精品解析：江西省九江市浔阳区同文中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

九年级数学测试 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. x+2y＝1 B. x2﹣2＝0 C. x＝2x3+3 D. 3x+＝1 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数的最高次幂为2次的整式方程即可求解． 【详解】解：选项A：x+2y＝1为二元一次方程，故选项A错误； 选项B：x2﹣2＝0为一元二次方程，符合题意； 选项C：未知数的最高次幂为3次，故选项不是一元二次方程，选项C错误； 选项D：3x+＝1不是整式方程，故选项D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，属于基础题，熟练掌握一元二次方程的概念是解题的关键． 2. 一元二次方程配方后化为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法成为解题的关键． 先将方程变形成，然后两边再加上9，最后根据完全平方公式即可解答． 【详解】解：， ， ， ． 故选A． 3. 有一首《对子歌》中写道“天对地，雨对风，大陆对长空”，现有四张书签，除正面写上“天”“地”“雨”“风”四个字外其他均无区别．从这四张书签中随机抽取两张，则抽到的书签正好配成“对子”的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，在根据概率公式求解可得． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能结果，其中抽到的书签正好配成“对子”的有4种结果， 所以抽到的书签正好配成“对子”的概率为， 故选B． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 4. 如图，在矩形中，，延长到点，连结交于点，点为的中点，连结，以点为圆心，长为半径的圆弧经过点．连结，若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据矩形的性质得出，，，由为的中点可知，进一步得出，利用勾股定理即可求得答案． 【详解】解：四边形是矩形 ，， 为的中点， 点为圆心，长为半径的圆弧经过点 在中， 故选：C． 5. 新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有625个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为（　　　） A. 20 B. 22 C. 24 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】先求出每轮传染的人数，再根据“经过两轮传染后共有625个人患了新冠”建立方程，解方程即可得． 【详解】由题意，第一轮会有人被传染， 第二轮会有人被传染， 则， 解得或（不符题意，舍去）， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意，正确建立方程是解题关键． 6. 如图所示，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线l滑动，下列说法错误的是（　　） A. 四边形ACDF是平行四边形 B. 当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形 C. 当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形 D. 四边形ACDF不可能是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：∵∠ACB=∠EFD=30°， ∴AC∥DF， ∵AC=DF， ∴四边形AFDC是平行四边形， 选项A正确； 当E是BC中点时,无法证明∠ACD=90°， 选项B错误； B、E重合时，易证FA=FD， ∵四边形AFDC是平行四边形， ∴四边形AFDC是菱形， 选项C正确； 当四边相等时,∠AFD=60°,∠FAC=120°， ∴四边形AFDC不可能是正方形， 选项D正确. 故选:B. 【点睛】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定.熟练应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法进行证明是解题的关键. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是______． 【答案】3 【解析】 【详解】试题分析：设方程的另一个解是a，则1×a=3， 解得：a=3． 故答案是：3． 考点：根与系数的关系． 8. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则方程的判别式，据此列方程，解方程可得答案． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴方程的判别式：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，掌握“一元二次方程有两个相等的实数根，则”是解题的关键． 9. 在一个不透明袋子里装有红球、黄球共16个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的个数大约是_________个． 【答案】12 【解析】 【分析】根据“摸出红球的频率稳定在左右”得出红球个数，即可求出黄球个数． 【详解】解：∵一共有16个球，摸出红球的频率稳定在左右， ∴红球个数约为（个）， ∴黄球的个数大约（个）， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，解题的关键是掌握经过大量重复试验后，事件发生的频率稳定在一个常数左右，这个常数等于该事件发生的概率． 10. 某种药原来每瓶售价为40元，经过两次降价，现在每瓶售价为25.6元，若设平均每次降低的百分率为，根据题意列出方程为______________________． 【答案】 【解析】 【分析】设平均每次降低的百分率为x，根据某种药原来每瓶为40元，经过两次降价，现在每瓶售价25.6元列出方程，解方程即可． 【详解】设平均每次降低的百分率为x，根据题意得：40（1﹣x）2=25.6． 故答案为40（1﹣x）2=25.6． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 11. 如图，在菱形中，，E是边的中点，P，M分别是上的动点，连接，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，垂线段最短的计算方法，根据题意，设交于点，点关于的对称点在上，连接，，可得，当点三点共线，且时，的值最小，即最小值为的值，由菱形的面积可得的值，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，设交于点， ∴，，， ∴点关于的对称点在上，连接，， ∴， ∴当的值最小时，的值最小， ∴根据垂线段最短可得，当时，的值最小，即是菱形的高， ∴当点三点共线，且时，的值最小，即最小值为的值， 在中，， ∴， ∴， ∴的值最小为， 故答案为： ． 12. 在正方形中，=6，连接，，是正方形边上或对角线上一点，若=2，则的长为____________ . 【答案】2或或 【解析】 【分析】根据题意分情况画出符合题意的图形，然后针对每一个图形利用勾股定理进行求解即可得到答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB=6，∠BAD=90°，∠DAC=45°， ∴AC=BD=6； 如图1，当点P在AD上时， ∵AP+PD=AD=6，PD=2AP， ∴AP=2； 如图2，当点P在AB上时， ∵∠PAD=90°， ∴AP2+AD2=DP2， ∵AD=6，PD=2AP， ∴AP2+36=4AP2， ∴AP=； 如图3，当点P在AC上时，作PN⊥AD于点N， 设AN=x，则有DN=6-x，PN=x， 由勾股定理得AP=x，PD=， ∵PD=2AP， ∴=2x， ∴x=或x=（不符合题意，舍去）， ∴AP=x=， 当点P在其余边或对角线上时，不存在可以使PD=2AP的点， 综上，AP的长为2，，， 故答案为2或或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用等，难度较大，解题的关键是正确画出符合题意的图形． 三、解答题（本大题共6小题，其中13．14．15题每小题4分，其他每小题6分，共30分） 13. 解方程：3x2-5x+2=0 【答案】x1=1，x2= 【解析】 【分析】利用因式分解法即可解答． 【详解】解：3x2-5x+2=0 ∴， ∴或 解得：x1=1，x2= 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是灵活选择方法解方程． 14. 解方程：． 【答案】x1=2，x2=5 【解析】 【分析】首先移项，把等号右边的式子变成0，然后把等号左边的式子分解因式，根据几个因式的乘积是0，则至少有一个是0，即可转化成一元一次方程，从而求解． 【详解】解：移项得：（x-2）2-3（x-2）=0， 即：（x-2）（x-2-3）=0， 则（x-2）（x-5）=0， 则x-2=0或x-5=0， 则方程的解是：x1=2，x2=5． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，利用因式分解法解方程的依据是：几个因式的乘积是0，则至少有一个是0，解题的关键是正确分解因式． 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查公式法解一元二次方程，先运用乘法公式去括号，再整理为一般式，确定的值，及判别式，最后运用求根公式计算即可． 【详解】解：， 去括号得，， 整理为一元二次方程一般式得，， ， ∴， ∴． 16. 在4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品． （1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，不放回，再随机抽取1件进行检测．请用列表法或画树状图的方法，求两次抽到的都是合格品的概率．（解答时可用A表示1件不合格品，用B、C．D分别表示3件合格品） （2）在这4件产品中加入若干件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出大约加入多少件合格品？ 【答案】（1）；（2） 16 【解析】 【分析】（1）利用树状图表示出所有可能出现的情况，找出抽到的都是合格品的情况，结合概率公式求解即可； （2）设加入x件合格品，根据频率估计出抽到合格品的概率，再利用概率公式列出关于x的方程，解方程求得x的值. 【详解】（1）画出树状图. 由树状图可知，共有12种等可能的情况，抽到的都是合格品的情况有6种， 由此可得P(抽到的都是合格品)==. （2）设加入x件合格品， ∵大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95， ∴抽到合格品的概率等于0.95， 根据题意得=0.95，解得x=16. 经检验，x=16是原分式方程的根. 答：大约加入16件合格品. 【点睛】本题考查了概率的求法及用频率估计概率等知识，解题的关键是掌握画树状图或列表法求概率的方法. 17. 如图，已知菱形．请按要求在图中仅用无刻度的直尺画图． （1）在图1中，点E是的中点，画出线段的中点M； （2）在图2中，，垂足为E，过点C画出边上的高． 【答案】（1） 点M即为所求： ． （2） 即为所求： ． 【解析】 【分析】（1）如图，连接，则，的交点为三条中线的交点，连接并延长交于即可； （2）如图，连接交于，连接并延长交于，连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是三角形的中线的性质，菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，矩形的判定与性质，熟练的利用基本几何图形的性质进行作图是解本题的关键． 18. 某商店以30元/千克的单价新进一批茶叶，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示． （1）根据图象求y与x的函数关系式； （2）商店想在销售成本不超过2500元的情况下，使销售利润达到4000元，销售单价应定为多少？ 【答案】（1） （2）销售单价应定为80元/千克 【解析】 【分析】（1）设函数解析式为，将（40，160），（120，0）代入求出k、b的值，即可得出答案； （2） 【小问1详解】 解：设，根据题意可得， 解得：， ∴y与x的函数关系式为． 【小问2详解】 解：设销售单价定为x元/千克时，销售利润达到4000元，根据题意可列方程得： ， 解得，， 当x=70时，y=100，成本为100×30=3000＞2500， 当x=80时，y=80，成本为80×30=2400＜2500， ∴销售单价应定为80元/千克． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤，销售利润=单个的利润×销售量列出方程，是解题的关键． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 19. 阅读下面的例题后，解决下面的问题： 【例】解方程：x²-|x|-2=0． 【解】当x≥0时，原方程化为：x²-x-2=0．解得：x₁=2，x₂=-1（不合题意，舍去）； 当x<0时，原方程化为：x²+x-2=0．解得：x₁=-2，x₂=1（不合题意，舍去）； 所以原方程的解是：x₁=2，x₂=-2． （1）已知方程x²-2|x|-15=0，则此方程的所有实数根的和为（ ） A．0 B．-2 C．2 D．8 （2）解方程x²-|x-3|-3=0． 【答案】（1）A （2）， 【解析】 【分析】（1）根据例题，当时和当时分别求解方程，并把实数根相加即可求解． （2）根据例题，当时和当时分别求解方程并取其符合题意的解即可求解． 【小问1详解】 解：当时，原方程化为：， 解得：，（不合题意，舍去）， 当时，原方程化为：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴原方程的解是：，， ∴此方程的所有实数根的和为：， 故选：A． 【小问2详解】 当时，即时，原方程化为：， 解得：（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）， 当时，即时，原方程化为：， 解得：，， ∴原方程的解为：，． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程及去绝对值，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 20. 为了积极响应中共中央文明办关于“文明用餐”的倡议，曲靖市某校开展了“你的家庭使用公筷了吗？”的调查活动，并随机抽取了部分学生，对他们家庭用餐使用公筷情况进行统计，统计分类为以下四种：A（完全使用）、B（多数时间使用）、C（偶尔使用）、D（完全不使用），将数据进行整理后，绘制了两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽取的学生总人数共有______． （2）补全条形统计图； （3）为了了解少数学生完全不使用公筷的原因，学校决定从D组的学生中随机抽取两位进行回访，若D组中有2名男生，其余均为女生，请用列表法或画树状图的方法，求抽取的两位学生恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）50人 （2） 条形统计图补全如下： （3） 【解析】 【分析】（1）由B的人数除以所占百分比即可； （2）求出D的人数，补全条形统计图即可； （3）列表可知，总共有12种情况，其中抽取的两位学生恰好是一男一女的情况总共有8种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：本次抽取的学生总人数共有：人， 故答案为：50人； 【小问2详解】 根据（1）的结论，得D类学生数量为：人 【小问3详解】 列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2 女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2 女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1 ∴总共有12种情况，其中抽取的两位学生恰好是一男一女的情况总共有8种 ∴P（抽取的两位学生恰好是一男一女）． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 21. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据方程有实数根的条件，即求解即可； （2）由韦达定理把和分别用含m的式子表示出来，然后根据完全平方公式将变形为，再代入计算即可解出答案． 【详解】（1）由题意可得： 解得： 即实数m的取值范围是． （2）由可得： ∵； ∴ 解得：或 ∵ ∴ 即的值为-2． 【点睛】本题主要考查的是根的判别式、根与系数的关系，要牢记：（1）当时，方程有实数根；（2）掌握根与系数的关系，即韦达定理；（3）熟记完全平方公式等是解题的关键． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 22. 如图，在菱形中，，，过点作的垂线，交的延长线于点．点从点出发沿方向以向点匀速运动，同时，点从点出发沿方向以向点匀速运动．设点，的运动时间为（单位：），且，过作于点，连结． （1）求证：四边形是矩形． （2）连结，，点，在运动过程中，与是否能够全等？若能，求出此时的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1） 证明：根据题意得：， 在菱形ABCD中，AB=BC，AC⊥BD，OB=OD， ∵∠ABC=60°，， ∴，∠CBO=30°， 又∵∠BGF=90°， ∴， ∴FG=EH， ∵，DH⊥BH， ∴FG∥EH， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵∠H=90°， ∴四边形是矩形． （2）与能够全等，此时 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，再根据菱形的性质和直角三角形的性质可得，从而得到FG=EH，再由FG∥EH，可得四边形EFGH是平行四边形，即可求证； （2）根据菱形的性质和直角三角形的性质可得∠CBF=∠CDE，，然后分两种情况讨论，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：能， ∵AB∥CD，∠ABC=60°， ∴∠DCH=60°， ∵∠H=90°， ∴∠CDE=30°， ∴∠CBF=∠CDE，， ∴， ∵BC=DC， ∴当∠BFC=∠CED或∠BFC=∠DCE时，与能够全等， 当∠BFC=∠CED时，，此时BF=DE， ∴，解得：t=1； 当∠BFC=∠DCE时，BC与DE是对应边， 而， ∴BC≠DE，则此时不成立； 综上所述，与能够全等，此时． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，直角三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 23. 配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，10是“完美数”，理由：因为，所以10是“完美数”． 解决问题： （1）下列各数中，“完美数”有______（填序号）； ①29 ②48 ③13 ④28 （2）若可配方成（m，n为常数），则mn的值______； （3）已知（a，b是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 拓展应用： （4）已知实数a，b满足，求的最小值． 【答案】（1）①③ （2） （3） （答案不唯一，合理即可） 当时，S是完美数； 理由如下： = ∵a，b是整数， ∴和也是整数， ∴当时，S是完美数； （4）的最小值为－1 【解析】 【分析】（1）根据“完美数”的定义依次进行判断即可； （2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值，进而得出结果； （3）利用完全平方式把原式变形，根据“完美数”的定义，即可证明结论； （4）利用配方法和非负数的性质，即可求得a＋b的最小值． 【小问1详解】 解：∵29＝25＋4＝52＋22，13＝9＋4＝32＋22，48和28不能表示成两个数的平方和， ∴“完美数”有29和13， 故答案为：①③； 【小问2详解】 解：∵a2−6a＋18＝（a−3）2＋9＝（a−m）2＋n2， ∴m＝3，n2＝9， ∴n＝±3， ∴mn＝±9． 故答案为：±9； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解∶ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为－1． 【点睛】本题考查了配方法的应用，理解 “完美数”的定义并能够灵活配方是解决问题的关键． 六、解答题（本大题共1小题，共12分） 24. 通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，试猜想、、之间的数量关系． （1）把绕点逆时针旋转至，可使与重合，由，得，，即点F、D、G共线，易证≌__________，故、、之间的数量关系为__________． （2）如图2，点E、F分别在正方形的边、的延长线上，．连接，试猜想、、之间的数量关系为__________，并给出证明． （3）如图3，在中，，，点D、E均在边上，且．若，，直接写出的值和的长． 【答案】（1）， （2） ，证明如下： 如下图，把绕点逆时针旋转，与重合， ，， ，， ， ； ； 在和中， ， ∴； ∴； ∵； 即． （3）， 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得，利用判定定理可直接证明，再依据对应线段相等可求． （2）把绕点逆时针旋转，使与重合，证全等即可到结论． （3）把绕点逆时针旋转，使与重合，点B对应点为点F，连接和即可求解． 【小问1详解】 解：，，理由如下： 四边形是正方形， ∴，， 由旋转的性质可知，， ， ，，， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图1.解：∵，， ∴， 把绕点逆时针旋转，与重合，点的对应点为点； ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴在中， ， ； ； ； 在和中， ， ∴， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得： ， ∴， ∵是等腰直角三角形； ∴， ， 同理把绕点顺时针旋转，点的对应点为点，连接，； ； ，； ； 在直角中，； ∴ ∴， 由旋转的性质可知，； 是等腰直角三角形； ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形中的半角模型，旋转的性质，全等三角形的判定，掌握类比迁移，旋转后三角形全等的证明是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学测试 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. x+2y＝1 B. x2﹣2＝0 C. x＝2x3+3 D. 3x+＝1 2. 一元二次方程配方后化为（ ） A. B. C. D. 3. 有一首《对子歌》中写道“天对地，雨对风，大陆对长空”，现有四张书签，除正面写上“天”“地”“雨”“风”四个字外其他均无区别．从这四张书签中随机抽取两张，则抽到的书签正好配成“对子”的概率是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在矩形中，，延长到点，连结交于点，点为的中点，连结，以点为圆心，长为半径的圆弧经过点．连结，若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 5. 新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有625个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为（　　　） A. 20 B. 22 C. 24 D. 25 6. 如图所示，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线l滑动，下列说法错误的是（　　） A. 四边形ACDF是平行四边形 B. 当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形 C. 当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形 D. 四边形ACDF不可能是正方形 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是______． 8. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为___________． 9. 在一个不透明袋子里装有红球、黄球共16个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的个数大约是_________个． 10. 某种药原来每瓶售价为40元，经过两次降价，现在每瓶售价为25.6元，若设平均每次降低的百分率为，根据题意列出方程为______________________． 11. 如图，在菱形中，，E是边的中点，P，M分别是上的动点，连接，则的最小值是________． 12. 在正方形中，=6，连接，，是正方形边上或对角线上一点，若=2，则的长为____________ . 三、解答题（本大题共6小题，其中13．14．15题每小题4分，其他每小题6分，共30分） 13. 解方程：3x2-5x+2=0 14. 解方程：． 15. 解方程：． 16. 在4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品． （1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，不放回，再随机抽取1件进行检测．请用列表法或画树状图的方法，求两次抽到的都是合格品的概率．（解答时可用A表示1件不合格品，用B、C．D分别表示3件合格品） （2）在这4件产品中加入若干件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出大约加入多少件合格品？ 17. 如图，已知菱形．请按要求在图中仅用无刻度的直尺画图． （1）在图1中，点E是的中点，画出线段的中点M； （2）在图2中，，垂足为E，过点C画出边上的高． 18. 某商店以30元/千克的单价新进一批茶叶，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示． （1）根据图象求y与x的函数关系式； （2）商店想在销售成本不超过2500元的情况下，使销售利润达到4000元，销售单价应定为多少？ 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 19. 阅读下面的例题后，解决下面的问题： 【例】解方程：x²-|x|-2=0． 【解】当x≥0时，原方程化为：x²-x-2=0．解得：x₁=2，x₂=-1（不合题意，舍去）； 当x<0时，原方程化为：x²+x-2=0．解得：x₁=-2，x₂=1（不合题意，舍去）； 所以原方程的解是：x₁=2，x₂=-2． （1）已知方程x²-2|x|-15=0，则此方程的所有实数根的和为（ ） A．0 B．-2 C．2 D．8 （2）解方程x²-|x-3|-3=0． 20. 为了积极响应中共中央文明办关于“文明用餐”的倡议，曲靖市某校开展了“你的家庭使用公筷了吗？”的调查活动，并随机抽取了部分学生，对他们家庭用餐使用公筷情况进行统计，统计分类为以下四种：A（完全使用）、B（多数时间使用）、C（偶尔使用）、D（完全不使用），将数据进行整理后，绘制了两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽取的学生总人数共有______． （2）补全条形统计图； （3）为了了解少数学生完全不使用公筷的原因，学校决定从D组的学生中随机抽取两位进行回访，若D组中有2名男生，其余均为女生，请用列表法或画树状图的方法，求抽取的两位学生恰好是一男一女的概率． 21. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 22. 如图，在菱形中，，，过点作的垂线，交的延长线于点．点从点出发沿方向以向点匀速运动，同时，点从点出发沿方向以向点匀速运动．设点，的运动时间为（单位：），且，过作于点，连结． （1）求证：四边形是矩形． （2）连结，，点，在运动过程中，与是否能够全等？若能，求出此时的值；若不能，请说明理由． 23. 配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，10是“完美数”，理由：因为，所以10是“完美数”． 解决问题： （1）下列各数中，“完美数”有______（填序号）； ①29 ②48 ③13 ④28 （2）若可配方成（m，n为常数），则mn的值______； （3）已知（a，b是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 拓展应用： （4）已知实数a，b满足，求的最小值． 六、解答题（本大题共1小题，共12分） 24. 通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，试猜想、、之间的数量关系． （1）把绕点逆时针旋转至，可使与重合，由，得，，即点F、D、G共线，易证≌__________，故、、之间的数量关系为__________． （2）如图2，点E、F分别在正方形的边、的延长线上，．连接，试猜想、、之间的数量关系为__________，并给出证明． （3）如图3，在中，，，点D、E均在边上，且．若，，直接写出的值和的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $