精品解析：上海市长宁区2025届高三一模数学试卷

2025届长宁区高三一模数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 设全集为，集合，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】先解一元二次不等式再根据补集定义计算即可. 【详解】由， 则． 故答案为：. 2. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的体积是_______（结果保留π）． 【答案】 【解析】 【分析】做轴截面，根据母线与底面半径求出圆锥的高，计算体积即可. 【详解】如下图做出轴截面： 代入圆锥体积公式：. 故答案为： 3. 曲线在点处的切线方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解. 【详解】解：， 当时，， 所以曲线在点处的切线方程为. 故答案为：. 4. 以为圆心，为半径的圆的标准方程是_______. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据已知写出圆的标准方程得解. 【详解】由题得圆的标准方程为. 故答案为：. 5. 投掷两枚质地均匀的骰子，观察掷得的点数，则掷得的点数之和为7的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得投掷两枚质地均匀的骰子所对应点数的总情况数，然后可得掷得的点数之和为7的情况数，据此可得答案. 【详解】一枚骰子的点数有6种情况，则两枚骰子点数所对应总情况为36种. 又注意到点数之和为7的情况有：1，6；6，1；2，5；5，2；3，4；4，3共6种， 则掷得的点数之和为7的概率是. 故答案为： 6. 在的二项展开式中，常数项等于_______. 【答案】-20 【解析】 【详解】展开式通项，令6-2r=0，得r=3， 故常数项为. 7. 已知函数的大致图像如图所示，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图像的对称性，可得到函数的奇偶性；再由图像与坐标轴的关系，即可判断 的取值. 【详解】因为图像关于轴对称，所以函数是偶函数； 又因为图像与坐标轴无交点，所以指数 为负数.综上所述，. 故答案为：. 8. 已知向量，则向量在方向上的投影的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的数量积运算以及投影坐标的概念求解． 【详解】由题得，所以， 与向量的同向单位向量为， 所以向量在向量方向上的投影的坐标为． 故答案为：． 9. 已知，若是的充分条件，则实数m的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】通过构造函数，利用的单调性解不等式，再由题意将是的充分条件转化为包含关系，进而求得参数 范围. 【详解】设， 则在单调递增，又， 所以，即，故. 则. 由题意是的充分条件，则， 所以有，故实数m的取值范围是. 故答案为：. 10. 若正实数满足，则的最小值是__________. 【答案】9 【解析】 【分析】双变量最值，采取消元手段或者基本不等式处理即可. 【详解】解析一:， 则，等号成立时. 所以的最小值是9. 解析二:， 则， 等号成立时所以的最小值是9. 故答案为：9. 11. 设O为坐标原点，从集合中任取两个不同的元素x、y，组成A、B两点的坐标，则的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设与直线的交点为 ，由面积关系可得，列表，结合古典概型运算求解． 【详解】设与直线的交点为 ，由题意知A，B关于对称， 可知 为线段的中点，且，则， 可得，， 则，即， 列表可得： x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 ╱ 3 8 15 24 35 48 63 80 2 3 ╱ 5 12 21 32 45 60 77 3 8 5 ╱ 7 16 27 40 55 72 4 15 12 7 ╱ 9 20 33 48 65 5 24 21 16 9 ╱ 11 24 39 56 6 35 32 27 20 11 ╱ 13 28 45 7 48 45 40 33 24 13 ╱ 15 32 8 63 60 55 48 39 28 15 ╱ 17 9 80 77 72 65 56 45 32 17 ╱ 设样本空间为，为事件A， 可得， 所以所求概率为． 故答案为：． 12. 点P、M、N分别位于正方体的面上，，则的最小值是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系可得的坐标表达式，配方后可得最值. 【详解】如图建立以D为原点的空间直角坐标系， 设，其中. 则. 则 ， 当P、M、N在正方体同一面上时，则当时，取得最小值， ， 即当为正方体一面的对角线，P为对角线中点时，取得最小值； 当P、M、N不在正方体同一面上时，由对称性，不妨设不同时为0， 此时 ； 综上，的最小值是. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是建立坐标系利用坐标计算得，再由取等条件得到P、M、N位置关系从而得解. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知复数z和，则下列说法正确的是（ ） A. 一定是实数 B. 一定是虚数 C. 若，则是纯虚数 D. 若，则是纯虚数 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的加减法，结合虚数和纯虚数的定义即可逐一求解. 【详解】设,则故为实数，故A正确， 对于B，，当时，此时为实数，故B错误， 对于C，则，当时，此时为实数，C错误， 对于D, ，则，则是实数，故D错误， 故选：A 14. 已知非零空间向量和，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量平行与垂直的定义判断即可. 【详解】若，则或与不共线，故选项A与B错误； 若，则，故选项C错误，选项D正确. 故选：D. 15. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得，然后结合正弦函数的单调性及可得答案. 【详解】因为，，所以， 因为在，上单调递增， 则，得，， 又，取，则，即. 故选：A. 16. 数列为严格增数列，且对任意的正整数n，都有，则称数列满足“性质Ω”． ①存在等差数列满足“性质Ω”； ②任意等比数列，若首项，则满足“性质Ω”； 下列选项中正确的是（ ） A. ①是真命题，②是真命题； B. ①是真命题，②是假命题； C. ①是假命题，②是真命题； D. ①是假命题，②是假命题． 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列基本量的计算即可判断①，根据等比数列为常数列时，即可判断②. 【详解】设等差数列的首项和公差分别为， 若等差数列满足“性质Ω”； 由可得，故，即，故只需要即可满足“性质Ω”；故①是真命题， 设等比数列的首项和公比分别为，则， 因此存在等比数列不满足“性质Ω”；故②是假命题 故选：B 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若的面积为，请判断 的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2） , 所以, 由余弦定理，得, 即，解得, 所以 是等边三角形. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化化简得出正切，结合范围求角； （2）应用面积公式计算得出，再结合余弦定理得出边长即可判断. 【小问1详解】 由正弦定理可得, 因为，所以，,所以. 【小问2详解】 略 18. 如图所示，四棱柱的底面ABCD是正方形，O是底面的中心，平面，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 因为是正方形，所以， 因为底面， 所以，又，, 在平面内， 所以平面,在平面内， 所以 ， 由底面， 可得， 所以，即有， 因为，所以， 和在平面内，且， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）要证明直线垂直于平面，需要在平面内找到两条相交直线与直线垂直； （2）可以用综合法，利用等体积法求点到平面距离，也可以直接用空间向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法1：设点到平面的距离为， 由题可知,,. 所以． 得直线与平面所成角的正弦值. 方法2：（建系） 以为原点，射线为轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系． 可得 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 直线与平面所成角的正弦值等于向量与平面法向量的夹角余弦值的绝对值：. 19. 2024年第七届中国国际进口博览会（简称进博会）于11月5日至10日在上海国家会展中心举行.为了解进博会参会者的年龄结构，某机构随机抽取了年龄在15-75岁之间的200名参会者进行调查，并按年龄绘制了频率分布直方图，分组区间为.把年龄落在区间内的人称为“青年人”，把年龄落在区间内的人称为“中年人”，把年龄落在内的人称为“老年人”. （1）求所抽取的“青年人”的人数； （2）以分层抽样的方式从“青年人”“中年人”“老年人”中抽取10名参会者做进一步访谈，发现其中女性共4人，这4人中有3人是“中年人”.再用抽签法从所抽取的10名参会者中任选2人. ①简述如何采用抽签法任选2人； ②设事件A：2人均为“中年人”，事件B：2人中至少有1人为男性，判断事件A与事件B是否独立，并说明理由. 【答案】（1）80 （2）①先将10名参会者进行编号：1、2、、10，并将10个号码写在完全相同的纸片上， 放入某容器中充分混合均匀，再取出2张，2张纸片上所对应的参会者就是要选取的人， ②事件A与事件B不独立，理由：“青年人”“中年人”“老年人”的人数之比为， 所以10人中“中年人”共有5人， 2人均为“中年人”的概率， 2人中至少有1人为男性的概率， 2人均为“中年人”且至少有1人为男性的概率， 因为，所以事件A与事件B不独立. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图求得 的值，然后求得“青年人”人数占比，从而可得“青年人”人数； （2）①利用简单随机抽样设计抽签法任选2人即可；②根据独立事件判断公式，结合超几何分布概率问题求解，从而可得结论. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，解得：， 又“青年人”占比为， 所以所抽取的“青年人”人数为人； 【小问2详解】 ①略 ②略 20. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且经过点． （1）求该椭圆的离心率； （2）点Q为椭圆上一点，且位于第三象限，若的面积为3，求点Q的坐标； （3）A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AB与CD相交于点，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求出椭圆方程，即可求解离心率； （2）根据的面积为3，可得边上的高为，过 做的平行线，可得直线的解析式，联立方程组即可求解； （3）分或垂直于轴和和不垂直于轴两种情况，设直线的解析式为，点，，联立方程组由韦达定理和弦长公式可得，利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 设椭圆的标准方程为，，，由已知可得， 因为点在椭圆上，所以， 又，所以，， 所以椭圆方程为， 所以； 【小问2详解】 ①，直线的解析式为， 因为的面积为3，所以边上的高为， 过 做的平行线，则直线的解析式为， 联立方程组， 解得：或， 所以点 的坐标为或； 【小问3详解】 ①若或垂直于轴，则， ②若和不垂直于轴， 设直线的解析式为，点，， 联立方程组，得， 从而，， ， 同理， ， 因为，所以， 综上，的取值范围是. 21. 双曲余弦函数，双曲正弦函数． （1）求函数的单调增区间； （2）若函数在上的最小值是，求实数a的值； （3）对任意恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导函数零点，通过导函数的符号求解单调区间； （2）整体换元转化为二次函数的最小值问题，根据轴与区间关系分类讨论可求； （3）先证明辅助结论，再利用结论分别证明“当时，恒成立”与“对任意的，都存在，使”两个命题成立，即可得 范围. 【小问1详解】 由，， 则，令，解得， 当时，，则双曲余弦函数在单调递增； 当时，，则双曲余弦函数在单调递减； 所以函数的单调增区间是． 【小问2详解】 . 令， 所以在上是严格增函数， 则当时，， 函数， 当时，严格增，，舍去， 当时，，解得. 综上所述，实数a的值为. 【小问3详解】 ①证明， 令， 则， 所以在上单调增，则， 则当，，即成立； 令， 则， 所以在上单调增，则， 则当，，即成立； 故，得证. ②证明， 令， 令为偶函数. 令，且， 则当时，由①结论可知，， 则，即当时，， 由偶函数性质得，从而单调增，又， 所以当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 从而，即有． ③再证明：任意，当时，恒成立. 设，，其中， 当时，，成立； 当时，，在单调递增， 则，由②已证， 故， 即任意，当时，恒成立. ④再证明对任意的，都存在实数，使得. 令， 令为偶函数， 令， 则当时，， 所以单调递增， 由于，所以，且当， (由于是偶函数，由对称性以下只需要考虑时.) 所以存在，使得， 从而当时，，即，则在单调递减； 当时，，即，则在单调递增； 又时，， 所以存在，使得， 即有当时，，即，则在时单调递减； 当时，，即，则在时单调递增； 又时，， 所以存在，使得，当时，. 对任意的，都存在，使得，得证. 综上所述，实数m的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：解决本题中第（3）问恒成立问题的关键，是两次构造中间函数证明不等式，一是引入中间函数（一次函数）证明，从而证明得以判断导函数符号；二是引入主元变换引入以参数为自变量的函数，构造中间函数，通过证明，利用单调性可得，从而当时，恒成立得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届长宁区高三一模数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 设全集为，集合，则_______． 2. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的体积是_______（结果保留π）． 3. 曲线在点处的切线方程为___________. 4. 以为圆心，为半径的圆的标准方程是_______. 5. 投掷两枚质地均匀的骰子，观察掷得的点数，则掷得的点数之和为7的概率是_______． 6. 在的二项展开式中，常数项等于_______. 7. 已知函数的大致图像如图所示，则_______． 8. 已知向量，则向量在方向上的投影的坐标是_______． 9. 已知，若 是的充分条件，则实数m的取值范围是_______． 10. 若正实数满足，则的最小值是__________. 11. 设O为坐标原点，从集合中任取两个不同的元素x、y，组成A、B两点的坐标，则的概率为_______． 12. 点P、M、N分别位于正方体的面上，，则的最小值是_______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知复数z和，则下列说法正确的是（ ） A. 一定是实数 B. 一定是虚数 C. 若，则是纯虚数 D. 若，则是纯虚数 14. 已知非零空间向量和，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若则 C. 若，则 D. 若，则 15. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 数列为严格增数列，且对任意的正整数n，都有，则称数列满足“性质Ω”． ①存在等差数列满足“性质Ω”； ②任意等比数列，若首项，则满足“性质Ω”； 下列选项中正确的是（ ） A. ①是真命题，②是真命题； B. ①是真命题，②是假命题； C. ①是假命题，②是真命题； D. ①是假命题，②是假命题． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若的面积为，请判断 的形状，并说明理由． 18. 如图所示，四棱柱的底面ABCD是正方形，O是底面的中心，平面，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 2024年第七届中国国际进口博览会（简称进博会）于11月5日至10日在上海国家会展中心举行.为了解进博会参会者的年龄结构，某机构随机抽取了年龄在15-75岁之间的200名参会者进行调查，并按年龄绘制了频率分布直方图，分组区间为.把年龄落在区间内的人称为“青年人”，把年龄落在区间内的人称为“中年人”，把年龄落在内的人称为“老年人”. （1）求所抽取的“青年人”的人数； （2）以分层抽样的方式从“青年人”“中年人”“老年人”中抽取10名参会者做进一步访谈，发现其中女性共4人，这4人中有3人是“中年人”.再用抽签法从所抽取的10名参会者中任选2人. ①简述如何采用抽签法任选2人； ②设事件A：2人均为“中年人”，事件B：2人中至少有1人为男性，判断事件A与事件B是否独立，并说明理由. 20. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且经过点． （1）求该椭圆的离心率； （2）点Q为椭圆上一点，且位于第三象限，若的面积为3，求点Q的坐标； （3）A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AB与CD相交于点，且，求的取值范围． 21. 双曲余弦函数，双曲正弦函数． （1）求函数的单调增区间； （2）若函数在上的最小值是，求实数a的值； （3）对任意恒成立，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $