精品解析：甘肃省白银市靖远县第四中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

甘肃省白银市靖远县第四中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题 一、选择题（每小题5分，只有一个选项符合题目要求.） 1. 抛物线的焦点是（ ） A. B. C. D. 2. 直线l的一个方向向量为，则它的斜率（  ） A. B. C. 1 D. 32 3. 设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线与直线互相垂直，则实数a的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 直线被圆所截得的弦长为（ ） A. B. C. D. 6. 设圆锥曲线的两个焦点分别为，.若曲线上存在点P满足，则曲线的离心率等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 已知椭圆：的左右焦点分别为，，点在椭圆上且，则三角形的面积为（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 若直线与曲线仅有一个公共点，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.） 9. 已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 取得最小值时 D. 数列不是等比数列 10. 已知圆：，直线：，则（ ） A. 直线与圆的轨迹一定相交 B. 直线与圆交于两点，则的最大值为 C. 圆上点到直线距离的最大值为 D. 当时，则圆上存在四个点到直线的距离为1. 11. 已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过的直线与抛物线交于两点，为线段的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 当，则直线的倾斜角为 C. 若，则点到轴的距离为8 D. 三、填空题（每小题5分） 12. 过点斜率为的直线在轴上的截距为______． 13. 已知曲线且.若为双曲线，则的一个取值为___________；若为椭圆，则的所有可能取值为___________. 14. 抛物线y2＝4x的焦点为F，点A(2，1)，M为抛物线上一点，且M不在直线AF上，则△MAF周长的最小值为____． 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知等差数列的公差为，是等比数列，． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 求适合下列条件的直线方程： （1）经过点，其方向向量也是直线的法向量． （2）经过点，和两条坐标轴正半轴围成的三角形的面积为4． 17. 已知圆的圆心在直线上，且经过点，. （1）求圆的标准方程； （2）求经过点且与圆相切的直线方程. 18. 经过抛物线焦点的直线交该抛物线于两点． （1）若直线的斜率是，求的值； （2）若是坐标原点，求的值． 19. 如图，已知椭圆的左、右顶点分别是，且经过点， 直线 恒过定点且交椭圆于两点，为的中点. （1）求椭圆的标准方程; （2）记的面积为S，求S的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省白银市靖远县第四中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题 一、选择题（每小题5分，只有一个选项符合题目要求.） 1. 抛物线的焦点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据抛物线的焦点坐标的公式即可求解. 【详解】的焦点是, 故选：D 2. 直线l的一个方向向量为，则它的斜率（  ） A. B. C. 1 D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的方向向量与直线的斜率之间的关系直接计算得到答案. 【详解】因为直线l的一个方向向量为， 所以直线的斜率. 故选：A. 3. 设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到，，进而得到，求出渐近线方程. 【详解】由题意得，，解得，， 故， 故双曲线渐近线方程为. 故选：C 4. 已知直线与直线互相垂直，则实数a的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线，若垂直，则求解. 【详解】因为直线与直线互相垂直， 所以 解得 故选：C 【点睛】本题主要考查两直线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 5. 直线被圆所截得的弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用点到直线的距离和垂径定理可求弦长. 【详解】圆的标准方程为， 圆心到直线的距离为， 所求弦长为． 故选：D. 6. 设圆锥曲线的两个焦点分别为，.若曲线上存在点P满足，则曲线的离心率等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥曲线的类型，结合圆锥曲线的定义和离心率的公式分类讨论进行求解即可. 【详解】设该圆锥曲线的离心率为， 当该圆锥曲线为椭圆时，， 当该圆锥曲线为双曲线时，. 即曲线的离心率等于或. 故选：C. 7. 已知椭圆：的左右焦点分别为，，点在椭圆上且，则三角形的面积为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用椭圆定义，结合余弦定理即可求三角形面积. 【详解】 由椭圆：可知：， 由余弦定理得：， 代入得：， 所以三角形面积为：， 故选：A. 8. 若直线与曲线仅有一个公共点，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先确定曲线的形状，然后结合直线恒过定点考查临界情况结合图像即可确定实数的取值范围． 【详解】曲线即， 即，表示为圆心，为半径的圆的上半部分， 直线即恒过定点， 作出直线与半圆的图象，如图， 考查临界情况： 当直线过点时，直线的斜率，此时直线与半圆有两个交点， 当直线过点时，直线的斜率，此时直线与半圆有1个交点， 当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离为1，且， 即，解得：，舍去）． 据此可得，实数的取值范围是． 故选：D． 二、多选题（每小题6分，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.） 9. 已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 取得最小值时 D. 数列不是等比数列 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A,B由等差数列的通项公式和前项和公式即可求出，即可判断； 对于C,，当或时，有最小值,故C错误； 对于D，由等比数列的定义可判断数列是等比数列，故D错误. 【详解】设等差数列的公差为，则，解得，， 所以，，故A，B正确； 当或时，有最小值，C错误； 因为，所以数列是公比为4的等比数列，故D错误． 故选：AB 10. 已知圆：，直线：，则（ ） A. 直线与圆的轨迹一定相交 B. 直线与圆交于两点，则的最大值为 C. 圆上点到直线距离的最大值为 D. 当时，则圆上存在四个点到直线的距离为1. 【答案】AD 【解析】 【分析】确定直线过定点，点在圆内，A正确，当时，最大，计算得到B错误，最大值为，C错误，确定直线过圆心，，D正确，得到答案. 【详解】圆：，圆心，半径， 直线过定点，， 对选项A：，点在圆内，故直线与圆一定相交，正确； 对选项B：当过圆心时，最大为，错误； 对选项C：圆上点到直线距离的最大值为，错误； 对选项D：直线：，圆心在直线上，， 故圆上存在四个点到直线的距离为1，正确； 故选：AD 11. 已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过的直线与抛物线交于两点，为线段的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 当，则直线的倾斜角为 C. 若，则点到轴的距离为8 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据抛物线的图象与几何性质，抛物线焦点弦性质逐个解决即可.其中对于D, . 【详解】对于A，易知，从而准线方程为，故A正确； 对于B，如图分别过 两点作准线的垂线，垂足分别为，过点作的垂线，垂足为点. 由于，不妨设，则， 由抛物线的定义易知：，， 在直角中，， 此时的倾斜角为， 根据抛物线的对称性可知，的倾斜角为或，故B错误； 对于C， 点， 由抛物线的定义知，， 所以有， 所以到轴距离，故C错误； 对于D，由抛物线定义知， 所以， 当且仅当，即时取得等号，故D正确； 故选:AD. 三、填空题（每小题5分） 12. 过点斜率为的直线在轴上的截距为______． 【答案】-2 【解析】 【分析】利用点斜式求直线方程，令x=0，即可得出直线在y轴上的截距． 【详解】由题意可得直线方程为：，令x=0，解得y=-2 所以直线在轴上的截距为-2， 故答案为：-2 13. 已知曲线且.若为双曲线，则的一个取值为___________；若为椭圆，则的所有可能取值为___________. 【答案】 ①. 3（答案不唯一） ②. 【解析】 【分析】由双曲线和椭圆的方程性质结合题意列不等式组可得； 【详解】若为双曲线，则，解得或， 又，所以的一个取值可能为3； 若为椭圆，则，解得且， 又，所以的所有可能取值为； 故答案为：3（答案不唯一）；. 14. 抛物线y2＝4x的焦点为F，点A(2，1)，M为抛物线上一点，且M不在直线AF上，则△MAF周长的最小值为____． 【答案】3＋ 【解析】 【分析】过M作MN垂直于抛物线的准线l，由抛物线的定义得到MF|＋|AM|＝|AM|＋|MN|，然后由A、M、N三点共线时求解. 【详解】如图所示， 过M作MN垂直于抛物线的准线l，垂足为N．易知F(1，0)， 因为△MAF的周长为|AF|＋|MF|＋|AM|， |AF|＝，|MF|＋|AM|＝|AM|＋|MN|， 所以当A、M、N三点共线时，△MAF的周长最小， 最小值为2＋1＋． 故答案为：3＋ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知等差数列的公差为，是等比数列，． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列以及等比数列定义计算即可求得结果； （2）利用分组求和由等差数列和等比数列前项和公式代入计算可得结果. 【小问1详解】 设的公比为． 因为，所以，故． 又，所以． 【小问2详解】 记和的前项和分别为，，则． 又， ， 所以． 16. 求适合下列条件的直线方程： （1）经过点，其方向向量也是直线的法向量． （2）经过点，和两条坐标轴正半轴围成的三角形的面积为4． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出直线的斜率，利用点斜式即可求出直线方程； （2）利用截距式方程结合题意即可求出直线方程. 【小问1详解】 直线的斜率为， 其法向量所在直线的斜率为， 所求直线方程为，即. 【小问2详解】 设直线方程为， 则，解得， 所求直线方程为， 即. 17. 已知圆的圆心在直线上，且经过点，. （1）求圆的标准方程； （2）求经过点且与圆相切的直线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出线段的中垂线方程，求出圆心坐标及半径即可； （2）按切线斜率存在与否，结合点到直线的距离公式求出切线方程. 【小问1详解】 线段的中点，直线的斜率， 则线段的中垂线方程为，即， 由，解得，， 因此圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 点到直线的距离为2，即直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 由，解得，因此方程为， 所以经过点且与圆相切的直线方程为或. 18. 经过抛物线焦点的直线交该抛物线于两点． （1）若直线的斜率是，求的值； （2）若是坐标原点，求的值． 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】（1）联立方程可求解方程两个根，即可根据焦点弦公式求解， （2）根据向量数量积的坐标运算即可求解. 【小问1详解】 抛物的焦点是，直线方程是，与，联立得：， 解得，所以． 【小问2详解】 当垂直于轴时，． 当不垂直于轴时，设，代入得， 所以，从而． 故， 综上． 19. 如图，已知椭圆的左、右顶点分别是，且经过点， 直线 恒过定点且交椭圆于两点，为的中点. （1）求椭圆的标准方程; （2）记的面积为S，求S的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由直线过定点坐标求得，再由椭圆所过点的坐标求得得椭圆方程； （2）设，直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得， 计算弦长，再求得到直线的距离，从而求得三角形面积，由函数的性质求得最大值． 【小问1详解】 由题意可得，直线恒过定点， 因为为的中点， 所以， 即. 因为椭圆经过点 ，所以 ， 解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设. 由得 恒成立， 则， 则 又因为点到直线的距离， 所以 令， 则， 因为，时，，在上单调递增， 所以当时，时，故. 即S的最大值为 . 【点睛】方法点睛：本题求椭圆的标准方程，直线与椭圆相交中三角形面积问题，计算量较大，属于难题．解题方法一般是设出交点坐标，由（设出）直线方程与椭圆方程联立方程组消元后应用韦达定理，然后由弦长公式求得弦长，再求得三角形的另一顶点到此直线的距离，从而求得三角形的面积，最后利用函数的性质，基本不等式等求得最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $