第四章 图形的相似 单元检测试卷（3 ）2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2025--2026学年北师大版数学九年级上册 第四章 图形的相似 单元检测试卷3（含答案） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1、下列四组线段是成比例线段的是( ) A、1cm,2cm,3cm,4cm B、2cm,3cm,4cm,6cm C、5cm,6cm,7cm,8cm D、7cm,8cm,9cm,10cm 2、如图,在△ABC中,点DE分别在边ABAC上,若DE∥BC,,DE=6 cm,则BC的长为( ) A、9 cm　　　     B、12 cm C、15 cm　　　    D、18 cm 3、如图,在Rt△ABC中,∠BAC=∠ADC=90°.若AD=3,BD=2,则CD的长为( ) A、　　　    B、3　　　   C、2 　　　    D、  4、如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是(　　) A、∠B＝∠ADE B、∠C＝∠E C、 D、 5、 如图,线段AB两个端点的坐标分别为A(6,6)B(8,2),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩 小为原来的后得到线段CD,则端点C的坐标为(    　) A、(3,3) B、(4,3) C、(3,1) D、(4,1) 6、如图,△ABC与△DEF位似,点O为位似中心,相似比为2∶3.若△ABC的周长为4,则△DEF的周长为 ( ) A、 4　　　    B、6　　　    C、9　　　    D、16 7、如图,在△ABC中,AB=AC,AB=4,BC=3,∠BAC=50°,P为BC上一点,且BP=1,点D为边AC上一点,若 ∠APD=65°,则CD的长为 ( ) A、 　　　    B、 　　　    C、 　　　    D、  8、如图，已知BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且MN∥BC，点O在MN上，若AB＝18，BC＝24，AC＝12，则MN的长是(　　) A、13 B、 C、 D、14 9、△ABC的边上有DEF三点,各点位置如图所示.若∠B=∠FAC,BD=AC,∠BDE=∠C,BE=7,EF=4,FC=5,则四边形ADEF与△ABC的面积比为( ) A、1∶3　　　    B、1∶4　　　    C、2∶5　　　    D、3∶8 10、如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,以点C为圆心,以BC为半径作弧交AC于点D,再分别以B,D为圆心,以大于 BD的长为半径作弧,两弧相交于点P,作射线CP交AB于点E,连接DE.以下结论不正确的是 ( ) A、∠BCE=36°　　　 B、 BC=AE C、  D、 二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 11、若，则 。 12、如图,已知l1∥l2∥l3,AB=6 cm,BC=3 cm,A1B1=4 cm,则线段B1C1= cm。 13、美是一种感觉,当人体下半身长与身高的比越接近0.618时,越给人一种美感.小颖妈妈身高165 cm,下半身长与身高的比值是0.60,为尽可能达到有美感的效果,她穿的高跟鞋的高度大约为  cm, 14、如图,数学活动课上,为测量学校旗杆的高度,小艺同学在脚下水平放置一平面镜,然后向后退(保持脚平面镜和旗杆底端在同一直线上),直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小艺的眼睛离地面的高度为1.6米,同时量得小艺与镜子的水平距离为2米,镜子与旗杆的水平距离为10米,则旗杆的高度为  米。   15、如图所示,在长为8,宽为6的矩形中,截去一个小矩形(图中阴影部分),如果剩下的矩形与原矩形相似,那么剩下矩形的面积是 。   16、如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，DE∥BC，EF∥AB.若AB＝8，BD＝3，BF＝4，则FC的长为________． 17、如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,AD=5,BC=10,四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形,且点EFGNM都在△ABC的边上,那么△AEM与四边形BCME的面积比为 。 18、如图，D为Rt△ABC斜边AB的中点，连接CD，过点D作 DE⊥CD交BC于E，若BE＝2，AC＝5，则CE＝________。 19、如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,边AB在轴上,以O为位似中心,作△A1B1C1与△ABC位似,若C(2,4)的对应点C1的坐标为(1,2),则点B的对应点B1的坐标为　　　    。 20、 如图,已知∠ACB=∠D=90°,添加一个条件使△ABC和△BCD相似，你添加的条件是 （写出 一个即可）。　　    三、解答题（本大题共8小题，其中第21～23题每小题6分，第24～27题每小题8分,第28题10分，共60分） 21、翻花绳是中国传统的民间益智游戏,图①是翻花的一种图案,可以抽象成图②,且AF∥EC,DE∥BF, 求证:    22、如图,在正方形网格图中,点A,B,C都在格点上,按要求完成下列作图.(要求:仅用无刻度的直尺在所给网格图中作图,不写画法,保留作图痕迹) (1)在图1中,以C为位似中心画一个三角形,使它与△ABC位似,且相似比为2∶1. (2)图2中,以线段AD为边画一个三角形,使它与△ABC位似. (3)图3中,在线段AB上画一个点P,使.   23、如图,等边△ABC的边长为6,D是BC边上的动点,点E、F分别在边AB、AC上,且始终满足∠EDF=60°. (1)求证:△BDE∽△CFD. (2)当BD=1.5,FC=1时,求BE的长. 24、如图,E为▱ABCD的边CD延长线上的一点,连接BE交AC于点O,交AD于点F. (1)求证:△AOB∽△COE. (2)求证:. 25、如图,矩形ABCD中,点E在DC上,DE=BE,AC与BD相交于点O,BE与AC相交于点F.     (1)若BE平分∠CBD,求证:BF⊥AC. (2)找出图中与△OBF相似的三角形,并说明理由. 26、如图,AB⊥BC,DC⊥BC,E是BC上一点,使得AE⊥DE. (1)求证:△ABE∽△ECD. (2)若AB=4,AE=BC=5,求CD的长. (3)当△AED∽△ECD时,请写出线段AD、AB、CD之间的数量关系,并说明理由.    27、如图,建筑物BC上有一根旗杆AB,小芳计划测量该建筑物的高度.方法如下:在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树FD,小芳沿CD方向后退,发现地面上的点E、树顶F、旗杆顶端A恰好在一条直线上,继续后退,发现地面上的点G、树顶F、建筑物顶端B恰好在一条直线上,已知旗杆AB=3米,FD=4米,DE=5米,EG=1.5米,点A、B、C在一条直线上,AC、FD均垂直于CG,请你帮助小芳求出这座建筑物的高BC. 28、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=5,AD=6,BC=12,动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向C点运动,动点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的速度向B点运动,两点同时出发,当P点到达C点时,Q点随之停止运动. (1)梯形ABCD的面积等于 . (2)当PQ∥AB时,P点离开D点的时间为 秒. (3)当以P、Q、C为顶点的三角形是直角三角形时,P点离开D点多长时间?   【参考答案】 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C 　A D A B C C D D 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 2 8 8 27 （1，0） AB∥CD或BC平分∠ABD或 ∠ABC+∠DBC=90°　 二、填空题 三、解答题 21、证明:∵AF∥EC, ∴, ∵DE∥BF, ∴, ∴, ∵GF∥EH,EG∥HF, ∴四边形EHFG是平行四边形, ∴GF=EH,FH=EG, ∴ 22、解：(1)如图1,△A1B1C即为所求. (2)如图2,△ADE即为所求. (3)如图3,点P即为所求. 23、⑴∵△ABC是等边三角形, ∴∠B=∠C=60°, ∵∠EDF=60°, ∴∠BDE+∠CDF=∠BED+∠BDE=120°, ∴∠BED=∠CDF, ∴△BDE∽△CFD. ⑵∵△BDE∽△CFD, ∴ ∵等边△ABC的边长为6,BD=1.5,FC=1, ∴CD=BC-BD=6-1.5=4.5, ∴,解得 24、证明：⑴∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD, ∴∠BAO=∠ECO, ∵∠AOB=∠COE, ∴△AOB∽△COE. ⑵∵△COE∽△AOB, ∴, ∵AD∥BC, ∴△COB∽△AOF. ∴, ∴, ∴. 25、如图. (1)证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴OD=OC,AB∥CD,∠BCD=90°, ∴∠2=∠3=∠4,∠3+∠5=90°, ∵DE=BE, ∴∠1=∠2, ∵BE平分∠DBC, ∴∠1=∠6, ∴∠3=∠6, ∴∠6+∠5=90°, ∴∠BFC=90°,即BF⊥AC. (2)与△OBF相似的三角形有△ECF,△BAF.理由如下: 由(1)可得∠1=∠4, 又∵∠AFB=∠BFO, ∴△BAF∽△OBF, ∵∠1=∠2=∠3,∠EFC=∠OFB, ∴△ECF∽△OBF. 26、(1)证明:∵AB⊥BC,DC⊥BC, ∴∠B=∠C=90°, ∴∠BAE+∠AEB=90°, ∵AE⊥DE, ∴∠AED=90°, ∴∠AEB+∠DEC=90°, ∴∠DEC=∠BAE, ∴△ABE∽△ECD. (2) Rt△ABE中,∵AB=4,AE=5, ∴BE=3, ∵BC=5, ∴EC=5-3=2, 由(1)得,△ABE∽△ECD, ∴, ∴, ∴. (3)线段ADABCD之间的数量关系:AD=AB+CD.理由如下: 如图,过E作EF⊥AD于F, ∵△AED∽△ECD, ∴∠ADE=∠EDC, ∵DC⊥BC, ∴EF=EC, ∵DE=DE, ∴Rt△DFE≌Rt△DCE(HL), ∴DF=DC, 由(1)得△ABE∽△ECD,又△AED∽△ECD, ∴△ABE∽△AED, 同理可得,△ABE≌△AFE, ∴AF=AB, ∴AD=AF+DF=AB+CD. 27、解：由题意可得,∠ACE=∠EDF=90°,∠AEC=∠FED, ∴△ACE∽△FDE, ∴,即, ∴, 由题意可得,∠BCG=∠FDG=90°,∠BGC=∠FGD, ∴△BCG∽△FDG, ∴,即, ∴6.5BC=4(CD+6.5), ∴, ∴BC=14米, 即这座建筑物的高BC为14米. 28、解：(1)36. (2) 提示：如图1,过点D作DF∥AB交BC于点F. ∵DF∥AB,PQ∥AB, ∴PQ∥DF, ∵AD∥BC, ∴四边形ABFD是平行四边形, ∴AD=BF=6, ∴CF=BC-BF=6, 设当PQ∥AB时,P点离开D点的时间为秒. ∴DP=,CQ=,∴PC=, 易知△DFC∽△PQC,∴,即,解得. (3)过点D作DE⊥BC于点E,则CE=3.当以P、Q、C为顶点的三角形是直角三角形 时,分两种情况: ①当PQ⊥BC时,如图2,设点P离开点D的时间为秒,则DP=,CP=5-x1,QC=.∵ ∠PQC=∠DEC=90°,∠C=∠C, ∴△QCP∽△ECD,∴ = ,即 = ,解得. 故当PQ⊥BC时,点P离开点D的时间为秒. ②当QP⊥CD时,如图3,设点P离开点D的时间为秒,则DP=,PC=,QC=. ∵∠QPC=∠DEC=90°,∠C=∠C,∴△QPC∽△DEC, ∴ ,即,解得. 故当QP⊥CD时,点P离开点D的时间为秒. 综上所述,当以P、Q、C为顶点的三角形是直角三角形时,点P离开点D的时间为  秒或秒. 学科网（北京）股份有限公司 $