导数含参讨论6大题型总结+解题模板讲义（附高考原题）-2026届高三数学一轮复习

高中数学导数含参讨论6大题型总结（含习题） 一、核心方法论：分类讨论的 “四大金刚” 在解决导数含参问题时，通常按以下顺序进行讨论，避免漏解： 1. 看系数：最高次项系数是否为 0（决定函数类型）。 2. 看判别式：二次函数是否有实根（）。 3. 看根大小：两根的大小关系（）。 4. 看定义域：根是否落在给定区间内（尤其是对数函数 ）。 二、6 大必考题型总结 题型一：导函数为一次函数（讨论斜率 ） · 核心：，讨论 的正负。 · 场景：一次函数、反比例函数组合。 题型二：导函数为二次函数（讨论开口方向 ） · 核心：，讨论 。 · 场景：多项式函数、对数函数组合。 题型三：导函数为二次函数（讨论判别式 ） · 核心：，判断导函数正负恒成立。 · 场景：无具体区间限制，求单调区间。 题型四：导函数有两根（讨论根的大小 ） · 核心：求出两根后，比较大小，划分区间。 · 场景： 时的必考点。 题型五：定义域限制（讨论根是否在定义域内） · 核心：对数函数 ，分母不为 0。 · 场景：含 的函数是高频考点。 题型六：区间限制（讨论极值点与区间端点） · 核心：极值点是否落在闭区间 内。 · 场景：求区间最值、恒成立问题。 三、配套练习题（含详细解析） 题型一：导函数为一次函数（讨论斜率 ） 核心：，讨论 的正负。 练习 1（高考真题） 题目：已知函数 ，R，讨论 的单调性。 解析： 2. 定义域：。 3. 求导：。 4. 讨论： 5. 当 时，， 在 单调递减。 · 当 时，令 得 。 · ，，递减； · ，，递增。 练习 2（改编题） 题目：已知函数 ，R，讨论 的单调性。 解析： · 求导：。 · 讨论： · 当 （即 ）时，，单调递增。 · 当 （即 ）时，，单调递减。 · 当 时， 有正有负，不单调。 题型二：导函数为二次函数（讨论开口方向a） 核心：，讨论 。 练习3（高考真题） 题目：已知函数 ，讨论 的单调性。 解析： · 定义域：，。 · 讨论： · 时，，在 增， 减。 · 时，，在 增， 减。 1. 时，，在 增， 减， 增。 2. 时，，单调递增。 3. 时，，在 增， 减， 增。 练习 4（改编题） 题目：已知函数 ，讨论 的单调性。 解析： · 求导：。 · 讨论： · 时，，在 增， 减。 · 时，。 4. ，，，递增。 1. ，，，递增。 2. ，，两根 ，在 增， 减， 增。 3. 时，，在 减， 增， 减。 题型三：导函数为二次函数（讨论判别式 ） 核心：，判断导函数正负恒成立。 练习 5（高考真题） 题目：已知函数 ，讨论 的单调性。 解析： · 定义域：，。 · 令 ，。 · （），， 单调递增。 · （），两根 （）。 4. 若 ，，在 减， 增。 · 若 ，，在 增， 减， 增。 练习 6（改编题） 题目：已知函数 ，讨论 的单调性。 解析： · 求导：。 · 讨论： · 时，， 在 单调递增。 · 时，令 得 。 · ，，递减； · ，，递增。 题型四：导函数有两根（讨论根的大小 ） 核心：求出两根后，比较大小，划分区间。 练习 7（高考真题） 题目：已知函数 ，讨论 的单调性。 解析： 1. 求导：。 2. 讨论： · 时，，在 减， 增。 · 时，令 得 或 。 · 若 （），在 增， 减， 增。 · 若 （），，递增。 · 若 （），在 增， 减， 增。 练习 8（改编题） 题目：已知函数 ，讨论 的单调性。 解析： 1. 求导：，。 2. 当 （）时，两根 ，。 在 增， 减， 增。 3. 当 （）时，，单调递增。 题型五：定义域限制（讨论根是否在定义域内） 核心：对数函数 ，分母不为 0。 练习 9（高考真题） 题目：已知函数 ，讨论 的单调性。 解析： 1. 定义域：，。 2. 讨论： · 时，，在 减， 增。 · 时，根 和 。 · 若 （），在 减， 增， 减。 · 若 （），，递减。 · 若 （），在 减， 增， 减。 时，，在 增， 减。 练习 10（改编题） 题目：已知函数 ，讨论 的单调性。 解析： 1. 定义域：，。 2. 讨论： · 时，在 减， 增。 · 时，在 增， 减， 增。 · 时，，递增。 · 时，在 增， 减， 增。 题型六：区间限制（讨论极值点与区间端点） 核心：极值点是否落在闭区间[m,n]内。 练习 11（高考真题） 题目：已知函数 ，在 处取得极大值，求 的取值范围。 解析： 1. 求导：。 2. 由题意， 是极大值点，故 且在 左侧增、右侧减。 3. 即 在 处左正右负，故 的大根为 ，小根 。 4. 由韦达定理：，。 · 若 ，则 ，不符合。 · 故需 在 处导数由正变负，即 。 练习 12（改编题） 题目：已知函数 在区间 上单调递增，求 的取值范围。 解析： 1. 求导： 在 恒成立。 2. 即 在 恒成立。 3. 在 最小值为 ，故 。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $