函数与导数压轴题题型方法总结讲义-2026届高三数学一轮复习

函数与导数压轴题题型方法总结 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 二、交点与根的分布　 三、不等式恒成立求字母范围　 （一）恒成立之最值的直接应用 （二）恒成立之分离常数 （三）恒成立之讨论字母范围 四、不等式证明　 （一）作差证明不等式　 （二）变形构造函数证明不等式 （三）替换构造不等式证明不等式 五、函数与导数性质的综合运用　 六、导数结合三角函数　 书中常用结论 ⑴，变形即为，其几何意义为上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵ ⑶ ⑷. 在解题中常用的有关结论（需要熟记）： (1)曲线在处的切线的斜率等于，切线方程为 (2)若可导函数在 处取得极值，则。反之，不成立。 (3)对于可导函数，不等式的解集决定函数的递增（减）区间。 (4)函数在区间I上递增（减）的充要条件是：恒成立 (5)函数在区间I上不单调等价于在区间I上有极值，则可等价转化为方程在区间I上有实根且为非二重根。（若为二次函数且I=R，则有）。 (6) 在区间I上无极值等价于在区间在上是单调函数，进而得到或在I上恒成立 (7)若，恒成立，则; 若，恒成立，则 (8)若，使得，则；若，使得，则. (9)设与的定义域的交集为D若D 恒成立则有 (10)若对、 ，恒成立，则. 若对，，使得,则. 若对，，使得，则. （11）已知在区间上的值域为A,，在区间上值域为B， 若对,，使得=成立，则。 (12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程有两个不等实根，且极大值大于0，极小值小于0. (13)证题中常用的不等式: ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 52 学科网（北京）股份有限公司 目录 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 1 二、交点与根的分布 1 三、不等式恒成立求字母范围 2 恒成立之最值的直接应用 2 恒成立之分离常数 4 恒成立之讨论字母范围 5 四、不等式证明 6 作差证明不等式 6 变形构造函数证明不等式 6 替换构造不等式证明不等式 7 五、函数与导数性质的综合运用 8 六、导数与三角函数的结合 9 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 1. (是一道设计巧妙的好题，同时用到e底指、对数，需要构造函数，证存在且唯一时结合零点存在性定理不好想，⑴⑵联系紧密) 已知函数 ⑴若函数φ (x) = f (x)－，求函数φ (x)的单调区间； ⑵设直线l为函数f (x)的图象上一点A(x0，f (x0))处的切线，证明：在区间(1,+∞)上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y=g(x)相切． 2. 已知函数（）． （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）记函数的图象为曲线．设点,是曲线上的不同两点．如果在曲线上存在点，使得：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”．试问：函数是否存在“中值相依切线”，请说明理由． 3. （第2问难，单调性与极值，好题） 设函数 ⑴讨论函数的单调性； ⑵若有两个极值点，记过点的直线斜率为,问：是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 4. （变形构造） 已知二次函数和“伪二次函数”（、、）， (I)证明：只要，无论取何值，函数在定义域内不可能总为增函数； (II)在二次函数图象上任意取不同两点，线段中点的横坐标为，记直线的斜率为， (i)求证：； (ii)对于“伪二次函数”，是否有①同样的性质?证明你的结论. 二、交点与根的分布 5. （交点个数与根的分布） 已知是函数的一个极值点． ⑴求； ⑵求函数的单调区间； ⑶若直线与函数的图像有个交点，求的取值范围． 6. （交点个数与根的分布） 已知函数 ⑴求在区间上的最大值 ⑵是否存在实数使得的图像与的图像有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。 7. （交点个数与根的分布） 已知函数 ⑴求f(x)在[0,1]上的极值； ⑵若对任意成立，求实数a的取值范围； ⑶若关于x的方程在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围. 8. （利用根的分布讨论） 设函数，其中 ⑴当时，求曲线在点处的切线的斜率 ⑵求函数的单调区间与极值 ⑶已知函数有三个互不相同的零点，且，若对任意的恒成立，求的取值范围. 9. 已知函数在点处的切线方程为． ⑴求函数的解析式； ⑵若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值； ⑶若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围． 三、不等式恒成立求字母范围 恒成立之最值的直接应用 10. 已知函数，在区间上有最大值4，最小值1，设． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）不等式在上恒成立，求实数的范围； （Ⅲ）方程有三个不同的实数解，求实数的范围． 11. 已知函数， 设 （1）是否存在唯一实数，使得，若存在，求正整数m的值；若不存在，说明理由。 （2）当时，恒成立，求正整数n的最大值。 12. （变形构造函数，二次） 已知函数. ⑴讨论函数的单调性； ⑵设，如果对任意，≥，求的取值范围. 13. （最值应用，转换变量） 设函数． (1)讨论函数在定义域内的单调性； (2)当时，任意，恒成立，求实数的取值范围． 14. (两边分求，最小值与最大值) 已知函数. ⑴当时，讨论的单调性； ⑵设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围. 15. 设函数． （Ⅰ）当时，过原点的直线与函数的图象相切于点P，求点P的坐标； （Ⅱ）当时，求函数的单调区间； （Ⅲ）当时，设函数，若对于]，[0，1] 使≥成立，求实数b的取值范围.（是自然对数的底，） 16. （最值应用） 设函数，且，其中是自然对数的底数. ⑴求与的关系； ⑵若在其定义域内为单调函数，求的取值范围； ⑶设，若在上至少存在一点，使得＞成立，求实数的范围. 17. 已知函数，a为正常数． ⑴若，且a，求函数的单调增区间； ⑵在⑴中当时，函数的图象上任意不同的两点，，线段的中点为，记直线的斜率为，试证明：． ⑶若，且对任意的，，都有，求a的取值范围． 18. （最值的直接应用，第3问带有小的处理技巧） 已知函数，其中. ⑴若曲线在点处切线方程为,求函数的解析式； ⑵讨论函数的单调性； ⑶若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围. 19. （转换变量，作差） 已知函数. ⑴若，求的单调区间； ⑵已知是的两个不同的极值点，且，若恒成立，求实数b的取值范围。 恒成立之分离常数 20. （分离常数） 已知函数 (1) 若在处的切线平行于直线，求函数的单调区间； (2) 若，且对时，恒成立，求实数的取值范围. 21. （恒成立，分离常数，二阶导数） 已知函数,（其中R,为自然对数的底数）. (1)当时,求曲线在处的切线方程； (2)当≥1时,若关于的不等式≥0恒成立,求实数的取值范围. （改x≥0时，≥0恒成立.≤1） 22. （两边取对数的技巧）设函数且） （1）求的单调区间； （2）求的取值范围； （3）已知对任意恒成立，求实数的取值范围。 23. （分离常数） 已知函数 ． （Ⅰ）若函数在区间其中a >0，上存在极值，求实数a的取值范围； （Ⅱ）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围； 24. (恒成立，分离常数，涉及整数、较难的处理) 已知函数 （Ⅰ）试判断函数上单调性并证明你的结论； （Ⅱ）若恒成立，求整数k的最大值；（较难的处理） （Ⅲ）求证：(1+1×2)(1+2×3)…[1+n(n+1)]>e2n－3. 25. (分离常数，双参，较难)已知函数，. （１）若函数依次在处取到极值． ①求的取值范围；②若，求的值． （２）若存在实数，使对任意的，不等式 恒成立．求正整数的最大值． 26. （分离常数，复合的超范围） 已知函数 ⑴求函数的单调区间; ⑵若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数），求a的最大值. 27. （分离常数，转换变量，有技巧） 设函数. ⑴若函数在处与直线相切： ①求实数的值；②求函数在上的最大值； ⑵当时，若不等式≥对所有的都成立，求实数的取值范围. 恒成立之讨论字母范围 28. （用到二阶导数，二次） 设函数. ⑴若，求的最小值； ⑵若当时，求实数的取值范围. 29. （恒成立，反比例，提出公因式再处理的技巧，本题的创新之处是将一般的过定点（0,0）变为过定点（1,0），如果第2问范围变为则更间单） 已知函数在点处的切线方程为. ⑴求、的值； ⑵如果当，且时，，求的取值范围。 30. 已知函数，且函数是上的增函数。 （1）求的取值范围； （2）若对任意的，都有（e是自然对数的底），求满足条件的最大整数的值。 四、不等式证明 作差证明不等式 31. （转换变量，作差构造函数，较容易） 已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同． ⑴用表示，并求的最大值； ⑵求证：当时，． 变形构造函数证明不等式 32. （变形构造新函数，一次） 已知函数． ⑴试讨论在定义域内的单调性； ⑵当＜－1时，证明：，．求实数的取值范围． 33. （2010辽宁文21，构造变形，二次） 已知函数. ⑴讨论函数的单调性； K^S*5U.C# ⑵设，证明：对任意，. 34. （最值应用） 已知二次函数对都满足且，设函数（，）． （Ⅰ）求的表达式； （Ⅱ）若，使成立，求实数的取值范围； （Ⅲ）设，，求证：对于，恒有． 35. （辽宁，变形构造，二次） 已知函数f(x)=x2－ax+(a－1)，. （1）讨论函数的单调性；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）证明：若，则对任意x,x，xx，有. 36. 已知函数. （1）若对任意的恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，设函数，若，求证 37. 已知函数， （Ⅰ）求的极值 （Ⅱ）若在上恒成立，求的取值范围 （Ⅲ）已知，且，求证 38. 已知函数的图象为曲线, 函数的图象为直线. (Ⅰ) 当时, 求的最大值; (Ⅱ) 设直线与曲线的交点的横坐标分别为, 且, 求证: . 替换构造不等式证明不等式 39. （第3问用第2问）已知，直线与函数的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为1。 （I）求直线的方程及m的值； （II）若，求函数的最大值。 （III）当时，求证： 40. 已知函数、 （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）若为正常数，设，求函数的最小值； （Ⅲ）若，，证明：、 41. （替换构造不等式） 已知函数在点的切线方程为. ⑴求函数的解析式； ⑵设，求证：≥在上恒成立；（反比例，变形构造） ⑶已知，求证：.（替换构造） 42. （利用⑵结论构造） 已知函数的图象在点处的切线方程为. （反比例，作差构造） ⑶.（替换构造） 43. 已知的图像在点处的切线与直线平行. （1）求a，b满足的关系式； （2）若上恒成立，求a的取值范围； （3）证明： （n∈N*） 44. 已知函数 （1）求函数的极值点。 （2）若恒成立，试确定实数的取值范围。 （3）证明：. 45. (替换构造) 已知函数 ⑴求函数的单调区间； ⑵若≤0恒成立，试确定实数的取值范围；（一次，作差构造） ⑶证明：①当时，；②. 46. 已知函数. ⑴求的单调区间和极值； ⑵求证：. 五、函数与导数性质的综合运用 47. 已知函数 ⑴求函数的单调区间和极值； ⑵已知函数对任意满足，证明：当时， ⑶如果，且，证明： 48. 已知函数， （Ⅰ）若，求的单调区间； （Ⅱ）对于任意的，比较与的大小，并说明理由． 49. (第3问难想)已知函数，其中ｅ是自然数的底数，。 （1） 当时，解不等式； （2） 若在［－１，１］上是单调增函数，求的取值范围； （3） 当时，求整数ｋ的所有值，使方程在［ｋ，ｋ＋１］上有解。 56. 设函数. ⑴求的单调区间和极值; ⑵是否存在实数,使得关于的不等式的解集为?若存在,求的取值范围;若不存在,试说明理由. 六、导数与三角函数的结合 57. 已知函数，函数是区间[-1，1]上的减函数． （I）求的最大值； （II）若上恒成立，求t的取值范围； （Ⅲ）讨论关于x的方程的根的个数． 58. 已知函数是奇函数，函数与的图象关于直线对称，当时， (为常数). （I）求 的解析式； （II）已知当时，取得极值，求证：对任意恒成立； （III）若是上的单调函数，且当时，有，求证：. 59. 设函数（），其中． （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）当时，求函数的极大值和极小值； （Ⅲ）当， 时，若不等式对任意的恒成立,求的值。 60. 已知函数，（为常数）是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数。 (1) 求的值； (2) 若在恒成立，求的取值范围； (3) 讨论关于的方程的根的个数。 ( 52 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数与导数压轴题题型方法总结 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 二、交点与根的分布　 三、不等式恒成立求字母范围　 （一）恒成立之最值的直接应用 （二）恒成立之分离常数 （三）恒成立之讨论字母范围 四、不等式证明　 （一）作差证明不等式　 （二）变形构造函数证明不等式 （三）替换构造不等式证明不等式 五、函数与导数性质的综合运用　 六、导数结合三角函数　 书中常用结论 ⑴，变形即为，其几何意义为上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵ ⑶ ⑷. 在解题中常用的有关结论（需要熟记）： (1)曲线在处的切线的斜率等于，切线方程为 (2)若可导函数在 处取得极值，则。反之，不成立。 (3)对于可导函数，不等式的解集决定函数的递增（减）区间。 (4)函数在区间I上递增（减）的充要条件是：恒成立 (5)函数在区间I上不单调等价于在区间I上有极值，则可等价转化为方程在区间I上有实根且为非二重根。（若为二次函数且I=R，则有）。 (6) 在区间I上无极值等价于在区间在上是单调函数，进而得到或在I上恒成立 (7)若，恒成立，则; 若，恒成立，则 (8)若，使得，则；若，使得，则. (9)设与的定义域的交集为D若D 恒成立则有 (10)若对、 ，恒成立，则. 若对，，使得,则. 若对，，使得，则. （11）已知在区间上的值域为A,，在区间上值域为B， 若对,，使得=成立，则。 (12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程有两个不等实根，且极大值大于0，极小值小于0. (13)证题中常用的不等式: ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 1. (是一道设计巧妙的好题，同时用到e底指、对数，需要构造函数，证存在且唯一时结合零点存在性定理不好想，⑴⑵联系紧密) 已知函数 ⑴若函数φ (x) = f (x)－，求函数φ (x)的单调区间； ⑵设直线l为函数f (x)的图象上一点A(x0，f (x0))处的切线，证明：在区间(1,+∞)上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y=g(x)相切． 解：（Ⅰ） ，． ∵且，∴∴函数的单调递增区间为． （Ⅱ）∵ ，∴， ∴ 切线的方程为, 即, ① 设直线与曲线相切于点， ∵，∴，∴,∴. ∴直线也为， 即， ② 由①②得 ，∴． 下证：在区间（1,+）上存在且唯一. 由（Ⅰ）可知，在区间上递增． 又，， 结合零点存在性定理，说明方程必在区间上有唯一的根，这个根就是所求的唯一，故结论成立． 2. 已知函数（）． （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）记函数的图象为曲线．设点,是曲线上的不同两点．如果在曲线上存在点，使得：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”．试问：函数是否存在“中值相依切线”，请说明理由． 解：（Ⅰ）易知函数的定义域是， ．…………1分 ①当时，即时, 令,解得或; 令,解得．……………2分 所以，函数在和上单调递增,在上单调递减 ②当时，即时, 显然，函数在上单调递增；……………3分 ③当时，即时, 令,解得或; 令,解得．……………4分 所以，函数在和上单调递增,在上单调递减 综上所述， ⑴当时,函数在和上单调递增,在上单调递减； ⑵当时,函数在上单调递增； ⑶当时,函数在和上单调递增,在上单调递减．……………5分 （Ⅱ）假设函数存在“中值相依切线”． 设,是曲线上的不同两点，且， 则 ……………7分 曲线在点处的切线斜率 ，……………8分 依题意得：． 化简可得： ，即=． ……………10分 设 （），上式化为：, 即． ………12分 令,． 因为,显然，所以在上递增,显然有恒成立． 所以在内不存在,使得成立． 综上所述，假设不成立．所以，函数不存在“中值相依切线”．……………14分 3. （第2问难，单调性与极值，好题） 设函数 ⑴讨论函数的单调性； ⑵若有两个极值点，记过点的直线斜率为,问：是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 解：⑴的定义域为 令 ①当故上单调递增． ②当的两根都小于0，在上，，故上单调递增． ③当的两根为， 当时， ；当时，；当时，，故分别在上单调递增，在上单调递减． ⑵由⑴知，若有两个极值点，则只能是情况③，故． 因为， 所以 又由⑴知，，于是 若存在，使得则．即． 亦即 再由⑴知，函数在上单调递增，而，所以这与式矛盾．故不存在，使得 4. （变形构造） 已知二次函数和“伪二次函数”（、、）， (I)证明：只要，无论取何值，函数在定义域内不可能总为增函数； (II)在二次函数图象上任意取不同两点，线段中点的横坐标为，记直线的斜率为， (i)求证：； (ii)对于“伪二次函数”，是否有①同样的性质?证明你的结论. 解：（I）如果为增函数,则(1)恒成立, 当时恒成立, (2) 由二次函数的性质, (2)不可能恒成立.则函数不可能总为增函数. 3分 （II）（i） =. 由, 则--------5分 （ii）不妨设,对于“伪二次函数”: =, (3) 7分 由(ⅰ)中(1),如果有(ⅰ)的性质，则 , (4) 比较(3)( 4)两式得，即：，(4) --------10分 不妨令， (5) 设，则， ∴在上递增， ∴. ∴ (5)式不可能成立,（4）式不可能成立,. ∴“伪二次函数”不具有(ⅰ)的性质. -------12分 二、交点与根的分布 5. （交点个数与根的分布） 已知是函数的一个极值点． ⑴求； ⑵求函数的单调区间； ⑶若直线与函数的图像有个交点，求的取值范围． 解：⑴， 是函数的一个极值点． ， ⑵由⑴， 令，得，，和随的变化情况如下： 1 3 0 0 增 极大值 减 极小值 增 的增区间是，；减区间是(1,3)． ⑶由②知，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减． ∴，． 又时，；时，； 可据此画出函数的草图（图略），由图可知， 当直线与函数的图像有3个交点时，的取值范围为． 6. （交点个数与根的分布） 已知函数 ⑴求在区间上的最大值 ⑵是否存在实数使得的图像与的图像有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。 解：⑴ 当即时，在上单调递增， 当即时， 当时，在上单调递减， 综上 ⑵函数的图像与的图像有且只有三个不同的交点，即函数 的图像与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。 当时，是增函数； 当时，是减函数； 当时，是增函数； 当或时， 当充分接近0时，当充分大时， 要使的图像与轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须 　　即 ∴存在实数，使得函数与的图像有且只有三个不同的交点，的取值范围为 7. （交点个数与根的分布） 已知函数 ⑴求f(x)在[0,1]上的极值； ⑵若对任意成立，求实数a的取值范围； ⑶若关于x的方程在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围. 解：⑴， 令（舍去） 单调递增；当递减. 上的极大值. ⑵由得 设，， 依题意知上恒成立， ， ， 上单增，要使不等式①成立， 当且仅当 　 ⑶由 令， 当上递增； 上递减， 而， 恰有两个不同实根等价于 8. （利用根的分布讨论） 设函数，其中 ⑴当时，求曲线在点处的切线的斜率 ⑵求函数的单调区间与极值 ⑶已知函数有三个互不相同的零点，且，若对任意的恒成立，求的取值范围. 解：⑴当 所以曲线在点处的切线斜率为1. ⑵，令，得到 因为， 当x变化时，的变化情况如下表： + 0 － 0 + ↓ 极小值 ↑ 极大值 ↓ 在和内减函数，在内增函数。 函数在处取得极大值，且= 函数在处取得极小值，且= ⑶由题设 所以方程=0由两个相异的实根，故，且，解得 因为（难点） 若，而，不合题意； 若则对任意的有 则，又，所以函数在的最小值为0，于是对任意的，恒成立的充要条件是,解得，综上，m的取值范围是 9. 已知函数在点处的切线方程为． ⑴求函数的解析式； ⑵若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值； ⑶若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围． 解：⑴．…………………………………………………………2分 根据题意，得即解得……………………3分 所以．………………………………………………………………4分 ⑵令，即．得． 1 2 + + 增 极大值 减 极小值 增 2 因为，， 所以当时，，．………………………………6分 则对于区间上任意两个自变量的值，都有 ，所以． 所以的最小值为4．……………………………………………………………………8分 ⑶因为点不在曲线上，所以可设切点为． 则． 因为，所以切线的斜率为．………………………………9分 则=，………………………………………………………………11分 即． 因为过点可作曲线的三条切线， 所以方程有三个不同的实数解． 所以函数有三个不同的零点． 则．令，则或． 0 2 + + 增 极大值 减 极小值 增 则 ，即，解得． 三、不等式恒成立求字母范围 恒成立之最值的直接应用 10. 已知函数，在区间上有最大值4，最小值1，设． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）不等式在上恒成立，求实数的范围； （Ⅲ）方程有三个不同的实数解，求实数的范围． 解:（Ⅰ）(1) 当时，上为增函数 故 当上为减函数 故 即. . （Ⅱ）方程化为 ，令， ∵ ∴ 记∴ ∴ （Ⅲ）方程化为 ， 令， 则方程化为 （） ∵方程有三个不同的实数解， ∴由的图像知， 有两个根、， 且 或 ， 记 则 或 ∴ 11. 已知函数， 设 （1）是否存在唯一实数，使得，若存在，求正整数m的值；若不存在，说明理由。 （2）当时，恒成立，求正整数n的最大值。 解：（1）由得 则因此在内单调递增。……………4分 因为，， 即存在唯一的根，于是 ……………6分 （2）由得，且恒成立，由第（1）题知存在唯一的实数，使得，且当时，，；当时，，因此当时，取得最小值 ……………9分 由，得 即 于是 又由，得，从而，故正整数n的最大值为3。………12分 12. （变形构造函数，二次） 已知函数. ⑴讨论函数的单调性； ⑵设，如果对任意，≥，求的取值范围. 解：⑴的定义域为（0，+∞）. . 当时，＞0，故在（0，+∞）单调增加； 当时，＜0，故在（0，+∞）单调减少； 当－1＜＜0时，令=0，解得. 则当时，＞0；时，＜0. 故在单调增加，在单调减少. ⑵不妨假设，而＜－1，由⑴知在（0，+∞）单调减少，从而 ， 等价于，…… ① 令，则 ①等价于在（0，+∞）单调减少，即. 从而,设并设， ∴，∴≤ 故a的取值范围为（－∞，－2]. 13. （最值应用，转换变量） 设函数． (1)讨论函数在定义域内的单调性； (2)当时，任意，恒成立，求实数的取值范围． 解：⑴． 当时，，增区间为，减区间为，． 当时，，减区间为． 当时，，增区间为，减区间为，． ⑵由⑴知，当时，在上单调递减， ∴，≤， 即≤． ∵恒成立， ∴＞，即， 又，∴． ∵，∴，∴≤． 14. (两边分求，最小值与最大值) 已知函数. ⑴当时，讨论的单调性； ⑵设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围. 解：本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力. （1）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性；（2）利用导数求出的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出在闭区间[1,2]上的最大值，然后解不等式求参数. ⑴， 令 ①当时，，当,函数单调递减；当，函数单调递增. ②当时，由，即，解得. 当时，恒成立，此时，函数单调递减； 当时，,时，函数单调递减； 时，，函数单调递增； 时，，函数单调递减. 当时，当,函数单调递减； 当，函数单调递增. 综上所述：当时，函数在单调递减，单调递增； 当时,恒成立,此时，函数在单调递减； 当时,函数在递减,递增,递减. ⑵当时，在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以对任意， 有， 又已知存在，使，所以，，（※） 又 当时，与（※）矛盾； 当时，也与（※）矛盾； 当时，. 综上，实数的取值范围是. 15. 设函数． （Ⅰ）当时，过原点的直线与函数的图象相切于点P，求点P的坐标； （Ⅱ）当时，求函数的单调区间； （Ⅲ）当时，设函数，若对于]，[0，1] 使≥成立，求实数b的取值范围.（是自然对数的底，） 解：函数的定义域为， （Ⅰ）设点，当时，，则，，∴ 解得，故点P 的坐标为 （Ⅱ） ∵ ∴ ∴当，或时，当时， 故当时，函数的单调递增区间为； 单调递减区间为， （Ⅲ）当时，由（Ⅱ）可知函数在上是减函数，在上为增函数，在上为减函数，且， ∵，又，∴， ∴，故函数在上的最小值为 若对于，使 ≥成立在上的最小值不大于 在上的最小值（*） 又， ①当时，在上为增函数，与（*）矛盾 ②当时，， 由及得， ③当时，在上为减函数， ，此时 综上，的取值范围是 16. （最值应用） 设函数，且，其中是自然对数的底数. ⑴求与的关系； ⑵若在其定义域内为单调函数，求的取值范围； ⑶设，若在上至少存在一点，使得＞成立，求实数的范围. 解：（1）由题意得 而，所以、的关系为. （2）由（1）知， .令， 要使在其定义域内单调，只需恒成立. ①当时，，因为＞，所以＜0，＜0， ∴在内是单调递减函数，即适合题意； ②当＞0时，，∴， 只需，即， ∴在内为单调递增函数，故适合题意. ③当＜0时，，其图像为开口向下的抛物线，对称轴为，只要，即时，在恒成立，故＜0适合题意. 综上所述，的取值范围为. （3）∵在上是减函数， ∴时，；时，，即， ①当时，由（2）知在上递减＜2，不合题意； ②当0＜＜1时，由， 又由（2）知当时，在上是增函数， ∴＜，不合题意； ③当时，由（2）知在上是增函数，＜2，又在上是减函数，故只需＞，，而，， 即 ＞2，解得＞ ， 综上，的取值范围是. 17. 已知函数，a为正常数． ⑴若，且a，求函数的单调增区间； ⑵在⑴中当时，函数的图象上任意不同的两点，，线段的中点为，记直线的斜率为，试证明：． ⑶若，且对任意的，，都有，求a的取值范围． 解：⑴ ∵a，令得或,∴函数的单调增区间为. ⑵证明：当时 ∴, ∴,又 不妨设 ， 要比较与的大小，即比较与的大小， 又∵，∴ 即比较与的大小． 令,则, ∴在上位增函数． 又，∴， ∴，即 ⑶∵ ，∴ 由题意得在区间上是减函数． 当， ∴ 由在恒成立． 设，，则 ∴在上为增函数，∴. 当，∴ 由在恒成立 设，为增函数,∴ 综上：a的取值范围为. 18. （最值的直接应用，第3问带有小的处理技巧） 已知函数，其中. ⑴若曲线在点处切线方程为,求函数的解析式； ⑵讨论函数的单调性； ⑶若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围. 解：⑴，由导数的几何意义得，于是． 由切点在直线上可得，解得． 所以函数的解析式为． ⑵． 当时，显然(),这时在，上内是增函数． 当时，令，解得． 当变化时，，的变化情况如下表： ＋ 0 － － 0 ＋ ↗ 极大值 ↘ ↘ 极小值 ↗ ∴在，内是增函数，在，内是减函数． ⑶由⑵知，在上的最大值为与的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，对任意的成立．从而得，所以满足条件的的取值范围是． 19. （转换变量，作差） 已知函数. ⑴若，求的单调区间； ⑵已知是的两个不同的极值点，且，若恒成立，求实数b的取值范围。 解：⑴，或1 令，解得令，解得， 的增区间为；减区间为， ⑵，即 由题意两根为，，又 且△，. 设， 或 2 + 0 0 + 极大值 极小值 又，， ，. 恒成立之分离常数 20. （分离常数） 已知函数 (1) 若在处的切线平行于直线，求函数的单调区间； (2) 若，且对时，恒成立，求实数的取值范围. 解: (1) 定义域为,直线的斜率为, ,,.所以 由; 由 所以函数的单调增区间为,减区间为. (2) ，且对时，恒成立 ,即. 设. 当时, , 当时, ,. 所以当时,函数在上取到最大值,且 所以,所以 所以实数的取值范围为. （法二）讨论法 ，在上是减函数，在上是增函数. 当≤时，≥，解得，∴≤. 当时，，解得，∴. 综上. 21. （恒成立，分离常数，二阶导数） 已知函数,（其中R,为自然对数的底数）. (1)当时,求曲线在处的切线方程； (2)当≥1时,若关于的不等式≥0恒成立,求实数的取值范围. （改x≥0时，≥0恒成立.≤1） 解：（1）当时，,,, 切线方程为． （2）[方法一] ≥1, ( 1 2 ) ( 2 ax x e x f x )≥ ( a 0 )≤ ( x x e x 1 2 2 ), 设 ( x x e x g x 1 2 ) ( 2 ),则 ( 2 2 1 2 ) 1 ( ) ( ' x x e x x g x ), 设,则, 在上为增函数,≥, ,在上为增函数, ≥,≤． [方法二], , 设,, ≥0,≥0,在上为增函数, ≥. 又≥0恒成立,≥0,≤, ≥,, 在上为增函数, 此时≥≥0恒成立, ≤． （改x≥0时，≥0恒成立.≤1） 解：先证明在上是增函数，再由洛比达法则，∴，∴≤1.（正常的讨论进行不了，除非系数调到二次项上，分两种情况讨论可得≤1） 22. （两边取对数的技巧）设函数且） （1）求的单调区间； （2）求的取值范围； （3）已知对任意恒成立，求实数的取值范围。 解：（1） , 当时，即. 当时，即或. 故函数的单调递增区间是. 函数的单调递减区间是. （2）由时，即， 由（1）可知在上递增， 在递减，所以在区间（－1，0）上， 当时，取得极大值，即最大值为. 在区间上，. 函数的取值范围为.分 （3），两边取自然对数得 23. （分离常数） 已知函数 ． （Ⅰ）若函数在区间其中a >0，上存在极值，求实数a的取值范围； （Ⅱ）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围； 解：（Ⅰ）因为， x >0，则， 当时，；当时，． 所以在（0，1）上单调递增；在上单调递减， 所以函数在处取得极大值． 因为函数在区间（其中）上存在极值， 所以 解得． （Ⅱ）不等式即为 记 所以 令，则， ， 在上单调递增， ，从而， 故在上也单调递增， 所以，所以 ． 24. (恒成立，分离常数，涉及整数、较难的处理) 已知函数 （Ⅰ）试判断函数上单调性并证明你的结论； （Ⅱ）若恒成立，求整数k的最大值；（较难的处理） （Ⅲ）求证：(1+1×2)(1+2×3)…[1+n(n+1)]>e2n－3. 解：（I） 上递减. （II） 则上单调递增， 又 存在唯一实根a，且满足 当 ∴ 故正整数k的最大值是3 . （Ⅲ）由（Ⅱ）知 ∴ 令，则 ∴ln(1+1×2)+ln(1+2×3)+…+ln[1+n(n+1)] ∴（1+1×2）（1+2×3）…[1+n（n+1）]>e2n－3 25. (分离常数，双参，较难)已知函数，. （１）若函数依次在处取到极值． ①求的取值范围；②若，求的值． （２）若存在实数，使对任意的，不等式 恒成立．求正整数的最大值． 解：（1）① ② . （2）不等式 ，即，即. 转化为存在实数，使对任意，不等式恒成立,即不等式在上恒成立。 即不等式在上恒成立。 设，则。 设，则，因为，有。 故在区间上是减函数。 又 故存在，使得。 当时，有，当时，有。 从而在区间上递增，在区间上递减。 又 所以当时，恒有；当时，恒有； 故使命题成立的正整数的最大值为5. 26. （分离常数，复合的超范围） 已知函数 ⑴求函数的单调区间; ⑵若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数），求a的最大值.（分离常数） 解: ⑴函数的定义域是， 设则 令则 当时， 在（－1，0）上为增函数， 当x＞0时，在上为减函数. 所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0,所以， 函数g(x)在上为减函数. 于是当时，当x＞0时， 所以，当时，在（－1，0）上为增函数. 当x＞0时，在上为减函数. 故函数的单调递增区间为（－1，0），单调递减区间为. ⑵不等式等价于不等式 由知，＞0，∴上式变形得 设，则则 由⑴结论知，（≤）即 所以于是G(x)在上为减函数. 故函数在上的最小值为 所以a的最大值为 27. （分离常数，转换变量，有技巧） 设函数. ⑴若函数在处与直线相切： ①求实数的值；②求函数在上的最大值； ⑵当时，若不等式≥对所有的都成立，求实数的取值范围. 解：（1）①。 ∵函数在处与直线相切解得 . ② 当时，令得；令，得，上单调递增，在[1，e]上单调递减，. （2）当b=0时，若不等式对所有的都成立，则对所有的都成立， 即对所有的都成立， 令为一次函数， . 上单调递增，， 对所有的都成立. .. （注：也可令所有的都成立，分类讨论得对所有的都成立，， 恒成立之讨论字母范围 28. （用到二阶导数，二次） 设函数. ⑴若，求的最小值； ⑵若当时，求实数的取值范围. 解：（1）时，，. 当时，；当时，. 所以在上单调减小，在上单调增加 故的最小值为 （2）， 当时，，所以在上递增， 而，所以，所以在上递增， 而，于是当时， . 当时，由得 当时，，所以在上递减， 而，于是当时，，所以在上递减， 而，所以当时，. 综上得的取值范围为. 29. （恒成立，反比例，提出公因式再处理的技巧，本题的创新之处是将一般的过定点（0,0）变为过定点（1,0），如果第2问范围变为则更间单） 已知函数在点处的切线方程为. ⑴求、的值； ⑵如果当，且时，，求的取值范围。 解：⑴， 依意意且，即，，解得，. ⑵由⑴知，所以. 设，则. （注意h(x)恒过点(1,0)，由上面求导的表达式发现讨论点0和1） ① 当，由，（变形难想，法二） 当时，.而，故 当时，，可得； 当x(1,+)时，<0，可得>0, 从而当x>0,且x1时，－(+)>0，即>+. 法二：的分子≤＜0，∴. ②当0< k <1，由于当x(1,)时，(k－1)(x2 +1)+2x>0,故>0,而 =0，故当x(1,)时，>0，可得<0,不合题意. ③当k≥1，此时>0，则x(1，+)时，递增，，∴<0,不合题意. 综上，k的取值范围为(－,0] 30. 已知函数，且函数是上的增函数。 （1）求的取值范围； （2）若对任意的，都有（e是自然对数的底），求满足条件的最大整数的值。 解析：（1）设，所以，得到．所以的取值范围为………2分 （2）令，因为是上的增函数，且，所以是上的增函数。…………………………4分 由条件得到（两边取自然对数），猜测最大整数，现在证明对任意恒成立。…………6分 等价于，………………8分 设， 当时，，当时，， 所以对任意的都有，即对任意恒成立， 所以整数的最大值为2．……………………………………………………14分 四、不等式证明 作差证明不等式 31. （转换变量，作差构造函数，较容易） 已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同． ⑴用表示，并求的最大值； ⑵求证：当时，． 解：⑴设与在公共点处的切线相同． ，，由题意，． 即由得：，或（舍去）． 即有． 令，则．于是 当，即时，； 当，即时，． 故在为增函数，在为减函数， 于是在的最大值为． ⑵设， 则． 故在为减函数，在为增函数， 于是函数在上的最小值是． 故当时，有，即当时，． 变形构造函数证明不等式 32. （变形构造新函数，一次） 已知函数． ⑴试讨论在定义域内的单调性； ⑵当＜－1时，证明：，．求实数的取值范围． 解：⑴函数的定义域为，． 当时，增区间为，减区间为； 当≤≤0时，增区间为； 当时，增区间为，减区间为． ⑵当＞0时，在区间(0,1)上单调递增， 不妨设，则， ∴等价于，即． 构造，则＞0． ∴在上是增函数，当时，， 即，即． 又当＞0时，在区间(0,1)上单调递增， ∴． ∴，即． 33. （2010辽宁文21，构造变形，二次） 已知函数. ⑴讨论函数的单调性； K^S*5U.C# ⑵设，证明：对任意，. 解：⑴ f(x)的定义域为(0,+)，. 当a≥0时，＞0，故f(x)在(0,+)单调增加； 当a≤－1时，＜0, 故f(x)在(0,+)单调减少； 当－1＜a＜0时，令＝0,解得x=.当x∈(0, )时, ＞0； x∈(，+)时，＜0, 故f(x)在（0, ）单调增加，在（，+）单调减少. ⑵不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+）单调减少. 所以等价于≥4x1－4x2, 即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1. 令g(x)=f(x)+4x,则+4＝. 设，≤－1，对称轴为， 结合图象知≤≤0， 于是≤＝≤0. 从而g(x)在（0,+）单调减少，故g(x1) ≤g(x2)， 即　f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，故对任意x1,x2∈(0,+) ， 34. （最值应用） 已知二次函数对都满足且，设函数（，）． （Ⅰ）求的表达式； （Ⅱ）若，使成立，求实数的取值范围； （Ⅲ）设，，求证：对于，恒有． 解：（Ⅰ）设，于是 所以 又，则．所以． …………3分 （Ⅱ） 当m>0时，由对数函数性质，f（x）的值域为R；…………4分 当m=0时，对，恒成立； …………5分 当m<0时，由，列表： x － 0 ＋ 减 极小 增 所以若，恒成立，则实数m的取值范围是． 故使成立，实数m的取值范围．…………9分 （Ⅲ）因为对，所以在内单调递减． 于是 记，则 所以函数在是单调增函数， 所以，故命题成立． …………12分 35. （辽宁，变形构造，二次） 已知函数f(x)=x2－ax+(a－1)，. （1）讨论函数的单调性；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）证明：若，则对任意x,x，xx，有. 解：(1)的定义域为. ①若即,则，故在单调增加。 ②若,而,故,则当时，; 当及时， 故在单调减少，在单调增加。 ③若,即,同理在单调减少，在单调增加. ⑵考虑函数 则（另一种处理） 由于1<a<5,故，即g(x)在(4, +∞)单调增加，从而当时有，即，故， 当时，有. （另一种处理） ，结合二次函数图象 设≥≥＞0 36. 已知函数. （1）若对任意的恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，设函数，若，求证 解：（1）,，即在上恒成立 设,，时，单调减，单调增， 所以时，有最大值.，所以. （2）当时，, ,所以在上是增函数，上是减函数. 因为，所以 即,同理. 所以 又因为当且仅当“”时，取等号. 又，, 所以,所以， 所以：. 37. 已知函数， （Ⅰ）求的极值 （Ⅱ）若在上恒成立，求的取值范围 （Ⅲ）已知，且，求证 解：（1）∵，令得 ，，为增函数，，，为减函数 ∴有极大值 ……………………4分 （2）欲使＜在上恒成立， 只需 在上恒成立 设， ，，为增函数,，，为减函数 ∴时，是最大值 只需，即………8分 （3）∵由（2）可知在上单调增， ，那，同理 相加得 ，∴， 得： . 38. 已知函数的图象为曲线, 函数的图象为直线. (Ⅰ) 当时, 求的最大值; (Ⅱ) 设直线与曲线的交点的横坐标分别为, 且, 求证: . 解：（1） 单调递增，单调递减， （2）不妨设，要证 只需证 ，即， 令， 只需证， 令 在单调递增。 ，，在单调递增。 ， 所以 替换构造不等式证明不等式 39. （第3问用第2问）已知，直线与函数的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为1。 （I）求直线的方程及m的值； （II）若，求函数的最大值。 （III）当时，求证： 解：（I）的斜率为1， 且与函数的图像的切点坐标为（1，0），的方程为 又与函数的图象相切，有一解。 由上述方程消去y，并整理得① 依题意，方程②有两个相等的实数根，解之， 得m=4或m=-2， （II）由（I）可知 ， 单调，当时，单减。 ，取最大值，其最大值为2。 （III） 证明，当时， 40. 已知函数、 （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）若为正常数，设，求函数的最小值； （Ⅲ）若，，证明：、 解:（Ⅰ）∵，解，得；解，得. ∴的单调递增区间是，单调递减区间是. ……3′ （Ⅱ）∵，定义域是. ∴……5′ 由，得，由，得 ∴ 函数在上单调递减；在上单调递增……7′ 故函数的最小值是：. ……8′ （Ⅲ）∵，，∴ 在（Ⅱ）中取， 可得，即.……10′ ∴，∴. 即.……12′ 41. （替换构造不等式） 已知函数在点的切线方程为. ⑴求函数的解析式； ⑵设，求证：≥在上恒成立；（反比例，变形构造） ⑶已知，求证：.（替换构造） 解：⑴将代入切线方程得. ∴，化简得. ， 解得.∴ . ⑵由已知得在上恒成立 化简，即在上恒成立 设，. ∵ ∴，即 ∴在上单调递增， ∴在上恒成立 . ⑶∵，∴，由⑵知有， 整理得∴当时，. 42. （利用⑵结论构造） 已知函数的图象在点处的切线方程为. （反比例，作差构造） ⑶.（替换构造） 解：本题主要考察函数、导数、不等式的证明等基础知识，同事考察综合运用数学知识进行推理论证的能力和分类讨论的思想。 ⑴，则有，解得. ⑵由⑴知，， 令， 则 ， ①当 ， 若 ，则，是减函数，所以 ，故在上恒不成立。 ②时， 若，故当时，。 综上所述，所求的取值范围为 ⑶由⑵知：当时，有. 令，有 当时， 令，有 即 ， 将上述个不等式依次相加得 ,整理得. 43. 已知的图像在点处的切线与直线平行. （1）求a，b满足的关系式； （2）若上恒成立，求a的取值范围； （3）证明： （n∈N*） 解：（Ⅰ），根据题意，即. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，， 令， 则，= ①当时， ， 若，则，在减函数，所以，即在上恒不成立． ②时，，当时，，在增函数，又，所以． 综上所述，所求的取值范围是. （Ⅲ）由（Ⅱ）知当时，在上恒成立．取得 令，得， 即,所以 上式中n=1，2，3，…，n，然后n个不等式相加得 44. 已知函数 （1）求函数的极值点。 （2）若恒成立，试确定实数的取值范围。 （3）证明：. 解：(1)的定义域为（1，+∞），. 当时，，则在（1，+∞）上是增函数。 在（1，+∞）上无极值点. 当时，令，则. 所以当时，， ∴在上是增函数， 当时，， ∴在上是减函数。 ∴时，取得极大值。 综上可知，当时，无极值点； 当时，有唯一极值点. (2)由(1)可知，当时，，不成立.故只需考虑. 由(1)知，， 若恒成立，只需即可， 化简得：,所以的取值范围是[1，+∞）. (3)由(2)知， ∴. ∴ 45. (替换构造) 已知函数 ⑴求函数的单调区间； ⑵若≤0恒成立，试确定实数的取值范围；（一次，作差构造） ⑶证明：①当时，；②. 解：⑴函数的定义域为中，. 　 当≤0时，，则在上是增函数. 　 当时，在上是增函数，在上是减函数. ⑵由⑴知，当≤0时，在上是增函数.而，≤0不成立. 当时，由⑴知，要使≤0恒成立，则≤0，解得≥1. ⑶①由⑵知当时，有在上恒成立，且在是减函数. 　 又，∴当时，，即. 　 ②令则即，从而. 　 ∴成立. 46. 已知函数. ⑴求的单调区间和极值； ⑵求证：. 解：⑴定义域为,. 令，令 故的单调递增区间为，的单调递减区间为 的极大值为 ⑵证明：要证 即证， 即证 即证 令，由⑴可知在上递减，故 即，令，故 累加得， 故，得证 法二：= ，其余相同证法. 五、函数与导数性质的综合运用 47. 已知函数 ⑴求函数的单调区间和极值； ⑵已知函数对任意满足，证明：当时， ⑶如果，且，证明： 解：⑴∵=，∴=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2分) 令=0，解得. 2 ＋ 0 － ↗ 极大值 ↘ ∴在内是增函数，在内是减函数. 　　　　　　　　　　(3分) ∴当时，取得极大值=.　 (4分) ⑵证明： ,则 =.　　　　　　　　　　　　 　(6分) 当时，＜0，＞3，从而＜0， ∴＞0，在是增函数.　　　　　　　　　　　　　　　　(7分) 　　　 　 　(8分) ⑶证明：∵在内是增函数，在内是减函数. ∴当，且，、不可能在同一单调区间内. 不妨设，由⑵可知， 又，∴. ∵，∴. ∵，且在区间内为增函数， ∴，即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(12分) 48. 已知函数， （Ⅰ）若，求的单调区间； （Ⅱ）对于任意的，比较与的大小，并说明理由． 解：（Ⅰ），，-----1分 ①当时，在上恒成立，的递增区间为；------2分 ②当时，的递增区间为；--------------3分 ③当时，的递增区间为，递减区间为；--------4分 （Ⅱ）令， ， 令，在上恒成立， 当时，成立，在上恒成立， 在上单调递增，当时，恒成立， 当时，恒成立， 对于任意的时，， 又，， ，即． 49. (第3问难想)已知函数，其中ｅ是自然数的底数，。 （1） 当时，解不等式； （2） 若在［－１，１］上是单调增函数，求的取值范围； （3） 当时，求整数ｋ的所有值，使方程在［ｋ，ｋ＋１］上有解。 ⑴因为，所以不等式即为， 又因为，所以不等式可化为， 所以不等式的解集为．………………………………………4分 ⑵， ①当时，，在上恒成立，当且仅当时 取等号，故符合要求；………………………………………………………6分 ②当时，令，因为， 所以有两个不相等的实数根，，不妨设， 因此有极大值又有极小值． 若，因为，所以在内有极值点， 故在上不单调．………………………………………………………8分 若，可知， 因为的图象开口向下，要使在上单调，因为， 必须满足即所以. 综上可知，的取值范围是．………………………………………10分 ⑶当时, 方程即为，由于，所以不是方程的解， 所以原方程等价于，令， 因为对于恒成立， 所以在和内是单调增函数，……………………………13分 又，，，， 所以方程有且只有两个实数根，且分别在区间和上， 所以整数的所有值为．………………………………………………………16分 56. 设函数. ⑴求的单调区间和极值; ⑵是否存在实数,使得关于的不等式的解集为?若存在,求的取值范围;若不存在,试说明理由. 说明：本小题主要考查函数的导数，单调性，极值，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．满分14分． 解：⑴． 故当时，，时，． 所以在单调递增，在单调递减． 由此知在的极大值为，没有极小值． ⑵①当时，由于， 故关于的不等式的解集为． ②当时，由知，其中为正整数，且有． 又时，．且． 取整数满足，，且， 则， 即当时，关于的不等式的解集不是． 综合①②知，存在，使得关于的不等式的解集为，且的取值范围为． 六、导数与三角函数的结合 57. 已知函数，函数是区间[-1，1]上的减函数． （I）求的最大值； （II）若上恒成立，求t的取值范围； （Ⅲ）讨论关于x的方程的根的个数． 解：（I）， 上单调递减， 在[－1，1]上恒成立， ，故的最大值为……4分 （II）由题意 　　只需＜，∴＞0(其中≤－1)恒成立. 令＞0(≤－1)，则， 即，而恒成立，∴. （Ⅲ）由 令 当上为增函数； 当时，为减函数； 当而 方程无解； 当时，方程有一个根； 当时，方程有两个根． …………14分 58. 已知函数是奇函数，函数与的图象关于直线对称，当时， (为常数). （I）求 的解析式； （II）已知当时，取得极值，求证：对任意恒成立； （III）若是上的单调函数，且当时，有，求证：. 解:(Ⅰ) 当时，必有，则而若点在的图象上， 则关于的对称点必在的图象上，即当时， 由于是奇函数，则任取有且 又当时，由 必有 综上，当 时. ……5分 （Ⅱ）若时取到极值，则必有当时，即 又由知，当时，，为减函数 ， . ……9分 （Ⅲ）若在 为减函数，则对任意皆成立，这样的实数不存在 若为增函数，则可令 .由于在上为增函数，可令，即当时，在上为增函数 由， 设，则与所设矛盾 若则 与所设矛盾 故必有 59. 设函数（），其中． （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）当时，求函数的极大值和极小值； （Ⅲ）当， 时，若不等式对任意的恒成立,求的值。 解：当时，，得，且 ，． 所以，曲线在点处的切线方程是，整理得 ． （Ⅱ）解： ．令，解得或． 由于，以下分两种情况讨论． （1）若，当变化时，的正负如下表： 因此，函数在处取得极小值，且； 函数在处取得极大值，且． （2）若，当变化时，的正负如下表： 因此，函数在处取得极小值，且； 函数在处取得极大值，且． （Ⅲ）证明：由，得，当时，，． 由（Ⅱ）知，在上是减函数，要使， 只要，即① 设，则函数在上的最大值为． 要使①式恒成立，必须，即或． 所以，在区间上存在，使得对任意的恒成立． 60. 已知函数，（为常数）是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数。 (1) 求的值； (2) 若在恒成立，求的取值范围； (3) 讨论关于的方程的根的个数。 解：(1)∵是实数集R上的奇函数 ∴ ∴……3分 （2）∵是区间的减函数 ∴， ∴只需 www.jk.zy.w.com ∴，（）恒成立 ……5分 令，（） 则 ∴，而恒成立，∴……7分 (3)由(1)知 ∴方程 令， ∴………8分 当时，∴，在上是增函数 当时，∴，在上是减函数 当时， ……9分 而 ∴当，即时，方程无解； ……10分 当，即时，方程有一个根； ……11分 当，即时，方程有两个根； ……12分 52 学科网（北京）股份有限公司 $