上海市2025-2026学年 沪教版（五四制）九年级数学第一学期期末模拟试卷1

2025-2026学年上海九年级数学上学期 期末模拟试卷 一、单选题 1．下列函数中是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐项分析即可，熟练掌握其定义是解决此题的关键． 【详解】A．是一次函数，故不符合题意； B．是反比例函数，故不符合题意； C．是二次函数，故符合题意； D．不是二次函数，故不符合题意； 故选：C． 2．若线段，点P是线段的黄金分割点，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据黄金分割的定义即可解答． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，且， ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查了黄金分割，应该熟记黄金分割的公式：较长线段=原线段长的倍，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 3．如图，已知，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，由，根据平行线分线段成比例定理逐项进行分析判断即可得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴，而与不一定相等，与不一定相等， 故A正确，C不正确，D不正确； 由得， 假设成立，则， ∴， ∴，与已知条件不符， ∴不成立， 故B不正确， 故选：A． 4．下列说法中，正确的是（   ） A．两个矩形必相似 B．两个含角的等腰三角形必相似 C．两个菱形必相似 D．两个含角的直角三角形必相似 【答案】D 【分析】根据相似多边形、相似三角形的判定逐项判断即可得． 【详解】A、两个矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例，则不一定相似，此项错误； B、如果一个等腰三角形的顶角是，另一等腰三角形的底角是，则不相似，此项错误； C、两个菱形的对应边成比例，但四个内角不一定对应相等，则不一定相似，此项错误； D、两个含角的直角三角形必相似，此项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了相似多边形、相似三角形的判定，熟练掌握相似图形的判定方法是解题关键． 5．如图，一枚自制小火箭从发射点处发射，身高为1.6米的小明在离发射点距离的处，当小火箭到达点时，小明测得此刻的仰角为，则这枚小火箭此时的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形．过点D作于点E，则，证明四边形是矩形，则，，由得到，即可得到答案． 【详解】解：过点D作于点E，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴ ∴ 故选：A． 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上一点，过D作DF⊥AB交边BC于点E，交AC的延长线于点F，连接AE，如果tan∠EAC＝，S△CEF＝1，那么S△ABC的值是（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】根据，可得，由∽，可得相似比为，从而得到面积比为，进而求出答案． 【详解】∵∠ACB＝90°， ∴∠BAC+∠B＝90°， 又∵DF⊥AB，     ∴∠ADF＝90°， ∴∠BAC+∠F＝90°， ∴∠B＝∠F， 又∵∠ECF＝∠ACB＝90°， ∴△ECF∽△ACB， ∴＝tan∠EAC＝， ∴， 又∵S△ECF＝1， ∴S△ABC＝9， 故选：C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的意义，相似三角形的性质和判断，掌握相似三角形的性质是解决问题的关键． 二、填空题 7．如果，那么 ． 【答案】 【分析】根据得到，把它代入后面的式子求出比值． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例基本的性质． 8．比例尺为的地图上，A、B两地的距离为，那么A、B两地的实际距离为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了比例线段，主要利用了比例尺的定义，计算时要注意单位之间的换算． 设、两地间的实际距离是，根据比例尺的定义列式计算即可得解，然后再化为千米即可． 【详解】解：设、两地间的实际距离是，根据题意得： ， 解得， ． 故答案为：2． 9．计算： ． 【答案】 【分析】本题为平面向量的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．按向量的运算法则即可得结果． 【详解】解： ． 故答案为：． 10．将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的平移法则是解答本题的关键． 根据“上加下减，左加右减”的平移法则进行解答即可． 【详解】解：抛物线向上平移2个单位，所得抛物线的表达式是， 故答案为：． 11．如图，在中，点分别在边上， ，如果和四边形的面积相等，，那么 的长是 ． 【答案】2 【分析】根据题意可得△ADE∽△ABC，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解． 【详解】∵， ∴△ADE∽△ABC， ∴， 又∵和四边形的面积相等， ∴， ∴，即：， 故答案为：2． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键． 12．在中，若，，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理的逆定理“如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形”，判定是直角三角形，再根据直角三角形中余弦的定义“角的邻边比斜边”，计算即可． 【详解】解：∵在中，若，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴是斜边，所对的角是直角，即是直角， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、求角的余弦值，掌握勾股定理的逆定理的运用和余弦的定义是解题的关键． 13．在中，点D、E分别在边AB、AC上，且，如果：，那么 ． 【答案】 【分析】如图，由，可得：，从而有：，设，则，求解，从而可得答案． 【详解】解：如图，， ， 所以设，则， 故答案为： 【点睛】本题考查的是比例的基本性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． 14．用“描点法”画二次函数的图象时，列表如下： 根据表格信息可知，当时，函数值 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的对称性，熟练掌握抛物线的对称性质是解题的关键． 先通过表格数据确定二次函数图象的对称轴，再利用抛物线的对称性，找到对应的对称点，从而求出函数值． 【详解】解：∵ 表格中和时，值均为5， ∴ 抛物线的对称轴为直线， ∵ 与关于对称轴直线对称， ∴ 与对应的函数值相等， ∵ 表格中时，， ∴ 时，， 故答案为：． 15．如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，若连接格点，，与交于点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，求锐角的正切值．连接，，证明得。再求解的正切值即可． 【详解】解：如图，连接，， ∴，，，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，所得到的抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式是解题的关键． 根据抛物线平移的规律，即可求解． 【详解】解：原抛物线为，向右平移2个单位，得， 再向上平移3个单位，得， 故答案为：． 17．如图，矩形ABCD沿对角线BD翻折后，点C落在点E处．联结CE交边AD于点F．如果DF＝1，BC＝4，那么∠ADB的正切值等于 ． 【答案】 【分析】证明求得CD=2，即可求解 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，△BED是由△BCD翻折得到， ∴，， ∵∠ ∴∠ ∴ ∴，即 ∴或-2（舍去） 在中，， ∴tan∠ADB=， 18．如图，ABC中，AB=10，BC=12，AC=8，点D是边BC上一点，且BD：CD=2：1，联结AD，过AD中点M的直线将ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为 ． 【答案】 【分析】如图，过作交于，设 由三角形的周长关系可得：再证明：利用相似三角形的性质求解再证明：可得：再解方程组可得答案． 【详解】解：如图，过作交于， 设 为的中点， 即： 解得：或， 经检验：不合题意，舍去， 故答案为： 【点睛】本题考查的是三角形的相似的判定与性质，二元方程组的解法，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题 19．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值，熟练掌握运算法则和特殊角的三角函数值是解本题的关键． 【详解】 20．如图，在中，，，平分交于点D，交于点E． (1)求的长； (2)连结交于点F，设，，用、的线性组合表示向量_____，____． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平面向量． （1）根据平行线的性质和角平分线的定义得到，设，根据得到，分别代入即可解答； （2）根据平面向量三角形减法法则得出，根据可求得与的关系，即可求解． 【详解】（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． （2）∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：， 21．已知二次函数的部分对应值如下表，求的值： 编号 … 1 2 3 4 5 6 7 8 … … 0 1 2 3 4 5 … … ______ 0 ______ 5 12 … 小海和小申对这道题展开讨论： 【小海】我认为，通过编号2、3、4（或其它任意3个编号）可以算出这条抛物线的解析式，接着求出的值． 【小申】我认为不需要计算就可以求出值，可以______． (1)采用【小海】的方法，求的值； (2)补充【小申】的发言并填写表格中的数据； (3)结合本题，谈谈你对这类题型做法的启示． 【答案】(1)12 (2)表格见详解，可以根据二次函数的对称性求解 (3)见详解（答案不唯一） 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）利用待定系数法求解函数解析式，然后问题可求解； （2）根据表格可得二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数的对称性可进行求解； （3）根据题意进行阐述自己的见解即可． 【详解】（1）解：由题意可把点代入二次函数解析式得： ，解得：， ∴二次函数的解析式为， ∴； （2）解：由表格可知：点关于抛物线的对称轴对称， ∴二次函数的对称轴为直线， 所以补充表格如下： 编号 … 1 2 3 4 5 6 7 8 … … 0 1 2 3 4 5 … … 5 0 0 5 12 … ∴由表格可知 ∴小申认为不需要计算就可以判断，可以根据二次函数的对称性进行求解； （3）解：通过本题，我认为对这类题型做法应该根据二次函数的对称性进行求解，这样做比较简单明了． 22．随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为为支杆，它可绕点B旋转，其中长为为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：） (1)如图2，当B、C、D三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点D距离地面的高度； (2)调节支杆，悬杆，使得，如图3所示，且点D到地面的距离为，求的长．（结果精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握锐角三角函数的计算是解题的关键． （1）如图所示，过点D作，过点B作于点E，则，由题意得到，在中，，可得，再根据，即可求解； （2）如图所示，过点D作，过点C作，交于点K，H，则，，在中，由，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点D作，过点B作于点E，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴端点D距离地面的高度为； （2）解：如图所示，过点D作，过点C作，交于点K，H， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 23．已知：如图，在四边形中，，、相交于点， （1）求证：； （2）如果，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）找到两对相同角即可证明相似 （2）证明出后可推出． 【详解】证明：（1） ∵两个三角形有一公共角∠BAC ∴． （2） 为等腰三角形为等腰三角形 ． 【点睛】本题考查四边形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题， 24．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点．    (1)求抛物线的表达式； (2)点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线交于点C，求的长的最大值； (3)点Q是线段上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结交y轴于点N．是否存在点P，使与相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)当时，的长的最大值为4 (3)点P的坐标为或 【分析】（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式； （2）设，则，进而表示出CD的长；接下来用含m的二次函数表示S，根据二次函数的性质，即可解答； （3）分两种情况：①当△时，②当时，分别求解即可． 【详解】（1）直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ，， 抛物线经过A、B两点． ， 解得， ； （2）设， 作x轴，与直线交于点C， ，解得， ， 当时，的长的最大值为4； （3）设， ，， ， 分两种情况： ①当时，   ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 或3（舍去）， ， ，， 设直线的解析式为， 解得， 直线PQ的解析式为， 联立解得或（不合题意，舍去） 点P的坐标为； ②当时，过点Q作于H，   ， ，， ， ， ， ∴， ∴， 设，则，， ，解得， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， 同理得直线的解析式为， 联立解得或（不合题意，舍去） 点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，解题的关键是利用方程的思想和函数的思想方法解决问题，利用相似三角形的判定得出关于m的方程是解题关键，解（3）的关键是分和两种情况讨论求解． 25．问题背景：如图1，在矩形中，，，点E是边的中点，过点E作交于点F． 实验探究： (1)在一次数学活动中，小明同学将图1中的绕点B按顺时针方向旋转，如图2所示，得到结论： ①__________； ②直线与所夹锐角的度数为__________．； (2)小明同学继续将绕点B按顺时针方向旋转，旋转至点D，E，F在一条直线上如图3所示位置时，求的面积； (3)在绕点B按顺时针方向旋转一周过程中，记的面积为S，直接写出S的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①利用矩形的性质、旋转的性质，以及特殊角的锐角三角函数值，证明，再结合相似三角形性质求解，即可解题； ②延长与交于点，记交于点，利用相似三角形性质和三角形内角和定理求解，即可解题； （2）过点作于点，利用线段中点特点和锐角三角函数求出，结合相似三角形性质，直角三角形性质，勾股定理求出，最后根据三角形面积公式求解，即可解题； （3）根据在绕点B按顺时针方向旋转一周过程中，的底边长度不变，找出高最大，以及最小的情况求解，即可解题． 【详解】（1）解：①四边形为矩形， ， ， ， ， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， ； 故答案为：； ②延长与交于点，记交于点， ， ， ， ， 即直线与所夹锐角的度数为； 故答案为：； （2）解：过点作于点， 点E是边的中点，， ， ， ， 解得， 由①同理可证， ， ， ， ， ， ，解得， 在中，有， ， ， ， ， ， ； （3）解：在绕点B按顺时针方向旋转一周过程中，的底边长度不变， 当，，三点共线，面积最小，即， 记边上的高为，根据垂线段最短可知， 当，重合时，的高最大为，此时面积最大， ， ， ， ，即， 综上所述，． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，锐角三角函数，垂线段最短，旋转的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上海九年级数学上学期 期末模拟试卷 一、单选题 1．下列函数中是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．若线段，点P是线段的黄金分割点，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列说法中，正确的是（   ） A．两个矩形必相似 B．两个含角的等腰三角形必相似 C．两个菱形必相似 D．两个含角的直角三角形必相似 5．如图，一枚自制小火箭从发射点处发射，身高为1.6米的小明在离发射点距离的处，当小火箭到达点时，小明测得此刻的仰角为，则这枚小火箭此时的高度是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上一点，过D作DF⊥AB交边BC于点E，交AC的延长线于点F，连接AE，如果tan∠EAC＝，S△CEF＝1，那么S△ABC的值是（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 二、填空题 7．如果，那么 ． 8．比例尺为的地图上，A、B两地的距离为，那么A、B两地的实际距离为 ． 9．计算： ． 10．将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线的表达式是 ． 11．如图，在中，点分别在边上， ，如果和四边形的面积相等，，那么 的长是 ． 12．在中，若，，，则 ． 13．在中，点D、E分别在边AB、AC上，且，如果：，那么 ． 14．用“描点法”画二次函数的图象时，列表如下： 根据表格信息可知，当时，函数值 ． 15．如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，若连接格点，，与交于点，则 ． 16．在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，所得到的抛物线的解析式为 ． 17．如图，矩形ABCD沿对角线BD翻折后，点C落在点E处．联结CE交边AD于点F．如果DF＝1，BC＝4，那么∠ADB的正切值等于 ． 18．如图，ABC中，AB=10，BC=12，AC=8，点D是边BC上一点，且BD：CD=2：1，联结AD，过AD中点M的直线将ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为 ． 三、解答题 19．计算：． 20．如图，在中，，，平分交于点D，交于点E． (1)求的长； (2)连结交于点F，设，，用、的线性组合表示向量_____，____． 21．已知二次函数的部分对应值如下表，求的值： 编号 … 1 2 3 4 5 6 7 8 … … 0 1 2 3 4 5 … … ______ 0 ______ 5 12 … 小海和小申对这道题展开讨论： 【小海】我认为，通过编号2、3、4（或其它任意3个编号）可以算出这条抛物线的解析式，接着求出的值． 【小申】我认为不需要计算就可以求出值，可以______． (1)采用【小海】的方法，求的值； (2)补充【小申】的发言并填写表格中的数据； (3)结合本题，谈谈你对这类题型做法的启示． 编号 … 1 2 3 4 5 6 7 8 … … 0 1 2 3 4 5 … … 5 0 0 5 12 … 22．随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为为支杆，它可绕点B旋转，其中长为为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：） (1)如图2，当B、C、D三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点D距离地面的高度； (2)调节支杆，悬杆，使得，如图3所示，且点D到地面的距离为，求的长．（结果精确到） 23．已知：如图，在四边形中，，、相交于点， （1）求证：； （2）如果，求证：． 24．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点．    (1)求抛物线的表达式； (2)点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线交于点C，求的长的最大值； (3)点Q是线段上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结交y轴于点N．是否存在点P，使与相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 25．问题背景：如图1，在矩形中，，，点E是边的中点，过点E作交于点F． 实验探究： (1)在一次数学活动中，小明同学将图1中的绕点B按顺时针方向旋转，如图2所示，得到结论： ①__________； ②直线与所夹锐角的度数为__________．； (2)小明同学继续将绕点B按顺时针方向旋转，旋转至点D，E，F在一条直线上如图3所示位置时，求的面积； (3)在绕点B按顺时针方向旋转一周过程中，记的面积为S，直接写出S的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $