精品解析：上海市长宁区2025-2026学年高三上学期质量调研测试（一模）数学试题

2025学年第一学期高三数学教学质量调研试卷 考生注意： 1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码． 2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分． 3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 集合，集合，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由交集的定义运算. 【详解】由题意得，. 故答案为： 2. 不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的意义即可求解. 【详解】由， 得， 解得， 即不等式的解集为， 故答案为： 3. 在等差数列中，，公差，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用已知求得等差数列的通项公式，进而求得. 【详解】因为等差数列中，，公差， 所以数列的通项公式， 又，所以，解得. 故答案：. 4. 在的展开式中，项的系数为______． 【答案】15 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求指定项的系数即可. 【详解】二项展开式的通项公式为， 令，可得， 所以，项的系数为. 故答案为：15. 5. 如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由圆锥的侧面积公式即可求解． 【详解】由圆锥的侧面积公式 故答案为：2π 6. 设，则向量在方向上的投影向量的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用坐标计算，，再利用公式计算. 【详解】因，则，， 则向量在方向上的投影向量的坐标为. 故答案为： 7. 已知，，则________ 【答案】 【解析】 【分析】由指对数的关系得，再有，即可求值. 【详解】由题设，， 根据换底公式，则. 故答案为： 8. 函数的值域为，则集合___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的值域求解不等式，进而得到函数的定义域即可. 【详解】令，解得， 令，解得， 则集合. 故答案为： 9. 已知均为正实数，且，则的最小值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】由可得，所以原式可化为①，令，利用基本不等式求出的范围，则①式可化为，再次利用基本不等式求出的范围即可得解.（注意两次应用基本不等式，等号成立的条件必须相同） 【详解】由可得，所以原式①. 令，当时，， 当且仅当，即时等号成立，所以. 所以①式可化为原式. 令，则， 当且仅当，即，即时等号成立，所以， 所以的最小值为4. 故答案为：4 10. 在复平面上，复数2和所对应的点分别为，复数所对应的点在线段上移动，若，则复数对应点所构成图形的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设复数所对应的点为，设复数所对应的点为，由得到点的轨迹为：以线段为中线，宽度为的矩形，加上两端为圆心，半径为的两个半圆，利用矩形和圆的面积公式求解即可. 【详解】 复数2和所对应的点分别为，， 设复数所对应的点为，设复数所对应的点为， ，，点轨迹是以点为圆心，半径为的圆， 点在线段上移动，点轨迹为：以线段上的点为圆心，半径为的圆的并集， 即点轨迹为：以线段为中线，宽度为的矩形，加上两端为圆心，半径为的两个半圆， ，， 复数对应点所构成图形的面积为. 故答案为：. 11. 如图，两塔的塔尖分别为，塔底分别为，塔身均垂直水平面已测得与的距离，4名同学分别测得如下4组数据： ①，，；②，，； ③；④． 其中不能唯一确定与之间距离的数据的序号有___________． 【答案】② 【解析】 【分析】将空间几何问题转化为确定塔高与的过程，对于每个数据组，首先判断能否由已知角度和已知边长唯一确定水平距离与两个塔高；若能，则两塔尖的空间坐标唯一确定，距离随之唯一确定，若给出的角度条件不足以唯一确定所有未知的塔高或位置，则存在多解，从而无法唯一确定两塔尖距离. 【详解】①： 与的长度，用余弦定理确定唯一， 与的值，在中可确定唯一， 与的值，在中可确定唯一， 由知唯一确定. ②：取，设， ， 解得或，故②不能唯一确定. ③： 与的值，在中可确定唯一， 与的值，在中可确定唯一， 由，及已知，可确定唯一. ④：由三余弦定理可求得，后续与①一致，可唯一确定的长度. 故答案为：② 12. 已知集合，若对于空间中任意单位向量，都存在，使得，则实数的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据存在性问题分析可知，结合题意以及空间向量的数量积运算可得，结合任意性分析可知，进而分析求解. 【详解】若存在，使得，则， 设，且， 则，， 因为，可设， 则 ， 因为，， 注意到符号性不妨设，则， 可得， 当且仅当时，等号成立， 可知， 又因为对于空间中任意单位向量，都存在，使得， 则，即， 且，可得， 当且仅当时，等号成立，即， 可得，所以实数的最大值为. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF异面的是（　　） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方体的结构特征，利用异面直线的判断法若 则直线与互为异面直线依次分析选项即可 【详解】如图取中点,和顶点M,N,P,Q连接 在正方体中有,所以，所以点四点共面，所以直线EF与直线共面，选项A不对； 由A选项可知点四点共面，同理可知点四点共面，点四点共面，点四点共面，所以六点共面,所以直线与直线不是异面直线，选项B错误； 在正方体中有,所以，选项C不对； 直线平面AFG, 直线平面,所以直线与直线是异面直线,选项D正确； 故选：D 14. 甲、乙两人投篮的命中率分别为0.7和0.6，两人各投篮一次，事件为甲投中，事件为乙投中．“甲、乙两人均投中的概率为0.42”是“事件互相独立”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由独立事件概率公式和充要条件的概念即可求解. 【详解】由甲、乙两人投篮的命中率分别为0.7和0.6， 若“事件互相独立”，则， 若，则事件互相独立， 即“甲、乙两人均投中的概率为0.42”是“事件互相独立”的充要条件， 故选：C 15. 已知，，若曲线上存在点满足：，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及直线与双曲线相交求解的取值范围. 【详解】由，知，. 因为点满足：，即 ，且， 所以点在以为焦点的双曲线的左支上，设其方程为， 则其焦距，实轴长，所以，，所以， 所以点在双曲线的左支上，其渐近线方程为. 由曲线方程得. 因为曲线上存在点满足：， 所以直线与双曲线的左支有交点，所以. 故选：A. 16. 将正整数按一定次序排列得到排列，若排列中的任意一项都满足：，则满足题意的排列的个数为（　　） A. 36 B. 55 C. 89 D. 144 【答案】C 【解析】 【分析】设 满足题意的排列个数为，将排列按照与两种情况分类，可得，据此可得答案. 【详解】设 满足题意的排列个数为，本题所求为. 由题可得，，. 当，此时，，， 则满足题意的排列个数为； 当，，此时，，， 则满足题意的排列个数为； 当，，则，，，，， 此时没有整数使满足题意，即当，时，满足题意的排列不存在. 综上可得，. 注意到，，则， . 故选：C 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 小明有自觉体锻的习惯，某运动软件记录了其每天运动的时长（单位：min），小明从最近90天的记录中随机选取了10天的记录，具体数据如下： （1）求这组数据的第60百分位数： （2）运动时长不超过60min为不达标，估算从90天记录中随机抽取1天，该天运动时长不达标的概率： （3）从这10个数中随机删除2个数得到一组新的数据，求前后两组数据的极差相同的概率． 【答案】（1）71； （2）0.3； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据计算百分位数的步骤求解； （2）计算样本频率，利用频率估计概率； （3）根据古典概型的概率公式计算. 【小问1详解】 把10天的记录按照从小到大排列为：， 因为是整数，所以第60百分位数为第6个数与第7个数的平均数， 因为，这组数据的第60百分位数为71； 【小问2详解】 因为选取的样本中运动时长不达标的频率为， 所以估计该天运动时长不达标的概率为0.3； 【小问3详解】 因为前后两组数据的极差相同，所以随机删除的2个数为中的两个， 则概率 18. 已知函数． （1）若函数的最小正周期为，求的值及的单调递减区间； （2）设，求函数在区间上的值域． 【答案】（1）2；. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据余弦型函数的最小正周期公式求得的值，得到的解析式，进而由整体法求得单调递减区间； （2）首先化简得到的解析式，再由的范围求得的值域. 【小问1详解】 因为函数的最小正周期为， 所以，解得. 所以. 要求的单调递减区间，令， 解得，即的单调递减区间为. 【小问2详解】 因为，所以， 所以. 由得， 由正弦函数的性质可得，所以， 所以函数在区间上的值域为． 19. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，直线与平面所成的角的大小为． （1）求四棱锥的体积； （2）点在线段上，直线平面，求二面角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据棱锥的体积公式，结合线面角的定义进行求解即可； （2）建立空间直角坐标系，利用线面平行的性质、空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为，， 所以，因此， 因为平面ABCD，直线与平面所成角的大小为， 所以， 四棱锥的体积为； 【小问2详解】 因为平面ABCD，平面ABCD， 所以，，又因为， 所以可以建立如图所示的空间直角坐标系， ， 显然平面的法向量为， 因为点在线段上，所以设 ， 设平面的法向量为，又，， 因为直线平面， 所以当直线平面，显然点不与点重合， 则当时，，取 因为直线平面， 所以，即， ， 由图可知二面角是锐二面角， 所以二面角的余弦值为. 20. 已知抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线交于两点． （1）设，求点的横坐标； （2）设为坐标原点，线段中点的纵坐标为，求的面积； （3）设线段的垂直平分线与抛物线交于点，若以线段为直径的圆经过点，求直线的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义及，求出； （2）设，设直线的直线方程为，与抛物线方程联立，根据韦达定理得到，，再根据中点的纵坐标为，可解得结果； （2）设，，求出，利用可得结果. 【小问1详解】 由抛物线方程知：，设， 由得：，. 【小问2详解】 由题意知：直线斜率不为零，可设，， 由得：，则， ，， ，又因为中点的纵坐标为，所以， 所以的面积为； 【小问3详解】 由题意知：直线斜率不为零，可设，， 由得：，则， ，，所以中点为， 因为线段的垂直平分线与抛物线交于点， 设，   联立可得， 由韦达定理可得，， 若以线段为直径的圆经过点， ， ，不相等，不相等， 所以，同理 可得，不相等， 所以 即，解得. 所以直线的方程为. 21. 已知． （1）求函数的驻点； （2）设，若关于方程在区间内有解，求的取值范围： （3）定义，设，若存在实数，使得，求实数的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）确定函数定义域，根据驻点定义求解即可； （2）先根据函数推出，再根据参变分离确定参数范围即可； （3）根据题意可得，再由题意可得，则，令，求导，利用导数求函数最值即可． 【小问1详解】 函数定义域为，， 令，解得， 所以函数的驻点为； 【小问2详解】 ， 则， ， ， 又关于的方程在区间内有解， 所以在区间内有解， 即， ，， ， 即， 解得； 【小问3详解】 由题意可得， 则， 即， 又是增函数， 由（1）知在单调递减，在单调递增， 又，且存在实数，使得， 所以不单调，，解得， 即在单调递增，在单调递减，在单调递增， ，又， ， 令，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ， 故， 即实数的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期高三数学教学质量调研试卷 考生注意： 1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码． 2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分． 3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 集合，集合，则___________． 2. 不等式的解集为___________． 3. 在等差数列中，，公差，，则___________． 4. 在展开式中，项的系数为______． 5. 如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为_______. 6. 设，则向量在方向上的投影向量的坐标为___________． 7 已知，，则________ 8. 函数的值域为，则集合___________． 9. 已知均为正实数，且，则最小值为___________． 10. 在复平面上，复数2和所对应的点分别为，复数所对应的点在线段上移动，若，则复数对应点所构成图形的面积为___________． 11. 如图，两塔的塔尖分别为，塔底分别为，塔身均垂直水平面已测得与的距离，4名同学分别测得如下4组数据： ①，，；②，，； ③；④． 其中不能唯一确定与之间距离的数据的序号有___________． 12. 已知集合，若对于空间中任意单位向量，都存在，使得，则实数最大值为___________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF异面的是（　　） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 14. 甲、乙两人投篮的命中率分别为0.7和0.6，两人各投篮一次，事件为甲投中，事件为乙投中．“甲、乙两人均投中的概率为0.42”是“事件互相独立”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 已知，，若曲线上存在点满足：，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 16. 将正整数按一定次序排列得到排列，若排列中的任意一项都满足：，则满足题意的排列的个数为（　　） A. 36 B. 55 C. 89 D. 144 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 小明有自觉体锻习惯，某运动软件记录了其每天运动的时长（单位：min），小明从最近90天的记录中随机选取了10天的记录，具体数据如下： （1）求这组数据的第60百分位数： （2）运动时长不超过60min为不达标，估算从90天记录中随机抽取1天，该天运动时长不达标的概率： （3）从这10个数中随机删除2个数得到一组新的数据，求前后两组数据的极差相同的概率． 18. 已知函数． （1）若函数的最小正周期为，求的值及的单调递减区间； （2）设，求函数在区间上的值域． 19. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，直线与平面所成的角的大小为． （1）求四棱锥的体积； （2）点在线段上，直线平面，求二面角的余弦值． 20. 已知抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线交于两点． （1）设，求点的横坐标； （2）设为坐标原点，线段中点的纵坐标为，求的面积； （3）设线段的垂直平分线与抛物线交于点，若以线段为直径的圆经过点，求直线的方程． 21. 已知． （1）求函数的驻点； （2）设，若关于的方程在区间内有解，求的取值范围： （3）定义，设，若存在实数，使得，求实数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $