北京市第八十中学2025-2026学年高二上学期12月阶段检测数学试题

北京市第八十中学2025-2026学年高二上学期12月阶段检测数学试题 2025年12月 班级__________ 姓名__________ 考号__________ （考试时间90分钟 满分100分） 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 数列的前项和为，点在函数的图象上，则（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 4. 等差数列各项均为正整数，前n项和为,，若，则n＝（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 木楔在传统木工中运用广泛.如图，某木楔可视为一个五面体，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，且均为等边三角形，，则该木楔的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛如图所示，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第15层小球的个数为（ ） A. 100 B. 120 C. 128 D. 240 7. 已知数列满足，，(，，)，则“”是“数列为等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知直线与双曲线无公共交点，则C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知双曲线的左右顶点分别为，右焦点为F，以为直径作圆，与双曲线C的右支交于两点．若线段的垂直平分线过，则的数值为（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 9 10. 已知各项均为整数的数列满足：对任意的，．若，，，则正整数m的最大值为（ ） A. 63 B. 64 C. 65 D. 66 第二部分（非选择题 共60分） 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 已知函数，则____________. 12. 若抛物线的焦点为，则____________. 13. 设公差为的等差数列的前项和为，能说明“若，则数列是递减数列”为假命题的一组的值依次为__________． 14. 我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则___________；数列所有项的和为____________． 15. 已知数列，若， ，则称为低波动数列，给出以下四个结论： ①若公差为d的等差数列是低波动数列，则； ②若公比为q的等比数列是低波动数列，则； ③若数列是低波动数列，则； ④若数列满足，则是低波动数列．其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知数列是公差不为零的等差数列，，且是与的等比中项. （1）求数列的通项公式； （2）设为数列的前项和，为数列的前项和，求证：. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，. （1）求证：平面； （2）若平面，求平面与平面的夹角的大小. 18. 已知椭圆：的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，，四边形的周长为． （1）求椭圆的方程； （2）设点F为椭圆的左焦点，点，过点F作的垂线交椭圆于点P，Q，连接与交于点H．试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由． 19. 已知是无穷数列．给出两个性质： ①对于中任意两项，在中都存在一项，使； ②对于中任意项，在中都存在两项．使得． （1）若，判断数列是否满足性质①，说明理由； （2）若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由； （3）若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列. 北京市第八十中学2025-2026学年高二上学期12月阶段检测数学试题 2025年12月 班级__________ 姓名__________ 考号__________ （考试时间90分钟 满分100分） 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】B 第二部分（非选择题 共60分） 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分. 【11题答案】 【答案】- 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】，（答案不唯一） 【14题答案】 【答案】 ①. 48 ②. 384 【15题答案】 【答案】①③ 三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 【16题答案】 【答案】（1） （2） 证明：由（1）可知， 所以， 所以， 因为，所以. 【17题答案】 【答案】（1） 因为平面，平面，平面， 所以，， 又，所以， 又，，所以， 所以， 又，，且平面， 所以平面； （2）. 【18题答案】 【答案】（1）； （2）是定值1. 【19题答案】 【答案】(Ⅰ)不具有性质①； (Ⅱ)具有性质①；具有性质②； (Ⅲ)证明：解法一 首先，证明数列中的项同号，不妨设恒为正数： 显然，假设数列中存在负项，设， 第一种情况：若，即， 由①可知：存在，满足，存在，满足， 由可知，从而，与数列的单调性矛盾，假设不成立. 第二种情况：若，由①知存在实数，满足，由的定义可知：， 另一方面，，由数列的单调性可知：， 这与的定义矛盾，假设不成立. 同理可证得数列中的项恒为负数. 综上可得，数列中的项同号. 其次，证明： 利用性质②：取，此时， 由数列的单调性可知， 而，故， 此时必有，即， 最后，用数学归纳法证明数列为等比数列： 假设数列的前项成等比数列，不妨设， 其中，（的情况类似） 由①可得：存在整数，满足，且 （*） 由②得：存在，满足：，由数列的单调性可知：， 由可得： （**） 由（**）和（*）式可得：， 结合数列的单调性有：， 注意到均为整数，故， 代入（**）式，从而. 总上可得，数列的通项公式为：. 即数列为等比数列. 解法二：假设数列中的项均为正数： 首先利用性质②：取，此时， 由数列的单调性可知， 而，故， 此时必有，即， 即成等比数列，不妨设， 然后利用性质①：取，则， 即数列中必然存在一项的值为，下面我们来证明， 否则，由数列的单调性可知， 在性质②中，取，则，从而， 与前面类似的可知则存在，满足， 若，则：，与假设矛盾； 若，则：，与假设矛盾； 若，则：，与数列的单调性矛盾； 即不存在满足题意的正整数，可见不成立，从而， 然后利用性质①：取，则数列中存在一项， 下面我们用反证法来证明， 否则，由数列的单调性可知， 在性质②中，取，则，从而， 与前面类似的可知则存在，满足， 即由②可知：， 若，则，与假设矛盾； 若，则，与假设矛盾； 若，由于为正整数，故，则，与矛盾； 综上可知，假设不成立，则.同理可得：，从而数列为等比数列， 同理，当数列中的项均为负数时亦可证得数列为等比数列. 由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数. 从而题中的结论得证，数列为等比数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $