精品解析：四川省达州市第一中学校2025—2026学年九年级上学期12月月考数学试题

四川省达州市第一中学2025—2026学年九年级上学期12月月考数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 用6个同样的小正方体拼成一个立体图形，从上面和正面看到的图形都是 ，从右面看到的图形是 ，这个立体图形的形状是下面的图（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据观察选项从正面、右面、上面看到的形状即可判断． 【详解】解：从上面和正面看到的图形都是 ，从右面看到的图形是 ， 这个立体图形的形状是 ． 故选：D． 【点睛】本题是考查从不同方向观察物体和几何图形，关键是培养学生的观察能力． 2. 如图，有张分别印有版《哪吒之魔童闹海》图案的卡片：哪吒、敖丙、太乙真人、无量仙翁．现将这张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出张卡片，记录后不放回，再从中任意取出张卡片，两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，画树状图展示所有种等可能的结果，其中抽取的两次结果为哪吒和申公豹的结果数为，然后根据概率公式求解即可，熟练掌握概率公式为解题的关键． 【详解】解：画出树状图， 共有种等可能的结果，其中两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的结果数为， ∴两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的概率为， 故选：． 3. 若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（ ） A. 2023 B. 2026 C. 2027 D. 2028 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义． 利用一元二次方程根的定义，得到的值，然后整体代入代数式求值． 【详解】解：∵m是方程的实数根， ∴， 即， ∴． 故选：C． 4. 如图，在平行四边形中，为上一点，连接，，且，相交于点，则(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，得到，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】四边形是平行四边形， ，， ∴， ∴， ， ∵ ∴， 故选：D． 5. 如图，滑雪场有一坡角 的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ）米． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据正弦的定义进行解答即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 故选：D． 6. 若关于的函数是二次函数，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，最高次项必须为且系数不为零，由此列方程求解． 【详解】解：∵函数y是二次函数， ∴最高次项为，且系数不为0， 即为项， ∴，解得：， 又∵二次项系数，即， ∴． 故选：A． 7. 如图，矩形纸片的长，宽，，分别为，两边的中点，若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 利用相似多边形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，分别为，两边的中点， ， 两个矩形与原矩形相似， ， ， ， ， ， 故选：A． 8. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书（周髀算经）中早有记载；如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内若直角三角形两直角边分别为6和8，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 20 B. 24 C. 28 D. 无法求出 【答案】B 【解析】 【分析】将图2阴影部分分割成正方形和长方形，根据直角三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：将图2阴影部分分割成正方形和长方形，如图， 根据勾股定理得：斜边长=10， ∴阴影部分面积为（10﹣8）×10+（10﹣8）×（8﹣6）=24， 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理、正方形的面积公式、长方形的面积公式，会利用割补法解决问题是解答的关键． 9. 如图，在平面直角坐标系中，交y轴于点A，，，，反比例函数恰好经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数，熟练掌握反比例函数的图象与性质及三角函数是解题的关键；过点C作轴于点D，然后根据特殊三角函数值可进行求解． 【详解】解：过点C作轴于点D，如图所示： ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 10. 如图，中，点的坐标为，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，，是边上的中线，若，则点的坐标是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，过作于，由锐角的余弦求出的长，由勾股定理求出，由平行线分线段成比例定理推出，推出是的中位线，得，由锐角的正切求出，得到，即可得到点的坐标． 【详解】解：如图，过作于， ∴， ∵点的坐标为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，是边上的中线， ∴，点是的中点即， ∴， ∴，即点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点的坐标是． 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，坐标与图形的性质，解题的关键是由三角形中位线定理求出的长，由锐角的正切求出的长，得到的长． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 在中，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值非负性，特殊角的三角函数，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握特殊角的三角函数是解题的关键． 由绝对值的非负性及完全平方式的非负性可得，，进而可得，，由特殊角的三角函数可得，，由三角形的内角和定理可得，由此即可求出的度数． 【详解】解：， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 12. 如果点、点都在函数的图像上，且，那么的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象和性质，根据题意可得在每个象限内随增大而增大，据此可得，则． 【详解】解：∵点、点都在函数的图象上，且， ∴在每个象限内随增大而增大， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，线段两个端点的坐标分别为，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段扩大为原来的2倍后得到线段，则端点D的坐标为______________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换，正确把握位似比与对应点坐标的关系是解题的关键． 利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出D点坐标． 【详解】解：∵以原点为位似中心，在第一象限内将线段放大到原来的2倍后得到线段， ∴点与点是对应点， ∵点的坐标为，位似比为：， ∴点的坐标为：， 故答案为：． 14. 如图，是正方形的对角线，E，F，O，G分别是，，，的中点．若，则的长为_____ ． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握这些知识并建立坐标系求解是解题的关键． 通过设正方形边长为a，利用正方形性质、中点坐标公式确定各点坐标，再根据两点间距离公式结合求解a的值． 【详解】解：设，以A为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图． 则，，，． ∵是正方形的对角线，E，F，O，G分别是，，，的中点， ∴， ∴， ∵O是中点，，，G是中点， ∴，， 根据两点间距离公式，，即， 解得，即的长为． 答：8． 15. 如图，在中，，平分交于点，交于点，为的中点，交的延长线于点，，．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的有__________（填序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据，，，可判断①；分别表示，，再根据与不一定相等，故与不一定相等， 得与不一定相等，进行判断②；运用两组对应角相等的三角形是相似三角形，证明，可判断③；连接，可证，得易证，得比例线段求解，即可判断④． 【详解】解：①∵， ∴，， 平分， ， ．故①正确； ②，， ∴， ∴ ∵平分交于点， ∴ 则， ∵ ∴ ∵ ∴， ∵与不一定相等， ∴与不一定相等， 故与不一定相等， 故②不正确； ③由①知， ∴， ， 又， ， 故③正确； ④如图，连接， 在，为斜边的中线， 则． ， ， 由得； 由得， 有， ．故④正确． 综上所述，①③④符合题意， 故答案为： ①③④． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，角平分线定义，直角三角形的两个锐角互余，平行线的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握和利用相似三角形的判定和性质定理是解题关键． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（）；（），． 【解析】 【分析】（）分别根据算术平方根，特殊角的三角函数值，化简绝对值，负整数指数幂的运算法则计算出各数，最后合并即可， （）利用公式法求解即可； 本题考查了实数的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握运算法则和解方程步骤是解题的关键． 【详解】解：（）原式 ； （）， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 17. 如图，是菱形的一条对角线，点在射线上． （1）请用尺规把这个菱形补充完整．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 如图所示菱形即为所求： （2） 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点，连接，以为圆心，为半径作弧，交的垂直平分线于点，连接、，根据线段垂直平分线的性质可知，则四边形是菱形； （2）根据菱形的性质及解直角三角形求出，再根据菱形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴ ∴， ∴， 即菱形的面积为． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定和性质，垂直平分线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握基本作图、解直角三角形． 18. 如图，中，点E是的中点，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：； （2）点G是线段上一点，满足，交于点H，若，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 是的中点， ， ， ， ∴， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，证明，推出，即可解答； （2）通过平行四边形的性质证明，再通过（1）中的结论得到，最后证明，利用对应线段比相等，列方程即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 设,则， 可得方程， 解得， 即的长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用上述性质证明三角形相似是解题的关键． 19. 为了弘扬优秀传统文化，某校拟增设四类兴趣班：A川剧班、B皮影班、C剪纸班、D木偶班．学校的调研小组在全校随机抽取了部分学生进行问卷调查，调查问题是“你最希望增设的兴趣班”（四类中必选并只选一类），调研小组根据调查结果绘制出如下不完整的统计图． （1）求问卷调查的总人数，并补全条形图． （2）若该校共有800名学生，估计最希望增设“木偶班”的学生人数． （3）本次调研小组共有5人，其中男生3人，女生2人，现从5人中随机抽取2人向学校汇报调查结果，求恰好抽中一男一女的概率． 【答案】（1）100人， 补全统计图： （2）240人 （3） 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，用样本估计总体，树状图或列表法求解概率，正确理解题意，读懂统计图是解题的关键． （1）由A川剧班得人数除以占比，即可求解问卷调查的总人数，然后由总人数减去的人数求出木偶班人数，即可补全条形统计图； （2）用样本估计整体的方法即可求解； （3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：问卷调查的总人数为：（人）， ∴木偶班人数为：（人）； 【小问2详解】 解：最希望增设“木偶班”的学生人数：（人）， 答：最希望增设“木偶班”的学生有240人； 【小问3详解】 解：画树状图为： 由树状图可知一共有20种等可能性的结果数，恰好抽中一男一女的结果数有12种， ∴恰好抽中一男一女的概率是． 20. 如图，一次函数与反比例函数图象交于点，． （1）求一次函数与反比例函数的解析式． （2）点在反比例函数第二象限的图象上，横坐标为，过点作轴的垂线，交于点，，求的值． 【答案】（1），； （2）或 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式，解一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式即可； （）由题意可得，，因为，所以， 然后解方程并检验即可． 【小问1详解】 解：设反比例函数解析式为， ∵经过点， ∴． ∴反比例函数为， ∵在图象上，， ∴， 设一次函数解析式为， ∴，解得， ∴一次函数为； 【小问2详解】 解：∵轴， ∴，， ∵， ∴， 解得：或或或 ∵点在第二象限， ∴或． 21. 如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）． （1）求平台的高度； （2）求建筑物的高度（即的长）． 【答案】（1）10米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定及性质． （1）过点B作于点E，则，根据斜坡的坡度，得到，从而在中，根据勾股定理构造方程，求解即可； （2）延长交于点F，得到四边形是矩形，因此米，，设米，则（米），通过解直角三角形在中，求得（米），在中，求得∴（米），进而根据列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：过点B作于点E，则 ∵斜坡的坡度， ∴， ∵在中，， 即， ∴米， ∴平台的高度是10米． 【小问2详解】 解：延长交于点F， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，， 设米，则（米）， ∵在中，， ∴（米）， ∵在中，， ∴（米）， ∴米， 由（1）有（米）， ∵， ∴， 解得， ∴（米）， 即建筑物的高度（即的长）为米． 22. 已知是关于的一元二次方程的两实数根． （1）求的取值范围； （2）已知等腰的底边，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． （3）阅读材料：若三边的长分别为，那么可以根据海伦-秦九韶公式可得： ，其中，在（2）的条件下，若和的角平分线交于点，根据以上信息，求的面积． 【答案】（1）且 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，计算一元二次方程根的判别式大于或等于0，根据一元二次方程的定义得出，即可求解； （2）根据恰好是等腰的腰长，令，解一元二次方程求得，进而即可求解； （3）由(2)知：的三边长为，代入公式求得面积，进而根据角平分线的性质求得，再根据三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：，且， 化简得：， 解得：且； 【小问2详解】 由题意知：恰好是等腰的腰长， ∴， ∵是关于的一元二次方程的两实数根， ∴， 解得， ∴， 解得， ∵， ∴的周长为：； 【小问3详解】 由(2)知：的三边长为， ∴5， ∴， 过分别作，，，垂足分别为， ∵是△ABC角平分线的交点， ∴， ∴ ， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，等腰三角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 23. 2025年世运会将在成都召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红，据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是万件． （1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价2元，每天可多售出4件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率是 （2）售价应降低20元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设月平均增长率是x，结合数量关系列式求解即可； （2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，由数量关系列式求解即可． 【小问1详解】 解：设月平均增长率是x， 根据题意得：， 解：，（不合题意，舍去）， 答：月平均增长率是； 【小问2详解】 解：设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，每天的销售量为（件）， 当时，每天的销售量为（件）， ∵， ∴售价应降低20元， 答：售价应降低20元． 24. 【阅读理解】 在不等式领域中有一个重要结论叫“均值不等式”，表述如下：对于任意的正数a，b，都有，当且仅当“”时，等号成立，这个结论是解决最值问题的有力工具．例如：若时，则有，即，当且仅当“”，即时，等号成立，从而有最小值为2． 【类比求值】 （1）填空：若，则的最小值为______，此时______； 【拓展应用】 （2）若，求代数式的最小值； 【问题解决】 （3）现有一个面积为1.5的锐角三角形，按照如图所示的方式裁剪正方形，正方形面积S的最大值是多少？某学习小组对该问题做了如下探索：设，，边上的高，最终推导出． ①请你补充该小组的推导过程； ②该小组发现要使得内接正方形面积S最大，也就是求x的最大值，只需使分母最小即可．由为定值，即，可得．请结合以上信息，求底边长a为多少时，内接正方形面积S最大，最大值为多少？ 【答案】（1）6，3；（2）最小值是； （3）①∵正方形， ∴，， 设，，边上的高，则， ∵锐角三角形的面积为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当底边长为时，内接正方形面积最大，最大值为 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值、二次根式的应用，熟练掌握运算法则，理解题干所给例子是解此题的关键． （1）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； （2）由题意可得可得代数式的最小值为取最小值，再计算即可得解； （3）①仿照题干所给例子，结合相似三角形的判定与性质进行计算即可得解；②由，则，再仿照题干所给例子，计算即可得解． 【详解】解：（1）∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴x为正数，则的最小值为， 此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； （2）∵，要使最小， ∴最小即可． ∵时， ∴， ∴的最小值是，即的最小值是． （3）①略 ②∵，则， ∵， ∴当时，有最小值为，此时， ∴当时，有最小值为， ∴有最大值， ∴有最大值为，即当底边长为时，内接正方形面积最大，最大值为． 25. 如图，已知矩形 ，以点 O 为坐标原点建立平面直角坐标系，其中 ，点 P 以每秒 1 个单位的速度从点 C 出发在射线上运动，连接  ，作 交 x 轴于点 E ，连接 交 于点 F ，设运动时间为 t 秒． （1）若平分 时，求 t 的值； （2）当时，求点 E 的坐标； （3）在运动的过程中，是否存在以 P、O、E 为顶点的三角形与 相似．若存在，请求 t 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2 （2）点E的坐标为 （3）t的值为或 【解析】 【分析】（1）证是等腰直角三角形，得，即可得出结论； （2）证，则，得，即可得出点E的坐标． （3）本题需先证出，求出，再分两种情况讨论，求出t的值即可． 【小问1详解】 解：当平分时，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴点E的坐标为； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 当点P在点O上方时，如图， 若时，， ∵，， ∴， 解得：，（运动时间不能为负数，不合题意舍去）， ∴； 当点P在点O下方时，如图， ①若，则， ∴， 解得：，（不合题意舍去）， ∴， ∴， ∴； ②若，则， ∴， 整理得：， ∴这种情况不成立； 综上所述，在运动的过程中，存在以P、O、E为顶点的三角形与相似，t的值为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及分类讨论等知识，熟练掌握矩形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形相似是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市第一中学2025—2026学年九年级上学期12月月考数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 用6个同样的小正方体拼成一个立体图形，从上面和正面看到的图形都是 ，从右面看到的图形是 ，这个立体图形的形状是下面的图（ ） A. B. C. D. 2. 如图，有张分别印有版《哪吒之魔童闹海》图案的卡片：哪吒、敖丙、太乙真人、无量仙翁．现将这张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出张卡片，记录后不放回，再从中任意取出张卡片，两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（ ） A. 2023 B. 2026 C. 2027 D. 2028 4. 如图，在平行四边形中，为上一点，连接，，且，相交于点，则(　　) A. B. C. D. 5. 如图，滑雪场有一坡角 的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ）米． A. B. C. D. 6. 若关于的函数是二次函数，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 无法确定 7. 如图，矩形纸片的长，宽，，分别为，两边的中点，若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书（周髀算经）中早有记载；如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内若直角三角形两直角边分别为6和8，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 20 B. 24 C. 28 D. 无法求出 9. 如图，在平面直角坐标系中，交y轴于点A，，，，反比例函数恰好经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，点的坐标为，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，，是边上的中线，若，则点的坐标是（    ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 在中，若，则_______． 12. 如果点、点都在函数的图像上，且，那么的取值范围是______． 13. 如图，线段两个端点的坐标分别为，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段扩大为原来的2倍后得到线段，则端点D的坐标为______________ 14. 如图，是正方形的对角线，E，F，O，G分别是，，，的中点．若，则的长为_____ ． 15. 如图，在中，，平分交于点，交于点，为的中点，交的延长线于点，，．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的有__________（填序号）． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 如图，是菱形的一条对角线，点在射线上． （1）请用尺规把这个菱形补充完整．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若，，求菱形的面积． 18. 如图，中，点E是的中点，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：； （2）点G是线段上一点，满足，交于点H，若，求的长． 19. 为了弘扬优秀传统文化，某校拟增设四类兴趣班：A川剧班、B皮影班、C剪纸班、D木偶班．学校的调研小组在全校随机抽取了部分学生进行问卷调查，调查问题是“你最希望增设的兴趣班”（四类中必选并只选一类），调研小组根据调查结果绘制出如下不完整的统计图． （1）求问卷调查的总人数，并补全条形图． （2）若该校共有800名学生，估计最希望增设“木偶班”的学生人数． （3）本次调研小组共有5人，其中男生3人，女生2人，现从5人中随机抽取2人向学校汇报调查结果，求恰好抽中一男一女的概率． 20. 如图，一次函数与反比例函数图象交于点，． （1）求一次函数与反比例函数的解析式． （2）点在反比例函数第二象限的图象上，横坐标为，过点作轴的垂线，交于点，，求的值． 21. 如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）． （1）求平台的高度； （2）求建筑物的高度（即的长）． 22. 已知是关于的一元二次方程的两实数根． （1）求的取值范围； （2）已知等腰的底边，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． （3）阅读材料：若三边的长分别为，那么可以根据海伦-秦九韶公式可得： ，其中，在（2）的条件下，若和的角平分线交于点，根据以上信息，求的面积． 23. 2025年世运会将在成都召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红，据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是万件． （1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价2元，每天可多售出4件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 24. 【阅读理解】 在不等式领域中有一个重要结论叫“均值不等式”，表述如下：对于任意的正数a，b，都有，当且仅当“”时，等号成立，这个结论是解决最值问题的有力工具．例如：若时，则有，即，当且仅当“”，即时，等号成立，从而有最小值为2． 【类比求值】 （1）填空：若，则的最小值为______，此时______； 【拓展应用】 （2）若，求代数式的最小值； 【问题解决】 （3）现有一个面积为1.5的锐角三角形，按照如图所示的方式裁剪正方形，正方形面积S的最大值是多少？某学习小组对该问题做了如下探索：设，，边上的高，最终推导出． ①请你补充该小组的推导过程； ②该小组发现要使得内接正方形面积S最大，也就是求x的最大值，只需使分母最小即可．由为定值，即，可得．请结合以上信息，求底边长a为多少时，内接正方形面积S最大，最大值为多少？ 25. 如图，已知矩形 ，以点 O 为坐标原点建立平面直角坐标系，其中 ，点 P 以每秒 1 个单位的速度从点 C 出发在射线上运动，连接  ，作 交 x 轴于点 E ，连接 交 于点 F ，设运动时间为 t 秒． （1）若平分 时，求 t 的值； （2）当时，求点 E 的坐标； （3）在运动的过程中，是否存在以 P、O、E 为顶点的三角形与 相似．若存在，请求 t 的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $