精品解析：上海市浦东新区2025-2026学年高三上学期期末教学质量检测数学试题

浦东新区2025学年度第一学期期末教学质量检测 高三数学试卷 考生注意：1、本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟； 2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分. 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 已知集合，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据集合交集的定义和运算，即可求解. 【详解】由题意，集合，， 根据集合交集的定义和运算，可得. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了集合交集的定义及运算，其中熟记集合交集的定义是解答的关键，属于容易题. 2. 函数 的定义域为_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的定义域列不等式求解即可. 【详解】由得， 所以函数 的定义域为. 故答案为：. 3. 已知向量、，若，则实数的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量共线求参数即可. 【详解】因为，所以. 故答案为： 4. 的二项展开式的常数项为_______ 【答案】20 【解析】 【详解】的二项展开式的通项为． 令得．所以的二项展开式的常数项为． 5. 已知正数a，b满足，则的最大值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】因为正数a，b满足，所以，平方化简得， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为. 故答案为： 6. 设，求方程的解集为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值三角不等式求解的最值，根据取等条件即可得方程的解集. 【详解】因为， 当且仅当时取等， 解得， 所以方程的解集为. 故答案为：. 7. 中，，，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理以及余弦定理，可得答案. 【详解】由题意可得， 因为，所以. 故答案为：. 8. 如图，等腰直角的斜边长为，将绕斜边所在直线旋转一周形成的旋转体的体积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】旋转体为两个同底等高的圆锥的组合体，利用体积公式求解即可 【详解】由题意，将绕斜边所在直线旋转一周形成的旋转体是以为底面半径，为高的两个共底面圆锥， 所以旋转体的体积为. 故答案为： 9. 已知奇函数的定义域为，当时，，则函数在处的导数_____. 【答案】 【解析】 【分析】先根据奇函数的定义求出时的函数的解析式，再求导即可求出导数值. 【详解】因为奇函数的定义域为， 令，则，所以， 所以当时，， 所以. 故答案为：. 10. 已知复数是实系数一元二次方程的两个根，若，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】分一元二次方程的判别式大于等于0与小于0，两种情况讨论，利用实系数一元二次方程的虚根成对的性质，计算可求得的最小值. 【详解】若一元二次方程的判别式大于等于0，则方程有两个实数根，即为实数， 由，则，此时， 若一元二次方程的判别式小于0，则为两虚数根， 设、 又因为，所以，所以， 所以 当时，. 综上所述：的最小值为. 故答案为：. 11. 某城市交通系统采用数智技术记录城市道路口的信号灯状态，每个时段的信号灯状态对应一个数字（见下表）. 信号灯状态 正常绿波协调 非正常绿波协调 道路施工临时黄灯 突发事故临时红灯 对应数字 0 1 现需要按顺序记录某个道路口5个时段的信号灯状态，例如，记号表示5个时段中有3个时段是“非正常绿波协调”状态，分别发生在第1、3、5时段.问：该路口5个时段所有可能的记录中，“非正常绿波协调”的时段数不少于1个且不多于3个的记录共有_____种. 【答案】130 【解析】 【分析】按照“非正常绿波协调”的时段个数进行分类，结合计数原理和组合数知识求解. 【详解】按照“非正常绿波协调”的时段个数进行分类， 每类情况均先从个时段中选取“非正常绿波协调”的时段个数，且因 “非正常绿波协调”有两种情况， 则“非正常绿波协调”的时段数1个的记录有种； “非正常绿波协调”的时段数2个的记录有种； “非正常绿波协调”的时段数3个的记录有种； 故 “非正常绿波协调”的时段数不少于1个且不多于3个的记录共有：种； 故答案为： 12. 已知，若等差数列为无穷数列，且均满足递推关系，则该数列首项的取值范围为_____. 【答案】. 【解析】 【分析】由递推关系，则，根据分段函数的解析式，分三种情况讨论，列出关系式，即可求解. 【详解】由函数，可得函数的图像，如图所示， 因为等差数列为无穷数列，且均满足递推关系，则， 当时，， 可得，符合题意，此时； 当时，则，可得 ， 两式相减，可得，即， 所以，所以，此时数列为常数列， 可得，解得或（舍去）； 若，，则，解得 综上可得：首项的取值范围为. 故答案为：. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分. 13. 已知直线、和平面、，且、，则“与相交”是“与相交”的（ ） A. 充分必要条件 B. 既不充分又不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与平面的位置关系判断. 【详解】直线、和平面、，且、， 若与相交，记，由于、， 所以、，则与相交， 所以“与相交”能得到与相交， 但“与相交”，则与可能异面，如图， 平面为，平面为，， 、，， 若与不重合，则直线、为异面直线， 所以“与相交”是“与相交”的充分不必要条件. 故选：C. 14. 某班一次数学小测验（百分制）后，老师为了奖励同学们平时认真学习，决定给每位同学的成绩加上5分作为过程性评价奖励.加分后，与原始分数相比，不会发生改变的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 第80百分位数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均值、中位数、百分位数的概念判断ABC，根据方差性质判断D. 【详解】加分后，与原始分数相比，平均值，中位数，第80百分位数的数值都会发生改变， 但根据方差的性质，一组数据同时加上相同的数后，方差大小不变. 故选：D. 15. 如图，椭圆、的离心率分别为、，双曲线、的离心率分别为、，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线离心率：，椭圆离心率，比较大小即可判断. 【详解】双曲线离心率：，椭圆离心率， 如图可知椭圆中，，所以， 双曲线、中，，所以， 综上：. 故选：D. 16. 已知函数，其中.集合，其中，集合，现有以下两个命题： ①存在实数、，使得集合中恰好有5个元素； ②若实数、是方程的两个不同实根，则存在实数、，使得集合中恰好有4个元素. 那么（ ） A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是假命题，②是假命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是真命题 【答案】A 【解析】 【分析】先化简集合的元素，通过构造具体数值验证命题①中元素的合并情况；结合韦达定理与函数零点存在性，验证命题②中元素的合并可行性。 【详解】， 集合，其中，取不同元素时， 集合的元素可能为，共个可能. ①若集合中恰好有5个元素，则当时，必然能找到a，b， 例如：当，可取，此时,共个元素. 所以①是真命题. ②依题意，若存在实数a、b是方程的两个不同实根， 所以，. 因为，, 若恰有4个不同的元素，则必定与中的两个相同， 而，，故， 若不符； 若（*）， 设， ， 所以，有零点，即（*）有解， 即存在，满足，使得中恰好有个元素. 所以实数k、t，使得集合中恰好有4个元素，②是真命题. 故选：A. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知函数，其中. （1）求函数的最小正周期及单调减区间. （2）求函数，的最大值，并求出取得最大值时的值. 【答案】（1），； （2），. 【解析】 【分析】（1）利用余弦函数的周期公式及单调性列式求解. （2）利用三角函数恒等变换化简函数，再利用正弦函数的性质求出指定区间上的最大值. 【小问1详解】 函数的最小正周期， 由，得， 所以函数单调减区间为. 【小问2详解】 依题意， 所以， 由，得，则当，即时，函数取得最大值2， 所以最大值为2，此时. 18. 如图，该几何体由一个棱长为4的正方体与一个半圆柱拼接而成，圆心、分别为线段、的中点，动点在弧上滑动. （1）若点为弧的中点，求直线与平面所成角的大小； （2）若弧的长度为，求证：平面平面. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得与平面的法向量，通过向量夹角公式求线面角； （2）由弧长可求得点坐标，进而求得平面和平面的法向量，计算即可得到结果. 【小问1详解】 建立如图所示空间直角坐标系： 则：，，，，， 若点为弧的中点，则 所以 平面的一个法向量为 所以 所以直线与平面所成角的大小 【小问2详解】 若弧的长度为，由弧长得，则 ， 设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为 令 所以 所以平面平面 19. 小明和小李要进行一系列的比赛，假设每局比赛的结果互不影响. （1）若比赛没有平局，且小明每局获胜的概率为0.4. ①如果共有三局比赛，求小明的比赛结果依次为赢、输、赢的概率； ②小明作为实力较弱的一方，他可以优先选择“一局定胜负”或“三局两胜”的赛制（“三局两胜”指先赢两局者为胜，最多三局结束）.请帮助小明分析，选择哪种赛制对他更有利，并说明理由. （2）如果小明每局获胜的概率为，他和小李要进行一场“五局三胜”的比赛（“五局三胜”指先赢三局者为胜，最多五局结束）.记小明最终获胜的概率为，请给出的表达式，判断并说明函数在上的单调性，并指出现实意义. 【答案】（1）①；②一局定胜负对小明更有利，理由见解析 （2），函数在上的单调递增；意义见解析 【解析】 【分析】（1）①根据独立事件概率的乘法公式即可计算小明比赛结果依次为“赢、输、赢”的概率； ②分别计算“一局定胜负”和“三局两胜”赛制下小明获胜的概率，比较大小来确定哪种赛制对小明更有利； （2）先根据“五局三胜”的规则，分情况讨论小明获胜的情况，利用独立事件概率的乘法公式和互斥事件概率的加法公式，求出的表达式，再通过求导判断函数的单调性，并分析现实意义. 【小问1详解】 ①根据题意，比赛没有平局，且小明每局获胜的概率为0.4，所以三局比赛相互独立，且小明每局输的概率为0.6， 所以小明的比赛结果依次为赢、输、赢的概率为； ②根据题意，一局定胜负时，小明赢得比赛的概率为， 三局两胜时，小明赢得比赛有两种情况： 情况一：前两局获胜，概率为， 情况二：前两局胜一局，输一局，第三局获胜，其概率为， 根据互斥事件的加法公式，所以在“三局两胜”的赛制下， 小明获胜的概率为， 因为，所以从小明的角度考虑，一局定胜负对小明更有利； 【小问2详解】 “五局三胜”的赛制下，小明获胜有以下几种情况： 情况一：前三局获胜，概率为， 情况二：前三局胜两局输一局，第四局获胜，则， 情况三：前四局胜两局输两局，第五局获胜，则， 所以小明赢的概率为： ， 所以， 所以， 因为，所以， 所以函数在上的单调递增； 现实意义：在“五局三胜”的比赛中，小明每局获胜的概率越大，他最终获胜的概率就越大，即小明实力越强，他获胜的可能性就越大. 20. 已知椭圆，点为坐标原点，椭圆的右顶点为，左右焦点分别为、，点为椭圆在轴上方的一动点. （1）求椭圆的焦距与的周长； （2）若，求点到轴的距离； （3）过点作斜率为的直线交轴正半轴于点，点位于椭圆内.直线与椭圆交于、两点，记、的面积分别为、，求的取值范围. 【答案】（1）焦距为2，的周长8； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）求出椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆定义求解. （2）由（1）求出点坐标，设出点坐标，再利用数量积的坐标表示列式求解. （3）设直线的方程为，求出范围，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示 出，再利用对勾函数单调性求出范围. 【小问1详解】 椭圆的长短半轴长分别为，则半焦距， 所以椭圆的焦距，的周长. 【小问2详解】 由（1）得，设，则，即， ，由， 得， 整理得，而，解得，，点， 所以点到轴的距离为. 【小问3详解】 设直线的方程为，因为直线与轴正半轴相交，故， 则，由点在轴正半轴上，且位于椭圆内， 得，即， 由，消去得， ，设，则， ， ，， 因此，令，， 而，令，则， 函数在上单调递增，， 因此，，则， 所以的取值范围是. 21. 已知函数的定义域为.若对任意区间，存在正整数，使得，则称函数为“回归函数”，为回归指数.其中，，，……，. （1）若，.请分别判断函数、是否为回归指数为2的“回归函数”； （2）若，.求证：函数是“回归函数”，并求满足条件的回归指数的最小值. （3）若是定义域为的函数，且，其中.请判断函数是否为“回归函数”?若是，请写出证明过程；若不是，请说明理由. 【答案】（1）是回归指数为2的＂回归函数＂，不是回归指数为2的＂回归函数＂； （2）证明见解析，的最小值为4； （3）函数是 “回归函数”，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）计算出，从而得到即可判断，再计算，取即可判断； （2）计算得，再取，分析得，则得到的最小值； （3）首先求出函数的值域为，再分区间求出对应直线斜率，再设区间的长度为，根据变换则区间长度也会变化，最后分析得总存在这样的正整数，使得. 【小问1详解】 由题意，的定义域． ， 故对任意区间，必有，即． 因此是回归指数为2的＂回归函数＂． 又的定义域． 取区间，则．显然，． 显然，不是回归指数为2的＂回归函数＂． 【小问2详解】 由题意，对任意，， ，， . 显然，对任意区间，都存在正整数，使得，即 若取区间，则． 即， 故． 综上，函数是＂回归函数＂，且满足条件的回归指数的最小值为4． 【小问3详解】 当时，． 当时，． 因此，函数的值域为，即对任意，总存在使得． 在区间上，函数为，对应直线的斜率． 在区间上，，对应直线的斜率． 显然，对任意区间，作用函数后，区间长度必然会变大． 假设常数，必有，即每次变换后区间长度至少放大倍． 设区间的长度为．则经过次变换后，的长度至少为． 当足够大时，必有．又函数的值域为， 即，所以的长度不能超过1，矛盾． 实际上，由于的图像是分段线性且连续的，变换过程中会覆盖的每个非空开区间子集． 必存在正整数，使得． 否则，如果所有都与不相交，则始终停留在区间（0,1］或区间中， 但区间长度作用函数后会变大，即长度的不断增长，最终必须与区间相交． 因此，总存在这样的正整数，使得． 综上所述，函数是＂回归函数＂． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浦东新区2025学年度第一学期期末教学质量检测 高三数学试卷 考生注意：1、本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟； 2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分. 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 已知集合，，则______. 2. 函数 的定义域为_____ 3. 已知向量、，若，则实数的值为_____. 4. 的二项展开式的常数项为_______ 5. 已知正数a，b满足，则的最大值为______. 6. 设，求方程的解集为_____. 7. 中，，，，则_____. 8. 如图，等腰直角的斜边长为，将绕斜边所在直线旋转一周形成的旋转体的体积为_____. 9. 已知奇函数的定义域为，当时，，则函数在处的导数_____. 10. 已知复数是实系数一元二次方程的两个根，若，则的最小值为_____. 11. 某城市交通系统采用数智技术记录城市道路口的信号灯状态，每个时段的信号灯状态对应一个数字（见下表）. 信号灯状态 正常绿波协调 非正常绿波协调 道路施工临时黄灯 突发事故临时红灯 对应数字 0 1 现需要按顺序记录某个道路口5个时段的信号灯状态，例如，记号表示5个时段中有3个时段是“非正常绿波协调”状态，分别发生在第1、3、5时段.问：该路口5个时段所有可能的记录中，“非正常绿波协调”的时段数不少于1个且不多于3个的记录共有_____种. 12. 已知，若等差数列为无穷数列，且均满足递推关系，则该数列首项的取值范围为_____. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分. 13. 已知直线、和平面、，且、，则“与相交”是“与相交”的（ ） A. 充分必要条件 B. 既不充分又不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 14. 某班一次数学小测验（百分制）后，老师为了奖励同学们平时认真学习，决定给每位同学的成绩加上5分作为过程性评价奖励.加分后，与原始分数相比，不会发生改变的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 第80百分位数 D. 方差 15. 如图，椭圆、的离心率分别为、，双曲线、的离心率分别为、，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 16. 已知函数，其中.集合，其中，集合，现有以下两个命题： ①存在实数、，使得集合中恰好有5个元素； ②若实数、是方程的两个不同实根，则存在实数、，使得集合中恰好有4个元素. 那么（ ） A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是假命题，②是假命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是真命题 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知函数，其中. （1）求函数的最小正周期及单调减区间. （2）求函数，的最大值，并求出取得最大值时的值. 18. 如图，该几何体由一个棱长为4的正方体与一个半圆柱拼接而成，圆心、分别为线段、的中点，动点在弧上滑动. （1）若点为弧的中点，求直线与平面所成角的大小； （2）若弧的长度为，求证：平面平面. 19. 小明和小李要进行一系列的比赛，假设每局比赛的结果互不影响. （1）若比赛没有平局，且小明每局获胜的概率为0.4. ①如果共有三局比赛，求小明的比赛结果依次为赢、输、赢的概率； ②小明作为实力较弱的一方，他可以优先选择“一局定胜负”或“三局两胜”的赛制（“三局两胜”指先赢两局者为胜，最多三局结束）.请帮助小明分析，选择哪种赛制对他更有利，并说明理由. （2）如果小明每局获胜的概率为，他和小李要进行一场“五局三胜”的比赛（“五局三胜”指先赢三局者为胜，最多五局结束）.记小明最终获胜的概率为，请给出的表达式，判断并说明函数在上的单调性，并指出现实意义. 20. 已知椭圆，点为坐标原点，椭圆的右顶点为，左右焦点分别为、，点为椭圆在轴上方的一动点. （1）求椭圆的焦距与的周长； （2）若，求点到轴的距离； （3）过点作斜率为的直线交轴正半轴于点，点位于椭圆内.直线与椭圆交于、两点，记、的面积分别为、，求的取值范围. 21. 已知函数的定义域为.若对任意区间，存在正整数，使得，则称函数为“回归函数”，为回归指数.其中，，，……，. （1）若，.请分别判断函数、是否为回归指数为2的“回归函数”； （2）若，.求证：函数是“回归函数”，并求满足条件的回归指数的最小值. （3）若是定义域为的函数，且，其中.请判断函数是否为“回归函数”?若是，请写出证明过程；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $