微专题1：立体几何外接球常考模型【6个题型+方法总结】讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦立体几何外接球高考核心考点，按长方体/正方体、直棱柱、正棱锥等六大模型系统梳理，通过题型特征分析、答题模板构建、经典例题精讲、分层练习巩固的教学流程，帮助学生建立知识网络，突破解题难点。 资料创新采用模型化分类与可操作步骤，如用补形法将墙角模型转化为长方体计算外接球半径，培养数学思维，通过双外心垂线定球心策略解决二面角模型，提升空间想象与推理能力。设置基础到综合的分层练习，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生应考能力。

2025-2026高三数学一轮复习常考题型归纳 【微专题1：立体几何外接球常考模型】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：长方体/正方体模型（含补形法）】 【解题策略】 题型特征 ·题干出现“三条侧棱两两垂直”（墙角模型）、“对棱相等的四面体”、“正方体/长方体”； ·可通过补形将不规则几何体（如三条侧棱两两垂直的三棱锥、对棱相等的四面体）还原为长方体/正方体，且几何体各顶点与长方体/正方体顶点重合. 答题模板（名师秒杀步骤） 1.补形判断：确认几何体可补成长方体/正方体（如三条侧棱两两垂直→补成长方体；对棱相等→补成长方体）； 2.确定边长： 墙角模型：设三条侧棱长度为，则长方体长宽高分别为； 对棱相等模型：设对棱长度为，则长方体长宽高满足，，； 3.计算半径：长方体/正方体外接球直径等于体对角线，即，故； 4.求解目标：代入球的表面积/体积公式计算. 名师方法总结 ·补形核心：“化不规则为规则”，只要几何体顶点可嵌入长方体/正方体，就可直接用体对角线公式； ·正四面体特殊结论：正四面体可补成正方体，若正四面体棱长为，则正方体棱长为，外接球半径. （2025高二上·江西南昌·专题练习）已知三棱锥的四个顶点均在球O的表面上.经典例题例题 (1)若，求球O的表面积； (2)若是边长为的等边三角形，，球O的半径为，求三棱锥的体积. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将四面体补成一个长方体，使得四面体的条棱为长方体的条对角线，设长方体棱，，，通过三棱锥的棱长求得的值，进而根据求解外接球的半径，即可求解外接球表面积. （2）首先根据线面垂直及面面垂直的判定定理，得出球心与点所在平面垂直于底面，在根据三棱锥的外接球性质及勾股定理计算夹角与，最后分类讨论点的位置计算三棱锥的高即可. 【详解】（1）如图，因为，所以可以将四面体补成一个长方体，使得四面体的条棱为长方体的条对角线， 设长方体棱，，，球的半径为， 由此可得：，即得：， 由，解得：， 因此可得：球的表面积为 （2） 如图，取，的中点分别为，，设三棱锥的外接球球心为，半径为， 作于，连接，，， 易知，，、平面， 因为，所以平面， 又平面，所以平面平面， 作于点，平面平面，则平面， 故三棱锥的体积， 由题意可知，，可得：， ， ，， 若在直线的下方，则 ， 又，解得：， 若在直线的上方，则 ， 又，解得：， 综上所述三棱锥的体积或. （25-26高三上·青海西宁·月考）一个棱长为3的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（　　）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可得球的直径是正方体的体对角线，代入数据，可求出球的半径，代入表面积公式，即可得答案. 【详解】因为棱长为3的正方体的八个顶点都在同一个球面上， 所以球的直径是正方体的体对角线，即球的半径， 所以球的表面积为. （25-26高二上·湖北孝感·期中）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，则球的表面积为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，将三棱锥补成长方体，再利用长方体的性质求出外接球的半径，即可求解. 【详解】如图，将三棱锥补成长方体， 设，又， 则，，，将三式相加得， 因为三棱锥的顶点全在长方体的顶点上，所以长方体的外接球也是三棱锥的外接球， 由长方体的性质知，长方体的外接球球心在体对角线的中点处，且体对角线长为， 所以三棱锥的外接球的半径为，则球的表面积为. 故选：D. （25-26高二上·上海·期中）长方体的8个顶点都在同一个球面上，且，，则球的表面积为 ．小试牛刀3 【答案】 【分析】利用长方体的体对角线就是外接球直径，从而可求球的表面积. 【详解】    由题可得：， 因为长方体的外接球的一条直径是，所以外接球的半径为， 由球的表面积公式可得：， 故答案为： 【题型2：直棱柱模型（含直棱锥侧棱垂直底面）】 【解题策略】 题型特征 ·题干出现“直棱柱”（侧棱垂直底面）、“一条侧棱垂直底面的棱锥”（如平面）； ·几何体底面为任意三角形/多边形，侧棱与底面垂直. 答题模板（名师标准步骤） 1.找底面外心：取几何体底面的外接圆圆心（外心：直角三角形在斜边中点，正三角形在中心）； 2.算底面外接圆半径：用正弦定理（为底面三角形一边，为对角）求解； 3.定球心位置：过作底面的垂线，球心在该垂线上，且（为直棱柱高/侧棱长度）； 4.算外接球半径：构造直角三角形，由勾股定理得，解得； 5.求解目标：代入表面积/体积公式. 名师方法总结 ·核心逻辑：“球心在过底面外心的垂线上”，直棱柱外接球问题可转化为“圆柱外接球”（直棱柱内接于圆柱）； ·直棱锥特殊处理：一条侧棱垂直底面的棱锥，可补成直棱柱，高即为侧棱长度. （25-26高三上·河北沧州·月考）在直四棱柱中，底面为菱形，为等边三角形，，若该直四棱柱的体积为，则以为球心，表面积为的球面与侧面的交线长度为（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，利用柱体的体积公式求出的值，取的中点，连接，证明出平面，分析可知在侧面中，以为圆心的圆弧与棱、的交点分别为、，求出的长以及的大小，结合扇形的弧长公式可得结果. 【详解】依题意，设， ，解得， 如图，取的中点，连接， 因为是边长为的正三角形，所以， 且， 以为球心的球的半径为，则该球的表面积为，解得， 因为平面，平面，故， 又因为，，、平面，故平面， 在侧面中，以为圆心的圆弧与棱、的交点分别为、， 则其半径，则即为所求的交线， 因为，，故，则， 同理可得，故， 又因为，所以的长度为， 故选：D. （25-26高二上·贵州遵义·月考）在三棱锥中，平面ABC，，，，则三棱锥的外接球的体积为 .小试牛刀1 【答案】 【分析】求出，可得外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径．即可求出体积． 【详解】， . 由正弦定理可知，的外接圆的直径，因此半径. 平面， 该三棱锥的外接球的半径， 则三棱锥的外接球的体积. 故答案为：. （24-25高一下·吉林松原·期末）在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三棱锥补成长方体，计算出长方体的体对角线长，即为该三棱锥外接球的直径，再结合球体表面积公式可得结果. 【详解】因为，，所以，故， 又因为平面，，将三棱锥补成长方体，如下图所示： 所以三棱锥的外接球直径即为长方体的体对角线长， 设三棱锥的外接球半径为， 则，故， 因此该球的表面积为. 故选：D. 【多选题】（25-26高二上·贵州·期中）在各棱长均为的正三棱柱中，则以下结论正确的是（   ）小试牛刀3 A．正三棱柱外接球的表面积为112π B．在线段上不存在一点P使得 C．以点为球心，为半径的球面与侧面的交线长为 D．半径为1的小球放置在正三棱柱内任意运动，则小球无法接触到的三棱柱内壁的面积为 【答案】ACD 【分析】对于A，由正三棱柱的对称性，可得其外接球的球心即高的中点，由正弦定理求得底面三角形的外接圆半径，借助于求出外接球的半径即得其表面积；对于B，推出是锐角三角形，即可判断；对于C，利用球的截面性质算出交线弧的半径，再求出弧所对的圆心角即可求得交线长；对于D，由题意作出小球能接触到的三棱柱内壁的阴影部分，分别计算三棱柱的表面积和阴影部分的面积，两者相减即得. 【详解】对于A，正三棱柱的各棱长均为，设该正三棱柱的外接球半径为， 球心即高的中点，底面三角形的外接圆的半径为，正三棱柱的高为，则， 由正弦定理，，解得．如图，因为，所以正三棱柱外接球的表面积，故A正确； 对于B，因为，，是锐角三角形， 故在线段上存在一点P使得，故B错误； 对于C，过点作，则，在平面内，以点H为圆心，作半径为的圆弧 与，交于点M，N，则交线为弧， 在中，，则，即， 故，长度为，故C正确； 对于D，由图知，，，阴影部分的面积为， 三棱柱的表面积为， 所以小球无法接触到的三棱柱内壁的面积为，故D正确． 故选：ACD． 【题型3：正棱锥模型（顶点投影在底面中心）】 【解题策略】 题型特征 ·题干出现“正棱锥”（底面为正多边形，顶点投影在底面中心）； ·侧棱长度都相等，底面为正三角形/正方形等正多边形. 答题模板（名师核心步骤） 1.找底面外心：底面正多边形的中心即为外心，计算底面外接圆半径； 2.算棱锥高：设棱锥侧棱长为，由勾股定理得； 3.定球心位置：球心在棱锥的高上（为顶点），设，则； 4.算外接球半径：构造直角三角形，由勾股定理得，且，联立解得； 5.求解目标：代入公式计算. 名师方法总结 ·关键技巧：球心可能在棱锥内部或外部，但勾股定理方程统一为，无需提前判断位置； ·秒杀公式：直接记忆，可快速求解. （2025·广东江门·模拟预测）在三棱锥中，，，，且三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为 ．经典例题例题 【答案】 【分析】先根据三棱锥的体积，求三棱锥的高，再根据三棱锥的几何性质，确定三棱锥外接球球心的位置和外接球的半径，利用球的表面积公式求面积. 【详解】如图：    在中，，，所以. 取中点，则为外接圆的圆心，且外接圆半径为. 连接，因为，所以. 又 （）. 所以，即. 又平面，，所以平面. 所以 . 所以三棱锥外接球的球心在线段上，设为，再设三棱锥外接球的半径为， 在中，，，, 由 . 所以三棱锥外接球的表面积为. 故答案为： （2026高三·全国·专题练习）一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将正四面体放入正方体中，得到正方体边长为，进而得到外接球的半径，再利用球的表面积公式即可得解. 【详解】 由题可知，该四面体是正四面体，将正四面体补形成正方体，则此时正四面体与正方体的外接球为同一个球， 因为正四面体棱长为，所以正方体棱长为，得正方体的体对角线， 因为正方体的体对角线是正方体外接球的直径， 故外接球半径，所以． 故选：A. （25-26高三上·内蒙古赤峰·期中）已知正四棱锥的各个顶点均在球的球面上，若该正四棱锥的体积为9，则球的表面积最小值为 ．小试牛刀2 【答案】 【分析】作出示意图，设正四棱锥的底面边长为，高为，底面正方形的中心为，可得，在中，可得，解出，利用导数可求得最小值. 【详解】如图所示， 不妨设正四棱锥的底面边长为，高为， 设底面正方形的中心为，可得，即， 设球的半径为，易知球心在上， 且在中，有，即， 令，则， 可知当时，，单调递减； 当时，，单调递增，，即， 球的表面积最小值为. 故答案为：． （25-26高二上·浙江·期中）已知球的表面积为，球面上有，，，四点，，，与平面所成的角均为，若的余弦值为，则三棱锥的体积的最大值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据外接球的表面积求出外接球半径为，过点作平面，垂足为，连接，由题设易得，，球心O在上，根据余弦定理可求得，再根据正弦定理、余弦定理及基本不等式求得，进而求得三棱锥的体积的最大值. 【详解】设球O的半径为， 由题意，得，所以， 过点作平面，垂足为，连接， 因为，，与平面所成的角均为， 所以，则，， 则球心O在上，如下图所示： 又，， 则，解得， 由，， 所以，则， 即， 由正弦定理，得，显然， 则， 即， 则，当且仅当时等号成立， 所以， 则三棱锥的体积. 故选：A. 【题型4：垂面模型（含折叠模型、面面垂直）】 【解题策略】 题型特征 ·题干出现“面面垂直”（如平面平面）、“菱形/三角形折叠”（折叠后形成二面角）； ·两个平面垂直，且每个平面内的三角形为特殊三角形（正三角形、直角三角形）. 答题模板（名师进阶步骤） 1.找两个平面的外心：分别取两个垂直平面（如和）的外接圆圆心、； 2.作垂线定球心：过作平面的垂线，过作平面的垂线，两条垂线的交点即为球心； 3.构造辅助线：取两平面交线（如）的中点，连接、，则，，为二面角的平面角； 4.算半径：利用直角三角形（或），结合勾股定理求解； 5.求解目标：代入公式计算. 名师方法总结 ·核心关键：“两个平面的外心垂线交点为球心”，折叠模型需注意折叠前后边长、角度不变； ·二面角应用：若已知二面角大小，可通过、和二面角大小计算、的长度. （2025·云南大理·模拟预测）在体积为的三棱锥中，，，平面平面，，，若点，，，都在球的表面上，则球的表面积为（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，由直角三角形性质可得，则点就是球心，再利用线面垂直的性质定理可得平面，从而可结合三棱锥体积公式计算即可得. 【详解】如图，取的中点，连接，，因为，， 所以，因此点就是球心，又， 故是等腰直角三角形，所以， 因为平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 设球半径为，则，，则，， 所以三棱锥的体积， 所以，所以球的表面积为.    故选：A. （25-26高二上·山东潍坊·期中）已知四棱锥，底面是边长为的正方形，侧面底面，且为正三角形，则该四棱锥外接球的表面积为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用面面垂直的性质证得平面，平面，再结合正弦定理求得三角形外接圆的半径及勾股定理求得四棱锥外接球的半径，进而求得其表面积. 【详解】如图所示， 连接交于点，取中点，连接， 则由题意知，， 为正方形外接圆的圆心，又因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面，同理平面， 设等边的外接圆圆心为，过作的平行线交过且与平行的线于点， 则平面，面，所以为四棱锥外接球的球心， 设球的半径为，在等边中由正弦定理得，解得， 又因为，所以， 所以四棱锥外接球表面积为. 故选：C （25-26高三上·安徽·月考）如图1，在梯形中，，且，沿对角线将折起，使得点到点位置，且平面平面，如图2.小试牛刀2    (1)求证：； (2)求三棱锥的外接球的体积； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）在梯形中证得，再利用面面垂直的性质推理得证. （2）以点为原点建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，设出球心坐标，利用空间两点间距离公式建立方程组求出球半径，再利用球的体积公式求解. （3）利用（2）中坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【详解】（1）在梯形中，，取的中点，连接， 由，得四边形是平行四边形，则，    于是，即，由平面平面，平面平面， 平面，得平面，而平面， 所以. （2）在三棱锥中，在平面内过点作，由（1）知平面， 则直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    由，得，又， 则， 设三棱锥的外接球球心为，半径为，则， 即，解得， 所以三棱锥的外接球的体积为. （3）由（2）得， 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （25-26高三上·福建宁德·期中）如图，在三棱锥中，平面平面，是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点小试牛刀3 (1)求证：平面. (2)若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据中位线得出，再应用线面平行判定定理证明即可； （2）先应用等腰直角三角形及等边三角形，又因为平面平面，再结合表面积得出，再得出边长结合三棱锥体积公式计算求解. 【详解】（1）证明：因为，分别是，的中点， 所以. 因为平面， 平面， 所以平面. （2）如图，连接. 因为是以为斜边的等腰直角三角形，为中点， 所以点是外接圆的圆心. 因为是等边三角形，是中点，所以外接圆的圆心在上. 又平面平面，所以球的球心即为外接圆的圆心. 因为球的表面积，所以球的半径， 所以，，， 所以 三棱锥的体积为. 【题型5：圆台棱台外接球模型】 【解题策略】 一、题型特征 1.圆台外接球题型特征 (1)已知条件：圆台的上、下底面半径、，圆台的高；或已知母线长与高的关系. (2)几何特征：圆台的轴截面为等腰梯形，外接球的球心在圆台的轴上；球心可能在圆台内部、上底面上方或下底面下方. (3)设问方式：求外接球的半径、表面积或体积. 2.棱台外接球题型特征 (1)已知条件：棱台为正棱台（上下底面为正多边形，侧棱相等），给出上下底面边长、棱台的高；或普通棱台但上下底面均有外接圆且共轴. (2)几何特征：正棱台的外接球球心在棱台的轴上；需满足上下底面外接圆圆心的连线与底面垂直，且球心到上下底面各顶点距离相等. (3)限制条件：非正棱台若无共轴的外接圆，则无外接球；高考仅考查正棱台外接球问题. 二、答题模板（秒杀版） 模板1圆台外接球半径求解 步骤1：设圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，外接球半径为，球心到下底面的距离为，则到上底面的距离为. 步骤2：根据球心到顶点距离相等列方程 步骤3：联立消去，得，展开求解 步骤4：代入求 秒杀结论：当球心在圆台内时，直接用上述公式；若，球心在下底面下方，公式中改为；若，球心在上底面上方，公式中改为. 模板2正棱台外接球半径求解 步骤1：求上下底面的外接圆半径. 设正棱台的上下底面边长为、，则上下底面外接圆半径 步骤2：设棱台的高为，球心到下底面距离为，到上底面距离为，外接球半径. 步骤3：列方程联立求解 消去得 秒杀关键：正棱台外接球与圆台外接球公式形式完全一致，只需将圆台的r、R替换为棱台上下底面的外接圆半径. 三、名师方法总结（培优拔高） 1.核心思想：“轴截面法”+“方程思想” (1)轴截面法：圆台、正棱台的外接球问题，必作轴截面.圆台轴截面是等腰梯形，正棱台轴截面是等腰梯形，外接球的球心在轴截面的对称轴上，将空间问题转化为平面几何的“梯形外接圆”问题. (2)方程思想：利用球心到各顶点距离相等建立方程，未知数仅为球心到一个底面的距离，求解简单直接. 2.易错点警示 (1)忽略球心位置：球心不一定在几何体内部，需根据的正负判断位置，若或，公式中的距离需取绝对值，结果仍成立. (2)混淆概念：棱台外接球需满足“上下底面共轴且均有外接圆”，普通棱台无外接球，高考只考正棱台. (3)公式误用：正棱台的上下底面外接圆半径需用正多边形外接圆公式计算，不可直接用边长代替. （2025·广东广州·模拟预测）已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，若圆台上、下底面面积之比为1：4，则圆台的体积与球体积之比为 .经典例题例题 【答案】 【分析】由题意设圆台上底面圆的半径为，则圆台下底面圆的半径为，求得圆台的高，进而求得圆台的体积与球的体积，可得结论. 【详解】作出示意图如图所示： 因为圆台上、下底面面积之比为1：4，所以圆台上、下底面圆的半径之比为1：2， 设圆台上底面圆的半径为，则圆台下底面圆的半径为， 由题意可得圆台的高为， 则圆台的体积为， 因为下底面过球心，所以球的半径为，所以球的体积为， 所以. 故答案为：. （2025·贵州·模拟预测）已知圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为2，则圆台的外接球体积为 ．小试牛刀1 【答案】 【分析】结合题意利用勾股定理建立方程求出，再建立方程组求解，最后利用球的体积公式求解即可. 【详解】如图，设上底面半径为，下底面半径为，母线为，圆台的高为， 由已知得，设球心O到下底面的距离为，球的半径为， 由勾股定理得，解得， 当圆台的外接球球心O在圆台里面时， ，解得，不符合题意， 当圆台的外接球球心O在圆台外面时，必在下底面下方， 则，解得， 由球的体积公式得圆台的外接球体积为. 故圆台的外接球体积为． 故答案为： （25-26高三上·云南昆明·月考）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，体积为56，则该正四棱台的外接球的表面积为 ．小试牛刀2 【答案】 【分析】先根据棱台的体积公式计算得出上下底面的半径，最后结合球心到上下底面距离应用勾股定理得出外接球的半径应用球的表面积公式计算求解. 【详解】如图所示，设球心为O，半径为R，棱台的高为h， 由棱台的体积公式可得：， 因为边长为的正方形的外接圆半径为， 所以上底面的外接圆半径， 下底面的外接圆半径， 若球心在两平面之间，设球心O到上底面的距离， 则到下底面的距离为， 由球心到各顶点的距离相等可得： ， 解得，不符合题意； 若球心在两平面同侧，设球心O到上底面的距离， 则到下底面的距离为， 由球心到各顶点的距离相等可得， ， 解得，所以， 所以该正四棱台的外接球的表面积为．    故答案为： （25-26高三上·浙江·开学考试）已知正四棱台的上下底面边长分别为2、4，侧棱长为，则该正四棱台外接球的表面积为 .小试牛刀3 【答案】 【分析】根据正四棱台和正四棱锥的几何图形性质，确定外接球的球心位置，利用勾股定理可求解外接球的半径，即可计算外接球的表面积. 【详解】如图，将正四棱台补形为正四棱锥， 因为四棱台的上下底面边长分别为2、4， 所以分别为的中点， 所以， 作正四棱锥的高，垂足为，则为正方形的中心， 连接交于点，连接交于点， 则， 设该正四棱台外接球的球心为，半径为， 根据对称性可知，在上， 在中，， 即，即，① 在中，， 即，即，② 联立①②解得，， 所以该正四棱台外接球的表面积为， 故答案为：. 【题型6：二面角模型（含直角/非直角二面角，外接球难点）】 【解题策略】 题型特征 ·题干明确给出二面角大小（如“二面角为”），或隐含二面角（如“菱形折叠形成二面角”“两个平面相交且夹角已知”）； ·几何体为两个相交平面构成的多面体（常见三棱锥、四棱锥），两平面交线为定线段（记为），需结合二面角大小求外接球半径. 答题模板（名师核心步骤，通用直角/非直角） 1.找双外心：分别取两个相交平面（如平面、平面）的外接圆圆心、（外心为三角形垂直平分线交点）； 2.作垂线定球心：过作平面的垂线，过作平面的垂线，两条垂线的交点即为外接球球心（核心逻辑：球心到各顶点距离相等，必在两平面外心的垂线上）； 3.构造辅助线：过、分别向两平面交线（如）作垂线，垂足必为同一点（交线的中点，因外心在边的垂直平分线上），则即为二面角的平面角； 4.求关键线段： 设，（外心到交线的距离），交线长度，则； 在四边形中，（余弦定理），且（正弦定理，四边形四点共圆，为直径）； 5.算外接球半径：在中，由勾股定理得，代入得通用公式： 非直角二面角通用：； 特殊情况（直角二面角，）：公式简化为，或更常用形式（、为两平面外接圆半径）； 6.求解目标：代入表面积/体积公式计算. 名师方法总结 ·核心技巧：“双外心垂线定球心，交线中点找共垂足”，无需复杂空间想象，按步骤构造平面图形（四边形、直角三角形）计算即可； ·公式速记：非直角二面角记住“分子余弦定理，分母正弦平方，加交线半长平方”，直角二面角直接用勾股定理叠加； ·常见场景：菱形折叠问题（折叠后形成二面角，原菱形对角线交点为交线中点）、两个等边三角形/直角三角形拼接形成二面角. （25-26高三上·重庆·期中）在三棱锥中，，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若为的中点，结合题设知是外接圆的圆心，进而有棱锥的球心在过且垂直于平面的直线上，若平面，在平面内过作，构建合适的空间直角坐标系，令并标注出相关点坐标，应用球体半径相等列方程求参数，进而得到半径，即可求球体面积. 【详解】由题设为直角三角形且斜边，若为的中点，则是外接圆的圆心， 所以棱锥，即棱锥的球心在过且垂直于平面的直线上， 若平面，则球心在直线上，在平面内过作，如图示，    由，则，所以是二面角平面角的补角，为， 又，，可得， 构建空间直角坐标系，设，且， 所以外接球半径，则，可得， 所以外接球半径，其表面积为. 故选：B （25-26高三上·江西南昌·期中）在Rt中，，是的中点，把沿翻折到，使得二面角的平面角为，则三棱锥外接球表面积是 ．小试牛刀1 【答案】/ 【分析】根据给定条件，结合二面角的定义及球面的性质确定球心，进而求出球半径及球的表面积. 【详解】在Rt中，，则，， 由是的中点，得，为正三角形，， 令的外接圆圆心分别为，连接并延长交于，连接， 则，是二面角的平面角，， ，在中，由正弦定理得， 是正三角形，，在中，由余弦定理得， 令三棱锥外接球球心为，连接，则平面，而平面， 则，同理，而平面， 于是平面，而平面，则平面与平面重合， 即点四点共面，且这四点共圆，其直径为，由正弦定理得， ，三棱锥外接球半径， 所以三棱锥外接球表面积. 故答案为： （25-26高三上·江西南昌·期中）已知二面角的大小为，且，，. 若点，，，都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，由题意知三棱锥外接球的球心是过和的外心，，且分别垂直这两个三角形所在平面的垂线的交点，为三棱锥外接球半径，取的中点为，推导出的外接圆直径，从而，当时，的最小值为，由此能求出该球的表面积的最小值． 【详解】设，则， 设和的外心分别为、，则分别为的中点， 过点分别作和所在平面的垂线，两垂线的交点为点， 则为三棱锥的外心， 连接，则为三棱锥外接球的半径． 取的中点，连接、、，如图所示： 由条件知且，， 所以为二面角的平面角，即，连接， 因为平面，平面，平面，平面， 所以，， 所以四点共圆，且该圆的直径为． 在中，由余弦定理可得 所以的外接圆直径， 当时，的最小值为， 所以该球的表面积的最小值为. 故选：C （25-26高三上·山东德州·期中）在四边形中，，对角线，将沿翻折成，使二面角的大小为，则四面体外接球的表面积为 ．小试牛刀3 【答案】 【分析】取中点，连接，弦2由题设和二面角定义得到，分别取外接圆圆心，分别过作垂直于平面和平面的垂线得到两垂线交点O为四面体外接球的球心，依据题设信息求出和即可分析计算求解. 【详解】由题可得是正三角形，如图取中点，连接， 则，所以为二面角的一个平面角，故， 分别取外接圆圆心，连接， 则分别在上，且， 分别过作垂直于平面和平面的垂线，两垂线相交于点O， 则O为四面体外接球的球心，且， 连接，则，所以， 所以四面体外接球的半径R满足. 所以四面体外接球的表面积为. 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026高三数学一轮复习常考题型归纳 【微专题1：立体几何外接球常考模型】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：长方体/正方体模型（含补形法）】 【解题策略】 题型特征 ·题干出现“三条侧棱两两垂直”（墙角模型）、“对棱相等的四面体”、“正方体/长方体”； ·可通过补形将不规则几何体（如三条侧棱两两垂直的三棱锥、对棱相等的四面体）还原为长方体/正方体，且几何体各顶点与长方体/正方体顶点重合. 答题模板（名师秒杀步骤） 1.补形判断：确认几何体可补成长方体/正方体（如三条侧棱两两垂直→补成长方体；对棱相等→补成长方体）； 2.确定边长： 墙角模型：设三条侧棱长度为，则长方体长宽高分别为； 对棱相等模型：设对棱长度为，则长方体长宽高满足，，； 3.计算半径：长方体/正方体外接球直径等于体对角线，即，故； 4.求解目标：代入球的表面积/体积公式计算. 名师方法总结 ·补形核心：“化不规则为规则”，只要几何体顶点可嵌入长方体/正方体，就可直接用体对角线公式； ·正四面体特殊结论：正四面体可补成正方体，若正四面体棱长为，则正方体棱长为，外接球半径. （2025高二上·江西南昌·专题练习）已知三棱锥的四个顶点均在球O的表面上.经典例题例题 (1)若，求球O的表面积； (2)若是边长为的等边三角形，，球O的半径为，求三棱锥的体积. （25-26高三上·青海西宁·月考）一个棱长为3的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（　　）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二上·湖北孝感·期中）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，则球的表面积为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二上·上海·期中）长方体的8个顶点都在同一个球面上，且，，则球的表面积为 ．小试牛刀3 【题型2：直棱柱模型（含直棱锥侧棱垂直底面）】 【解题策略】 题型特征 ·题干出现“直棱柱”（侧棱垂直底面）、“一条侧棱垂直底面的棱锥”（如平面）； ·几何体底面为任意三角形/多边形，侧棱与底面垂直. 答题模板（名师标准步骤） 1.找底面外心：取几何体底面的外接圆圆心（外心：直角三角形在斜边中点，正三角形在中心）； 2.算底面外接圆半径：用正弦定理（为底面三角形一边，为对角）求解； 3.定球心位置：过作底面的垂线，球心在该垂线上，且（为直棱柱高/侧棱长度）； 4.算外接球半径：构造直角三角形，由勾股定理得，解得； 5.求解目标：代入表面积/体积公式. 名师方法总结 ·核心逻辑：“球心在过底面外心的垂线上”，直棱柱外接球问题可转化为“圆柱外接球”（直棱柱内接于圆柱）； ·直棱锥特殊处理：一条侧棱垂直底面的棱锥，可补成直棱柱，高即为侧棱长度. （25-26高三上·河北沧州·月考）在直四棱柱中，底面为菱形，为等边三角形，，若该直四棱柱的体积为，则以为球心，表面积为的球面与侧面的交线长度为（    ）经典例题例题 A． B． C． D． （25-26高二上·贵州遵义·月考）在三棱锥中，平面ABC，，，，则三棱锥的外接球的体积为 .小试牛刀1 （24-25高一下·吉林松原·期末）在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【多选题】（25-26高二上·贵州·期中）在各棱长均为的正三棱柱中，则以下结论正确的是（   ）小试牛刀3 A．正三棱柱外接球的表面积为112π B．在线段上不存在一点P使得 C．以点为球心，为半径的球面与侧面的交线长为 D．半径为1的小球放置在正三棱柱内任意运动，则小球无法接触到的三棱柱内壁的面积为 【题型3：正棱锥模型（顶点投影在底面中心）】 【解题策略】 题型特征 ·题干出现“正棱锥”（底面为正多边形，顶点投影在底面中心）； ·侧棱长度都相等，底面为正三角形/正方形等正多边形. 答题模板（名师核心步骤） 1.找底面外心：底面正多边形的中心即为外心，计算底面外接圆半径； 2.算棱锥高：设棱锥侧棱长为，由勾股定理得； 3.定球心位置：球心在棱锥的高上（为顶点），设，则； 4.算外接球半径：构造直角三角形，由勾股定理得，且，联立解得； 5.求解目标：代入公式计算. 名师方法总结 ·关键技巧：球心可能在棱锥内部或外部，但勾股定理方程统一为，无需提前判断位置； ·秒杀公式：直接记忆，可快速求解. （2025·广东江门·模拟预测）在三棱锥中，，，，且三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为 ．经典例题例题 （2026高三·全国·专题练习）一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高三上·内蒙古赤峰·期中）已知正四棱锥的各个顶点均在球的球面上，若该正四棱锥的体积为9，则球的表面积最小值为 ．小试牛刀2 （25-26高二上·浙江·期中）已知球的表面积为，球面上有，，，四点，，，与平面所成的角均为，若的余弦值为，则三棱锥的体积的最大值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型4：垂面模型（含折叠模型、面面垂直）】 【解题策略】 题型特征 ·题干出现“面面垂直”（如平面平面）、“菱形/三角形折叠”（折叠后形成二面角）； ·两个平面垂直，且每个平面内的三角形为特殊三角形（正三角形、直角三角形）. 答题模板（名师进阶步骤） 1.找两个平面的外心：分别取两个垂直平面（如和）的外接圆圆心、； 2.作垂线定球心：过作平面的垂线，过作平面的垂线，两条垂线的交点即为球心； 3.构造辅助线：取两平面交线（如）的中点，连接、，则，，为二面角的平面角； 4.算半径：利用直角三角形（或），结合勾股定理求解； 5.求解目标：代入公式计算. 名师方法总结 ·核心关键：“两个平面的外心垂线交点为球心”，折叠模型需注意折叠前后边长、角度不变； ·二面角应用：若已知二面角大小，可通过、和二面角大小计算、的长度. （2025·云南大理·模拟预测）在体积为的三棱锥中，，，平面平面，，，若点，，，都在球的表面上，则球的表面积为（    ）经典例题例题 A． B． C． D． （25-26高二上·山东潍坊·期中）已知四棱锥，底面是边长为的正方形，侧面底面，且为正三角形，则该四棱锥外接球的表面积为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高三上·安徽·月考）如图1，在梯形中，，且，沿对角线将折起，使得点到点位置，且平面平面，如图2.小试牛刀2    (1)求证：； (2)求三棱锥的外接球的体积； (3)求平面与平面夹角的余弦值. （25-26高三上·福建宁德·期中）如图，在三棱锥中，平面平面，是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点小试牛刀3 (1)求证：平面. (2)若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为，求三棱锥的体积. 【题型5：圆台棱台外接球模型】 【解题策略】 一、题型特征 1.圆台外接球题型特征 (1)已知条件：圆台的上、下底面半径、，圆台的高；或已知母线长与高的关系. (2)几何特征：圆台的轴截面为等腰梯形，外接球的球心在圆台的轴上；球心可能在圆台内部、上底面上方或下底面下方. (3)设问方式：求外接球的半径、表面积或体积. 2.棱台外接球题型特征 (1)已知条件：棱台为正棱台（上下底面为正多边形，侧棱相等），给出上下底面边长、棱台的高；或普通棱台但上下底面均有外接圆且共轴. (2)几何特征：正棱台的外接球球心在棱台的轴上；需满足上下底面外接圆圆心的连线与底面垂直，且球心到上下底面各顶点距离相等. (3)限制条件：非正棱台若无共轴的外接圆，则无外接球；高考仅考查正棱台外接球问题. 二、答题模板（秒杀版） 模板1圆台外接球半径求解 步骤1：设圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，外接球半径为，球心到下底面的距离为，则到上底面的距离为. 步骤2：根据球心到顶点距离相等列方程 步骤3：联立消去，得，展开求解 步骤4：代入求 秒杀结论：当球心在圆台内时，直接用上述公式；若，球心在下底面下方，公式中改为；若，球心在上底面上方，公式中改为. 模板2正棱台外接球半径求解 步骤1：求上下底面的外接圆半径. 设正棱台的上下底面边长为、，则上下底面外接圆半径 步骤2：设棱台的高为，球心到下底面距离为，到上底面距离为，外接球半径. 步骤3：列方程联立求解 消去得 秒杀关键：正棱台外接球与圆台外接球公式形式完全一致，只需将圆台的r、R替换为棱台上下底面的外接圆半径. 三、名师方法总结（培优拔高） 1.核心思想：“轴截面法”+“方程思想” (1)轴截面法：圆台、正棱台的外接球问题，必作轴截面.圆台轴截面是等腰梯形，正棱台轴截面是等腰梯形，外接球的球心在轴截面的对称轴上，将空间问题转化为平面几何的“梯形外接圆”问题. (2)方程思想：利用球心到各顶点距离相等建立方程，未知数仅为球心到一个底面的距离，求解简单直接. 2.易错点警示 (1)忽略球心位置：球心不一定在几何体内部，需根据的正负判断位置，若或，公式中的距离需取绝对值，结果仍成立. (2)混淆概念：棱台外接球需满足“上下底面共轴且均有外接圆”，普通棱台无外接球，高考只考正棱台. (3)公式误用：正棱台的上下底面外接圆半径需用正多边形外接圆公式计算，不可直接用边长代替. （2025·广东广州·模拟预测）已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，若圆台上、下底面面积之比为1：4，则圆台的体积与球体积之比为 .经典例题例题 （2025·贵州·模拟预测）已知圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为2，则圆台的外接球体积为 ．小试牛刀1 （25-26高三上·云南昆明·月考）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，体积为56，则该正四棱台的外接球的表面积为 ．小试牛刀2 （25-26高三上·浙江·开学考试）已知正四棱台的上下底面边长分别为2、4，侧棱长为，则该正四棱台外接球的表面积为 .小试牛刀3 【题型6：二面角模型（含直角/非直角二面角，外接球难点）】 【解题策略】 题型特征 ·题干明确给出二面角大小（如“二面角为”），或隐含二面角（如“菱形折叠形成二面角”“两个平面相交且夹角已知”）； ·几何体为两个相交平面构成的多面体（常见三棱锥、四棱锥），两平面交线为定线段（记为），需结合二面角大小求外接球半径. 答题模板（名师核心步骤，通用直角/非直角） 1.找双外心：分别取两个相交平面（如平面、平面）的外接圆圆心、（外心为三角形垂直平分线交点）； 2.作垂线定球心：过作平面的垂线，过作平面的垂线，两条垂线的交点即为外接球球心（核心逻辑：球心到各顶点距离相等，必在两平面外心的垂线上）； 3.构造辅助线：过、分别向两平面交线（如）作垂线，垂足必为同一点（交线的中点，因外心在边的垂直平分线上），则即为二面角的平面角； 4.求关键线段： 设，（外心到交线的距离），交线长度，则； 在四边形中，（余弦定理），且（正弦定理，四边形四点共圆，为直径）； 5.算外接球半径：在中，由勾股定理得，代入得通用公式： 非直角二面角通用：； 特殊情况（直角二面角，）：公式简化为，或更常用形式（、为两平面外接圆半径）； 6.求解目标：代入表面积/体积公式计算. 名师方法总结 ·核心技巧：“双外心垂线定球心，交线中点找共垂足”，无需复杂空间想象，按步骤构造平面图形（四边形、直角三角形）计算即可； ·公式速记：非直角二面角记住“分子余弦定理，分母正弦平方，加交线半长平方”，直角二面角直接用勾股定理叠加； ·常见场景：菱形折叠问题（折叠后形成二面角，原菱形对角线交点为交线中点）、两个等边三角形/直角三角形拼接形成二面角. （25-26高三上·重庆·期中）在三棱锥中，，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为（    ）经典例题例题 A． B． C． D． （25-26高三上·江西南昌·期中）在Rt中，，是的中点，把沿翻折到，使得二面角的平面角为，则三棱锥外接球表面积是 ．小试牛刀1 （25-26高三上·江西南昌·期中）已知二面角的大小为，且，，. 若点，，，都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高三上·山东德州·期中）在四边形中，，对角线，将沿翻折成，使二面角的大小为，则四面体外接球的表面积为 ．小试牛刀3 1 学科网（北京）股份有限公司 $