第四章《图形的相似》期末单元复习卷 -2025-2026学年北师大版（2012）数学九年级上册

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 北师大版九年级数学 第四章 图形的相似 期末复习卷 考试时间:120分钟 满分150分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 卷I（选择题） 一、选择题（本题共计 10 小题 ，每题 4分 ，共计40分） 1.已知，则下列各式不成立的是（  ） A. B. C. D. 2.已知、两地的实际距离，画在图上的距离，则该地图的比例尺为（    ） A. B. C. D. 3.《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，全球票房达到亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是（   ） A. B. C. D. 4.如图，直线，它们依次交直线、于点、、和、、，已知，，，那么等于（      ） A. B. C. D. 5.如图，把矩形对折，折痕为，如果矩形和矩形相似，则它们的相似比为（      ） A. B. C. D. 6.如图，是的边上一点，那么下面四个命题中错误的是（      ） A.如果，那么 B.如果，那么 C.如果，那么 D.如果，那么 7.如图，在塔前的平地上选择一点，由点看塔顶的仰角是，在点和塔之间选择一点，由点看塔顶的仰角是．若测量者的眼睛距离地面的高度为，，，，则塔的高度大约为．（参考数据：，） A. B. C. D. 8.如图，点是的重心，是边上一点，，连接，连接并延长分别交于点、，则的值为（    ） A. B. C. D. 9.如图，在平面直角坐标系中，已知与位似，原点是位似中心，且，则点的坐标是（   ） A. B. C. D. 10.如图，正方形中，为边上一点，垂直交的延长线与，为的中点，连，则下列结论中正确的个数是（    ） ① ②平分 ③ ④ A.个 B.个 C.个 D.个 卷II（非选择题） 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ） 11.已知，且，则＝_______． 12.已知、、、是成比例线段，，，，则线段的长为_____． 13.电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台从到的距离，那么舞台长为________． 14.如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为，若矩形与原矩形相似，，则的长为_____________． 15.如图，在中，，，点、分别在边、上，且，，连接，，相交于点，则面积最大值为_______． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ） 16.（6分）已知，，求的值． 17.(7分) 已知线段满足，且． （1）求的值； （2）若线段是线段的比例中项，求的值． 18.(7分) 如图，已知四边形与四边形相似，点，，，的对应点分别为，，，． （1）_______； （2）求边，的长度． 19.(8分) 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为个单位的小正方形，点、、都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中． （1）外接圆的圆心坐标是__________； （2）已知与（点、、都是格点）成位似图形，则位似中心的坐标是__________； （3）请在网格图中的空白处画一个格点，使，且相似比为． 20.(9分) 如图，用长为的细铁丝围成一个矩形．若这个矩形为黄金矩形与之比等于黄金比． （1）求该矩形的长．（结果保留根号） （2）求该矩形的面积．（结果保留根号） 21.（9分）如图，公园内有一个垂直于地面的立柱，其旁边有一个坡面，坡角．在阳光下，小明观察到在地面上的影长为，在坡面上的影长为．同一时刻，小明测得直立于地面长的木杆的影长为（其影子完全落在地面上）．求立柱的高度． 22.(9分) 如图，正方形中，，是上一点，过作交于点，连接． （1）证明：． （2）当时，求的长． 23.(10分) 如图所示，在等腰三角形中，，点在线段上，点在线段上，且，．求证： （1）； （2）． 24.(12分) 如图，已知菱形，点是上的点，连接，点关于的对称点恰好落在边上，连接、，延长，交延长线于点． （1）求证：； （2）连接，若，菱形的边长为． ①求菱形的面积； ②求的长． 25.(13分) 如图，在中，，，，点从点出发，沿的方向匀速运动，速度为；同时点由点出发，沿的方向匀速运动，速度为，过点作交于点．设运动时间为 （1）求线段的长（用含的代数式表示）； （2）连接，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在说明理由； （3）连接、，是否存在某一时刻，使点在线段的垂直平分线上？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 第3页 共16页 ◎ 第4页 共16页 第1页 共16页 ◎ 第2页 共16页 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 北师大版九年级数学 第四章 图形的相似 期末复习卷 考试时间:120分钟 满分150分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 卷I（选择题） 一、选择题（本题共计 10 小题 ，每题 4分 ，共计40分） 1.已知，则下列各式不成立的是（  ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键．由已知条件，可设，（其中），代入各选项逐一验证是否成立． 【解答】解：， 设，． 对于，成立． 对于，成立． 对于，不成立． 对于，成立． 不成立的是． 故选：． 2.已知、两地的实际距离，画在图上的距离，则该地图的比例尺为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】此题暂无解析 【解答】千米厘米， 比例尺； 故选： 3.《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，全球票房达到亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算即可． 【解答】解：由题知，因为点为的黄金分割点， 所以． 因为， 所以， 所以， 故选：． 4.如图，直线，它们依次交直线、于点、、和、、，已知，，，那么等于（      ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再代入求解即可． 【解答】，，即 解得， ． 故此题答案为． 5.如图，把矩形对折，折痕为，如果矩形和矩形相似，则它们的相似比为（      ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】此题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，设矩形的长，宽，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得． 【解答】解：设矩形的长，宽，则， 矩形与矩形相似， ，即， 即． ． 故此题答案为：． 6.如图，是的边上一点，那么下面四个命题中错误的是（      ） A.如果，那么 B.如果，那么 C.如果，那么 D.如果，那么 【答案】D 【解析】此题暂无解析 【解答】．，，，故原说法正确，不符合题意；．，，，故原说法正确，不符合题意； ．，，，故原说法正确，不符合题意； ．，而不一定等于，与不一定相似，故原说法错误，符合题意． 故选． 7.如图，在塔前的平地上选择一点，由点看塔顶的仰角是，在点和塔之间选择一点，由点看塔顶的仰角是．若测量者的眼睛距离地面的高度为，，，，则塔的高度大约为．（参考数据：，） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据锐角三角函数边的比值关系建立等式运算求解即可． 【解答】解：由题意可建立如图所示平面图： ，， ， 设，则， ，即， 解得：， ， ，即塔高为， 故此题答案为．   8.如图，点是的重心，是边上一点，，连接，连接并延长分别交于点、，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的重心，三角形中位线定理，关键是由，推出．取中点，连接，由三角形重心的性质得到，是中点，由三角形中位线定理推出，，判定，推出，得到，求出，即可得到的值． 【解答】解：取中点，连接， 点是的重心， ，是中点， 是的中位线， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：．  9.如图，在平面直角坐标系中，已知与位似，原点是位似中心，且，则点的坐标是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了坐标与位似图形，根据题意确定位似图形的相似比是解题的关键．根据位似图形的概念易得与的相似比为，根据位似变换的性质计算，即可得到答案． 【解答】解：根据题意，与位似，原点是位似中心，且， 即与的相似比为， 又， 点的坐标为，即点的坐标为． 故选：． 10.如图，正方形中，为边上一点，垂直交的延长线与，为的中点，连，则下列结论中正确的个数是（    ） ① ②平分 ③ ④ A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】D 【解析】证明，可得，判断①正确；可得是等腰直角三角形，，由为中点，知，，，，四点共圆，故，可判断②正确；连接，由是等腰直角三角形，为中点，知是等腰直角三角形，即可证，得，判断③正确；过作交延长线于，证明，可得，即可得，判断④正确． 【解答】解：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 故①正确； 是等腰直角三角形， ， 为中点， ， ， ， ，，，四点共圆， ， ， ， 平分； 故②正确； 连接，如图： 是等腰直角三角形，为中点， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ； 故③正确； 过作交延长线于，如图： 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ． 故④正确． 正确的有①②③④，共个． 故选：． 卷II（非选择题） 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ） 11.已知，且，则＝______________． 【答案】 【解析】本题考查比例性质及代数式求值，由得，，，代入化简求值即可得到结论 【解答】解：， ，，， ， 故答案为：． 12.已知、、、是成比例线段，，，，则线段的长为_____6_____． 【答案】 【解析】根据成比例线段的定义得到，代入计算即可． 【解答】解：，，，是成比例线段， ， 又，，， ， 解得：； 故答案为： 13.电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台从到的距离，那么舞台长为___________． 【答案】 【解析】根据黄金分割点的定义结合图形的特征求解即可． 【解答】解：依题意，， 即， 解得（负值舍去）， 故答案为：． 14.如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为，若矩形与原矩形相似，，则的长为______________． 【答案】 【解析】本题考查矩形的折叠问题，相似多边形的性质．先根据折叠的性质与矩形性质，求得，设的长为，则，再根据相似多边形性质得出，即，求解即可． 【解答】解：由折叠可得：，， 矩形， ， ， 设的长为，则， 矩形， ， 矩形与原矩形相似， ，即， 解得：（负值不符合题意，舍去） ， 故答案为：． 15.如图，在中，，，点、分别在边、上，且，，连接，，相交于点，则面积最大值为_6______． 【答案】 【解析】过点作，根据平行线分线得出相似可得，根据已知，可得，在以为直径的圆上，设圆心为，当时，的面积最大为：，即可求出此时的最大面积． 【解答】解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ，， ， ， 在以为直径的圆上，设圆心为， 当时，的面积最大为：， 此时的面积最大为： 故答案为： 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ） 16.（6分）已知，，求的值． 【答案】 【解析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．设，则，再代入可求出的值，从而可得的值，代入计算即可得． 【解答】解：设，则， ， ， 解得， ， ． 17.(7分) 已知线段满足，且． （1）求的值； （2）若线段是线段的比例中项，求的值． 【答案】 【解析】（1）根据题意可设，由得到方程，解方程即可得到答案； （2）根据比例中项的定义得到，解之可得答案． 【解答】（1）解：， 可设， ， ， ， ； （2）解：线段是线段的比例中项， ， （负值舍去）． 18.(7分) 如图，已知四边形与四边形相似，点，，，的对应点分别为，，，． （1）_______； （2）求边，的长度． 【答案】 ， 【解析】（1）相似多边形的对应角相等，可得，再由四边形内角和为，可求得； （2）相似多边形的对应边成比例，可求得边，的长度. 【解答】（1）解：四边形与四边形相似 四边形内角和为，，， 故答案为： （2）解：四边形与四边形相似 ，，，，，， ，， 解得， 故答案为：， 19.(8分) 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为个单位的小正方形，点、、都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中． （1）外接圆的圆心坐标是__________； （2）已知与（点、、都是格点）成位似图形，则位似中心的坐标是__________； （3）请在网格图中的空白处画一个格点，使，且相似比为． 【答案】； 见解答 【解析】（1）根据线段垂直平分线的性质和三角形的外接圆的概念即可求出圆心坐标，然后勾股定理即可求出半径的长度； （2）根据位似变换和位似中心的概念解答； （3）根据相似三角形的对应边的比相等，都等于相似比解答． 【解答】（1）解：如图，根据网格的特点分别作的垂直平分线，交于点，连接， 根据网格的特点可得圆心； （2）解：如图，连接，交于点，即位似中心， 根据网格的特点可知， 故答案为：； （3） 解： ，且相似比为． 根据网格的特点作出，如图， 即为所求作的三角形． 20.(9分) 如图，用长为的细铁丝围成一个矩形．若这个矩形为黄金矩形与之比等于黄金比． （1）求该矩形的长．（结果保留根号） （2）求该矩形的面积．（结果保留根号） 【答案】该矩形的长为 该矩形的面积为 【解析】（1）设，那么，然后根据与之比等于黄金比，代入解方程即可； （2）利用长乘以宽，直接计算出答案即可． 【解答】（1）解：设，那么， 经检验，是原方程的根， ， 答：矩形的长为． （2）解：由可知，，， 矩形的面积为：． 答：该矩形的面积为． 21.（9分）如图，公园内有一个垂直于地面的立柱，其旁边有一个坡面，坡角．在阳光下，小明观察到在地面上的影长为，在坡面上的影长为．同一时刻，小明测得直立于地面长的木杆的影长为（其影子完全落在地面上）．求立柱的高度． 【答案】 【解析】延长交于点，过点作于点，根据直角三角形的性质求出，根据余弦的定义求出，根据题意求出，再根据题意列出比例式，计算即可． 【解答】解：延长交于点，过点作于点， 在中，，， 则，， 由题意得：，即， 解得：， ， 则， 解得：， 答：立柱的高度为． 22.(9分) 如图，正方形中，，是上一点，过作交于点，连接． （1）证明：． （2）当时，求的长． 【答案】见解答； . 【解析】（1）根据相似三角形的判定方法，求证即可； （2）根据相似三角形的性质，求解即可． 【解答】（1）证明：四边形是正方形, , , , , , . （2）解：， ， ， . 23.(10分) 如图所示，在等腰三角形中，，点在线段上，点在线段上，且，．求证： （1）； （2）． 【答案】见解答 见解答 【解析】（1）根据等腰三角形的性质得到，利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，进而得到，即可得证． 【解答】（1）证明：，， ， ， 即， 在和中， ， ； （2）证明：，， ， ， ． 24.(12分) 如图，已知菱形，点是上的点，连接，点关于的对称点恰好落在边上，连接、，延长，交延长线于点． （1）求证：； （2）连接，若，菱形的边长为． ①求菱形的面积； ②求的长． 【答案】详见解答 ①；② 【解析】（1）由菱形的性质判断出，，再由对称得出，得出，即可得出结论； （2）先利用勾股定理求出，进而得出，即可得出结论； ②先利用菱形的面积求出，再用勾股定理求出，进而得出，最后借助的结论得出，即可求出，即可得出结论． 【解答】（1）解：四边形是菱形， ， 由对称知，， ， 四边形是菱形， ， ， ； （2）①如图，连接，相交于， 四边形是菱形， ，，， 在中，根据勾股定理得，， ， ； ②过点作于， ， 由①知，， ， ， 在中，， 由对称知，， ， ， 由知，， ， ， ， ． 25.(13分) 如图，在中，，，，点从点出发，沿的方向匀速运动，速度为；同时点由点出发，沿的方向匀速运动，速度为，过点作交于点．设运动时间为 （1）求线段的长（用含的代数式表示）； （2）连接，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在说明理由； （3）连接、，是否存在某一时刻，使点在线段的垂直平分线上？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】 或 【解析】（1）证明，列出比例式进行求解即可； （2）先证明四边形为平行四边形，再根据平行四边形的面积公式，列出一元二次方程进行求解即可； （3）作于点，证明，求出的长，根据中垂线的性质得到，由可知，进而得到，三线合一，得到，列出方程进行求解即可． 【解答】（1）解：，，， ， 由题意，， ， ， ，即：， ； （2）存在； 由知：，， ，， 又， 四边形为平行四边形， ， ， ， 在中，由勾股定理，得， ， 解得或； 故当或时，； （3）存在； 作于点，则：， ， ， ，即：， ， 当点在线段的垂直平分线上时，则：， 由可知四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， 解得； 第3页 共16页 ◎ 第4页 共16页 第1页 共16页 ◎ 第2页 共16页 学科网（北京）股份有限公司 $