期末培优：三角形10种高频考点专项训练-2025-2026学年人教版八年级数学上册

期末培优：三角形10种高频考点专项训练 期末培优：三角形10种高频考点专项训练 考点目录 三角形的概念 三角形的边 三角形的稳定性 三角形的高 三角形的角平分线 三角形的中线 三角形的重心 三角形的内角 三角形的外角 三角形的内角与外角综合 考点一 三角形的概念 例1．（25-26八年级上·广东江门·期中）已知a，b，c是的三边长，且，则的形状是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 例2．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，以为边的三角形共有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 例3．（25-26八年级上·云南红河·期中）已知a，b，c是的三边，且满足，则是 三角形． 例4．（25-26八年级上·河北衡水·期中）如图，在中，顶点F的对边是 ． 变式1．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，以点为顶点的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2．（25-26七年级上·山东东营·期中）已知等腰三角形的一边长为，周长为，则另两边长为（   ） A． ， B． ， C． ， D． ，或， 变式3．（25-26八年级上·北京·期中）已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角度数为 ． 变式4．（25-26八年级上·江苏南京·期中）若等腰三角形的周长为，底边长为，则腰长为 考点二 三角形的边 例1．（25-26八年级上·河北邢台·期末）将一根长的铁丝按下列四个选项标记的长度剪开，能围成三角形的是（   ） A．；； B．；； C．；； D．；； 例2．（25-26八年级上·江苏常州·期中）已知等腰三角形的两边长分别为、，且、满足，则此等腰三角形的周长为（） A．7或8 B．6或10 C．6或7 D．7或10 例3．（25-26八年级上·内蒙古呼伦贝尔·月考）三角形的三边分别是，，，则的取值范围 ． 例4．（25-26八年级上·青海西宁·月考）若是三角形的三边长，则化简的结果为 ． 变式1．（25-26八年级上·广东广州·期中）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A．3，4，8 B．11，6，5 C．3，4，6 D．5，8，15 变式2．（25-26八年级上·四川内江·期中）若等腰三角形的一边长是12，另一边长是5，则此等腰三角形的周长是（      ） A．22 B．29 C．22或29 D．无法确定 变式3．（25-26八年级上·安徽·月考）一个三角形的三边长分别为5，9，m，则m的取值范围是 ． 变式4．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知、是一个等腰三角形的两边长，且与互为相反数，则此等腰三角形的周长为 ． 考点三 三角形的稳定性 例1．（25-26八年级上·云南怒江·期中）如图，现在常用的衣架是三角形的，它比一根简单的横杆更能保持形状，防止在挂厚重衣物时变形，其中蕴含的数学原理是（   ） A．三角形具有稳定性 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线 例2．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）某工厂研制生产了一种如图所示的平板电脑支架．把平板放在上面就可以方便地使用，这是利用了三角形的哪一个性质（    ） A．三角形两边之和大于第三边 B．三角形具有稳定性 C．三角形的内角和是 D．两点之间，线段最短 变式1．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，北盘江大桥跨越云南和贵州交界的北盘江大峡谷，全长1341.4米，桥面到谷底垂直高度565米，差不多相当于200层楼的高度，垂直高度和桥梁跨度均属世界罕见，经吉尼斯世界纪录认证为“世界最高桥”．主桥采用双塔双索面钢钎架梁斜拉设计，结构稳固，其蕴含的数学道理是（    ） A．三角形两边的和大于第三边 B．三角形两边的差小于第三边 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 变式2．（25-26八年级上·山东临沂·期中）下列图形中不具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 考点四 三角形的高 例1．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，，，，则的边上的高线为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图，在中，点D是边上一点且，过点B作交延长线于点E，过点C作交于点F，若，则的值为（   ）    A．2 B．4 C．6 D．8 例3．（25-26八年级上·青海西宁·期中）在中，，，，，那么点到的距离是（    ） A．3 B．4 C．4.8 D．2.4 例4．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）如图，线段，分别是中边，上的高．若，，，则的长是 ． 例5．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，是等腰三角形，，，边上的高＝ ．若点是底边边上的任意一点，于点，于点．则 ． 例6．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为 ． 例7．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是边上的高，已知． (1)请画出边上的高； (2)求的长． 变式1．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，若，，则的高与的比是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级上·云南怒江·期中）如图，，交的延长线于点B，则在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 变式3．（25-26八年级上·四川南充·月考）下列四个图形中，画出的边上的高正确的是（    ） A．B．C． D． 变式4．（25-26八年级上·黑龙江七台河·期中）如图，在中，于点D，，于点F，，则线段与的比值为 ． 变式5．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，，交的延长线于点F，交的延长线于点E，则中边上的高是 ． 变式6．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，边上的高是线段 ． 变式7．（25-26八年级上·福建厦门·月考）如图，已知，，． (1)在中，边上的高是________； (2)在中，边上的高是________； (3)在中，边上的高是________． 考点五 三角形的角平分线 例1．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）三角形的角平分线、中线、高都是（   ） A．线段 B．射线 C．直线 D．射线或线段 例3．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，中，，，和的角平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为 ．      变式1．（25-26八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，，平分，，，下列四个结论中错误的是（     ）    A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级上·安徽滁州·月考）如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 变式3．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）中，，是边上的高，是的角平分线，若，则为 度． 考点六 三角形的中线 例1．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，AD是的中线，已知的周长为28cm，AB比AC长6cm，则的周长为（   ） A．34cm B．31cm C．22cm D．20cm 例2．（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，是的中线，的周长比的周长多，且，则的长为（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 例3．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，，分别是，的中线，，垂足为F．若，，则的长为（    ） A．3.2 B．3 C．2.5 D．2 例4．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，点D，E，F，分别为，，的中点，，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 例5．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，D，E，F分别为的中点，点G为的重心．已知的面积为，则的面积为 ． 例6．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的中线，是的中线，于点F．若，，则长为 ． 例7．（25-26八年级上·云南怒江·期中）如图，是的中线，是的中线．若，则的长为 ． 例8．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，是中线，，的周长是，则的周长是 ． 变式1．（25-26八年级上·广西百色·期中）如图，在中，已知是的中线，其中，，则与的周长差是（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 变式2．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，是中线，，，的周长是，则的周长为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，点，，分别是的中点，若阴影部分的面积为4，则的面积是（   ） A．32 B．36 C．28 D．30 变式4．（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，在中，是边上的中线，是的中点，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 变式5．（25-26八年级上·广东汕尾·月考）如图中，已知在中，分别为边的中点，且，则 ． 变式6．（25-26八年级上·江西宜春·期中）如图，中，为边上的中线，若的面积为12，则的面积是 ． 变式7．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）如图，和分别是的中线和高．已知的面积是6，，则的长是 ． 变式8．（25-26八年级上·四川绵阳·月考）如图，为的中线，，，和的周长之差是 ． 考点七 三角形的重心 例1．（25-26八年级上·重庆渝北·期中）如图，用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，若使其能够在支点上保持平衡，则薄板与支点的接触点应该是（   ）    A．三角形匀质薄板三边垂直平分线的交点 B．三角形匀质薄板三边中线的交点 C．三角形匀质薄板三条角平分线的交点 D．三角形匀质薄板三边上高的交点 例2．（25-26八年级上·四川绵阳·月考）对一个形状规则的匀质长方形薄板，其重心位置在（   ） A．长方形的任意一个顶点处 B．长方形两条对角线的交点处 C．长方形的一条边上 D．长方形的外部 变式1．（25-26八年级上·山东临沂·期中）在数学实验课上，小华想用铅笔支起一块质地均匀的三角形薄板，使薄板保持平衡，他想出了以下方法来确定这个平衡点的位置，其中做法正确的是（   ） A．画出三角形薄板的三条中线，取其交点 B．画出三角形薄板的三条高线，取其交点 C．画出三角形薄板的三条角平分线，取其交点 D．画出三角形薄板三边的垂直平分线，取其交点 变式2．（25-26八年级上·山西忻州·期中）如图，经过的重心，连接，．如果的面积为2，那么的面积为（    ） A．6 B．12 C．8 D．16 考点八 三角形的内角 例1．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）在中，，，则是（    ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 例2．（25-26八年级上·江西宜春·期中）在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，平分，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例4．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，是的角平分线，于E，若，，则的度数为 度． 例5．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，，、分别是的高、角平分线，，求的度数是 度． 例6．（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，和的平分线和相交于P点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是 ． 例7．（25-26八年级上·北京朝阳·期中）如图，在中，，分别是的高和角平分线．若，，求的度数． 变式1．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，，于点F，若，则（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）在如图所示的三角形纸片中剪去得到四边形，若，则的度数是 变式4．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在 中 ，，是的平分线，，，则 ． 变式5．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，在中，，，点在线段上运动（点不与点重合），连接，作，交线段于点．当是等腰三角形时，的度数为 ． 变式6．（25-26八年级上·湖北咸宁·期中）如图，中，是边上的高，是的平分线，交边于点，，求的度数． 考点九 三角形的外角 例1．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）将一把直尺与一把三角尺如图所示放置，若，则的度数（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，，，，是的（   ）倍． A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 例3．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在中，，，于，于，与交于，则的度数是（   ） A． B． C． D． 例4．（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级上·福建莆田·期中）如图，在中，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级上·吉林长春·期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为度，则该三角形的顶角是（    ）度． A．150 B．30 C．15或75 D．30或150 变式3．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）如图，是的角平分线，连接，且，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 变式4．（2025·内蒙古·模拟预测）将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为（    ） A． B． C． D． 考点十 三角形的内角与外角综合 例1．（25-26八年级上·安徽·月考）在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的个数有（    ）个． ①；②；③；④． A． B． C． D． 例2．（25-26八年级上·河北沧州·期中）如图，在中，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于点，交于点．则下列式子中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）下列四个条件：①在中，；②的三个内角度数之比是；③在中，；④的三个外角的度数之比是其中能确定是直角三角形的是（） A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③④ 例4．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，和是的外角，和分别是和的平分线，反向延长和交于点．若，则的度数为（   ） A．60° B．55° C．50° D．45° 变式1．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，在中，，，分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，垂足为点O．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，已知四边形中，对角线平分，，，且，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，若，则等于（   ） A． B． C． D． 变式4．（25-26八年级上·山东临沂·阶段练习）在中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是（   ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：三角形10种高频考点专项训练 期末培优：三角形10种高频考点专项训练 考点目录 三角形的概念 三角形的边 三角形的稳定性 三角形的高 三角形的角平分线 三角形的中线 三角形的重心 三角形的内角 三角形的外角 三角形的内角与外角综合 考点一 三角形的概念 例1．（25-26八年级上·广东江门·期中）已知a，b，c是的三边长，且，则的形状是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【详解】解：绝对值和平方数均具有非负性，即， 且，即， ， 由于是的两边长，因此有两边相等，是等腰三角形． 故选：B． 例2．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，以为边的三角形共有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【详解】解：以为边的三角形共有3个，它们是，，． 故选：C 例3．（25-26八年级上·云南红河·期中）已知a，b，c是的三边，且满足，则是 三角形． 【答案】等边 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵a，b，c是的三边， ∴是等边三角形． 故答案为：等边． 例4．（25-26八年级上·河北衡水·期中）如图，在中，顶点F的对边是 ． 【答案】/ 【详解】解：由题意得，在中，顶点F的对边是． 故答案为：． 变式1．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，以点为顶点的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：以点为顶点的三角形有，，共2个． 故选：B． 变式2．（25-26七年级上·山东东营·期中）已知等腰三角形的一边长为，周长为，则另两边长为（   ） A． ， B． ， C． ， D． ，或， 【答案】D 【详解】解：当8是腰时，底边是，即另外两边是8，4，能构成三角形； 当底边是8时，腰长是，即另外两边是6，6，能构成三角形． 故选：D． 变式3．（25-26八年级上·北京·期中）已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角度数为 ． 【答案】或/或 【详解】解：①若为顶角，则底角度数为 ②若为底角，则底角度数为 故答案为或． 变式4．（25-26八年级上·江苏南京·期中）若等腰三角形的周长为，底边长为，则腰长为 【答案】 【详解】解：∵等腰三角形的周长为，底边长为， ∴腰长为， 故答案为：． 考点二 三角形的边 例1．（25-26八年级上·河北邢台·期末）将一根长的铁丝按下列四个选项标记的长度剪开，能围成三角形的是（   ） A．；； B．；； C．；； D．；； 【答案】D 【详解】解：选项A：∵，∴不能围成三角形； 选项B：∵，等于第三边7，∴不能围成三角形； 选项C：∵，∴不能围成三角形； 选项D：∵，，，∴能围成三角形； 故选：D． 例2．（25-26八年级上·江苏常州·期中）已知等腰三角形的两边长分别为、，且、满足，则此等腰三角形的周长为（） A．7或8 B．6或10 C．6或7 D．7或10 【答案】A 【详解】解：∵，且，， ∴且， ∴，， 当腰长为2，底边为3时，三边为2、2、3， ∵，，， ∴能组成三角形，周长为； 当腰长为3，底边为2时，三边为3、3、2， ∵，，， ∴能组成三角形，周长为； 故此等腰三角形的周长为7或8， 故选A 例3．（25-26八年级上·内蒙古呼伦贝尔·月考）三角形的三边分别是，，，则的取值范围 ． 【答案】 【详解】解：∵三角形的三边分别是，，， ∴， 解得：， 即的取值范围是． 故答案为：． 例4．（25-26八年级上·青海西宁·月考）若是三角形的三边长，则化简的结果为 ． 【答案】 【详解】解：由三角形三边关系定理得到：， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 变式1．（25-26八年级上·广东广州·期中）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A．3，4，8 B．11，6，5 C．3，4，6 D．5，8，15 【答案】C 【详解】解：A、∵， ∴不能构成三角形，不符合题意； B、∵， ∴不能构成三角形，不符合题意； C、∵， ∴能构成三角形，符合题意； D、∵， ∴不能构成三角形，不符合题意； 故选C． 变式2．（25-26八年级上·四川内江·期中）若等腰三角形的一边长是12，另一边长是5，则此等腰三角形的周长是（      ） A．22 B．29 C．22或29 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：∵等腰三角形两边分别为12和5， ∴ 需分情况讨论： ①若12为腰，则三边为12、12、5， ，能构成三角形，此时周长为； ②若5为腰，则三边为5、5、12， ，不能构成三角形 即只有第一种情况成立，周长为29， 故选：B． 变式3．（25-26八年级上·安徽·月考）一个三角形的三边长分别为5，9，m，则m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：由三角形的三边关系，得，即； 故答案为：． 变式4．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知、是一个等腰三角形的两边长，且与互为相反数，则此等腰三角形的周长为 ． 【答案】7或8 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， 解得：， 当等腰三角形的腰长是时， ∵，满足三角形三边关系定理， ∴等腰三角形的周长为； 当等腰三角形的腰长是2时， ∵，满足三角形三边关系定理， ∴等腰三角形的周长为； 故答案为：7或8． 考点三 三角形的稳定性 例1．（25-26八年级上·云南怒江·期中）如图，现在常用的衣架是三角形的，它比一根简单的横杆更能保持形状，防止在挂厚重衣物时变形，其中蕴含的数学原理是（   ） A．三角形具有稳定性 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】A 【详解】解：衣架是三角形的，它比一根简单的横杆更能保持形状，防止在挂厚重衣物时变形，其中蕴含的数学原理是三角形具有稳定性， 故选：A． 例2．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）某工厂研制生产了一种如图所示的平板电脑支架．把平板放在上面就可以方便地使用，这是利用了三角形的哪一个性质（    ） A．三角形两边之和大于第三边 B．三角形具有稳定性 C．三角形的内角和是 D．两点之间，线段最短 【答案】B 【详解】解：把平板放在上面就可以方便地使用，这是利用了三角形具有稳定性， 故选：B． 变式1．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，北盘江大桥跨越云南和贵州交界的北盘江大峡谷，全长1341.4米，桥面到谷底垂直高度565米，差不多相当于200层楼的高度，垂直高度和桥梁跨度均属世界罕见，经吉尼斯世界纪录认证为“世界最高桥”．主桥采用双塔双索面钢钎架梁斜拉设计，结构稳固，其蕴含的数学道理是（    ） A．三角形两边的和大于第三边 B．三角形两边的差小于第三边 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 【答案】C 【详解】解：根据三角形具有稳定性，主桥采用双塔双索面钢钎架梁斜拉设计，结构稳固，其蕴含的数学道理是三角形的稳定性， 故选：C． 变式2．（25-26八年级上·山东临沂·期中）下列图形中不具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、该图形包含未被三角形完全分割的四边形结构，不具有稳定性，此选项符合题意； B、图形由多个三角形组成，三角形具有稳定性，此选项不符合题意； C、四边形被对角线分隔为两个三角形，三角形具有稳定性，此选项不符合题意； D、图形是三角形，三角形具有稳定性，此选项不符合题意． 故选：A． 考点四 三角形的高 例1．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，，，，则的边上的高线为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设的边上的高线为， 依题意， ∴ 故选：A． 例2．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图，在中，点D是边上一点且，过点B作交延长线于点E，过点C作交于点F，若，则的值为（   ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， 又∵，，， ∴，， ∴， ∴． 故选：B． 例3．（25-26八年级上·青海西宁·期中）在中，，，，，那么点到的距离是（    ） A．3 B．4 C．4.8 D．2.4 【答案】D 【详解】解：作于点D，如右图所示， ∵， ∴， 解得， 故选：D． 例4．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）如图，线段，分别是中边，上的高．若，，，则的长是 ． 【答案】 【详解】解：线段，分别是的边，上的高，，，， 故答案为：． 例5．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，是等腰三角形，，，边上的高＝ ．若点是底边边上的任意一点，于点，于点．则 ． 【答案】 4 4 【详解】解：∵，， ∴边上的高 连接，如图所示： 由图可得：， 又∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：cm， 故答案为：4；4 例6．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：，分别是的边，的高线， ， ，，， ， 解得， 故答案为：． 例7．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是边上的高，已知． (1)请画出边上的高； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：如图，线段即为边上的高． （2）解：∵ 是边上的高， ∴ 的面积，代入，，得． 又∵ 是边上的高,， ∴ 面积也可表示为， 即， 解得． 答：的长为． 变式1．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，若，，则的高与的比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故选：A. 变式2．（25-26八年级上·云南怒江·期中）如图，，交的延长线于点B，则在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】A 【详解】解：∵， ∴在中，边上的高是线段， 故选：A． 变式3．（25-26八年级上·四川南充·月考）下列四个图形中，画出的边上的高正确的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】解：根据三角形高的定义可知，边上的高即过点过B作交与点D， 只有选项D符合题意， 故选D 变式4．（25-26八年级上·黑龙江七台河·期中）如图，在中，于点D，，于点F，，则线段与的比值为 ． 【答案】 【详解】解：， 设，则， ， ， 令， 于点D，于点F， ， ， ，即， ． 故答案为：． 变式5．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，，交的延长线于点F，交的延长线于点E，则中边上的高是 ． 【答案】 【详解】解：∵交的延长线于点F， ∴中边上的高是． 故答案为：． 变式6．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，边上的高是线段 ． 【答案】 【详解】解：由图可知，中，边上的高是． 故答案为：． 变式7．（25-26八年级上·福建厦门·月考）如图，已知，，． (1)在中，边上的高是________； (2)在中，边上的高是________； (3)在中，边上的高是________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查三角形的高的定义．根据从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高进行判断即可． 【详解】（1）解：在中，边上的高是； 故答案为：； （2）解：在中，边上的高是； 故答案为：； （3）解：在中，边上的高是． 故答案为：． 考点五 三角形的角平分线 例1．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，，分别是的高、角平分线、中线， ∴，，，故A，B，D正确； 根据现有条件无法证明，故C错误． 故选：C． 例2．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）三角形的角平分线、中线、高都是（   ） A．线段 B．射线 C．直线 D．射线或线段 【答案】A 【详解】解：由三角形的角平分线是顶点到对边的线段，平分内角；三角形的中线是顶点到对边中点的线段；三角形的高是顶点到对边（或对边延长线）的垂足之间的线段；可知三角形的角平分线、中线、高都是线段； 故选：A． 例3．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，中，，，和的角平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为 ．      【答案】 【详解】解：∵和的角平分线交于点， ∴，， ∵， ∴，， 即，， 即，， 故，， 的周长为． 故答案为：． 变式1．（25-26八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，，平分，，，下列四个结论中错误的是（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∴选项不符合题意， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴选项不符合题意， 由已知无法得出， ∴选项符合题意， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴选项不符合题意， 故选：． 变式2．（24-25八年级上·安徽滁州·月考）如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 【答案】C 【详解】解：∵，即点E为中点， ∴是的中线，故A正确，不符合题意； ∵平分， ∴是的角平分线，故B正确，不符合题意； ∵平分， ∴． ∵，， ∴，故C错误，符合题意； ∵，即， ∴是的高，故D正确，不符合题意． 故选C． 变式3．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）中，，是边上的高，是的角平分线，若，则为 度． 【答案】或/15或65 【详解】解：当点在延长线上时，如图： ∵是的角平分线，， ∴， ∴； 当点在延长线上时，如图： ∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或． 考点六 三角形的中线 例1．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，AD是的中线，已知的周长为28cm，AB比AC长6cm，则的周长为（   ） A．34cm B．31cm C．22cm D．20cm 【答案】C 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∴和周长的差， ∵的周长为28cm，比长， ∴周长为：． 故选：C． 例2．（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，是的中线，的周长比的周长多，且，则的长为（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】D 【详解】解：∵为边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长大2， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 例3．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，，分别是，的中线，，垂足为F．若，，则的长为（    ） A．3.2 B．3 C．2.5 D．2 【答案】D 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， 故选：D ． 例4．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，点D，E，F，分别为，，的中点，，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【详解】解：是的中点，， ∴， 点为的中点， ， ∵点D为的中点， ∴． 故选：B． 例5．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，D，E，F分别为的中点，点G为的重心．已知的面积为，则的面积为 ． 【答案】3 【详解】解：∵D，E，F分别为的中点， ∴，，， 设，，， ∴由得， ∴， 同理， ∴， ∴ ∵的面积为， ∴的面积为， 故答案为：． 例6．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的中线，是的中线，于点F．若，，则长为 ． 【答案】3 【详解】解：是的中线， ， 是的中线， ， ， 于点 ， ， 即， 解得：， 故答案为：3． 例7．（25-26八年级上·云南怒江·期中）如图，是的中线，是的中线．若，则的长为 ． 【答案】2 【详解】解：∵是的中线， ∴是的中点， ∴， ∵, ∴； 又是的中线， ∴． 故答案为：2． 例8．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，是中线，，的周长是，则的周长是 ． 【答案】 【详解】解：在中，是中线即，， 的周长的周长， 的周长为， 的周长为， 故答案为：． 变式1．（25-26八年级上·广西百色·期中）如图，在中，已知是的中线，其中，，则与的周长差是（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】A 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长，的周长 ∴与的周长差， 故选：A． 变式2．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，是中线，，，的周长是，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：是中线， ， ， ， 又，， ， ． 故选：． 变式3．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，点，，分别是的中点，若阴影部分的面积为4，则的面积是（   ） A．32 B．36 C．28 D．30 【答案】A 【详解】解：∵D，E，F分别是，，的中点， ∴，， ， ∵， ∴， 故选A． 变式4．（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，在中，是边上的中线，是的中点，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵是的中点， ∴． 故选C． 变式5．（25-26八年级上·广东汕尾·月考）如图中，已知在中，分别为边的中点，且，则 ． 【答案】40 【详解】解：∵E是的中点， ∴； 又∵D是的中点， ∴． 故答案为：． 变式6．（25-26八年级上·江西宜春·期中）如图，中，为边上的中线，若的面积为12，则的面积是 ． 【答案】6 【详解】解：∵为边上的中线， ∴的面积． 故答案为：6． 变式7．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）如图，和分别是的中线和高．已知的面积是6，，则的长是 ． 【答案】8 【详解】解：∵是的中线， ∴， 又∵的面积为6，，且为的高， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：8． 变式8．（25-26八年级上·四川绵阳·月考）如图，为的中线，，，和的周长之差是 ． 【答案】3 【详解】解：∵为的中线， ∴， ∵，， ∴和的周长之差是 故答案为：3． 考点七 三角形的重心 例1．（25-26八年级上·重庆渝北·期中）如图，用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，若使其能够在支点上保持平衡，则薄板与支点的接触点应该是（   ）    A．三角形匀质薄板三边垂直平分线的交点 B．三角形匀质薄板三边中线的交点 C．三角形匀质薄板三条角平分线的交点 D．三角形匀质薄板三边上高的交点 【答案】B 【详解】解：能使三角形保持平衡的支点是重心，而三角形的重心是三边中线的交点． 故选：B． 例2．（25-26八年级上·四川绵阳·月考）对一个形状规则的匀质长方形薄板，其重心位置在（   ） A．长方形的任意一个顶点处 B．长方形两条对角线的交点处 C．长方形的一条边上 D．长方形的外部 【答案】B 【详解】解：∵长方形薄板匀质且形状规则， ∴重心位于几何中心， 又∵长方形的几何中心是两条对角线的交点， ∴重心在两条对角线的交点处， 故选：B． 变式1．（25-26八年级上·山东临沂·期中）在数学实验课上，小华想用铅笔支起一块质地均匀的三角形薄板，使薄板保持平衡，他想出了以下方法来确定这个平衡点的位置，其中做法正确的是（   ） A．画出三角形薄板的三条中线，取其交点 B．画出三角形薄板的三条高线，取其交点 C．画出三角形薄板的三条角平分线，取其交点 D．画出三角形薄板三边的垂直平分线，取其交点 【答案】A 【详解】解：∵平衡点应是三角形的重心， ∴平衡点是三角形三边中线的交点． 故选：A． 变式2．（25-26八年级上·山西忻州·期中）如图，经过的重心，连接，．如果的面积为2，那么的面积为（    ） A．6 B．12 C．8 D．16 【答案】B 【详解】解：如图，延长交分别于点， ∵点是的重心， ∴分别为的中点， ∴，，， 设，，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵的面积为2， ∴， ∴的面积为， 故选：B． 考点八 三角形的内角 例1．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）在中，，，则是（    ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【详解】解：∵， ∴ ， ∵ ， ∴ 是锐角三角形． 故选：B． 例2．（25-26八年级上·江西宜春·期中）在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵直角三角形两锐角互余， ∴另一个锐角． 故选：C． 例3．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，平分，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴在中，， 又∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴在中，， 故选：C． 例4．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，是的角平分线，于E，若，，则的度数为 度． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 例5．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，，、分别是的高、角平分线，，求的度数是 度． 【答案】 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 例6．（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，和的平分线和相交于P点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是 ． 【答案】/40度 【详解】解：∵，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵、分别是和的角平分线， ∴，， 又∵， ∴； 故答案为：． 例7．（25-26八年级上·北京朝阳·期中）如图，在中，，分别是的高和角平分线．若，，求的度数． 【答案】 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 变式1．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①，且， ， 是直角三角形． ②，且， ， 代入得 ， ，且， 是钝角三角形，不是直角三角形． ③，设，，， 则 ， ， 是直角三角形． ④，设， 则，， ， ， 是直角三角形． 能确定是直角三角形的条件有①、③、④，共3个． 故选：C． 变式2．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，，于点F，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 由三角形内角和定理可知：． 故选：C． 变式3．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）在如图所示的三角形纸片中剪去得到四边形，若，则的度数是 【答案】/230度 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 变式4．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在 中 ，，是的平分线，，，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，是平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式5．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，在中，，，点在线段上运动（点不与点重合），连接，作，交线段于点．当是等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】或/或 【详解】解：∵，， ， ， ∵，是等腰三角形， ∴分以下三种情况讨论： ①当时，， ，此时点与点重合，不符合题意； ②当时，， ； ③当时，， ； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 变式6．（25-26八年级上·湖北咸宁·期中）如图，中，是边上的高，是的平分线，交边于点，，求的度数． 【答案】 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 考点九 三角形的外角 例1．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）将一把直尺与一把三角尺如图所示放置，若，则的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，由题意得，，， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 例2．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，，，，是的（   ）倍． A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：D． 例3．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在中，，，于，于，与交于，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为，， 所以． 因为，，与交于， 根据“三角形的三条高线交于一点”，可得也是的一条高，即， 所以， 所以． 故选：C． 例4．（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图， ，，， ， 将沿对折，使点落在△外的点处， ， ， ， 故选：D． 变式1．（25-26八年级上·福建莆田·期中）如图，在中，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， 故选：． 变式2．（25-26八年级上·吉林长春·期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为度，则该三角形的顶角是（    ）度． A．150 B．30 C．15或75 D．30或150 【答案】D 【详解】解：当等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角在三角形内部，如图： ∵，， ∴， 当等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角在三角形外部，如图： ∵，， ∴， 即三角形的顶角是或． 故选：D． 变式3．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）如图，是的角平分线，连接，且，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如下图所示：延长交于点， ，， ， ， ； 故选：C． 变式4．（2025·内蒙古·模拟预测）将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意和图可知：，，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 考点十 三角形的内角与外角综合 例1．（25-26八年级上·安徽·月考）在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的个数有（    ）个． ①；②；③；④． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由条件可知， ，， ，， 故③正确，符合题意； 由条件可知，， ，， ， ， 故④正确，符合题意； ，，， ， 平分，平分， ，， ， ， 故②正确，符合题意； ， ， ， ， 故①正确，符合题意； 综上正确的有：①②③④． 故选：D． 例2．（25-26八年级上·河北沧州·期中）如图，在中，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于点，交于点．则下列式子中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设交于点，交于点， ，， ， ∴，故A项正确，不符合题意． 是角平分线， ， ， ， ， ， ，故项正确，不符合题意． ∵，， ∴， 又∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故项错误，符合题意． ∵，， ∴ ∴， ∵，， 故项正确，不符合题意． 故选：． 例3．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）下列四个条件：①在中，；②的三个内角度数之比是；③在中，；④的三个外角的度数之比是其中能确定是直角三角形的是（） A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【详解】①设，则， ∴，解得， ∴，不是直角三角形； ②设内角为，则，解得：， ∴内角为，是直角三角形； ③∵，且， ∴， ∴，即，是直角三角形； ④设外角为，则，解得， ∴外角为，对应内角为，是直角三角形． ∴②③④符合条件． 故选C． 例4．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，和是的外角，和分别是和的平分线，反向延长和交于点．若，则的度数为（   ） A．60° B．55° C．50° D．45° 【答案】B 【详解】解：∵和是的外角， ∴， ∴． ∵和分别是和的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 变式1．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，在中，，，分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，垂足为点O．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，故A正确；    ∵、分别是高和角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故B正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 由A得：， ∴，故C错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故D正确． 故选：C． 变式2．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，已知四边形中，对角线平分，，，且，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：延长和，过点作于点，过点作于点， 是的平分线， 在与中， ， ， ， 又， ， ， 为的平分线， 过点作于点， ∵， ． ∴， 为的平分线， ∵， ， 在中，，， ， ， ， ． 故选：C． 变式3．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图， 根据三角形的外角性质，，， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴． 故选：C． 变式4．（25-26八年级上·山东临沂·阶段练习）在中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是（   ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【详解】解：∵，的平分线交于点O， ∴，， ∴ ， ∴，故①正确， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，故②正确． ∵，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴．故④正确． 综上正确的有：①②④． 故选D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $