精品解析：江西省上犹中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

上犹中学12月高二数学综合训练 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 椭圆的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的定义进行求解即可. 【详解】因为椭圆方程为， 所以，所以. 所以焦点坐标为. 故选：C. 2. 在空间直角坐标系中，关于轴的对称点为点，若点关于平面的对称点为点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】写出关于轴的对称点，点关于平面的对称点，再计算的值． 【详解】空间直角坐标系中，关于轴的对称点为， 点关于平面的对称点为点， 所以． 故选：B． 3. 某大学开设篮球、足球等5门球类选修课，要求每个学生都必须选择其中的一门课程.现有小明、小强、小豆3位同学进行选课，其中小明不选篮球和足球，则不同的选课方法共有（ ） A. 36种 B. 60种 C. 75种 D. 85种 【答案】C 【解析】 【分析】借助分步乘法计数原理计算即可得. 【详解】小明有三种选课方法，小强和小豆各有五种选课方法， 故共有种选课方法. 故选：C. 4. 已知和圆相交，则这两个圆的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两圆的位置关系求解公共弦长或公切线长得出答案. 【详解】由题,圆，圆心，圆的半径为， 圆和圆的公共弦方程为 ，化简得. 又圆圆心到弦的距离为. 故弦长为. 故选：A. 5. 我们称各个数位上的数字之和为6的三位数为“lucky”数，例如105和213，则所有的“lucky”数有（　　） A. 48个 B. 30个 C. 21个 D. 18个 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，按首位数字为，分类讨论，结合分类计数原理，即可求解. 【详解】当首位数字为1时，后两位相加为5，“lucky”数分别是105，150，114，141，123，132共6个； 当首位数字为2时，后两位相加为4，“lucky”数分别是204，240，213，231，222，共5个； 当首位数字为3时，后两位相加为3，“lucky”数分别是303，330，312，321，共4个； 当首位数字为4时，后两位相加为2，“lucky”数分别是402，420，411，共3个； 当首位数字为5时，后两位相加为1，“lucky”数分别是501，510，共2个； 当首位数字为6时，后两位相加为0，“lucky”数分别是600，共1个； 由分类计数原理得，共有个. 故选：C. 6. 在长方体中，已知，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先找到平面的垂线BE，则就是直线与面所成的角，再解直角三角形即可. 【详解】如图，设点E为线段的中点，连接. 因为在长方体中，平面， 所以平面，平面，得. 又，且E为线段BC的中点，所以，且平面， 所以平面，故就是直线与面所成的角. 在直角三角形中，，， 所以.故直线与平面所成角的正弦值为. 故选：D. 7. 点到直线：和：的距离之积为4，记的轨迹为曲线，则（ ） A. 是两条互相垂直的直线 B. 是焦点在轴上的双曲线 C. 是两条离心率均为的双曲线 D. 上的点与原点之间的距离不小于 【答案】D 【解析】 【分析】设点的坐标，按题干条件写出等量关系，得到点的轨迹方程，逐个分析选项即可. 【详解】设点，由题干条件和点到直线的距离公式得，即， 去绝对值得点的轨迹为和， 这两个方程分别表示焦点在轴和轴的双曲线，且离心率分别为和，故A、B、C均错误， 因为双曲线上的点到原点的距离不小于双曲线上最靠近原点的顶点到原点的距离， 两个方程最靠近原点的顶点坐标分别为和， 所以上点与原点之间的距离不小于，故D正确， 故选：D． 8. 在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是侧面上的一个动点，满足平面，则线段长度的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点的中点的中点F，连接和，可证面面，故动点在面内的轨迹为，结合几何关系即可求出线段长度的最大值. 【详解】取的中点的中点的中点F，连接和， 由分别为的中点，知，同理可知：,，有， 又由,面且平面，所以平面， 同理可知，平面. 因,平面平面，所以平面平面， 而平面，故动点在平面内的轨迹为， 由可知，， 所以，即，所以线段的最大值为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记直线，，则（ ） A. 过定点 B. 的倾斜角为钝角 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对直线方程进行整理变形即可得出过定点，利用直线一般方程中的系数的关系即可得出直线关系和倾斜角的范围. 【详解】对于选项A，整理直线方程：，则，解得，即过定点，故A正确； 对于选项B，整理直线方程：，当，即时，的倾斜角为直角，故B错误； 对于选项C，代入，可得直线，，显然，故C正确； 对于选项D，若，则，解得，故D正确. 故选：ACD 10. 现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，则下列说法正确的是（ ）. A. 从中任选1幅画布置房间，有14种不同的选法 B. 从这些国画、油画、水彩画中各选1幅布置房间，有70种不同的选法 C. 从这些画中选出2幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法 D. 从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有12种不同的挂法 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，结合分类加法计数原理和分步乘法计数原理，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A，根据分类加法计数原理可知，共有种不同的选法，故A正确. 对于B，根据分步乘法计数原理可知，共有种不同的选法，故B正确. 对于C，可分为三类：第一类是1幅选自国画，1幅选自油画，有种不同的选法； 第二类是1幅选自国画，1幅选自水彩画，有种不同的选法； 第三类是1幅选自油画，1幅选自水彩画，有种不同的选法， 故共有种不同的选法，故C正确. 对于D，可以分两个步骤完成：第一步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法； 第二步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法， 根据分步乘法计数原理知，不同挂法的种数是，故D错误. 故选：ABC. 11. 在平面直角坐标系中，已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，，则（ ） A. B. 直线过点 C. 面积最小值是 D. 与面积之和的最小值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】设：，联立方程后得关于的一元二次方程，由韦达定理写出，，再由，即可得，再结合，求解出，从而判断AB，再根据三角形面积公式表示出与的面积，由基本不等式可判断CD. 【详解】设：，，消可得. ，得，，∴，则或 ∵，∴，∴，，故A错； ：过，故B对； 设定点， ，当且仅当时，取等号，故C对； 又， 不妨设，又，，当且仅当时，取等号，故D对. 故选：BCD. 【点睛】解决直线与抛物线的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件； （2）强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】因为向量，且， 所以，得， 所以. 故答案为： 13. 三角形三边长为4，6，8，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线定义可得，，得， 所以双曲线的离心率. 故答案为：. 14. 甲､乙､丙､丁､戊､己共6人站成一排，若甲､乙两人相邻，而乙､丙两人不相邻，则不同的排法种数共有__________.（用数字作答） 【答案】192 【解析】 【分析】先计算甲乙相邻的总排列数，然后计算甲乙相邻且乙丙也相邻的排列数，两者相减即是结果. 【详解】先将甲、乙两人看成一个整体，则这个整体内部有种排列方式， 此时相当于有5个元素进行排列，所以甲乙相邻的总排列数为种. 若甲乙相邻且乙丙也相邻，则三人必须以（甲，乙，丙）或（丙，乙，甲）的顺序站在一起. 将这三个人视为一个整体，其内部有2种排法，再将此整体与其余3人进行全排列， 故甲乙相邻且乙丙也相邻的排法有种, 所以甲乙相邻，而乙丙不相邻的排法种数有. 故答案为：192. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15 记圆，直线． （1）若圆心T在l上，求a； （2）若圆T与l相切，求a； （3）若圆T与l相交，求a的取值范围． 【答案】（1）； （2）或； （3）. 【解析】 【分析】（1）先求出圆心，再应用点在直线上计算求解； （2）根据直线与圆相切得出圆心到直线距离等于半径计算求参； （3）根据直线与圆相交得出圆心到直线距离小于半径计算求参； 【小问1详解】 圆的圆心为， 因为圆心T在l上，所以，所以； 【小问2详解】 圆的圆心为，半径为， 又圆T与l相切，所以，所以或； 【小问3详解】 圆的圆心为，半径为， 又圆T与l相交，所以，所以； 16. 如图，直三棱柱中，，分别是，的中点，. （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】(1)利用空间向量法求异面直线所成角的余弦值即可； (2)利用空间向量法求点到面的距离即可. 【小问1详解】 由直三棱柱中，，可如图建立空间直角坐标系， 因为分别是，的中点，， 所以， 即， 所以有， 即异面直线与所成角的余弦值； 【小问2详解】 设平面的法向量为， 则令可得：， 所以， 即点到平面的距离为. 17. 已知点到点的距离比它到直线的距离小1． （1）求点的轨迹方程； （2）直线过点与点的轨迹相交于两点，若，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，转化为点到点的距离等于到直线的距离，结合抛物线的定义，即可求解； （2）设直线的方程为，联立方程组，得到，根据，得到，代入韦达定理，求得的值，即可求解. 【小问1详解】 解：由点到点的距离比它到直线的距离小1， 则点到点的距离等于它到直线的距离， 由抛物线定义知，点的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线， 可得，所以点的轨迹方程为. 【小问2详解】 解：直线过点，由已知直线的斜率不为， 故设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则，设，所以 因为，可得，所以， 则，解得， 所以直线的方程为或. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，点E是棱上靠近P端的三等分点. （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）是否存在棱上一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，请指出此时点的位置. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）存在，点是棱的中点 【解析】 【分析】（1）借助线面垂直性质定理与勾股定理可得、，再利用线面垂直判定定理即可得证； （2）法一：作出相应辅助线后借助线面平行性质定理证明即可得；法二：建立适当空间直角坐标系后，利用空间向量数量积公式计算即可得； （3）建立适当空间直角坐标系后，求出两平面法向量，再利用空间向量数量积公式计算即可得. 【小问1详解】 因为平面，平面， 所以 ，又因为， 有，所以， 又，、平面， 故平面； 【小问2详解】 方法一：连交于点，连， 由，则与相似， 则，则 ，故， 又平面， 平面， 故平面； 方法二：以点D为坐标原点，分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 有， 则，， 设平面的一个法向量为， 则有，即， 令，得，，则， 又，可得， 又因为平面，所以平面. 【小问3详解】 假设存在，设， 设，则，， 可得，，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得，，则， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得，，则， 设平面与平面的夹角为， 则， ， ，化简整理得， 解得或（负值舍去）， 故点是棱的中点. 19. 椭圆的左、右焦点分别为，离心率为；点 为椭圆 上的两个不同动点， 面积的最大值为 . （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线的斜率为，直线的斜率为 . （i）若 在 轴上方，且 ，求证: 直线过定点; （ii）点在运动过程中，是否存在某些位置使得 且 ? 若存在，求出此时点 的坐标; 若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）由离心率及 面积的最大值列出等式求得即可求解； （2）（i）设直线方程为：，联立椭圆方程，由韦达定理结合，求得即可求证；（ii）设，由，得到直线的方程为：，直线的方程为：，联立求得，结合点，点在椭圆上，列出等式求解即可. 【小问1详解】 由题意，即， 当点位于短轴端点时， 面积最大值，得： ，即， 又， 所以，即 解得：， 故椭圆的标准方程为 【小问2详解】 （i）设直线方程为：， 由得：， ， 因为，所以， 即 所以， 整理得：， 代入韦达定理， 化简得： 所以直线方程为：，恒过定点； （ii）设，显然， 则直线斜率为，直线的斜率为. 因为， 所以直线斜率为，直线的斜率为. 所以直线的方程为： 直线的方程为：， 两方程联立解得：，即， 因为点在椭圆上，所以， 即或， 又点在椭圆上，， 联立无解， 联立，解得：， 所以符合条件的点得坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上犹中学12月高二数学综合训练 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 椭圆的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，关于轴的对称点为点，若点关于平面的对称点为点，则（ ） A. B. C. D. 3. 某大学开设篮球、足球等5门球类选修课，要求每个学生都必须选择其中的一门课程.现有小明、小强、小豆3位同学进行选课，其中小明不选篮球和足球，则不同的选课方法共有（ ） A. 36种 B. 60种 C. 75种 D. 85种 4. 已知和圆相交，则这两个圆的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 5. 我们称各个数位上数字之和为6的三位数为“lucky”数，例如105和213，则所有的“lucky”数有（　　） A. 48个 B. 30个 C. 21个 D. 18个 6. 在长方体中，已知，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 点到直线：和：的距离之积为4，记的轨迹为曲线，则（ ） A. 是两条互相垂直的直线 B. 是焦点在轴上的双曲线 C. 是两条离心率均为的双曲线 D. 上的点与原点之间的距离不小于 8. 在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是侧面上的一个动点，满足平面，则线段长度的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记直线，，则（ ） A. 过定点 B. 的倾斜角为钝角 C. 若，则 D. 若，则 10. 现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，则下列说法正确的是（ ）. A. 从中任选1幅画布置房间，有14种不同的选法 B. 从这些国画、油画、水彩画中各选1幅布置房间，有70种不同的选法 C. 从这些画中选出2幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法 D. 从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有12种不同的挂法 11. 在平面直角坐标系中，已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，，则（ ） A. B. 直线过点 C. 的面积最小值是 D. 与面积之和的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12 已知向量，若，则___________ 13. 三角形三边长为4，6，8，则以边长为6两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为___________． 14. 甲､乙､丙､丁､戊､己共6人站成一排，若甲､乙两人相邻，而乙､丙两人不相邻，则不同排法种数共有__________.（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记圆，直线． （1）若圆心T在l上，求a； （2）若圆T与l相切，求a； （3）若圆T与l相交，求a的取值范围． 16. 如图，直三棱柱中，，分别是，的中点，. （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离. 17. 已知点到点的距离比它到直线的距离小1． （1）求点的轨迹方程； （2）直线过点与点的轨迹相交于两点，若，求直线的方程． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，点E是棱上靠近P端的三等分点. （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）是否存在棱上一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，请指出此时点的位置. 19. 椭圆左、右焦点分别为，离心率为；点 为椭圆 上的两个不同动点， 面积的最大值为 . （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线的斜率为，直线的斜率为 . （i）若 在 轴上方，且 ，求证: 直线过定点; （ii）点在运动过程中，是否存在某些位置使得 且 ? 若存在，求出此时点 的坐标; 若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $