期末培优：因式分解8种高频考点专项训练-2025-2026学年人教版八年级数学上册

期末培优：因式分解高频考点专项训练 期末培优：因式分解高频考点专项训练 考点目录 因式分解的定义 公因式 提公因式法进行因式分解 公式法进行因式分解 十字相乘法进行因式分解 提公因式法与公式法综合使用 因式分解的应用 以因式分解为背景的材料阅读类问题 考点一 因式分解的定义 例1．（25-26八年级上·福建厦门·月考）下列变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； B．左边是多项式，右边是整式的积，符合因式分解定义； C．右边含有分式，不是整式的积，不符合题意； D．右边不是积的形式，而是差的形式，不符合题意． 故选：B． 例2．（25-26八年级上·山西·月考）下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 因式分解是把多项式转化为整式的积的形式 选项A：右边是，是和的形式，不是积， 选项B：右边是，是整式的积，左边是多项式， 选项C：左边是积，右边是多项式，是乘法运算， 选项D：左边是积，右边是多项式，是乘法运算， ∴ 只有选项B符合因式分解的定义， 故选：B． 例3．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·月考）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； B、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； C、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； D、是因式分解，符合题意； 故选D． 变式1．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）下列各式中，从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项右边为，是和的形式，不是积的形式，不是因式分解； B选项是整式的乘法，不是因式分解； C选项右边为，是和的形式，不是积的形式，不是因式分解； D选项是因式分解； 故选D． 变式2．（25-26八年级上·云南昭通·月考）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、左边是乘积形式，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解； B、左边是多项式，右边是积的形式，且正确，符合因式分解； C、右边不是积的形式，而是和的形式，不是因式分解； D、，变形错误，不是因式分解． 故选：B． 变式3．（25-26八年级上·重庆·期中）下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，是整式的乘法，故此选项错误； B、等号的右边不是乘积的形式，不是因式分解，故此选项错误； C、，是因式分解，故此选项正确； D、等号右边有分式，不符合因式分解的定义，故此选项错误； 故选：C． 考点二 公因式 例1．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·月考）把多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 和的系数的最大公约数为3，相同字母的最低次幂的积为， ∴ 应提取的公因式是． 故选：B 例2．（25-26八年级上·河南驻马店·月考）多项式的公因式是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 多项式的公因式是． 故选A． 例3．（25-26八年级上·山东烟台·期中）多项式的最大公因式是 ． 【答案】 【详解】解：多项式中，各项系数分别为6和，最大公约数为 2； 字母部分的最低次幂为 ，的最低次幂为， 因此最大公因式为． 故答案为：． 例4．（25-26八年级上·福建厦门·期中）整式和的公因式是 ． 【答案】m 【分析】解：整式和的公因式是． 故答案为：． 变式1．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）因式分解多项式应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因式分解多项式应提取的公因式是， 故选：A． 变式2．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）下列各组中的两个多项式，没有公因式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【详解】解：A：，，有公因式 ，故该选项不合题意； B： 与 ，无公因式，故该选项符合题意； C：，与 有公因式 ，故该选项不合题意； D： 与 ，有公因式 ，故该选项不合题意． 故选：B． 变式3．（25-26八年级上·甘肃天水·阶段练习）多项式的公因式是 【答案】 【详解】解：多项式的公因式是． 故答案为： 变式4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）多项式的公因式是 ． 【答案】/ 【详解】解：多项式中，系数12和8的最大公约数为4；字母a的指数最小为1，字母b的指数最小为1，且c并非各项共有， 即公因式为， 故答案为． 考点三 提公因式法进行因式分解 例1．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）下列各式中，能用提公因式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、多项式中，各项没有公因式，不能用提公因式法分解因式，故本选项不符合题意； B、，能用提公因式法分解因式，故本选项符合题意； C、多项式中，各项没有公因式，不能用提公因式法分解因式，故本选项不符合题意； D、多项式，各项没有公因式，不能用提公因式法分解因式，故本选项不符合题意； 故选：B． 例2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）把分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，未提取完全，故本选项不符合题意； B、，符合因式分解的要求，故本选项符合题意； C、，未提取完全，故本选项不符合题意； D、，括号内错误，故本选项不符合题意． 故选：B． 例3．（25-26八年级上·浙江台州·月考）分解因式： ． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 例4．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）分解因式： ． 【答案】/ 【详解】解：原式． 故答案为：． 例5．（25-26八年级上·陕西榆林·月考）因式分解：． 【答案】 【详解】解： ． 例6．（25-26八年级上·广东广州·月考）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 变式1．（25-26八年级上·辽宁铁岭·月考）下列因式分解中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； 不能分解因式，故C错误； ，故D正确． 故选：D． 变式2．（25-26八年级上·山东威海·期中）若，则的值为（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】C 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：C． 变式3．（25-26八年级上·山西·月考）分解因式： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 变式4．（25-26八年级上·吉林·期中）分解因式： ． 【答案】 【详解】解：， ， 故答案为：． 变式5．（25-26八年级上·福建厦门·月考）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2） 变式6．（25-26八年级上·辽宁大连·月考）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 考点四 公式法进行因式分解 例1．（25-26八年级上·河南周口·月考）多项式 因式分解的结果是 （    ） A． B． C．（x-4）² D．（x+2）（x-2） 【答案】A 【详解】解：∵， ∴． 因此，因式分解结果为， 故选：A． 例2．（25-26八年级上·山西忻州·月考）下列多项式不能用公式法分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．，符合完全平方公式，故该选项不符合题意； B．，符合完全平方公式，故该选项不符合题意； C．，平方和在实数范围内无法用公式法分解，故该选项符合题意； D．，符合完全平方公式，故该选项不符合题意； 故选：C． 例3．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·月考）因式分解： ． 【答案】 【详解】解： 故答案为：． 例4．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则 ． 【答案】5或 【详解】解：， ， 或， 故答案为：5或． 例5．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解： ． 例6．（25-26八年级上·河南周口·月考）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式1．（25-26八年级上·河北唐山·期中）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不能运用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意； B、不能运用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意； C、，能运用平方差公式分解因式，故本选项符合题意； D、不能运用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意； 故选：C． 变式2．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）若可以用完全平方公式来分解因式，则常数的值为（   ） A．5 B．1或5 C．1 D．7或 【答案】D 【详解】解：∵可以用完全平方公式来分解因式， ∴， 解得： 或． 故选：D． 变式3．（25-26八年级上·云南昭通·月考）分解因式： ． 【答案】 【详解】原式为 ，其中 ，因此可视为 , 根据平方差公式 ， 令 ，，则原式分解为． 故答案为：． 变式4．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）分解因式： ． 【答案】/ 【详解】解：原式， 故答案为． 变式5．（25-26八年级上·山东济宁·月考）因式分解： (1) (2) (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ； （4）解：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ． 变式6．（25-26八年级上·海南海口·月考）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考点五 十字相乘法进行因式分解 例1．（25-26八年级上·吉林长春·期中）对多项式因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 故选：C． 例2．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）多项式因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 故选：A． 例3．（25-26八年级上·上海徐汇·月考）在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【详解】解：用十字相乘法：． 故答案为：． 例4．（25-26八年级上·广东广州·月考）因式分解的结果为 ． 【答案】 【详解】解：对进行因式分解，常数项可分解为，一次项系数可由得到， 所以， 故答案为：． 变式1．（25-26八年级上·广西来宾·期中）将多项式分解因式后有一个因式为，则另一个因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得， ， 故选C． 变式2．（24-25七年级下·浙江台州·期末）多项式因式分解的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：分解条件：设分解形式为， 需满足：，， 寻找整数解：可能的因数组合为：和（和为，积为）， 验证选项：选项B：，展开得，与原式一致， 其他选项均不符合条件， 故选：B． 变式3．（25-26八年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【详解】解： 原式 故答案为：. 变式4．（25-26八年级上·福建厦门·期中）因式分解： ． 【答案】 【详解】解：． 故答案为： 考点六 提公因式法与公式法综合使用 例1．（25-26八年级上·辽宁铁岭·月考）因式分解： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 例2．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·月考）（1）计算：； （2）分解因式：． 【答案】（1）（2） 【详解】解：（1） ； （2） ． 例3．（25-26八年级上·福建莆田·月考）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 例4．（25-26八年级上·广西崇左·月考）把下列各式因式分解： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 变式1．（25-26八年级上·辽宁鞍山·月考）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 变式2．（25-26八年级上·山东济宁·月考）分解因式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ． 变式3．（25-26八年级上·河南信阳·月考）因式分解： (1) (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式， ， ． 变式4．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ， ， ． （2）解： ， ． 考点七 因式分解的应用 例1．（25-26八年级上·山东东营·月考）(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：原式； 故选C． 例2．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 故选：D． 例3．（25-26八年级上·山东威海·月考）若的三边长a，b，c满足，则是 三角形． 【答案】等腰 【详解】∵ ∴ ∴ ∴ ∵a，b，c是的三边长 ∴ ∴ ∴ ∴是等腰三角形． 故答案为：等腰． 例4．（25-26八年级上·四川内江·期中）已知三角形的三条边为a，b，c，满足，c为最长边且为奇数，则这个三角形的周长为 【答案】22或24 【详解】解：已知等式变形得：， 即， ∵，， ∴，， 解得：，， ∵c为最长边， ∴，即， ∵c为奇数， ∴c为9或11， 则这个三角形的周长为或． 故答案为：22或24． 变式1．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）一个三角形的三边a，b，c满足关系式，则这个三角形一定是（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【详解】解： ， ， 或 若，则， 这个三角形为等腰三角形； 若，则， ，， 为三角形边长，均大于， ，但此时，不满足三角形两边之和大于第三边，即， 该情况不成立， 综上，这个三角形一定是等腰三角形． 故选：A． 变式2．（25-26八年级上·河南周口·月考）若一个数等于两个连续偶数的平方差，称这个数为“和谐数”，如 则下列数中是“和谐数”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设连续两个偶数为、（n为整数）， ， A，，，，，符合题意； B，，，不符合题意； C，，，不符合题意； D，，，不符合题意． 故选：A． 变式3．（25-26八年级上·山东东营·月考） ． 【答案】246 【详解】解：原式； 故答案为：246 变式4．（24-25八年级下·江西九江·月考）简便运算： ． 【答案】10000 【详解】解： ． 故答案为：． 考点八 以因式分解为背景的材料阅读类问题 例1．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）我们已经学习了用提公因式法、公式法等分解因式的方法，但有时多项式不能直接用上述的方法进行分解．某数学学习小组对分解因式的方法进行了如下探究． 【观察】分解因式：． 解法一：原式． 解法二：原式． 小结：对项数较多的多项式无法直接分解因式时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的，这种方法可以称为分组分解法（温馨提示：分解因式，要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止）． 【类比】（1）分解因式：． 【挑战】（2）分解因式：． 【应用】（3）已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求的周长． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【详解】解：（1） ； （2） ． （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴，． ∵的三边长a，b，c都是正整数， ∴， ∴ ∴， ∴的周长是． 例2．（25-26八年级上·河南安阳·月考）阅读下面的材料： 常用的因式分解的方法有提公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的因式分解，具体过程如下： 像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法． 利用分组分解法解决下面的问题： (1)因式分解：； (2)已知等腰三角形的三边长，，均为整数，且，则满足该条件的等腰三角形共有_________个； (3)已知，，为的三边长，且满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3)等腰三角形，理由见解析． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， ， ， 整数，，是等腰三角形的三边长， （舍），； 或，，即，，，不符合三角形三边关系，舍去； 或，，则，，不符合三角形三边关系，舍去； 或，，则，，符合三角形三边关系，保留； 或，，则，，符合三角形三边关系，保留； 或，，则，，，不符合三角形三边关系，舍去； 或，，则，舍去； 综上，满足该条件的等腰三角形共有个，边长分别为，，或，，． 故答案为：． （3）解：为等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵，，为的三边长， ∴， ∴， ∴， 故三角形为等腰三角形． 例3．（25-26八年级上·河南驻马店·月考）新乡某初中数学小组就一道试题展开了不同的解法，请你仔细阅读，并完成任务． 试题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解法一： 设另一个因式为，得 则， ，解得， ． 另一个因式为，的值为． 解法二： 设另一个因式为，得 当时， 即，解得 另一个因式为，的值为． 任务： (1)已知多项式分解因式的结果中有因式，则按照解法二的思路，可以令 ，之后求出实数 ； (2)已知二次三项式有一个因式是，按照解法一的思路求另一个因式及的值； (3)若多项式（是常数）分解因式后，有一个因式是，直接写出代数式的值． 【答案】(1)3；1 (2)另一个因式为，的值为 (3)4 【详解】（1）解：假设另一个因式为， 得， ∴当时， ， 即，解得． （2）解：设另一个因式为，得 则， ，解得，， 另一个因式为，的值为． （3）解：采用解法二进行计算， 假设另一个因式为， 得， ∴当时， ， 即， 变形得， 故的值为4． 例4．（25-26八年级上·陕西延安·月考）材料1：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 例如分解因式：． 材料2：分解因式． 解：设，则原式． 这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决． 请你根据以上阅读材料解答下列问题： (1)根据材料1将因式分解； (2)结合材料1和材料2，将因式分解． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：令， 则 ． 变式1．（25-26八年级上·山西·月考）阅读与思考 阅读下面的材料，并解决问题． 借助因式分解解决整除问题 一般地，如果一个正整数，其中能被整除，能被整除，那么就能被整除．例如：，其中6能被2整除，2能被2整除，所以12一定能被整除，即12一定能被4整除． 受此启发，小张认为，若为正整数，那么一定能被24整除．他的证明过程如下： 证明：． 为正整数，一定能被3整除． 能被8整除，一定能被整除，即一定能被24整除． 问题解决 (1)若为正整数，下列各数，一定能整除的是__________． A．8   B．10   C．14   D．17 (2)应用：已知是正整数，参照材料中的方法，证明：能被24整除． (3)拓展：已知是正整数，能被36整除，请直接写出的最小值． 【答案】(1)C (2)见解析 (3)2 【详解】（1）解： ， ∵是正整数，是整数， ∴一定能被14整除， 故答案为：C； （2）解： ， ∵是正整数，和是连续整数， ∴能被2整除， ∴能被整除，即能被24整除； （3）解：， ∵能被36整除， ∴是整数， 即能被3整除， ∵是正整数，和是连续整数， ∴当时，能被3整除， 故的最小值为：2． 变式2．（25-26八年级上·山西晋城·月考）阅读与思考 阅读下面的材料，并解决问题． 借助因式分解解决整除问题 一般地，如果一个正整数，其中b能被d整除，c能被e整除，那么a就能被整除．例如：，其中6能被2整除，2能被2整除，所以12一定能被整除，即12一定能被4整除． 受此启发，小张认为，若n为正整数，那么一定能被24整除．他的证明过程如下： 证明：． ∵n为正整数，∴一定能被3整除． ∵8能被8整除，∴一定能被整除，即一定能被24整除． 问题解决 (1)若n为正整数，下列各数，一定能整除的是______． A． 8    B． 10    C． 14    D． 17 (2)应用：已知n是正整数，参照材料中的方法，证明：能被24整除． (3)拓展：已知n是正整数，能被36整除，请直接写出n的最小值． 【答案】(1)C (2)见解析 (3)2 【详解】（1）解：∵，且n为正整数， ∴一定能整除的是14， 故选：C （2） ∵n是正整数， ∴必为偶数，即能被2整除， ∴一定能被24整除． （3）由（2）可知， 当时，，不能被36整除， 当时，，能被36整除， ∴n的最小值为2． 变式3．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）我们约定：若关于x的整式与，同时满足：，，则称整式A与整式B互为“”整式．根据该约定，解答下列问题： (1)若关于x的整式与互为“”整式，求k，m，n的值； (2)若关于x的整式（a，b为常数），M与N互为“”整式，且是的一个因式，求的值； (3)若，且关于y的方程的解为正整数，求的“”整式Q． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵关于x的整式与互为“”整式，，M与N互为“”整式， ∴． （2）解：， ∵关于x的整式（a，b为常数），M与N互为“”整式， ∴关于x的整式（a，b为常数），M与N互为“”整式， ∴， ∴， ∵是的一个因式， ∴， ∴， ∴． （3）解： ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵关于y的方程的解为正整数， ∴或， ∴或，， ∵整式P与整式Q互为“”整式 ∴或． 变式4．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）阅读材料：若，求m，n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则______，______． (2)已知，求的值． 【答案】(1)3，0； (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：3，0； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：因式分解高频考点专项训练 期末培优：因式分解高频考点专项训练 考点目录 因式分解的定义 公因式 提公因式法进行因式分解 公式法进行因式分解 十字相乘法进行因式分解 提公因式法与公式法综合使用 因式分解的应用 以因式分解为背景的材料阅读类问题 考点一 因式分解的定义 例1．（25-26八年级上·福建厦门·月考）下列变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级上·山西·月考）下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·月考）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）下列各式中，从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级上·云南昭通·月考）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级上·重庆·期中）下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 考点二 公因式 例1．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·月考）把多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级上·河南驻马店·月考）多项式的公因式是（    ） A．2 B． C． D． 例3．（25-26八年级上·山东烟台·期中）多项式的最大公因式是 ． 例4．（25-26八年级上·福建厦门·期中）整式和的公因式是 ． 变式1．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）因式分解多项式应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）下列各组中的两个多项式，没有公因式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 变式3．（25-26八年级上·甘肃天水·阶段练习）多项式的公因式是 变式4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）多项式的公因式是 ． 考点三 提公因式法进行因式分解 例1．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）下列各式中，能用提公因式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）把分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级上·浙江台州·月考）分解因式： ． 例4．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）分解因式： ． 例5．（25-26八年级上·陕西榆林·月考）因式分解：． 例6．（25-26八年级上·广东广州·月考）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 变式1．（25-26八年级上·辽宁铁岭·月考）下列因式分解中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级上·山东威海·期中）若，则的值为（   ） A． B．3 C． D．9 变式3．（25-26八年级上·山西·月考）分解因式： ． 变式4．（25-26八年级上·吉林·期中）分解因式： ． 变式5．（25-26八年级上·福建厦门·月考）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 变式6．（25-26八年级上·辽宁大连·月考）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点四 公式法进行因式分解 例1．（25-26八年级上·河南周口·月考）多项式 因式分解的结果是 （    ） A． B． C．（x-4）² D．（x+2）（x-2） 例2．（25-26八年级上·山西忻州·月考）下列多项式不能用公式法分解因式的是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·月考）因式分解： ． 例4．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则 ． 例5．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）因式分解： (1)； (2)． 例6．（25-26八年级上·河南周口·月考）分解因式： (1) (2) 变式1．（25-26八年级上·河北唐山·期中）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）若可以用完全平方公式来分解因式，则常数的值为（   ） A．5 B．1或5 C．1 D．7或 变式3．（25-26八年级上·云南昭通·月考）分解因式： ． 变式4．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）分解因式： ． 变式5．（25-26八年级上·山东济宁·月考）因式分解： (1) (2) (3)； (4) 变式6．（25-26八年级上·海南海口·月考）因式分解： (1)； (2)． 考点五 十字相乘法进行因式分解 例1．（25-26八年级上·吉林长春·期中）对多项式因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）多项式因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级上·上海徐汇·月考）在实数范围内因式分解： ． 例4．（25-26八年级上·广东广州·月考）因式分解的结果为 ． 变式1．（25-26八年级上·广西来宾·期中）将多项式分解因式后有一个因式为，则另一个因式是（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·浙江台州·期末）多项式因式分解的正确结果是（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级上·上海·期中）因式分解： ． 变式4．（25-26八年级上·福建厦门·期中）因式分解： ． 考点六 提公因式法与公式法综合使用 例1．（25-26八年级上·辽宁铁岭·月考）因式分解： (1) (2) (3) (4) 例2．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·月考）（1）计算：； （2）分解因式：． 例3．（25-26八年级上·福建莆田·月考）因式分解： (1)； (2)． 例4．（25-26八年级上·广西崇左·月考）把下列各式因式分解： (1) (2) (3) (4) 变式1．（25-26八年级上·辽宁鞍山·月考）因式分解： (1)； (2)． 变式2．（25-26八年级上·山东济宁·月考）分解因式： (1) (2) (3) 变式3．（25-26八年级上·河南信阳·月考）因式分解： (1) (2) (3)． 变式4．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）因式分解： (1)； (2)． 考点七 因式分解的应用 例1．（25-26八年级上·山东东营·月考）(    ) A． B． C． D． 例2．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级上·山东威海·月考）若的三边长a，b，c满足，则是 三角形． 例4．（25-26八年级上·四川内江·期中）已知三角形的三条边为a，b，c，满足，c为最长边且为奇数，则这个三角形的周长为 变式1．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）一个三角形的三边a，b，c满足关系式，则这个三角形一定是（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 变式2．（25-26八年级上·河南周口·月考）若一个数等于两个连续偶数的平方差，称这个数为“和谐数”，如 则下列数中是“和谐数”的是（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级上·山东东营·月考） ． 变式4．（24-25八年级下·江西九江·月考）简便运算： ． 考点八 以因式分解为背景的材料阅读类问题 例1．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）我们已经学习了用提公因式法、公式法等分解因式的方法，但有时多项式不能直接用上述的方法进行分解．某数学学习小组对分解因式的方法进行了如下探究． 【观察】分解因式：． 解法一：原式． 解法二：原式． 小结：对项数较多的多项式无法直接分解因式时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的，这种方法可以称为分组分解法（温馨提示：分解因式，要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止）． 【类比】（1）分解因式：． 【挑战】（2）分解因式：． 【应用】（3）已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求的周长． 例2．（25-26八年级上·河南安阳·月考）阅读下面的材料： 常用的因式分解的方法有提公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的因式分解，具体过程如下： 像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法． 利用分组分解法解决下面的问题： (1)因式分解：； (2)已知等腰三角形的三边长，，均为整数，且，则满足该条件的等腰三角形共有_________个； (3)已知，，为的三边长，且满足，试判断的形状，并说明理由． 例3．（25-26八年级上·河南驻马店·月考）新乡某初中数学小组就一道试题展开了不同的解法，请你仔细阅读，并完成任务． 试题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解法一： 设另一个因式为，得 则， ，解得， ． 另一个因式为，的值为． 解法二： 设另一个因式为，得 当时， 即，解得 另一个因式为，的值为． 任务： (1)已知多项式分解因式的结果中有因式，则按照解法二的思路，可以令 ，之后求出实数 ； (2)已知二次三项式有一个因式是，按照解法一的思路求另一个因式及的值； (3)若多项式（是常数）分解因式后，有一个因式是，直接写出代数式的值． 例4．（25-26八年级上·陕西延安·月考）材料1：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 例如分解因式：． 材料2：分解因式． 解：设，则原式． 这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决． 请你根据以上阅读材料解答下列问题： (1)根据材料1将因式分解； (2)结合材料1和材料2，将因式分解． 变式1．（25-26八年级上·山西·月考）阅读与思考 阅读下面的材料，并解决问题． 借助因式分解解决整除问题 一般地，如果一个正整数，其中能被整除，能被整除，那么就能被整除．例如：，其中6能被2整除，2能被2整除，所以12一定能被整除，即12一定能被4整除． 受此启发，小张认为，若为正整数，那么一定能被24整除．他的证明过程如下： 证明：． 为正整数，一定能被3整除． 能被8整除，一定能被整除，即一定能被24整除． 问题解决 (1)若为正整数，下列各数，一定能整除的是__________． A．8   B．10   C．14   D．17 (2)应用：已知是正整数，参照材料中的方法，证明：能被24整除． (3)拓展：已知是正整数，能被36整除，请直接写出的最小值． 变式2．（25-26八年级上·山西晋城·月考）阅读与思考 阅读下面的材料，并解决问题． 借助因式分解解决整除问题 一般地，如果一个正整数，其中b能被d整除，c能被e整除，那么a就能被整除．例如：，其中6能被2整除，2能被2整除，所以12一定能被整除，即12一定能被4整除． 受此启发，小张认为，若n为正整数，那么一定能被24整除．他的证明过程如下： 证明：． ∵n为正整数，∴一定能被3整除． ∵8能被8整除，∴一定能被整除，即一定能被24整除． 问题解决 (1)若n为正整数，下列各数，一定能整除的是______． A． 8    B． 10    C． 14    D． 17 (2)应用：已知n是正整数，参照材料中的方法，证明：能被24整除． (3)拓展：已知n是正整数，能被36整除，请直接写出n的最小值． 变式3．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）我们约定：若关于x的整式与，同时满足：，，则称整式A与整式B互为“”整式．根据该约定，解答下列问题： (1)若关于x的整式与互为“”整式，求k，m，n的值； (2)若关于x的整式（a，b为常数），M与N互为“”整式，且是的一个因式，求的值； (3)若，且关于y的方程的解为正整数，求的“”整式Q． 变式4．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）阅读材料：若，求m，n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则______，______． (2)已知，求的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $