精品解析：苏州姑苏区胥江实验中学2025-2026学年七年级上学期12月月考数学试题

2025～2026学年第一学期课堂作业 初二数学 一、选择题：（每题2分，共20分） 1. 多项式的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了找公因式．根据公因式求法：①找所有系数的最大公因数，②相同字母的最小指数，直接求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 多项式的公因式是：， 故选：A． 2. 分式的值为，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为的条件，分式的值为，需分子的值为且分母的值不为，据此解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为， ∴且， 解得， 故选：． 3. 下列分式是最简分式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外，没有其它的公因式，这样的分式叫最简分式）逐个判断即可． 【详解】解：A、，不是最简分式，故本选项不符合题意； B、，不是最简分式，故本选项不符合题意； C、，不是最简分式，故本选项不符合题意； D、是最简分式，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了最简分式的定义，能熟记最简分式的定义是解此题的关键． 4. 下列四个算式正确的是（　　） A. B. C. ＝× D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次根式的各种运算的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A. ，故选项错误，不符合题意； B.，故选项正确，符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意； D.，故选项错误，不符合题意；． 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 5. 下列各组二次根式中，为同类二次根式的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式．将二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：A、与的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误； B、与的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误； C、与的被开方数相同，所以它们是同类二次根式；故本选项正确； D、与的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误； 故选：C． 6. 若把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值为是（ ） A. 扩大3倍 B. 扩大6倍 C. 不变 D. 缩小为原来的 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的性质性质计算即可得解，熟练掌握分式的基本性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 故分式的值为是缩小为原来的， 故选：D． 7. 估计的值应在（　　） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次根式的混合运算将原式化简，再进行无理数的估算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，即， ∴的值应在和之间， 故选：B 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键． 8. 若，则分式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件把分子、分母中含a、b的项括起来，然后将已知条件代入，约分即可求得答案. 【详解】因为 所以 故选C 【点睛】本题考查了分式的基本性质，正确掌握整体思想是解本题的关键. 9. 若分式方程无解，则k的值为（ ） A. B. 2 C. 1或2 D. 或2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式方程无解问题，先去分母将分式方程化为整式方程，再分整式方程无解和分式方程无解两种情况，分别计算出k值即可． 【详解】解：， 方程去分母得：， 整理得：， 当整式方程无解时，即； 当分式方程无解时，，解得， 此时，解得， 所以或1时，原方程无解． 故选C． 10. 已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到，，……，．如的整数部分为1，小数部分为，所以．根据以上信息，下列说法正确的有（ ） ①；②的小数部分为；③；④；⑤． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据定义找到的规律，再逐个判断即可． 【详解】解：由题意得，，它的整数部分为2，小数部分为； ，它的整数部分为4，小数部分为； ，它的整数部分为5，小数部分为； ，它的整数部分为7，小数部分为； ，它的整数部分为8，小数部分为； ，它的整数部分为10，小数部分为； ∴n为奇数时，，它的整数部分为，小数部分为； n为偶数时，，它的整数部分为，小数部分为； ∴①，正确； ②的小数部分为，错误； ③，正确； ④ ，错误； ⑤ ，正确； 综上所述，正确的是①③⑤,共3个； 故选：B． 【点睛】本题考查的是数字类规律探究、估算无理数的大小，二次根式的混合运算，通过计算找到规律是解题的关键． 二、填空题：（每题2分，共16分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得出，计算求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 约分_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查分式的性质，掌握分式的性质进行分式化简是解题的关键． 13. 已知2<x<5，化简：__________． 【答案】3 【解析】 【详解】当2＜x＜5时,x-2＞0,x-5＜0. ∴. 故答案：3. 14. 如果与最简二次根式是同类二次根式，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，同类二次根式的概念，化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 根据同类二次根式的定义，将化为最简二次根式，得到被开方数为，再令，完成求解． 【详解】解：，与最简二次根式是同类二次根式， ∴，解得：． 故答案为：． 15. 已知：，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的混合运算、代数式求值等知识点，确定x、y的值是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件确定的值，再代入方程确定的值，然后代入代数式运用二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴且，解得． 将代入原方程，得， ∴． ∴ ． 故答案为：． 16. 若，则的值为________________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式．熟练掌握等量代换，完全平方公式是解题的关键． 由题意知，，然后代值求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴原式， 故答案为：9． 17. 已知，且，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、二次根式的运算、完全平方公式等知识点，熟知分式混合运算的法则和换元法是解题的关键． 由已知条件，设，则，代入得，再利用完全平方公式求的值，结合确定符号即可解答． 【详解】解：设，则，且，代入得：， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴，即. 故答案为：． 18. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是可以将题目中的式子灵活变化，变为所求式子需要的条件． 由可得，代入变为只含有a的代数式，由可得，再代入前面化简后的式子，即可解答本题． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， 即． 故答案为：． 三、解答题题：（共64分） 19. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可； （2）先用平方差公式，再用完全平方公式进行因式分解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 20. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、分式的混合运算，熟练掌握二次根式和分式的运算法则是解题的关键． （1）根据完全平方公式、平方差公式化简，再合并即可； （2）先计算乘除，再计算加减即可； （3）根据分式的减法法则计算即可； （4）根据分式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 21. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的关键是将分式方程化成整式方程，最后的检验是解题的易错点． （1）先通过去分母将分式方程化成整式方程，然后再检验即可解答； （2）先通过去分母将分式方程化成整式方程，然后再检验即可解答． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ； 检验，当时，， 所以原分式方程的解为． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ； 检验，当时，， 所以原分式方程无解． 22. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、二次根式的性质、代数式求值等知识点，掌握二次根式的性质以及分式的混合运算法则是解题的关键． 先根据完全平方公式和二次根式的性质化简，再运用分式的混合运算法则化简，最后将代入求值即可． 【详解】解： ∵， ∴ 则原式 ， 当时， 原式． 23. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）19 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加减运算、完全平方公式、二次根式的加法运算、二次根式的乘法运算等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先求出，再根据分式的加法运算可得，然后将代入计算即可； （2）利用完全平方公式可得，然后将代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解： ． 24. 已知关于的方程． （1）当取何值时，此方程会产生增根； （2）当此方程的解是正数时，求的取值范围． 【答案】（1） （2）且 【解析】 【分析】本题考查解分式方程以及分式方程的增根问题，掌握如何解分式方程是解题的关键． （1）根据增根的定义，得出其增根为，代入化简后方程求解即可； （2）按照分式方程解法，解出，根据题意解为正数，故，解该不等式即可，同时需考虑增根的情况，得出最后的取值范围． 【小问1详解】 解：该方程的增根为， 对方程去分母， 得， 将代入上式，即， 解得． 【小问2详解】 解：对方程去分母，得， 解得， 若方程的根为正数，则， 解得， 结合（1）中当时，方程为增根， 故的取值范围为且． 25. 定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． （1）若，，求出，的“如意数”． （2）如果，，求，的“如意数”，并证明“如意数”． （3）已知，且，的“如意数”，求的值． 【答案】（1） （2）， 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查的是新定义运算，二次根式的运算，完全平方公式， （1）根据题目中所给的运算规则可得“如意数”c； （2）根据题目中所给的运算规则计算出“如意数”c后，把所得的式子化为完全平方式的形式即可判定“如意数”c的大小； （3）先有理化可得，根据题目中所给的运算规则可得，问题即可得解． 【小问1详解】 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵， ，的“如意数”， ∴， ∴， 即：． 26. 某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）． （1）若班长小华在甲商店购买，他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，求甲商店硬面笔记本的单价． （2）若班长小华在乙商店购买硬面笔记本，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价不变）：一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出．班长小华打算购买本硬面笔记本（为正整数），他发现再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，求乙商店硬面笔记本的原价． 【答案】（1）甲商店硬面笔记本的单价为16元 （2）乙商店硬面笔记本的原价18元 【解析】 【分析】（1）根据“硬面笔记本数量=软面笔记本数量”列出分式方程，求解检验即可； （2）设乙商店硬面笔记本的原价为a元，则软面笔记本的单价为元，由再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同可得，再根据且m，均为正整数，即可求解． 【小问1详解】 解：设硬面笔记本的单价为x元，则软面笔记本的单价为元，根据题意得 ， 解得， 经检验，是原方程的根，且符合题意， 故甲商店硬面笔记本的单价为16元； 【小问2详解】 设乙商店硬面笔记本的原价为a元，则软面笔记本的单价为元， 由题意可得， 解得， 根据题意得， 解得， 为正整数， ，，，，，分别代入， 可得，，，，， 由单价均为整数可得， 故乙商店硬面笔记本的原价18元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出相应方程． 27. 阅读：如果两个分式A与的和为常数，且为正整数，则称A与互为“关联分式”，常数称为“关联值”．如分式，则A与互为“关联分式”，“关联值”． （1）若分式，判断A与是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”； （2）已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”． ①__________（用含的式子表示）； ②若为正整数，且分式的值为正整数，则的值等于__________； （3）若分式（为整数且），是的“关联分式”，且“关联值”，求的值． 【答案】（1）是， （2）①；② （3）c的值为4或16 ． 【解析】 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，理解新定义是解本题的关键． （1）先计算，再求出结果即可； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式D的值为正整数．x为正整数，可得或，从而可得答案； （3）计算，整理得：，确定，根据题意求解即可． 【小问1详解】 解：A与B是互为“关联分式”，理由如下： ∵， ∴ ． ∴A与B是互为“关联分式”， “关联值”； 【小问2详解】 解：①∵， ∴ ∵C与D互为“关联分式”，且“关联值”， ∴， ∴； ②∵，且分式D的值为正整数．x为正整数， ∴或， ∴（舍去）； 【小问3详解】 ， ∵， ∴原式， ∴，即， ∴， ∴， ∵a，b为整数， ∴一定为5的约数， ∴或或1或5， 解得：或0或6或10， ∴或4或10或6， ∴或1， ∴c的值为4或16 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第一学期课堂作业 初二数学 一、选择题：（每题2分，共20分） 1. 多项式的公因式是（ ） A. B. C. D. 2. 分式的值为，则（ ）． A. B. C. D. 3. 下列分式是最简分式的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列四个算式正确的是（　　） A. B. C. ＝× D. 5. 下列各组二次根式中，为同类二次根式的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 6. 若把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值为是（ ） A. 扩大3倍 B. 扩大6倍 C. 不变 D. 缩小为原来的 7. 估计的值应在（　　） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 8. 若，则分式的值为（ ） A. B. C. D. 9. 若分式方程无解，则k的值为（ ） A. B. 2 C. 1或2 D. 或2 10. 已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到，，……，．如的整数部分为1，小数部分为，所以．根据以上信息，下列说法正确的有（ ） ①；②的小数部分为；③；④；⑤． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题：（每题2分，共16分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 12. 约分_____． 13. 已知2<x<5，化简：__________． 14. 如果与最简二次根式是同类二次根式，那么______． 15. 已知：，则的值为______． 16. 若，则的值为________________． 17. 已知，且，则的值为______． 18. 已知，，则______． 三、解答题题：（共64分） 19. 因式分解： （1）； （2）． 20. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 21. 解方程： （1）； （2）． 22. 先化简，再求值：，其中． 23. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 24. 已知关于的方程． （1）当取何值时，此方程会产生增根； （2）当此方程的解是正数时，求的取值范围． 25. 定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． （1）若，，求出，的“如意数”． （2）如果，，求，的“如意数”，并证明“如意数”． （3）已知，且，的“如意数”，求的值． 26. 某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）． （1）若班长小华在甲商店购买，他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，求甲商店硬面笔记本的单价． （2）若班长小华在乙商店购买硬面笔记本，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价不变）：一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出．班长小华打算购买本硬面笔记本（为正整数），他发现再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，求乙商店硬面笔记本的原价． 27. 阅读：如果两个分式A与的和为常数，且为正整数，则称A与互为“关联分式”，常数称为“关联值”．如分式，则A与互为“关联分式”，“关联值”． （1）若分式，判断A与是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”； （2）已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”． ①__________（用含的式子表示）； ②若为正整数，且分式的值为正整数，则的值等于__________； （3）若分式（为整数且），是的“关联分式”，且“关联值”，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $