第二十六章反比例函数高频考点题型归纳与满分必练-2025-2026学年人教版九年级数学下册

九年级期末基础训练（代数2）—— 反比例函数 （考试时间：60分钟 试卷满分：100分） 训练重点:表达式、图像性质(象限、增减性)、基础面积问题、与一次函数简单结合题 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键；因此此题可根据反比例函数的定义，形如（为常数，）的函数是反比例函数进行排除选项即可． 【详解】解：∵反比例函数的形式为（）， 选项A：，是正比例函数； 选项B：，符合形式，且，是反比例函数； 选项C：，是一次函数； 选项D：，不是反比例函数； 故选B． 2．若反比例函数的图象经过点，则k的值为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了求反比例函数解析式，将点坐标代入反比例函数解析式求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴． 故选：B． 3．下列各点中，在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，通过计算各点的横纵坐标乘积是否等于6，判断点是否在反比例函数图象上． 【详解】解：反比例函数的图象上的点满足， 对于A点，，不在图象上； 对于B点，，不在图象上； 对于C点，，在图象上； 对于D点，，不在图象上． 故选：C． 4．若反比例函数的图象分布在第一、三象限，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的图象，根据反比例函数图象所在的象限，进行求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第一、三象限， ∴， ∴； 故选：A． 5．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法．把点代入反比例函数的关系式求出，再比较出其大小即可． 【详解】 点都在反比例函数的图象上， ， ， ， ， ， 故选：B． 6．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，若的面积为，则的值为（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数系数与几何图形面积的关系，根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，轴于点，若的面积为， ∴． 故选：D． 7．已知点，都在反比例函数的图象上，且当时，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象和性质． 由反比例函数的图象和性质，可得，解不等式即可得的取值范围． 【详解】解：∵点，都在反比例函数的图象上，且当时，， ∴， ∴， 故选：D． 8．在同一平面直角坐标系中，函数与y（）的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查反比例函数和一次函数的图像和性质，解题关键是通过图像位置直接判断系数的正负．根据图像的性质进行排除选择即可． 【详解】当时： 对于一次函数，，，函数经过一、二、三象限； 对于反比例函数，，，函数经过二、四象限； 当时： 对于一次函数，，，函数经过二、三、四象限； 反比例函数，，，函数经过一、三象限． 故选B． 9．关于反比例函数 ，下列说法不正确的是 （    ） A．函数图象经过点 B．函数图象关于原点成中心对称 C．函数图象分别位于第二、四象限 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了判断反比例函数的增减性，判断反比例函数图象所在象限，中心对称图形的识别等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据反比例函数的性质，当时，图象位于第二、四象限，关于原点对称，且在每一象限内，y随x的增大而增大，对四个选项逐一分析，再作出判断． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴当时，，故图象经过点，故A正确； 反比例函数的图象关于原点成中心对称，故B正确； 反比例函数中，， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，故C正确； 当时，y随x的增大而增大，故D错误． 故选：D． 10．如图，反比例函数的图象与一次函数图象交于点，则不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】此题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题以及一次函数图象与反比例函数图象的综合判断，根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集． 【详解】解：把点，代入得： ， 解得：，（舍去）， ∴点，， 观察函数图象发现：当或时，反比例函数图象在一次函数图象的上方， 则不等式的解集为：或． 故选：B． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如表，如果x和y两个量成反比例关系，那么“？”处应填 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例关系的性质与应用，即两个量和成反比例关系时，它们的乘积是一个定值，（为常数）．由于和成反比例关系，则它们的乘积为定值，利用已知数据，，求出该定值，再代入求出的值即可解答． 【详解】由反比例关系可知，（为常数）， 取，，得， 验证，，，符合， 当时，则，解得， 故答案为：． 12．已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则电流I与电阻R之间的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．设函数解析式为 （ ），把代入函数解析式求得值即可． 【详解】解：设函数解析式为 （ ）， 把代入函数解析式得， ∴． 故答案为：． 13．已知反比例函数，那么y值随x值的增大而 （从“增大”或“减小”中选择）． 【答案】减小 【分析】本题考查了判断反比例函数的增减性，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据反比例函数的比例系数的符号确定其增减性求解． 【详解】解：∵反比例函数， ∴反比例函数图象在第一象限，在每一象限内y值随x值的增大而减小， 故答案为：减小． 14．（25-26九年级上·湖南怀化·期中）反比例函数的图象有一支位于第二象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握其性质是解题的关键．根据反比例函数 （），当 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象有一支位于第二象限， ∴ ， 解得， ． 故答案为 ：． 15．（25-26九年级上·四川成都·期中）考察函数的图象，当时，y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，对于函数，当时，为负数，且随的增大而减小，趋近于但不等于，据此进行作答即可． 【详解】解：依题意，当时，； 当时，随的增大而减小，且趋近于但不等于， 因此，的取值范围是， 故答案为：． 16．（22-23九年级上·陕西渭南·期末）反比例函数在第一象限的图象如图，过上的任意一点A，作x轴的平行线交于点，交轴于点C，连接，若，则k的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 【详解】解：轴， ，， ， ， 而， ． 故答案为：8． 三、解答题（本题共5小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（10分）已知y与x成反比例，且其函数图象经过点． (1)求y与x的函数关系式； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质： （1）设y与x的函数关系式为，将代入即可； （2）将代入（1）中所求解析式，即可求出x的值． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， 将代入，得：， 解得， y与x的函数关系式为； （2）解：由（1）得， 将代入，得：， 解得． 18．（10分）如图，取一根长的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧挂一个物体，在中点的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．根据杠杆原理，当物体保持不动时，弹簧秤的示数（单位：）是（弹簧秤与中点的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．    (1)求关于的函数表达式． (2)移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值． 【答案】(1)关于的函数解析式为 (2)弹簧秤的示数的最小值为 【分析】（1）根据反比例函数的定义，运用待定系数法即可求解； （2）根据反比例函数图形的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意设，把，代入，得， ∴关于的函数解析式为． （2）解：由（1）可知，关于的函数解析式为，，是弹簧秤与中点的距离是，如图所示，    ∵， ∴随的增大而减小， ∴把代入，得， ∴弹簧秤的示数的最小值为． 【点睛】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象的性质是解题的关键． 19．（10分）《墨经》中记载：“景到，在午有端，与景长，说在端．”大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验．如图1所示的小孔成像实验中，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数．已知当时，． (1)①求火焰的像高关于物距的函数表达式； ②请借助网格中的格点（不少于3个），在图2中画出①所对应的函数图象； (2)若控制火焰的像高不超过，则小孔到蜡烛的最短距离为____________． 【答案】(1)①；②见详解 (2) 【分析】本题考查的是反比例函数的应用，掌握待定系数法是解本题的关键． （1）①由题意设关于的函数表达式为，再利用待定系数法求解函数解析式； ②根据①先列表，然后描点，连线可画出函数图象； （2）把当代入，然后结合图象即可解答． 【详解】（1）解：①设关于的函数表达式为， 把，代入得：， 解得， 关于的函数表达式为：； ②由①列表如下： ….. 3 4 8 ….. ….. 8 6 3 …... 描点、连线，则可得反比例函数的图象如图所示： （2）解：当时，， 解得：， ， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，． 故答案为4.8． 20．（10分）学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数与上课时间（分钟）的变化如图所示．上课开始时注意力指数为30，前10分钟内注意力指数与时间的关系式为．10分钟以后注意力指数是时间的反比例函数． (1)求10分钟以后与的函数关系式； (2)如果讲解一道较难的数学题，要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课应该在哪个时间段讲解这道题？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，反比例函数和一次函数的应用，弄清题意是解题的关键； （1）先将代入，得，进而代入求出反比例函数关系式； （2）分别将代入两个关系式，即可求出x的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：依题意，将代入，得， 设10分钟以后与的函数关系式为 将，代入，得， ∴反比例函数关系式为． （2）解：由（1）得反比例函数关系式为． 当时，，解得； 当时，，解得． ∴为了保证教学效果，本节课应该在时间段讲解这道题． 21．（12分）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点． (1)求函数和的表达式； (2)若在x轴上有一动点C，当时，求点C的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数的解析式，反比例函数的解析式，一次函数与几何综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把代入反比例函数中，解得，运用待定系数法解得一次函数的解析式为：； （2）设与y轴交于点D，过点C作轴交于点E，先整理得，，再结合三角形面积公式列式，因为，得，解得或，即可作答． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数中， 得； ∴反比例函数的解析式为：， 将点分别代入一次函数的解析式， 得， ， ∴一次函数的解析式为：． （2）解：如图，设与y轴交于点D，过点C作轴交于点E， 设， 由（1）得反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为：． ， ， 令，， ， ∴， ∵， ∴， 即， 解得或， ∴点C的坐标为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级期末基础训练（代数2）—— 反比例函数 （考试时间：60分钟 试卷满分：100分） 训练重点:表达式、图像性质(象限、增减性)、基础面积问题、与一次函数简单结合题 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．若反比例函数的图象经过点，则k的值为（   ） A．6 B． C． D． 3．下列各点中，在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 4．若反比例函数的图象分布在第一、三象限，则（   ） A． B． C． D． 5．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，若的面积为，则的值为（    ） A． B． C．4 D．8 7．已知点，都在反比例函数的图象上，且当时，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．在同一平面直角坐标系中，函数与y（）的图像可能是（    ） A． B． C． D． 9．关于反比例函数 ，下列说法不正确的是 （    ） A．函数图象经过点 B．函数图象关于原点成中心对称 C．函数图象分别位于第二、四象限 D．当时，y随x的增大而减小 10．如图，反比例函数的图象与一次函数图象交于点，则不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如表，如果x和y两个量成反比例关系，那么“？”处应填 ． 12．已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则电流I与电阻R之间的函数表达式为 ． 13．已知反比例函数，那么y值随x值的增大而 （从“增大”或“减小”中选择）． 14．（25-26九年级上·湖南怀化·期中）反比例函数的图象有一支位于第二象限，则的取值范围是 ． 15．（25-26九年级上·四川成都·期中）考察函数的图象，当时，y的取值范围是 ． 16．（22-23九年级上·陕西渭南·期末）反比例函数在第一象限的图象如图，过上的任意一点A，作x轴的平行线交于点，交轴于点C，连接，若，则k的值为 ． 三、解答题（本题共5小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（10分）已知y与x成反比例，且其函数图象经过点． (1)求y与x的函数关系式； (2)当时，求x的值． 18．（10分）如图，取一根长的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧挂一个物体，在中点的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．根据杠杆原理，当物体保持不动时，弹簧秤的示数（单位：）是（弹簧秤与中点的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．    (1)求关于的函数表达式． (2)移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值． 19．（10分）《墨经》中记载：“景到，在午有端，与景长，说在端．”大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验．如图1所示的小孔成像实验中，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数．已知当时，． (1)①求火焰的像高关于物距的函数表达式； ②请借助网格中的格点（不少于3个），在图2中画出①所对应的函数图象； (2)若控制火焰的像高不超过，则小孔到蜡烛的最短距离为____________． 20．（10分）学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数与上课时间（分钟）的变化如图所示．上课开始时注意力指数为30，前10分钟内注意力指数与时间的关系式为．10分钟以后注意力指数是时间的反比例函数． (1)求10分钟以后与的函数关系式； (2)如果讲解一道较难的数学题，要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课应该在哪个时间段讲解这道题？ 21．（12分）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点． (1)求函数和的表达式； (2)若在x轴上有一动点C，当时，求点C的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $