】（2025-2026百师联盟12月联考）如图,为的中点,则扇面（图中扇环）部分的面积是 ．    【变式3-2】（2025-2026黑龙江哈尔滨12月月考）一个扇形的弧长和面积都是,则这个扇形的圆心角的弧度数为 . 【题型四】已知一个角的一种三角函数值,求该角的其它三角函数值 【例4】（2025-2026河北保定期中）已知角的终边经过点,则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为角的终边经过点,所以.故选C 【变式4-1】（2025-2026海南省部分学校月考）已知角α的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点,则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025-2026山东潍坊月考）已知角终边上一点坐标,则. 【变式4-3】已知角的终边上有一点,且． (1)求x的值; (2)求的值． 【题型五】判断三角函数值的符号 【例5】（2025-2026天津西青区期中）若为第四象限角,则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由α为第四象限角,可得,所以 此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上,所以故选B 【变式5-1】（2025-2026贵州贵阳月考）已知角的终边过点,则点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式5-2】（2025-2026河北邢台市卓越联盟NT20名校联考）已知角是第四象限角,且,则角是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【题型六】同角三角函数关系式的基本应用 【例6】（2025-2026陕西咸阳月考）（1）已知,在第二象限,求,的值； （2）已知,求的值． 【解析】（1）在第二象限, ,. （2）因为,所以, 所以. 【归纳总结】已知tan α的值,求关于sinα,cos α的齐次分式的值的问题, 比如求的值,因为cos α≠0,所以用cos α除之,将待求式化为关于tan α的表达式,可整体代入tan α＝m的值,从而完成待求式的求值 【变式6-1】已知点在角的终边上,且． (1)求的值； (2)求的值． 【题型七】的应用 【例7】已知,则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】,, ,,从而,,可得,,则且, ,与联解,可得,因此.故选B. 【变式7-1】（2025-2026重庆渝北质量监测）已知角,且满足是方程（为常数）的两个根. (1)求实数的值； (2)求的值. 【题型八】诱导公式的应用 【例8】（2025-2026福建南安段考）已知角的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,为角α终边上一点.求的值； 【解析】根据任意角三角函数的定义可得 所以. 所以的值为. 【变式8-1】（2025-2026江苏靖江12月阶段检测）已知函数,其中. (1)化简； (2)若,求的值； (3)若,求的值. 【变式8-2】（2025-2026广东广州12月阶段测试） . 【变式8-3】（2025-2026江苏靖江段考）已知则 . 【题型九】三角函数的值域与最值问题 【例9】（2024-2025安徽蚌埠月考）（1）若,求的值域． （2）求函数的值域． 【解析】（1）因为,所以,则令, 所以.又二次函数的图象开口向上,对称轴为, 所以时,函数单调递增,则当时,,当时,.综上,函数的值域为. （2）因为,所以,且. 又因为,所以,即, 整理得,解得或, 综上,函数的值域为. 【变式9-1】（2025-2026天津武清区）已知函数的最小正周期为,则在区间上的最小值是（    ） A． B． C．0 D． 【题型十】求三角函数的最小正周期 【例10】（2024-2025山东菏泽段考）设函数,则为（  ） A．周期函数,最小正周期为 B．周期函数,最小正周期为 C．周期函数,最小正周期为 D．非周期函数 【答案】C 【解析】,故A错误； ,故B错误； ,故C正确D错误.故选C 【归纳总结】y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为,y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为. 【变式10-1】（多选题）（2024-2025安徽蚌埠月考）下列关于的最小正周期和一个对称中心正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型十一】判断三角函数的单调性 【例11】（2024-2025江苏连云港阶段检测）下列函数中,以为周期且在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A,因为,所以,由,得,所以单调递增,故A错误；对于B,因为,所以,由,得,所以不单调,故B错误；对于C,,其图象如图：    由图象知,在上单调递减,故C正确；对于D,,其图象如图：      由图象知,,由,得,所以在上不单调,故D错误. 故选C. 【归纳总结】求三角函数单调区间的两种方法：①求函数的单调区间应遵循简化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”②求形如y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)的单调区间时,要视“ωx＋φ”为一个整体,通过解不等式求解．若ω＜0,应先用诱导公式化x的系数为正数,以防止把单调性弄错． 【变式11-1】（2025-2026吉林省吉林市）已知函数． (1)求的最小正周期和对称中心： (2)求在区间内的单调递增区间； (3)当时,求的最大及最小值． 【题型十二】三角函数图象的变换 【例12】（2024-2025陕西咸阳期末）将函数的图象向右平移个单位长度后,得到函数的图象,若是偶函数,则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的图象向右平移,得到, 由于偶函数,所以,即,由于,所以取,得. 故选A 【归纳总结】(1)把图象上的所有点向左()或向右()平移个单位长度,得到的图象,左右平移时,当自变量x的系数不为1时,要确定平移单位,需要将系数先提出,求解非同名三角函数图象的左右平行要先利用诱导公式与三角变换化为同名函数(2)把图象上的所有点向上()或向下()平移个单位长度,得到的图象(3)把图象上的所有点的横坐标变化到原来的倍（纵坐标不变）得到的图象, 把图象上的所有点的纵坐标变化到原来的倍（横坐标不变）得到的图象 【变式12-1】（2024-2025浙江宁波期末）为了得到函数的图象,只需把余弦曲线上所有的点（   ） A．横坐标缩短到原来的,纵坐标不变 B．横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 C．纵坐标缩短到原来的,横坐标不变 D．纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变 【变式12-2】（2024-2025北京市顺义区期末）将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,则（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 【题型十三】由三角函数性质求参数范围 【例13】（2024-2025山东省淄博质量检测）已知函数在区间上单调递增,则的取值范围为 . 【答案】 【解析】,又函数在单调递增, 所以,解得. 【变式13-1】（2025-2026广东广州荔湾区调研）．已知函数的图象在区间上有且仅有1条对称轴和1个对称中心,则实数的取值范围是 ． 【变式13-2】（2025-2026上海虹口区段考）已知函数,,若对于任意的,总存在,使得,则实数的取值范围是 ． 【题型十四】两角和与差的三角函数公式的基本应用 【例14】（2024-2025福建省莆田期末）的值为（） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【解析】 .故选D. 【变式14-1】（2024-2025北京顺义区期末）已知为第二象限角,且,则（   ） A． B． C． D． 【变式14-2】（2024-2025辽宁葫芦岛期末）已知. (1)求的值； (2)若是第一象限角,,求的值. 【题型十五】二倍角公式的基本应用 【例15】（2024-2025福建泉州段考）已知是第二象限角, (1)求和的值； (2)求和和的值. 【解析】（1）已知是第二象限角,,则； （2）由题意, ,. 【变式15-1】（2024-2025辽宁省重点中学协作校期末）已知,则（   ） A． B． C． D． 【题型十六】给式求值 【例16】（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】原式 .故选D. 【变式16-1】（    ） A．1 B． C． D． 【变式16-2】 . 【题型十七】给值求角 【例17】（2024-2025江苏南通期中）已知 (1)求的值； (2)求的值. 【解析】（1）由题意知,故, 故； （2）由于,且,则, 结合,可得, 结合（1）可得,而, 故, 由于,故. 【归纳总结】已知三角函数值求角的解题步骤 (1)界定角的范围,根据条件确定所求角的范围.(2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数.(3)结合三角函数值及角的范围求角. 【变式17-1】（2024-2025河南南阳市六校联考）若为锐角,,则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型十八】三角函数式的化简 【例18】化简：． 【解析】因. 则, . 【变式18-1】化简：． 【题型十九】三角函数式的证明 【例19】（2024-2025辽宁省县域重点高中期中）已知,且,证明： (1)； (2). 【证明】（1）因为,所以, 两边同时除以,得,即. （2）因为,所以, 所以, 所以, 所以. 【变式19-1】已知,求证：． 【归纳总结】证明三角恒等式的原则与步骤 (1)观察恒等式的两端的结构形式,处理原则是从复杂到简单,高次降低,复角化单角,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想. (2)证明恒等式的一般步骤： ①先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异； ②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的. 【题型二十】三角函数的实际应用 【例20】（2024-2025江苏盐城期末）一个半径为6m的水轮如图所示,水轮圆心O距离水面3m,已知水轮每分钟逆时针转动4圈,且当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．    (1)将点P距离水面的高度y（单位：m．在水面下,则y为负数）表示为时间x（单位：s）的函数； (2)在转动的一个周期内,点P在水中的时间是多少？ 【解析】（1）如图,建立平面直角坐标系, 设角是以Ox为始边,为终边的角, 易知OP在xs内所转过的角为,    故点P的纵坐标为,则, 当时,,可得,所以, 则． （2）在转动的一个周期内,点P在水中转动,而, 故点P在水中的时间是s． 【变式20-1】（2024-2025上海交大附中测试）如图,有一块边长为50 m的正方形球场ABCD,其中阴影部分ATN是一个半径为30 m的扇形,由于天气原因,这个扇形内有积水,无法在上面踢球,但是球场的其余部分可以正常使用．一群热爱足球的正在准备“霸王杯”比赛的高一同学相在可以正常使用的球场上截取一块矩形场地PQCR进行训练,其中R,Q两点分别在边CD,BC上,点P落在弧TN上（包括T,N两点）．设,矩形PQCR的面积为．    (1)求关于的函数表达式； (2)求的最大值,并求此时的值． 【题型一】忽视角的范围出错 【例1】已知sin α＝,sin β＝,且α,β为锐角,则α＋β＝________. 【错解】∵α、β为锐角,∴cos α＝＝,cos β＝＝. ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝. 又0<α＋β<π.∴α＋β＝或α＋β＝π. 【错因分析】没有注意到sin α＝,sin β＝本身对角的范围的限制,造成错解． 【正解】因为α,β为锐角,所以cos α＝＝,cos β＝＝. 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝, 又因为0<α＋β<π,所以α＋β＝. 【易错提醒】根据三角函数值求角,一般是先求出该角的某一个三角函数值,再确定角的范围,确定角的范围时不仅要看已知条件中角的范围,还要挖掘隐含条件,根据三角函数值缩小角的范围；本题中(0,π)中的角和余弦值一一对应,最好在求角时选择计算cos(α＋β)来避免增解． 【变式1-1】设是方程的两根,且,则（    ） A． B． C．或 D． 【题型二】求解三角函数图象平移变换问题,平移方向或平移单位出错 【例2】要得到y＝sin(－3x)的图象,需将y＝(cos 3x－sin 3x)的图象 A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【错解】选A,B,C. 【错因分析】y＝(cos 3x－sin 3x)＝sin＝sin.题目要求是由y＝sin→y＝sin(－3x)．右移平移方向和平移量都错了；右移平移方向错了． 【正解】　y＝(cos 3x－sin 3x)＝sin＝sin,要由y＝sin到y＝sin(－3x)只需对x加上即可,因而是对y＝(cos 3x－sin 3x)向左平移个单位,故选D. 【易错提醒】函数图象的左右平移是自变量x发生变化,如ωx→ωx±φ(φ>0)这个变化的实质是x→x±,所以平移的距离并不是φ. 【变式2-1】（2024-2025山西吕梁月考）要得到函数的图象,只需将函数的图象（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【题型三】双三角函数有界问题考虑不全面出错 【例3】已知,则的取值范围是. 【错解】由得,因为,所以. 【错因分析】忽略了. 【正解】由题意可得,所以,由得,因为,所以.所以的取值范围是. 【纠错笔记】若一个式子中含有2个变量的弦函数,要保证每个弦函数的范围都在． 【变式3-1】,则的取值范围是 . 【题型一】由f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0,ω＞0)的图象求解析式的方法 1.已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0,ω＞0)的部分图象求A的方法： (1)利用最高点或最低点的纵坐标求A；(2)把某点的坐标代入求A. 2.已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0,ω＞0)的部分图象求ω的方法： 由ω＝,即可求出ω.常用结论：(1)相邻两个极大（小）值点之间的距离为；(2)相邻两个零点之间的距离为；(3)极值点到相邻的零点,自变量取值区间长度为. 3.求φ的值时最好选用最值点求．峰点：ωx＋φ＝＋2kπ；谷点：ωx＋φ＝－＋2kπ.也可用零点求,但要区分该零点是升零点,还是降零点．升零点(图象上升时与x轴的交点)：ωx＋φ＝2kπ；降零点(图象下降时与x轴的交点)：ωx＋φ＝π＋2kπ(以上k∈Z)．此外也可以把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)． 【例1】（2025-2026江西南昌月考）已知函数的部分图象如图所示,    (1)求函数的解析式； (2)设,若对任意的,,都有,求实数a的取值范围. 【解析】（1）由图知函数图像过,,,即, ,,,即, ,解得, 又,即,,； （2）因为对任意的,,都有,所以. 因为,所以,所以,所以, ,令,则,. 对称轴为,所以①,可得, ②,可得,③,可得,综上. 【变式1-1】（2024-2025四川泸州市三校联盟期末）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式及对称中心坐标； (2)将的图象向右平移个单位,再将横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,最后将图象向上平移1个单位,得到函数的图象．求不等式的解集． 【题型二】辅助角公式及应用 辅助角公式：asinα＋bcosα＝sin(α＋φ),其中cosφ＝,sinφ＝,或tanφ＝,φ角所在象限与点(a,b)所在象限相同,φ角的终边经过点(a,b)．辅助角公式在研究三角函数性质中有着广泛的应用,对于形如的函数可以直接利用辅助角公式,对于形如的函数,可以先降幂,再使用辅助角公式. 【例2】（2024-2025福建泉州期中）已知函数. (1)把化成的形式； (2)若,且,求的值. (3)在中,若,求的取值范围. 【解析】（1） . （2）由（1）知,则, 由,得,则, 则 . （3）在中,,由,得, 则,解得,则, 于是, 由,得,则,即, 所以的取值范围为. 【变式2-1】（2024-2025江苏盐城期中）已知函数． (1)求函数的值域； (2)若,求的值． 【变式2-2】函数的最大值为 ． 学科网（北京）股份有限公1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $