八年级数学上学期期末模拟卷01（新教材沪教版八上全册：实数+二次根式+一元二次方程+直角三角形）

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年八年级上学期期末模拟卷01 参考答案 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的) 2 3 5 6 A C B B B 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7.4.56×1048.1.0545 9.x<2-5 10.10+52 11.6 12. Γ3 13.< 14.3 15.4 16.120° 17.-1<<-2 18.25或26 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.(3分) 【详解】解：(1)原式=113 x 3x2vx4 1 3 …(1分) 6V 4 3 …(2分) 24 1 8…（3分) 20.(6分) 【详解】(1)解：2x2-8x+16=x2-16, 2x2-16x+32=x2-16, x2-16x+48=0, （x-12)(x-4)=0, x-12=0或x-4=0, x1=12,x2=4.…(3分) 1/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：2,16+2=0， x+2x2-42-x 216x+2 =0, x+2x2-4x-2 2(x-2)-16+(x+22=0, 2x-4-16+x2+4x+4=0, x2+6x-16=0, (x+8)x-2)=0, x+8=0或x-2=0, x1=-8,x2=2, :x=2是方程的增根， x=2舍去， x=-8.…(6分) 21.(6分) 1 【详解】解： x+2xy+y+- x-y+1 √x+y - (+F1 5g小 x-y 1 x-y+1 -+- =-y+1.E vx-y x-y+1 =-下 =x+ -;…(4分) x-y 当x=2-√3，y=2+√5时， 2/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2-5+V2-5)2+5 原式= 2-5+13-√51-5 ，…(6分) 2-V5-(2+5) 2-V3-2-V5-252 22.(7分) 【详解】(1)解：：AD⊥BC, ∠ADB=∠CDF=90°， 在Rt△ABD和Rta△CFD中， AB=CF BD=FD :RtAABD≌RtaCFD(HL) .AD CD =10, 又：BD=DF=4, :BC=BD+CD=DF+CD=14. S。=BC-AD=)x14×10=70,…4分) 2 (2)解：AB⊥CE.理由： :AD⊥BC, ∠CDF=90°， .∠BAD+∠B=90°， :△ABD≌△CFD, ∠BAD=∠DCF, ∠FCD+LB=90°. .∠BEC=180°-∠FCD+∠B=90°. :AB⊥CE.…(7分) 23.(7分) 【详解】(1)解：点D如图所示： …(3分) D (2)解：：∠ACB=30°，∠B=90°. 3/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BAC=180°-90°-30°=60°， 由(1)的作图痕迹，得出AD是∠BAC的角平分线， ·.∠BAD=∠CAD=二×60°=30°=∠ACB, 2 ∴AD=CD=4cm, 在R1a4B0中，BD=号4D=2m, .AB=VAD2-BD2=2V3cm).…(7分) 24.(8分) 【详解】(1)解：设与墙垂直的边AD的长为xm,则与墙平行的边AB的长为170-2x)m, 由题意可得：x(170-2x=1500, 解得：x=10,x2=75, 当x=10时，170-2x=170-2×10=150>100,不符合题意； 当时，170-2x=170-2×75=20<100,符合题意； .与墙垂直的边AD的长为75m;…(4分) (2)解：不能，理由如下： 设与墙垂直的边AD的长为m,则与墙平行的边AB的长为(170-4y+3×2)m, 由题意可得y170-4y+3×2)=2000, 整理可得：y2-44y+500=0, :4=(-44)2-4×1×500=-64<0, .原方程没有实数根， 不能使长方形ABCD面积扩大到2000平方米.…(8分) 25.(10分) 【详解】(1)解：由题意，设a=6b-9, 9 9 由a+b≥2a,得x+22￥=6， 9 :当且仅当x=2,即x=3(负值舍去)时，代数式取到最小值，最小值为6. 故答案为：6；3；…(2分) 4/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：由题意，设花圃的宽为x米，则长为108米， ·所用的篱笆=3x+108 又令a=3x,b=108 :由a+b≥2√ab, 3x+108 108 23x =36 当且仅当3x=108,即x=6(负值舍去)时，代数式取到最小值，最小值为36。 答：所用的篱笆至少为36米.…(6分) (3)解：由题意，设S.coB=m, :△COB与△COD底边上的高相等，AOB与△AOD底边上的高相等， OB S.COB= S.AOB OD S.COD S.AOD m 9 4S。A0D 5m=36 36 S四边形BCD=9+4+m+ 36=-13+m+1 m 又：m+36 36 2Vm×元 =12, m m ·S因边形4BcD之13+12=25， 当m=36时，即m=6(负值舍去)时取等号. m 四边形ABCD面积的最小值为25.…(10分) 26.(11分) 【详解】(1)解：两个等腰三角形的底联角等于这两个等腰三角形的顶角. 理由：如图1， B 图1 5/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠BAC=∠DAE, ·LBAC-LCAD=∠DAE-LCAD, ∴.∠BAD=∠CAE, AB=AC,AD=AE, .△BAD≌△CAE(SAS), .∠ADB=∠AEC, ∠ADF+∠AEC=∠ADF+∠ADB=180°， ∴∠DAE+∠DFE=I80°， :∠BFC+∠DFE=180°， .LBFC=LBAE=LBAC;…(4分) (2)解：当点D在ABC的内部时，如图2甲，延长BD交CE于点F, :AB=AC,AD=AE,∠BAC=DAE=90°， .∠BFC=∠DAE=90°， :∠DCE=62°， ∴∠BDC=∠BFC+∠DCE=90°+62°=152°； 当点D在ABC的外部时，如图2乙，BD交CE于点F,交AC于点G, y E G D B 甲 图2 ∠BAC=DAE=90°， ∴∠BAD=∠CAE=90°+∠CAD, AB=AC,AD=AE, :.△BAD≌△CAE(SAS), 6/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ABD=∠ACE, :∠CGD=LAGB, ∴.∠ACE+LCGD=∠ABD+∠AGB=90°， .∠AFC=90°， ∴∠BDC=∠BFC-∠DCE=90°-62°=28°， 综上所述，∠BDC=152°或LBDC=28°；…(8分) (3)如图3，连接AC、BD交于点F, D 图3 :0A=0B,0C=0D,∠A0B=∠C0D=90°， ∴.∠BFC=∠C0D=90°， ∠AFB=∠AFD=∠CFD=90°， AD2=FA2+FD2,BC2=FB2+FC2,AB2=FA2+FB2,CD2=FC2+FD2, AD2+BC2=AB2+CD2=FA2+FB2+FC2+FD2, :AB=6,BC=4,CD=5, AD2+42=62+52, AD=35, ·AD的长为35.…(11分) 7/7………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级上学期期末模拟卷01 数学·考试版 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版新教材八年级上册（实数+二次根式+一元二次方程+直角三角形）。 第一部分（选择题 共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程中是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．在实数范围内因式分解：，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．的整数部分和小数部分分别是（    ） A．0和 B．3和 C．3和 D．3和 6．如图，在中，，点在边上且到边和边的距离相等．以点为圆心，线段的长为半径画弧交边于点，连接．下列结论中，不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共82分） 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．用科学记数法表示： ． 8．已知：，那么 ． 9．不等式的解集是 ． 10．等腰直角三角形的腰长为，则这个三角形的周长是 ． 11．个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛总场数为15场，则 ． 12．已知关于的方程有两个实数根，那么实数的取值范围是 ． 13．比较大小： （填“”“”或“”）． 14．如图，在，，平分，于点，点在上，，，，则的长为 ． 15．如图，是的角平分线，于点，，，，则边的长是 ． 16．如图，已知，，点在边上，，，那么的度数是 ． 17．设方程有两个根和，且，那么方程的较小根的范围为 ． 18．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“可爱三角形”．若是“可爱三角形”，，，则 ． 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（3分）计算： 20．（6分）解方程： (1)； (2)． 21．（6分）先化简，再求值：已知，求的值． 22．（7分）如图，在中，于点D，E为边上一点，且，．连接并延长交于点E． (1)若，，求的面积； (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 23．（7分）如图，在中，，． (1)尺规作图：在边上作一点D，使得点D到边与边的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求的长． 24．（8分）某建筑工程队，计划在工地一边的靠墙处（利用墙，墙长100米），用170米长的建筑材料围成一个长方形仓库， (1)如果长方形仓库（如图1）占地面积为1500平方米，求与墙垂直的边的长； (2)为了便于分类存放和搬运货物，现决定改变计划，用原有建筑材料建造并分割出三个小仓库，并在与墙平行的边上，每个仓库预留出1个长度为2米的门（如图2），长方形面积扩大到2000平方米，若能，求与墙垂直的边的长；若不能，请说明理由． 25．（10分）配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数a，b，可作如下变形（提示：）； ， 又， ，即． 当且仅当，即时等号成立． (1)若，代数式的最小值为_________，此时_________． (2)某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图1所示，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少为多少米？ (3)如图2，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别为9和4，求四边形面积的最小值． 26．（11分）【了解概念】 如图，在和，，连接，连接并延长与交于点F，那么将叫做和的底联角． 【探究归纳】 (1)两个等腰三角形的底联角与这两个等腰三角形的顶角有怎样的数量关系？请用文字语言写出结论． 【拓展提升】运用（1）中的结论解决问题： (2)如图，，求的度数； (3)如图，在四边形中，，点O为四边形内一点，且，求的长. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上学期期末模拟卷01 数学·考试版 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版新教材八年级上册（实数+二次根式+一元二次方程+直角三角形）。 第一部分（选择题 共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程中是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．在实数范围内因式分解：，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．的整数部分和小数部分分别是（    ） A．0和 B．3和 C．3和 D．3和 6．如图，在中，，点在边上且到边和边的距离相等．以点为圆心，线段的长为半径画弧交边于点，连接．下列结论中，不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共82分） 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．用科学记数法表示： ． 8．已知：，那么 ． 9．不等式的解集是 ． 10．等腰直角三角形的腰长为，则这个三角形的周长是 ． 11．个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛总场数为15场，则 ． 12．已知关于的方程有两个实数根，那么实数的取值范围是 ． 13．比较大小： （填“”“”或“”）． 14．如图，在，，平分，于点，点在上，，，，则的长为 ． 15．如图，是的角平分线，于点，，，，则边的长是 ． 16．如图，已知，，点在边上，，，那么的度数是 ． 17．设方程有两个根和，且，那么方程的较小根的范围为 ． 18．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“可爱三角形”．若是“可爱三角形”，，，则 ． 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（3分）计算： 20．（6分）解方程： (1)； (2)． 21．（6分）先化简，再求值：已知，求的值． 22．（7分）如图，在中，于点D，E为边上一点，且，．连接并延长交于点E． (1)若，，求的面积； (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 23．（7分）如图，在中，，． (1)尺规作图：在边上作一点D，使得点D到边与边的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求的长． 24．（8分）某建筑工程队，计划在工地一边的靠墙处（利用墙，墙长100米），用170米长的建筑材料围成一个长方形仓库， (1)如果长方形仓库（如图1）占地面积为1500平方米，求与墙垂直的边的长； (2)为了便于分类存放和搬运货物，现决定改变计划，用原有建筑材料建造并分割出三个小仓库，并在与墙平行的边上，每个仓库预留出1个长度为2米的门（如图2），长方形面积扩大到2000平方米，若能，求与墙垂直的边的长；若不能，请说明理由． 25．（10分）配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数a，b，可作如下变形（提示：）； ， 又， ，即． 当且仅当，即时等号成立． (1)若，代数式的最小值为_________，此时_________． (2)某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图1所示，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少为多少米？ (3)如图2，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别为9和4，求四边形面积的最小值． 26．（11分）【了解概念】 如图，在和，，连接，连接并延长与交于点F，那么将叫做和的底联角． 【探究归纳】 (1)两个等腰三角形的底联角与这两个等腰三角形的顶角有怎样的数量关系？请用文字语言写出结论． 【拓展提升】运用（1）中的结论解决问题： (2)如图，，求的度数； (3)如图，在四边形中，，点O为四边形内一点，且，求的长. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上学期期末模拟卷01 数学·全解全析 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版新教材八年级上册（实数+二次根式+一元二次方程+直角三角形）。 第一部分（选择题 共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程中是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．是一元二次方程，故A符合题意； B．中时，不是一元二次方程，故B不符合题意； C．不是整式方程，故C不符合题意； D．的最高次数是3，故D不符合题意． 故选：A． 2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式， A： = ，被开方数含分母，不是最简二次根式，故该选项不合题意； B： = ，被开方数含平方因数9，不是最简二次根式，故该选项不合题意； C：，被开方数不含分母且不含平方因式，是最简二次根式，故该选项符合题意； D：，被开方数含分母，不是最简二次根式，故该选项不合题意． 故选：C． 3．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：． 故选：C． 4．在实数范围内因式分解：，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵对于，判别式， ∴根为， ∴因式分解为， 故选：B. 5．的整数部分和小数部分分别是（    ） A．0和 B．3和 C．3和 D．3和 【答案】B 【详解】解：∵ ，即， ∴， ∴整数部分为3， ∴小数部分为． ∴的整数部分为3，小数部分为． 故选B． 6．如图，在中，，点在边上且到边和边的距离相等．以点为圆心，线段的长为半径画弧交边于点，连接．下列结论中，不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在边上且到边和边的距离相等， ∴平分， ∴， ∴， ∴，；故选项A，C正确，不符合题意； ∵， ∴（平行线间的距离处处相等）；故选项D正确，不符合题意； 无法得到； 故选：B． 第二部分（非选择题 共82分） 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．用科学记数法表示： ． 【答案】 【详解】解：∵， 故答案为：． 8．已知：，那么 ． 【答案】 【详解】解：由，得． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 9．不等式的解集是 ． 【答案】 【详解】解：， ， ， 由于，所以，除以负数时不等号方向改变，得： ， 即， 分子分母同乘，得： ， 故答案为：． 10．等腰直角三角形的腰长为，则这个三角形的周长是 ． 【答案】 【详解】解：∵等腰直角三角形的腰长为， ∴两腰之和为， ∴斜边长为， ∴周长为. 故答案为：. 11．个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛总场数为15场，则 ． 【答案】6 【详解】解：依题意，比赛总场数为， 整理得， 即， 因式分解得， ∴，， 解得：或（舍去）． 故答案为：6． 12．已知关于的方程有两个实数根，那么实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵关于的方程有两个实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 13．比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【详解】解：设，． ∵ ， ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 均为正数， ∴ ，即， 故答案为：． 14．如图，在，，平分，于点，点在上，，，，则的长为 ． 【答案】3 【详解】解：∵，平分，， ∴， 在与中 ∴， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：3． 15．如图，是的角平分线，于点，，，，则边的长是 ． 【答案】4 【详解】解：作于点， ∵是的角平分线，于点， ∴， ， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 故答案为：4． 16．如图，已知，，点在边上，，，那么的度数是 ． 【答案】 【详解】解：， ， ，． 如图，取的中点，连接， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ． 故答案为：． 17．设方程有两个根和，且，那么方程的较小根的范围为 ． 【答案】 【详解】解：方程的两根为和， ，， 设方程的两根为和， 则，， ，， 方程的两根为和， ， ，， ，， ， 方程的较小根的范围为． 故答案为：． 1．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“可爱三角形”．若是“可爱三角形”，，，则 ． 【答案】或 【详解】解：在中，，，设，，则根据勾股定理，有，即， 由“可爱三角形”的定义，需考虑三种情况：  ①若，但，前后矛盾，故不成立 ； ②若，即，则代入， 得，整理得， 解得（负根舍去），则， ∴（负根舍去），即； ③若，即，则代入， 得，整理得， 解得，则， ∴（负根舍去），； 综上所述：或； 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（3分）计算： 【详解】解：（1）原式 ……（1分） ……（2分） ；……（3分） 20．（6分）解方程： (1)； (2)． 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， ，．……（3分） （2）解：， ， ， ， ， ， 或， ，， ∵是方程的增根， ∴舍去， ∴．……（6分） 21．（6分）先化简，再求值：已知，求的值． 【详解】解： ；……（4分） 当时， 原式．……（6分） 22．（7分）如图，在中，于点D，E为边上一点，且，．连接并延长交于点E． (1)若，，求的面积； (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 【详解】（1）解：， ， 在和中， ， ， 又， ． ；……（4分） （2）解：．理由： ， ， ， ， ， ． ． ．……（7分） 23．（7分）如图，在中，，． (1)尺规作图：在边上作一点D，使得点D到边与边的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求的长． 【详解】（1）解：点D如图所示： ……（3分） （2）解：∵，． ∴， 由（1）的作图痕迹，得出是的角平分线， ∴， ∴， 在中，， ∴．……（7分） 24．（8分）某建筑工程队，计划在工地一边的靠墙处（利用墙，墙长100米），用170米长的建筑材料围成一个长方形仓库， (1)如果长方形仓库（如图1）占地面积为1500平方米，求与墙垂直的边的长； (2)为了便于分类存放和搬运货物，现决定改变计划，用原有建筑材料建造并分割出三个小仓库，并在与墙平行的边上，每个仓库预留出1个长度为2米的门（如图2），长方形面积扩大到2000平方米，若能，求与墙垂直的边的长；若不能，请说明理由． 【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长为，则与墙平行的边的长为， 由题意可得：， 解得：，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴与墙垂直的边的长为；……（4分） （2）解：不能，理由如下： 设与墙垂直的边的长为，则与墙平行的边的长为， 由题意可得， 整理可得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴不能使长方形面积扩大到2000平方米．……（8分） 25．（10分）配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数a，b，可作如下变形（提示：）； ， 又， ，即． 当且仅当，即时等号成立． (1)若，代数式的最小值为_________，此时_________． (2)某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图1所示，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少为多少米？ (3)如图2，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别为9和4，求四边形面积的最小值． 【详解】（1）解：由题意，设， 由，得， 当且仅当，即（负值舍去）时，代数式取到最小值，最小值为 故答案为：6；3；……（2分） （2）解：由题意，设花圃的宽为x米，则长为米， 所用的篱笆， 又令，， 由， ． 当且仅当，即（负值舍去）时，代数式取到最小值，最小值为36， 答：所用的篱笆至少为36米．……（6分） （3）解：由题意，设， 与底边上的高相等，与底边上的高相等， ， 又， ， 当时，即（负值舍去）时取等号． 四边形面积的最小值为25．……（10分） 26．（11分）【了解概念】 如图，在和，，连接，连接并延长与交于点F，那么将叫做和的底联角． 【探究归纳】 (1)两个等腰三角形的底联角与这两个等腰三角形的顶角有怎样的数量关系？请用文字语言写出结论． 【拓展提升】运用（1）中的结论解决问题： (2)如图，，求的度数； (3)如图，在四边形中，，点O为四边形内一点，且，求的长． 【详解】（1）解：两个等腰三角形的底联角等于这两个等腰三角形的顶角． 理由：如图1， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；……（4分） （2）解：当点D在的内部时，如图2甲，延长交于点F， ∵， ∴， ∵， ∴； 当点D在的外部时，如图2乙，交于点F，交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，或；……（8分） （3）如图3，连接、交于点F， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为．……（11分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $