精品解析：辽宁省朝阳市建平县实验中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

2025-2026上学期高一月考数学试卷 总分：150分 时间：120分钟 审核人：高一数学备课组 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为（ ）． A. B. C. D. 5. 已知函数且在R上单调递增，则的取值范围为（ ） A. [1,2] B. [2,4] C. D. 6. 若，则的值是（ ） A. 0.9 B. 1.08 C. 2 D. 4 7. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数a，b满足，则a2 + b2的最小值为（     ） A. 4 B. 2 C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面命题正确的是（ ） A. ，则是的充分条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 设，则“且”是“”的充要条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 10. 已知函数的图象经过点，，则（ ） A. B. C. 曲线关于轴对称 D. 不等式的解集为 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一.用其名字命名的高斯取整函数为，表示不超过的最大整数.例如: .已知函数则下列说法中正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 在R上是增函数 C. 是偶函数 D. 的值域是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集为_______________ 13. 已知函数，则___________． 14. 函数在单调递减，则的取值范围为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设函数 （1）将函数写成分段函数； （2）画出函数的图象； （3）写出函数的定义域、值域和单调区间. 16. 设二次函数的两个零点分别为． （1）若，求实数的值； （2）若，，求实数的取值范围． 17. 已知函数． （1）求函数的定义域； （2）判断的奇偶性，并加以证明； （3）若，求实数的取值范围． 18. 2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革．某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长t（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：．已知综合性能评分，且在函数图象是连续不断的. （1）求函数的解析式； （2）已知大模型的标准化训练效率定义为，，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 19. 若函数是定义在闭区间上的单调函数，且值域恰好为，，则称为“能量函数”，若此时，则称为“正能量函数”. （1）已知函数是定义在上的能量函数，求； （2）已知是定义在上的正能量函数，求实数，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026上学期高一月考数学试卷 总分：150分 时间：120分钟 审核人：高一数学备课组 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集的定义求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定即可得结论. 【详解】“”的否定是：， 故选：B. 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用抽象函数定义域性质计算结合指数不等式即可求解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以满足， 则函数满足，所以，所以， 所以的定义域为. 故选：A. 4. 函数的图象大致为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由特殊点函数值即可判断. 【详解】因为， 结合图象只有D符合， 故选：D 5. 已知函数且在R上单调递增，则的取值范围为（ ） A. [1,2] B. [2,4] C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性，结合二次函数、对数函数单调性列出不等式组求解. 【详解】由函数在R上单调递增，得，解得， 所以的取值范围为. 故选：D 6. 若，则的值是（ ） A. 0.9 B. 1.08 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数的运算性质进行求解即可. 【详解】因为，则， 所以. 故选：B. 7. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数以及对数函数的单调性即可求解. 【详解】故 所以， 故， 故选：D 8. 已知实数a，b满足，则a2 + b2的最小值为（     ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过分析，可得，代入a2 + b2可得到一个关于的二次函数，从而得到最小值． 【详解】由，. 此式成立的条件是与异号（或至少一个为0），且， 即.综合符号关系可知, 故 根据二次函数的图象与性质可得， 当时，的最小值为2. 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面命题正确的是（ ） A. ，则是的充分条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 设，则“且”是“”的充要条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件间的推出关系逐一判断即可. 【详解】A：因 ，故A正确； B：由，得，所以成立； 由，得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确： C：由且，得，则，故成立； 但时，如，此时“且”不成立，故C错误： D：当，时，不成立；但，一定有， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确． 故选：ABD 10. 已知函数的图象经过点，，则（ ） A. B. C. 曲线关于轴对称 D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】现根据函数图象经过的点坐标求出参数值，然后判断函数是否为偶函数以及求解不等式即可. 【详解】因为函数的图象经过点， 那么，解得， 所以A错误，B正确； 所以，定义域为关于轴对称，而， 所以函数是偶函数，关于轴对称，所以C正确； 不等式变形为， 所以，化简得. 化简得，解得或，所以不等式的解集为. 所以D正确. 故选：BCD. 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一.用其名字命名的高斯取整函数为，表示不超过的最大整数.例如: .已知函数则下列说法中正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 在R上是增函数 C. 是偶函数 D. 的值域是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由奇偶函数的定义可得选项A正确；分析函数单调性可得选项B正确；分析函数的值域可得的值域，同时也可判定不是偶函数，选项C错误，选项D正确. 【详解】由得，由定义域为得是奇函数，故A正确. ， 因为在上是增函数，且，所以在上是减函数，故在上是增函数，B正确. 由于，故， ∴，∴， 当时，， 当时，， ∴不是偶函数，的值域是，故C不正确，D正确． 故选：ABD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集为_______________ 【答案】 【解析】 【分析】根据分式不等式求解即可. 【详解】因为， 所以，解得，故原不等式的解集为. 故答案为：. 13. 已知函数，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式结合指、对数的运算性质求解即可. 【详解】因为，则， 且， 所以 故答案为：. 14. 函数在单调递减，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数、指数函数的性质，结合复合函数的单调性确定的单调区间，再由已知区间的单调性列不等式求参数范围. 【详解】令，其图象的开口向下，对称轴为且， 所以， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又在各定义域上均单调递增，则在定义域上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 由在上单调递减，则，可得， 所以. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设函数 （1）将函数写成分段函数； （2）画出函数的图象； （3）写出函数的定义域、值域和单调区间. 【答案】（1） （2） （3）定义域，值域R，单调递增区间和，无单调减区间. 【解析】 【分析】（1）分别讨论和两种情况，去掉绝对值，即可得答案. （2）根据的解析式，作出图象即可. （3）根据（2）中图象，分析即可得答案. 【小问1详解】 由题意，当时，， 当时，， 综上，. 【小问2详解】 图象，如图所示： 【小问3详解】 由（2）可得，定义域，值域R，单调递增区间和，无单调减区间. 16. 设二次函数的两个零点分别为． （1）若，求实数的值； （2）若，，求实数的取值范围． 【答案】（1）或10. （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数韦达定理，代入求出参数值即可. （2）根据二次函数单调性，以及零点存在定理，列出不等式组，求出参数范围. 【小问1详解】 二次函数的两个零点为和， 可知时，有， 又由，可得， 代入得，解得或10.经检验均满足. 【小问2详解】 因为，，且函数图象开口向上， 则，即， 解得， 即实数的取值范围为. 17. 已知函数． （1）求函数的定义域； （2）判断的奇偶性，并加以证明； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）奇函数，证明：因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为奇函数． （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数的真数大于零列不等式求解即可； （2）根据函数奇偶性定义即可求解； （3）根据对数函数的单调性及定义域即可求解． 【小问1详解】 由题意得且， 解得，所以函数定义域为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，则， 则且， 解得． 18. 2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革．某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长t（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：．已知综合性能评分，且在函数图象是连续不断的. （1）求函数的解析式； （2）已知大模型的标准化训练效率定义为，，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 【答案】（1） （2）当时，，此时“天穹”模型的标准化训练效率最高． 【解析】 【分析】（1）根据函数的初始值和连续性求出的值即可. （2）先求出不同的范围时的解析式，然后根据基本不等式的性质以及二次函数的性质分别求出不同的范围时的最大值，然后进行比较即可. 【小问1详解】 因为，， 所以. 因为在处函数图象是连续不断的， 所以，解得. 所以. 【小问2详解】 当时，， 此时. 因为，所以， 当且仅当时，即时等号成立，此时的最大值为4. 当时，， 此时. 综上，当时，，此时“天穹”模型的标准化训练效率最高. 19. 若函数是定义在闭区间上的单调函数，且值域恰好为，，则称为“能量函数”，若此时，则称为“正能量函数”. （1）已知函数是定义在上的能量函数，求； （2）已知是定义在上的正能量函数，求实数，. 【答案】（1），或； （2），. 【解析】 【分析】（1）根据函数是定义在上的能量函数，求得的值域，然后结合在上的单调性即可求得的解析式； （2）先求出在上的值域，根据是正能量函数，判断出区间在二次函数的对称轴的同一侧，然后结合在上的单调性列出关于，的方程组即可求得. 【小问1详解】 因为是定义在上的能量函数，所以的值域为， 当时，不合题意，舍去； 当时，在上是单调函数，所以，或， 即，或，解得，或， 所以，或； 【小问2详解】 因为是定义在上的正能量函数，所以的值域为， 依题在上是单调函数，且对称轴为， 若在上单调递减，则，此时不满足，不合题意； 若在上单调递增，则，所以，即， 解得或，， 因为且，所以，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $