精品解析：江苏省东海高级中学2025-2026学年高一上学期12月份学分认定考试数学试题

2025—2026学年第一学期高一年级12月份学分认定考试 数学试题 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求. 1. 已知集合，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据得到，根据子集的概念即可求出答案. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：D. 2. 下列命题中正确的是（ ）． A. 第一象限角一定不是负角 B. 小于90°的角一定是锐角 C. 钝角一定是第二象限角 D. 第一象限角一定是锐角 【答案】C 【解析】 【分析】明确锐角、钝角、象限角的定义，通过举反例排除错误的选项，得到正确的选项． 【详解】解：A不正确，如就是第一象限角． B不正确，如是小于的角，但并不是锐角． C正确，因为钝角大于且小于，它的终边一定在第二象限． D不正确，如就是第一象限角，但并不是锐角． 故选：C． 3. 若，且，则是（ ） A. 第一象限的角 B. 第二象限的角 C. 第三象限的角 D. 第四象限的角 【答案】B 【解析】 【分析】判断出角的正余弦的正负，进而可得答案. 【详解】由，得， 所以角位于第二象限的角. 故选：B 4. “”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先化简，进而得到“”是“”的充分不必要条件. 【详解】由，可得且， 则由“”可得“”，但是不能由“”得到“”， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由不等式的解集与不等式之间的关系，得出2和3是关于x的方程的两根，由韦达定理可求出a和b的值，再代入不等式，解出该不等式即可得出答案． 【详解】由题意可知，2和3是关于x的方程的两实根， 由韦达定理可得，解得， 所以不等式为不等式， 解得，所以解集为. 故选：D 6. 已知函数在定义域上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性，列出不等式即可求解. 【详解】因为的对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，当即时，在上单调递减， 函数是定义域上的减函数，则，解得. 故选：A. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数，对数函数的单调性分别判断与的大小关系. 【详解】由，知：； 由在上单调递增，得，所以； 由，得， 又因为在上单调递增， 所以，所以； 综上：. 故选：A 8. 是定义在上的奇函数，对任意，都有.若，则实数的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】构造，结合题意分析可知为奇函数，在定义域内单调递增，将不等式整理可得，结合函数性质解不等式即可. 【详解】构造，则的定义域为， 且，可知为奇函数， 又因为对任意，都有， 可得，即， 则在内单调递增，可知在内单调递增， 所以在定义域内单调递增， 若，可得， 即，则， 可得，即，解得或， 所以实数的取值范围为或. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数满足，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据指数幂的运算结合完全平方公式，立方和公式依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于A，由，得，化简得，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以，所以，故B正确； 对于C，由A，，所以，所以，故C错误； 对于D，由， 由B，，，故D正确. 故选：BD. 10. 已知正实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为9 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用“乘1”法结合基本不等式即可判断；对于B，根据题设利用基本不等式即可判断；对于C，取平方后利用计算即可判断；对于D，利用对数运算性质，结合即可判断. 【详解】对于A，， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故A正确； 对于B，由，可得，解得， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故B错误； 对于C，，由B选项的分析可知，故， 即，故当且仅当时，取得最大值为，故C正确； 对于D，由，可得，则， 故当且仅当时，的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数（其中为自然对数的底数），定义函数，则下列说法正确的有（　　） A. 是奇函数 B. C. 若方程有且仅有一个解，则的取值范围是 D. 若存在，使成立，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A. 利用函数奇偶性的定义判断；B.直接计算验证；C.转化为有一个解，利用数形结合法求解；D.由 在上是增函数，转化为有解求解判断. 【详解】， 令，定义域为，， 所以是奇函数，故A正确； 因为，，所以，故B正确； 方程，即为，作出函数，的图象，如图所示： 由题意知：或，解得或，故C错误； 在上是增函数，则等价于， 令，令， 则， 因为存在，使得成立，所以，故D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由偶次根式被开方数大于等于0，对数的真数大于0可得答案. 【详解】由题意，且,解得, 所以定义域为. 故答案为： 13. 已知函数满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，，得到，即可求得的值，得到答案. 【详解】由函数满足，令，可得，所以. 故答案为：. 14. 设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性,通过赋值法即可求解. 【详解】由为奇函数可得. 令得，令得，令得. 为偶函数可得，令得， 因此， 所以，解得. 又，故，得， 故时，， 因此， 所以. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 全集，集合，非空集合. （1）若，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意化简集合，结合集合的交集和补集运算求解即可； （2）分析可知集合B是集合A的真子集，结合集合的包含关系列式求解即可. 【小问1详解】 因为集合，则或， 若，则集合， 所以或. 【小问2详解】 若“”是“”的必要不充分条件，则集合B是集合A的真子集， 且集合，非空集合， 则且，解得， 所以实数的取值范围为. 16. 已知幂函数为偶函数. （1）求的解析式； （2）设函数在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】(1)利用幂函数的系数特征求，结合偶函数定义筛选得解析式； (2)分析二次函数的对称轴位置，分情况讨论区间内最小值，结合恒成立条件求解参数范围. 【小问1详解】 因是幂函数，故系数满足， 即，解得或. 当时，指数为，，是偶函数，符合条件； 当时，指数为，， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，舍去. 故. 【小问2详解】 ，其开口向上，对称轴为， 分三种情况讨论： 情况1：（即） 在上单调递增，最小值为， 由，结合，显然满足. 情况2：（即） 在对称轴处取最小值， 最小值为： 由，化简得，解得， 结合，得. 情况3：（即） 在上单调递减，最小值为， 由得，与矛盾，舍去. 综合得的取值范围为. 17. 定义在上的函数满足成立，当时，. （1）证明函数是奇函数； （2）解不等式. 【答案】（1） 因为定义在上的函数满足成立； 所以令，得到，即， 令 ，得到，即； 所以函数是奇函数； （2） 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 当 时，解集为； 当时解集为. 【解析】 【分析】（1）先令证明，再令，可得，所以函数是奇函数； （2）先证明在上是减函数, 因为，所以，再对a进行分类讨论求解二次不等式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 任取  ，则 ，由题设得  因为  ， 所以 ，即  在上是减函数, 因为，所以， 整理得到，即. 当时，不等式化为，解得； 当时，，不等式的解为； 当时，，不等式的解为或； 当 时，，不等式化为，解得； 当时，，不等式的解为或； 综上所述，不等式的解集为： 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 当 时，解集为； 当时解集为. 18. 已知函数为奇函数，且. （1）求实数的值，并用定义证明的单调性； （2）若时，不等式有解，求实数的取值范围； （3）函数在区间上的值域是，求的取值范围. 【答案】（1），单调性证明如下： 任取，且， 则， 因为，可得， 所以，即，所以函数为单调递增函数， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由，求得，结合函数奇偶性的定义与判定，即可求解； （2）由（1）得，利用单调性的定义与判定，证得为单调递增函数，把不等式有解，转化为在有解，令，利用单调性，求得，进而求得的取值范围； （3）由（1）得到在区间上单调递增，转化为，进而得到有两个不同的正根，结合二次方程的根与系数的关系，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意在R上恒成立，函数为奇函数，可得，解得， 当时，可得，则其定义域为关于原点对称， 且，此时函数为奇函数， 所以实数的值为，即， 任取，且， 则， 因为，可得， 所以，即，所以函数为单调递增函数， 【小问2详解】 解：由（1）知，函数为奇函数，且为单调递增函数， 又由不等式，即， 所以，即， 因为时，不等式有解， 即当时，不等式有解，即当时，不等式有解， 设，可得函数在上为单调递减函数， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 解：由（1）知，函数为上单调递增函数，可得在区间上单调递增， 因为函数在区间上的值域是， 可得，即且， 设，则，则方程即为有两个不同的正根， 即方程有两个不同的正根，即为， 则满足，解得， 所以实数的取值范围为. 19. 已知函数. （1）若， （i）求的最小值，并求出当取得最小值时的值； （ii）求的单调递减区间. （2）对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）（i）最小值为，对应；（ii）单调递减区间为； （2） 【解析】 【分析】(1)通过换元将对数函数转化为二次函数，求二次函数的最值与单调区间，再还原为原函数的结果； (2)结合定义域确定换元后的区间，分情况讨论二次函数的最值差，进而求解参数范围。 【小问1详解】 ，设， 则，的对称轴为. 当时， （i），其最小值为. 由，得. （ii）在时单调递增，的递减区间为， 对应，解得. 【小问2详解】 当时，，需满足， 分四类讨论对称轴位置： 情况1： 在上单调递增，，， 最值差为，由得，与矛盾，无解. 情况2： ，， 最值差为，即， 解得，结合区间得. 情况3： ，，最值差为， 解得，结合区间得. 情况4： 在上单调递减，，， 最值差为，得，与矛盾，无解. 综上所述，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期高一年级12月份学分认定考试 数学试题 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求. 1. 已知集合，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中正确的是（ ）． A. 第一象限角一定不是负角 B. 小于90°的角一定是锐角 C. 钝角一定是第二象限角 D. 第一象限角一定是锐角 3. 若，且，则是（ ） A. 第一象限的角 B. 第二象限的角 C. 第三象限的角 D. 第四象限的角 4. “”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在定义域上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 是定义在上的奇函数，对任意，都有.若，则实数的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数满足，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知正实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为9 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 已知函数（其中为自然对数的底数），定义函数，则下列说法正确的有（　　） A. 是奇函数 B. C. 若方程有且仅有一个解，则的取值范围是 D. 若存在，使成立，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为___________. 13. 已知函数满足，则__________. 14. 设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则_________. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 全集，集合，非空集合. （1）若，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 16. 已知幂函数为偶函数. （1）求的解析式； （2）设函数在区间上恒成立，求实数的取值范围. 17. 定义在上的函数满足成立，当时，. （1）证明函数是奇函数； （2）解不等式. 18. 已知函数为奇函数，且. （1）求实数的值，并用定义证明的单调性； （2）若时，不等式有解，求实数的取值范围； （3）函数在区间上的值域是，求的取值范围. 19. 已知函数. （1）若， （i）求的最小值，并求出当取得最小值时的值； （ii）求的单调递减区间. （2）对任意恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $