精品解析：河南省信阳市浉河中学2025-2026学年九年级上学期11月检测数学试卷

九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．是中心对称图形，符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 故选B． 2. 已知关于的一元二次方程有一个根为，则的值为（ ） A. 3 B. C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】将代入方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为， ∴， 解得， 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的意义，将根代入方程求解是解题关键． 3. 把抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解答的关键．根据图象的平移规律“左减右加，上加下减”解答即可． 【详解】解：将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到的解析式是． 故选：A． 4. 如图，与都是等腰直角三角形，，点E在上，如果绕点A逆时针旋转后能与重合，则旋转角度是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据等腰直角三角形的定义可得，再根据旋转角的定义即可得． 【详解】解：与都是等腰直角三角形，， ， 绕点逆时针旋转后能与重合， 和都是旋转角，旋转角度是， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形、旋转角，找准旋转角是解题关键． 5. 设点、、是抛物线的图象上三点，则 、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性和增减性即可进行解答．解题的关键是熟练掌握的对称轴为，顶点坐标为；时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ， 而点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∴， 故选：A． 6. 如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了量角器，对顶角，正确读出量角器度数是解题关键．由量角器可知，，再利用对顶角相等求解即可． 【详解】解：由量角器可知，， ， 即所量内角的度数为， 故选：C． 7. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图、概率公式，画树状图得出所有等可能的结果数以及卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将甲骨文“美”“丽”“山”“河”四张卡片分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果有2种， ∴卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的概率为． 故选：B． 8. 在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝mx2与一次函数y＝﹣mx﹣m的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二次函数图象的开口及与y轴交点的位置可确定m的正负，再利用一次函数y=-mx-m经过的象限确定m的正负，对比后即可得出结论． 【详解】解：∵y=-mx-m=-m（x+1）， ∴一次函数图像经过点（-1，0），故C、D不合题意； A、由二次函数y=mx2的图象开口向上，可知m＞0，由一次函数y=-mx-m的图象经过第一、二、三象限可知m＜0，结论矛盾，A选项不合题意； B、由二次函数y=mx2的图象开口向下，可知m＜0，由一次函数y=-mx-m的图象经过第一、二、三象限可知m＜0，结论一致，B选项符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数图象，根据二次函数的图象和一次函数图像找出每个选项中m的正负是解题的关键． 9. 如图，在中，，顶点A的坐标为，以为边向的外侧作正方形，将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第98次旋转结束时，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出点B、D的坐标，由题意可得每8次旋转一个循环，即可求解． 【详解】解：如图，过点B作轴于点E，轴于点F，连接， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵是等腰直角三角形，， ∴ ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴每8次旋转一个循环， ∵ 由题意可得，最后的位置是,如图， ∴点的坐标 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，旋转的性质，找到旋转的规律是本题的关键． 10. 在学习两点间的距离、直线外一点到这条直线的距离的过程中，同学们积累了一定的研究经验，如果定义：平面内，一点与一个图形上所有点的最短距离叫做这个点到该图形的距离．如图①，正方形的边长为2，中心为点O，在该正方形外有一点P，，且．当点P绕着点O顺时针旋转时，设旋转角的度数为x，点P到正方形的距离为y，如图②是点P在旋转过程中，y随x的变化而变化的函数图象，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据正方形的性质和函数的图象求出函数的最大值和最小值，即a和b的值，再代入求解． 【详解】解：连接，， ∵正方形的边长为2，中心为点O，，且， ∴四边形为平行四边形， ∴，此时y值最大，， 当旋转，即时，经过D，此时y最小，为， ∴，， ∴， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知点与关于原点对称，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中，关于原点对称的点横、纵坐标都互为相反数，求出a，b的值即可． 【详解】解：∵点与关于原点对称， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标的特点，掌握特殊位置关系的点的坐标变化是解答本题的关键． 12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的判别式，熟练掌握一元二次方程的判别式确定实数根的计算是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根，进行计算求解即可． 【详解】解：由于方程有两个不相等的实数根， 则， 即， 解得， 故答案为：． 13. 二次函数的部分图象如图所示，当时，x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据对称轴和与x轴的一个交点确定另一个交点的坐标，然后根据其图象确定自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， ∴与x轴的另一个交点坐标为， ∴时，x的取值范围为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴求得另一个交点坐标，难度不大． 14. 如图，在矩形中，对角线交于点O，以点O为圆心，长为半径作弧经过点C，过点O作，分别与边交于点E、F．若，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理得，，由矩形，可得，则是等边三角形，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：在中，由勾股定理得，， ∵矩形， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，扇形面积，等边三角形的判定与性质，正切等知识．熟练掌握矩形的性质，勾股定理，扇形面积，等边三角形的判定与性质，正切是解题的关键． 15. 如图，在边长为4的正方形中，点是的中点，点是边上一动点，点关于直线的对称点为点，当为等腰三角形时，的长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质及等腰三角形的分类讨论，解题的关键是利用轴对称得到的垂直平分关系，结合与勾股定理对等腰三角形的不同情况分类计算． 由轴对称知垂直平分，得；分和两种情况讨论，当时，结合是中点得，利用相似比求出即；当时，求出，再通过勾股定理得． 【详解】解：设与相交于点O，作，垂足为H，， ∵点C与点关于直线对称， ∴垂直平分，， ∴，又， ∴，则①． 当为等腰三角形时，以下分两种情况讨论： 情况一：，如上图，则． 设，则， 由①得，解得，则． 情况二：，如下图，则， 由①得，则，． 由勾股定理得， ． ∴． 综合以上可知，的长为或． 故答案为：或． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）解方程． （2）求出抛物线的对称轴和顶点坐标； 【答案】（1）， （2）对称轴是 ，顶点坐标是 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程、二次函数的图象与性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据因式分解法进行求解即可； （2）先把二次函数变为顶点式，继而根据二次函数的图象与性质进行求解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 ∴对称轴为直线，顶点坐标为． 17. 在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）与关于原点中心对称，画出，并直接写出点的坐标． （2）绕原点顺时针旋转得到，画出． （3）求（2）中点在旋转过程中所形成的弧长长度． 【答案】（1）即为所求． （2）如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换，弧长公式，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案； （3）利用弧长公式即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接，则在中， ． 18. 如图，四边形内接于，对角线为的直径，，在的延长线上取一点E，连接，使． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，掌握圆周角定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系及全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键． （1）连接，根据圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理证明，根据圆的内接四边形的性质得，根据平角的定义得，从而得，由等腰三角形的性质得，证明，根据全等三角形的判定与性质得； （2）由（1）求出，在中利用勾股定理求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， 在中利用勾股定理，得． 19. 如图1，在中，是的中点，． （1）如图2，若点为上一点，且，，三点均在上，连接，与相切于点； ①的度数为___________； ②，求的半径； （2）利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线，交于点，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． 【答案】（1）①；② （2） 如图，射线即为所求： 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、圆的切线性质、含角的直角三角形及尺规作图，解题的关键是利用菱形与圆的性质推导角度关系，进而求解线段长度． （1）①先证四边形为菱形得，结合得角相等，利用三角形外角性质及切线的性质，推出的度数；②用表示，利用含角的直角三角形的性质列出方程，即可求解的半径； （2）利用尺规作，即可得到射线． 【小问1详解】 解：① 四边形为平行四边形， 又，且为中点 ， 平行四边形为菱形． ， ， ， ， ， 切于， ， ， ； 故答案为：； ②，， ， ， ， 解得； 【小问2详解】 略 20. 某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个． （1）设该吉祥物毛绒玩具每个售价提高元，求该商品销售利润与之间的函数关系式； （2）如果每天的利润要达到1200元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）每个毛绒玩具售价应定为 50 元 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数及一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据“毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个”可直接列出函数关系式； （2）由（1）及利润、售价及成本的等量关系式可列方程进行求解； 【小问1详解】 解：由题意得：； ∴该商品销售利润与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由（1）可得：， 解得：， ∵尽可能让利于顾客， ， 元， 答：每个毛绒玩具售价应定为 50 元． 21. 某班级在一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（长方体无盖箱子放在水平地面上）．同学们受游戏启发，将弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，矩形为箱子的截面示意图），某同学将弹珠从处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线：（单位长度为）的一部分，且当弹珠的高度为时，对应的两个位置的水平距离为．已知，，． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标． （2）请通过计算说明该同学抛出的弹珠能否投入箱子． 【答案】（1），顶点坐标为 （2）该同学抛出的弹珠不能投入箱子 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）把点，，代入，再把抛物线解析式化为顶点式，，即可求解； （2）根据题意求出点，，，再由当时， 可得，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可知，抛物线过点， 将把点，代入得 解得 ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴顶点坐标为． 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴， 即点． ∵，， ∴． ∴点，，． 当时，， ∵， ∴该同学抛出的弹珠不能投入箱子． 22. 定义：我们把横、纵坐标相同的点叫做“和谐点”． （1）求二次函数的“和谐点”的坐标； （2）已知二次函数 ①若该函数只有一个“和谐点”，求的值； ②若该函数在的范围内有两个不同的“和谐点”，则的取值范围是___________； 【答案】（1） （2）①，；② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的其他应用，新定义，一元二次方程的判别式，二次函数的图象性质，解不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解“和谐点”的定义，进行列式计算，即可作答． （2）①先得，结合该函数只有一个“和谐点”，则，得出方程，得，解得，； ②同理得，令，当时，则，则，结合函数中的，得开口方向向上，的的取值范围为或；又因为该函数在的范围内有两个不同的“和谐点”，把代入令，得；把代入，得；因为函数的，得函数开口向上，故且，得且，由对称轴在和之间得到，从而得到得，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，令， 则， 则， 解得； 即二次函数的“和谐点”的坐标分别是； 【小问2详解】 解：①依题意，令， 则， ∴， ∵该函数只有一个“和谐点”， ∴， 解得：， ∴，； ②依题意，令， 则， ∴， ∵该函数在的范围内有两个不同的“和谐点”， ∴， 令， 当时，则 ∴， ∵函数中的， ∴开口方向向上， ∴的的取值范围为或； ∵该函数在的范围内有两个不同的“和谐点”， 令， ∴把代入令，得； 整理得， 把代入，得； 整理得， ∵函数的， ∴函数开口向上， ∴且， ∴且， 即， ∵函数 ∴对称轴为直线， ∵在的范围内有两个不同的“和谐点” ∵ ∴③， ∴综合①②③得： 即的取值范围是 【点睛】本题考查了二次函数的其他应用，新定义，一元二次方程的判别式，二次函数的图象性质，解不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 23. 综合实践：数学活动课上，老师让同学们以“直角三角板的旋转”为主题进行探究活动：用两个大小不同的等腰直角三角板，按如图1所示的方式放置．中，，，中，，，延长至，使得，连接． （1）如图2，将旋转至点落在边上时，延长交于点，易证和平行且相等，从而可以证明：和的数量关系为___________，位置关系为___________． （2）当旋转至图1所示位置时（1）中的结论还成立吗？若成立请给出证明，若不成立请说明理由； （3）已知，当旋转至时，请直接写出的长___________． 【答案】（1）， （2） 结论仍然成立．证明如下： 如图1，延长到点G，使，连接、、、． ∵， ∴与互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴，． ∵是等腰直角三角形，，， 又， ∴， ∴A、D、G三点在以E为圆心、为半径的圆上，且为直径， ∴． 又， ∴， ∴，且． 又是等腰直角三角形，，， ∴， ∴， 即． 在和中， ， ∴， ∴，． ∴． 设与交于点N， ∵，， ∴ ∴，即． 又， ∴． 故当旋转至图1所示位置时，（1）中的结论仍然成立． （3）或 【解析】 【分析】（1）当点D落在上时，先分别证明为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，从而可说明，再利用三线合一得出是边上的中线，从而可得，进而可证明，根据全等三角形的性质可得∴，再证明，可得，然后分别求出，，从而可说明，也就是； （2）先证明四边形是平行四边形，再证明，根据全等三角形的性质可得，，从而可得，再说明，从而可根据，得出； （3）分直线过点C，旋转到点在上两种情形，当直线过点C时，先证明四边形是平行四边形，再证明，可得出是等腰直角三角形，再利用勾股定理求得，从而可求得，然后利用勾股定理求得；当旋转到点在上时，同样先证明四边形是平行四边形，再证明，从而可得出是等腰直角三角形，，然后利用勾股定理求得． 【小问1详解】 解：当点D落在上时， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴为等腰直角三角形． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分， 又， ∴， ∴是边上的中线， ∴， 又，， ∴， ∴，，， ∴， 又，， ∴， 即， ∴， 又， ∴， 又， ∴， 即， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当直线过点C时，， 则， 延长到使得， 连接、、、， ∵ ∴与互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 在中，， ∴， ∴； 当旋转到点在上时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在线段上截取，连接， 又， ∴与互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴（前一情况中已经说明）， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了全等的性质和综合（），三线合一，利用平行四边形性质和判定证明，根据旋转的性质求解，用勾股定理解三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于的一元二次方程有一个根为，则的值为（ ） A. 3 B. C. 0 D. 3. 把抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，与都是等腰直角三角形，，点E在上，如果绕点A逆时针旋转后能与重合，则旋转角度是( ) A. B. C. D. 5. 设点、、是抛物线的图象上三点，则 、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝mx2与一次函数y＝﹣mx﹣m的图象可能是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，顶点A的坐标为，以为边向的外侧作正方形，将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第98次旋转结束时，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 在学习两点间的距离、直线外一点到这条直线的距离的过程中，同学们积累了一定的研究经验，如果定义：平面内，一点与一个图形上所有点的最短距离叫做这个点到该图形的距离．如图①，正方形的边长为2，中心为点O，在该正方形外有一点P，，且．当点P绕着点O顺时针旋转时，设旋转角的度数为x，点P到正方形的距离为y，如图②是点P在旋转过程中，y随x的变化而变化的函数图象，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知点与关于原点对称，则___________． 12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 13. 二次函数的部分图象如图所示，当时，x的取值范围是______． 14. 如图，在矩形中，对角线交于点O，以点O为圆心，长为半径作弧经过点C，过点O作，分别与边交于点E、F．若，，则图中阴影部分的面积为________． 15. 如图，在边长为4的正方形中，点是的中点，点是边上一动点，点关于直线的对称点为点，当为等腰三角形时，的长为___________． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）解方程． （2）求出抛物线的对称轴和顶点坐标； 17. 在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）与关于原点中心对称，画出，并直接写出点的坐标． （2）绕原点顺时针旋转得到，画出． （3）求（2）中点在旋转过程中所形成的弧长长度． 18. 如图，四边形内接于，对角线为的直径，，在的延长线上取一点E，连接，使． （1）求证：． （2）若，求的长． 19. 如图1，在中，是的中点，． （1）如图2，若点为上一点，且，，三点均在上，连接，与相切于点； ①的度数为___________； ②，求的半径； （2）利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线，交于点，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． 20. 某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个． （1）设该吉祥物毛绒玩具每个售价提高元，求该商品销售利润与之间的函数关系式； （2）如果每天的利润要达到1200元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？ 21. 某班级在一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（长方体无盖箱子放在水平地面上）．同学们受游戏启发，将弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，矩形为箱子的截面示意图），某同学将弹珠从处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线：（单位长度为）的一部分，且当弹珠的高度为时，对应的两个位置的水平距离为．已知，，． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标． （2）请通过计算说明该同学抛出的弹珠能否投入箱子． 22. 定义：我们把横、纵坐标相同的点叫做“和谐点”． （1）求二次函数的“和谐点”的坐标； （2）已知二次函数 ①若该函数只有一个“和谐点”，求的值； ②若该函数在的范围内有两个不同的“和谐点”，则的取值范围是___________； 23. 综合实践：数学活动课上，老师让同学们以“直角三角板的旋转”为主题进行探究活动：用两个大小不同的等腰直角三角板，按如图1所示的方式放置．中，，，中，，，延长至，使得，连接． （1）如图2，将旋转至点落在边上时，延长交于点，易证和平行且相等，从而可以证明：和的数量关系为___________，位置关系为___________． （2）当旋转至图1所示位置时（1）中的结论还成立吗？若成立请给出证明，若不成立请说明理由； （3）已知，当旋转至时，请直接写出的长___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $