精品解析：湖南省娄底市娄星区联考2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

湖南省2025年九年级（上）作业（三） 数学（湘教版） 考生注意： 1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，时量120分钟，满分120分． 2．请在答题卡上作答，答在试卷上无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果把一个的三边都扩大2倍，那么锐角A的正切值（ ） A. 扩大2倍 B. 保持不变 C. 缩小到原来的 D. 以上都有可能 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的正切值，在直角三角形中，一个锐角的正切值等于该角所对的直角边与另一条直角边的比值，据此求解即可． 【详解】解：在中，不妨设， ∴， ∴把三边的长度都扩大为原来的2倍后， ∴锐角A的正切值保持不变， 故选：B． 2. 用配方法解方程，变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程配方法．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．在方程左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，然后配方即可． 【详解】解：， 移项得，， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 即． 故选：C． 3. 已知，则函数和图象大致是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数和一次函数的图象与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据分析两个函数图象所在象限， 即可选出答案 ． 【详解】解：∵ ， 的图象在一、 三象限， 在一、 二、 四象限， 故选：A． 4. 若是关于x的一元二次方程的一个解，则的值为（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程计算即可求解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】∵ 是方程的解， ∴ ，即， ∴ ， 故选：D． 5. 在平面直角坐标系中，已知线段，点，，以原点为位似中心，相似比为，把线段缩小，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 以原点为位似中心进行位似变换时，点的对应坐标可能为原坐标乘以相似比（同侧）或乘以相似比的相反数（异侧）． 【详解】解：∵位似中心为原点，相似比为， ∴点的对应点的坐标为即或即． 故选C． 6. 随着电视剧《沉默的荣耀》热播，剧中主人公吴石将军位于福州仓山区螺洲镇的故居也迎来参观热潮．故居前的广场上，吴石雕像巍然屹立．为增加视觉美感，设计雕像时采用了黄金分割比，使雕像腰部以上高度与腰部以下高度的比等于腰部以下高度与整个雕像高度的比．如图，雕像总高度为，那么该雕像腰部以下的高度约是（ ） （结果精确到．参考数据：） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例可得该雕像腰部以下的高度与整个雕像的高度的比值为，据此求解即可． 【详解】解：由黄金分割比例可知该雕像腰部以下的高度与整个雕像的高度的比值为， ∵雕像总高度为， ∴该雕像腰部以下的高度为， 故选：B． 7. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，是用杠杆撬石头，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头，其示意图如图乙所示，点为支点，若，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选D． 8. 综合与实践课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．10位同学每人随机收集核桃树、枇杷树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶长，宽（单位：）的数据后，计算每片叶子的长宽比，并绘制出折线统计图如图所示： 根据以上信息，下列说法错误的是（ ） A. 核桃树叶长宽比为出现的次数最多 B. 枇杷树叶的长宽比最大为 C. 小明测量一片枇杷叶的长为，小明断定它的宽一定为 D. 小亮收集到一片长、宽的树叶，判断它是一片核桃树叶 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查用样本估计总体，折线统计图等知识，根据题目给出的数据判断即可． 【详解】解：A. 10片核桃树叶的长宽比中出现次数最多的是2，故选项正确，不符合题意； B. 根据折线统计图可得，枇杷树叶的长宽比最大为，故选项正确，不符合题意； C. 枇杷树叶的长宽比大约为，是个估计值，不是准确值，小明测量一片核桃叶的长为，它的宽不一定为，故选项错误，符合题意； D. ∵， ∴该树叶有可能是核桃树树叶．故选项正确，不符合题意； 故选：C． 9. 如图，在小正方形组成的网格中，和的顶点都在网格点上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取格点，连接，证明，得到，则可证明，证明是等腰直角三角形，得到，则． 【详解】解：如图所示，取格点，连接， 由网格的特点可得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 10. 如图，已知在矩形中，是边的中点，与垂直，交直线于点，连接，则下列四个结论中：①；②；③；④．正确的有（ ） A. ①③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】通过证明，可得，可证；过作交于，可证四边形是平行四边形，可得，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可得；通过证明，可得，可求，即可得；由平行线性质可得，，可证，则可求解． 【详解】解：， ， ， 是边的中点， ， ， ，故①正确； 如图，过作交于， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ，故②正确； ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，故③错误， 四边形是矩形， ，，， ， ， ，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．由已知条件，将所求表达式拆分为，然后代入计算． 【详解】∵， ∴． 故答案为：． 12. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置．已知一款机器狗的最快移动速度与载重后总质量的函数表达式为，当其载重后总质量时，它的最快移动速度___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，将代入计算即可． 【详解】解：当 时，（m/s）． 故答案为 4． 13. 方程的根是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 先移项，然后运用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴或． 故答案为 或． 14. 如图，一辆汽车在坡度的斜坡上沿斜坡前进了100米，则该汽车竖直方向升高了_____米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坡度的定义和勾股定理的应用，熟练掌握坡度的定义是解题的关键． 根据坡度的定义设出竖直升高的高度和水平前进的距离，再利用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设汽车竖直方向升高了米， 坡度， 水平方向前进了米． 由勾股定理得，， 即， ， 解得（负值舍去）， ∴汽车竖直方向升高了米． 故答案为： 15. 为了解某校学生利用全国中小学智慧教育平台辅助学习的情况，从该校全体名学生中，随机调查了名学生，统计结果显示仅有3名学生从未使用该平台辅助学习．由此，估计该校全体学生中，从未使用该平台辅助学习的学生有______名． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由样本所占百分比估计总体的数量，计算出样本中从未使用该平台辅助学习的学生所占比例即可求解． 【详解】解：∵， ∴估计该校全体学生中，从未使用该平台辅助学习的学生有名． 故答案为：． 16. 若，且，则和对应边上的中线比为_____． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，对应边上的中线比等于相似比． 【详解】解：∵，且， ∴ 相似比为， 又 ∵ 相似三角形对应边上的中线比等于相似比， ∴ 中线比为， 故答案为：． 17. 如图，，，，，则_______． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查平行线分线段成比例，根据平行线得到比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故答案为：3． 18. 已知，且，那么的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、换元法解一元二次方程，把方程两边同时除以，可得：，可知和是一元二次方程的两个实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可以求出的值． 【详解】解：， 由方程可知， 把方程两边同时除以， 可得：， 可知和是一元二次方程的两个实数根， ， ． 故答案为：． 三、解答题：本题共2小题，共12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键． 根据、，非零数的零次幂为1，据此进行计算求解即可． 【详解】解：原式 ． 20. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，直线分别交x轴、y轴于A，B两点． （1）分别求出这两个函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为． （2） 【解析】 【分析】（1）先利用反比例函数图象上的点求出反比例函数表达式，再将点代入一次函数求出其表达式； （2）先求出一次函数与轴交点的坐标，再以为底，点横坐标为高，利用三角形面积公式求解． 【小问1详解】 解：对于反比例函数，把代入， 得，解得， 反比例函数表达式为， 对于一次函数，其中，把代入， 得，解得， 一次函数表达式为． 【小问2详解】 解：如图所示，过点作轴于点： 点的坐标为， ， 在一次函数中，令，得， ，则， ． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，掌握利用函数图象上的点求函数表达式，以及利用坐标求三角形面积的方法是解题的关键． 四、解答题：本题共2小题，共16分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每周的课外阅读时间（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图（所对应的是21人）．根据图中提供的信息．解答下列问题：      （1）这次抽样调查的学生人数是________人；并补全频数分布直方图； （2）扇形统计图的值为________，其中“”组对应的圆心角度数为________； （3）已知该校共有学生人，请根据调查结果估计该校每周课外阅读时间不少于小时的学生人数． 【答案】（1）， 补全图形如下：    （2）；； （3）估计该校每周课外阅读时间不少于小时的学生人数约为人． 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图和扇形统计图的综合运用，样本所占百分比估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键． （）组人数组所占百分比被调查总人数，将总人数组所占百分比求出组人数，即可补全频数分布直方图； （）组人数调查总人数即可得的值；组对应的圆心角度数组占调查人数比例； （）将样本中课外阅读时间不少于小时的百分比乘以即可求解． 【小问1详解】 解：这次被调查的学生共有：（人）， 组人数为：（人）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，则， 组对应的圆心角为：； 故答案为：；； 【小问3详解】 解：（人）． 答：估计该校每周课外阅读时间不少于小时的学生人数约为人． 22. 如图，点D、E、F分别在等边的三边上，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）的长为4 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识． （1）由等边三角形的性质得到，证明，即可证明； （2）证明，由（1）知：，得到，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长为4． 五、解答题：本题共2小题，共18分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 23. 某地计划为学校添置新型“躺式”课桌椅，以解决学生的午休问题．图①是“躺式”课桌椅的实物图，图②是上课期间椅子的摆放样式．已知座面与支撑脚平行，座面，座面高，背垫，．（结果精确到） （1）求点G到支撑脚的垂直距离． （2）如图③是午休时椅子的摆放样式，此时点G到点A的水平距离为，求背垫旋转的度数． （参考数据：，，，）． 【答案】（1） （2）背垫旋转的度数为 【解析】 【分析】此题考查三角函数的实际应用， （1）过点G作于点H，利用正弦公式求出即可； （2）过点G作，交的延长线于点M，由题意得，得到，在中，根据余弦求出，由此得到，进而得到背垫旋转的度数 【小问1详解】 解：过点G作于点H， 在中，， ∴， ∴ ∴点G到支撑脚的垂直距离约为． 【小问2详解】 过点G作，交的延长线于点M， 由题意得 ∵， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴背垫旋转的度数为 24. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈、并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．    （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈； （2） 解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据根的判别式判断即可． 【小问1详解】 解：设矩形的边，则边． 根据题意，得． 化简，得， 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈； 【小问2详解】 略 六、综合与实践：本题共2小题，共20分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 25. 定义：对任意一个三位数k，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，那么称这个数为“欢乐数”．例如，，因为，所以432是“欢乐数”． （1）直接写出最小的“欢乐数”是______； （2）若一个“欢乐数”（，a，b，c为自然数），且是方程的一个根，写出所有满足条件的“欢乐数”； （3）若一个“欢乐数”（，a，b，c为自然数），且关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，且，求出“欢乐数”k的值． 【答案】（1）111 （2）741，852，963 （3）444或555 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根的判别式．理解题意，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据“欢乐数”的定义求解即可； （2）根据“欢乐数”的定义以及一元二次方程的解可得到三者的关系，然后再根据“欢乐数”的定义得到的取值范围，进而可求解； （3）由关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，可得，即，进而可求，由，、b、，a、b、c为自然数，可求或，然后作答即可． 【小问1详解】 解：∵各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，各个数位上的数字最小为， ∴最小的“欢乐数”是111． 【小问2详解】 ∵是“欢乐数”， ∴， ∵是方程的一个根， ∴，且， ∴， ∴，即， ∵各个数位上的数字都不为零， ∴三个数都大于等于1且小于等于9， ∴， ∴， ∴的值可以为：1，2，3； 当时，，符合，此时“欢乐数”为741； 当时，，符合，此时“欢乐数”为852； 当时，，符合，此时“欢乐数”为963； 【小问3详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， ∵，， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∵、b、，a、b、c为自然数， ∴或， ∴k的值为或． 26. 问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张矩形纸片探究折叠的性质在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． 实践探究： （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，当，且时，求的长； 问题解决： （3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质得出，，根据直角三角形的性质得出； （2）根据相似三角形的判定解答即可； （3）过点N作于点G，证明，得出，设，设，则，由勾股定理得出，解出，则可求出答案． 【详解】解：（1）四边形是矩形， ， 将沿翻折，使点恰好落在边上点处， ，，， ， ， ； （2）将沿翻折，使点恰好落在边上点处， ，， 又矩形中，， ，， ， ， ， ， ，， ； （3）过点作于点， ， ， ， ， ，， ， ， 设， 平分，，， ，， 设，则， ， ， 解得， ， ． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省2025年九年级（上）作业（三） 数学（湘教版） 考生注意： 1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，时量120分钟，满分120分． 2．请在答题卡上作答，答在试卷上无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果把一个的三边都扩大2倍，那么锐角A的正切值（ ） A. 扩大2倍 B. 保持不变 C. 缩小到原来的 D. 以上都有可能 2. 用配方法解方程，变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则函数和图象大致是（ ）． A. B. C. D. 4. 若是关于x的一元二次方程的一个解，则的值为（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 5. 在平面直角坐标系中，已知线段，点，，以原点为位似中心，相似比为，把线段缩小，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 随着电视剧《沉默的荣耀》热播，剧中主人公吴石将军位于福州仓山区螺洲镇的故居也迎来参观热潮．故居前的广场上，吴石雕像巍然屹立．为增加视觉美感，设计雕像时采用了黄金分割比，使雕像腰部以上高度与腰部以下高度的比等于腰部以下高度与整个雕像高度的比．如图，雕像总高度为，那么该雕像腰部以下的高度约是（ ） （结果精确到．参考数据：） A. B. C. D. 7. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，是用杠杆撬石头，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头，其示意图如图乙所示，点为支点，若，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 8. 综合与实践课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．10位同学每人随机收集核桃树、枇杷树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶长，宽（单位：）的数据后，计算每片叶子的长宽比，并绘制出折线统计图如图所示： 根据以上信息，下列说法错误的是（ ） A. 核桃树叶长宽比为出现的次数最多 B. 枇杷树叶的长宽比最大为 C. 小明测量一片枇杷叶的长为，小明断定它的宽一定为 D. 小亮收集到一片长、宽的树叶，判断它是一片核桃树叶 9. 如图，在小正方形组成的网格中，和的顶点都在网格点上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知在矩形中，是边的中点，与垂直，交直线于点，连接，则下列四个结论中：①；②；③；④．正确的有（ ） A. ①③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 若，则___________． 12. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置．已知一款机器狗的最快移动速度与载重后总质量的函数表达式为，当其载重后总质量时，它的最快移动速度___________． 13. 方程的根是________． 14. 如图，一辆汽车在坡度的斜坡上沿斜坡前进了100米，则该汽车竖直方向升高了_____米． 15. 为了解某校学生利用全国中小学智慧教育平台辅助学习的情况，从该校全体名学生中，随机调查了名学生，统计结果显示仅有3名学生从未使用该平台辅助学习．由此，估计该校全体学生中，从未使用该平台辅助学习的学生有______名． 16. 若，且，则和对应边上的中线比为_____． 17. 如图，，，，，则_______． 18. 已知，且，那么的值为___________． 三、解答题：本题共2小题，共12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算：． 20. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，直线分别交x轴、y轴于A，B两点． （1）分别求出这两个函数的表达式； （2）求的面积． 四、解答题：本题共2小题，共16分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每周的课外阅读时间（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图（所对应的是21人）．根据图中提供的信息．解答下列问题：      （1）这次抽样调查的学生人数是________人；并补全频数分布直方图； （2）扇形统计图的值为________，其中“”组对应的圆心角度数为________； （3）已知该校共有学生人，请根据调查结果估计该校每周课外阅读时间不少于小时的学生人数． 22. 如图，点D、E、F分别在等边的三边上，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 五、解答题：本题共2小题，共18分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 23. 某地计划为学校添置新型“躺式”课桌椅，以解决学生的午休问题．图①是“躺式”课桌椅的实物图，图②是上课期间椅子的摆放样式．已知座面与支撑脚平行，座面，座面高，背垫，．（结果精确到） （1）求点G到支撑脚的垂直距离． （2）如图③是午休时椅子的摆放样式，此时点G到点A的水平距离为，求背垫旋转的度数． （参考数据：，，，）． 24. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈、并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．    （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 六、综合与实践：本题共2小题，共20分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 25. 定义：对任意一个三位数k，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，那么称这个数为“欢乐数”．例如，，因为，所以432是“欢乐数”． （1）直接写出最小的“欢乐数”是______； （2）若一个“欢乐数”（，a，b，c为自然数），且是方程的一个根，写出所有满足条件的“欢乐数”； （3）若一个“欢乐数”（，a，b，c为自然数），且关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，且，求出“欢乐数”k的值． 26. 问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张矩形纸片探究折叠的性质在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． 实践探究： （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，当，且时，求的长； 问题解决： （3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $