精品解析：天津市第三中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试卷

天津市第三中学2025~2026学年度第一学期 高三年级阶段性检测试卷 数学 （2025.12） 试卷命题人：高三集备组 试卷审核人：高三集备组 第I卷 选择题 一、单选题（共9题，每题4分，共36分） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算. 【详解】依题意得，对于集合中的元素，满足， 则可能的取值为，即， 于是. 故选：C 2. “”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导，根据的范围确定导数大于0时的范围，进而根据充分条件、必要条件的定义确定答案. 【详解】对函数求导得 当时，，此时函数在上单调递增， 所以“”是函数在上单调递增的充分条件； 令，则，即， 因为，所以，所以，经验证当时，此时，在上单调递增，符合题意， 则无法推出， 也就是说，函数在上单调递增推不出“”， 综上，“”是函数在上单调递增的充分不必要条件. 故选：A. 3. 某体育品牌的LOGO为，可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的对称性即特殊点的函数值，利用排除法即可得解. 【详解】解：有图象可知，函数图像关于y轴对称，即函数为偶函数， 对于A，，故函数为偶函数， 当时，，，则，与图像矛盾，故排除A； 对于B，，所以函数为奇函数，故排除A； 对于C，，故函数为偶函数， 当时，，，则，符合题意，故C符合； 对于D，，所以函数为奇函数，故排除D. 故选：C. 4. 已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意：， 且：， 据此：， 结合函数的单调性有：， 即. 本题选择C选项. 【考点】 指数、对数、函数的单调性 【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式. 5. 已知等差数列的前项和为，若，且、、三点共线（该直线不过点，则等于（ ） A. 1006 B. 2012 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量基本定理的推理可知，再结合等差数列的前项和，即可求解. 【详解】解：，且、、三点共线（该直线不过点， ； 数列是等差数列， ； ． 故选：A 6. 函数的图象关于直线对称，则在上的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据参数范围、对称轴求得，利用正弦型函数性质求最小值即可. 【详解】由题意，则，又， 所以，则， 在上，，故， 所以最小值为. 故选：A 7. 已知等比数列的公比大于1，且，等差数列满足，，，则（ ） A. 2026 B. 4050 C. 4052 D. 4054 【答案】B 【解析】 【分析】设出公比和公差，根据题目条件得到，求出，从而求出，进而求出公比，由求出公差，求出，得到答案. 【详解】设的公比为，的公差为， 因为，， 所以， 因为，所以，解得， 故， 故，即，解得或（舍去）， 则， 又，故， 则， 所以 故选：B 8. 在如图五面体中，棱互相平行，且两两之间距离均为1．若．则该五面体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可. 【详解】用一个完全相同的五面体（顶点与五面体一一对应）与该五面体相嵌，使得；;重合， 因为，且两两之间距离为1．， 则形成的新组合体为一个三棱柱， 该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为， . 故选：C. 9. 已知抛物线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，抛物线的准线与坐标轴交于点，若为直角三角形，则双曲线的离心率为（ ） A B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】写出双曲线的渐近线方程，联立抛物线方程求得，两点的坐标，根据抛物线及双曲线渐近线的对称性及为直角三角形，求得的关系，从而得到双曲线的离心率. 【详解】由题可知，双曲线的两条渐近线为， 记抛物线与的交点为，与的交点为. 由得，；由得，. 由抛物线及双曲线渐近线的对称性知，，且垂直于轴，记垂足为N. 因为为直角三角形，所以. 所以，化简得，即，所以 所以双曲线的离心率. 故选：C. 二、填空题（每题4分，共24分） 10. 已知复数满足，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出，再根据复数模的计算公式，即可求得答案. 【详解】由，得， 故， 故答案为： 11. 的展开式中的系数是__________.（用数字作答） 【答案】240 【解析】 【分析】先写出二项展开式的通项公式，再令通项公式中的指数为，进而解出的系数. 【详解】展开式的通项公式为， 令，可得，则展开式中的系数为. 故答案为：240. 12. 设m为实数，直线和圆相交于P，Q两点，若，则实数m的值为________. 【答案】或 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，然后结合弦长，由勾股定理列出方程代入计算，即可得到结果. 【详解】圆，圆心，半径， 圆心到直线的距离为， 由垂径定理知，， 则，即，解得， 所以，即， 于是有，解得或. 所以m的值为或. 故答案为：或 13. 已知等比数列中，各项都是正数，且，，成等差__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得 14. 某公园有甲、乙两个相邻景点，原拟定甲景点内有2个A班同学和2个B班同学；乙景点内有2个A班同学和3个B班同学，后由于某种原因，甲、乙两个景点各有一个同学交换景点观光，则甲景点恰有2个A班同学的概率为______；甲景点A班同学数X的数学期望为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据题意，甲景点恰有2个A班同学有两种情况，互换的是A班同学或互换的是B班同学，利用组合及古典概型求出概率即可；（2）由题知X的取值可能为，利用组合及古典概型求出概率，根据公式得到期望. 【详解】（1）甲、乙两景点各有一个同学交换后，甲景点恰有2个A班同学有两种情况： 互换的是A班同学，此时甲景点恰有2个A班同学的事件记为， ， 互换的是B班同学，此时甲景点恰有2个A班同学的事件记为， ， 所以甲景点恰有2个A班同学的概率. （2）由题知X的取值可能为， ，，， . 故答案为：；. 15. 中，D为AB边中点，，则______（用，表示），若，，则_______ 【答案】 ①. ； ②. 【解析】 【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二. 【详解】如图， 因为，所以，所以． 因为D为线段的中点，所以； 又因为，所以， ，所以 所以， 所以 ． 故答案为：；. 第II卷 非选择题（共2题，共64分） 三、解答题（每题10分，共40分） 16. 如图，在多面体中，侧面为矩形，平面，平面，，，. （1）求直线与平面所成角正弦值； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】先判断的位置关系，建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求线面角、面面角和点到直线的距离. 【小问1详解】 由侧面为矩形，得， 又平面，，平面， 则，， 即直线，，两两垂直. 建立如图所示的空间直角坐标系 则，，，，，， ，，. 设平面的法向量为 则，令，得， 设直线与平面所成的角为 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 ， 设平面的法向量为 则，令，得， 设平面与平面的夹角为 则 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由（1）（2）可知，平面的法向量为， 点到平面的距离. 17. 已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，且左焦点到直线的距离为. （1）求椭圆的标准方程； （2）点在椭圆的长轴上，过点且不与轴重合的直线交椭圆于，两点，若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）由短轴长求出，由点到直线的距离得到，再结合，求出、，即可得解； （2）方法一：设直线的方程为：，，，，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，由则，从而得到，即可得到，再由基本不等式计算可得；方法二：设直线的方程为：，，，联立直线与椭圆方程，依题意可得，列出韦达定理得到，再表示出及点到的距离，最后由基本不等式计算可得. 【小问1详解】 由椭圆短轴长为，得， 又椭圆左焦点到直线的距离为， 即，解得， 又，解得，， 椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 方法一：依题意直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为：，，，， 联立，消去整理得， 显然，，， ，，则，， 代入可得，所以， 的面积， ，当且仅当时取等号， 面积的最大值为. 方法二：依题意直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为：，，， ，， 联立，消去整理得， 所以，. ，， ，， 则， 可得， 又 ， 设原点到直线的距离为，则， 的面积， 当且仅当时取等号， 面积的最大值为1. 18. 已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，. （1）求，的通项公式； （2）已知，求数列的前项和； （3）求证：. 【答案】（1）， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的项求公差，即可求数列的通项公式，代入条件求等比数列的项，即可求通项公式； （2）分为奇数和偶数，求数列的通项公式，再根据列项相消法和错位相减法求和； （3），再进行放缩，利用列项相消法求和，证明不等式. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，得，所以， 由，.得， 所以，，故，所以. 【小问2详解】 当是奇数时，， 当是偶数时，， 则① ② ①-②得： 即 化简得：. 所以. 【小问3详解】 ， 当时，， 因为，所以； 当时，也成立故. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差和等比数列，以及求和，不等式和放缩法的综合应用，第二位问的关键是当为偶数时，列项相消法求和，第三问的关键放缩后进行求和. 19. 已知函数，. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间； （3）若对于任意，都有成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）当时，求得，得到且，结合导数的几何意义，即可求解； （2）求得，分和，两种情况讨论，求得函数的单调性和极值. （3）根据题意，转化为对于恒成立，令，求得，再令，求得在区间上单调递增，得到，得出，求得的单调性和最大值，结合，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，函数，可得， 所以且，即切线的斜率为，切点为， 所以在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 解：因为函数，可得， ①当时，由时，可得， 所以函数的单调增区间是，无单调减区间； ②当时，令，解得， 当时，；当，， 所以函数的单调减区间是，单调增区间是， 综上：当时，的单调增区间是，无单调减区间； 当时，函数的单调减区间是，单调增区间是， 【小问3详解】 解：因为对于任意，都有成立， 所以对于恒成立， 即对于恒成立， 令，则， 令，可得， 所以在区间上单调递增，故，即， 所以在区间上单调递增，所以， 要使对于恒成立，只需，即，所以实数m的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第三中学2025~2026学年度第一学期 高三年级阶段性检测试卷 数学 （2025.12） 试卷命题人：高三集备组 试卷审核人：高三集备组 第I卷 选择题 一、单选题（共9题，每题4分，共36分） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 某体育品牌的LOGO为，可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为 A. B. C. D. 5. 已知等差数列前项和为，若，且、、三点共线（该直线不过点，则等于（ ） A. 1006 B. 2012 C. D. 6. 函数的图象关于直线对称，则在上的最小值为（ ） A B. C. D. 7. 已知等比数列的公比大于1，且，等差数列满足，，，则（ ） A. 2026 B. 4050 C. 4052 D. 4054 8. 在如图五面体中，棱互相平行，且两两之间距离均为1．若．则该五面体的体积为（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，抛物线的准线与坐标轴交于点，若为直角三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 二、填空题（每题4分，共24分） 10. 已知复数满足，则_______. 11. 的展开式中的系数是__________.（用数字作答） 12. 设m为实数，直线和圆相交于P，Q两点，若，则实数m值为________. 13. 已知等比数列中，各项都是正数，且，，成等差__________． 14. 某公园有甲、乙两个相邻景点，原拟定甲景点内有2个A班同学和2个B班同学；乙景点内有2个A班同学和3个B班同学，后由于某种原因，甲、乙两个景点各有一个同学交换景点观光，则甲景点恰有2个A班同学的概率为______；甲景点A班同学数X的数学期望为_______． 15. 中，D为AB边中点，，则______（用，表示），若，，则_______ 第II卷 非选择题（共2题，共64分） 三、解答题（每题10分，共40分） 16. 如图，在多面体中，侧面为矩形，平面，平面，，，. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 17. 已知椭圆中心为坐标原点，短轴长为2，且左焦点到直线的距离为. （1）求椭圆的标准方程； （2）点在椭圆的长轴上，过点且不与轴重合的直线交椭圆于，两点，若，求面积的最大值. 18. 已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，. （1）求，通项公式； （2）已知，求数列的前项和； （3）求证：. 19. 已知函数，. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间； （3）若对于任意，都有成立，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $