精品解析：甘肃兰州市新区教育片区联考2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试卷

2025-2026学年第二学期期末考试 高一年级数学学科试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数满足，则（ ） A. B. C. 5 D. 13 2. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. D. 3. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆锥的底面面积为，体积为，则其母线长为（ ） A. B. C. D. 5. 设，是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. ，，则 B. ，， C. ，，则 D. ，，则 6. 已知为第二象限角，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角的对边分别为，若，，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰非等边三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 8. 如图，在正方体中，，，，，分别是，，，，的中点，则下列结论错误的是（ ） A. ，，，四点共面 B. 平面平面 C. 直线与是异面直线 D. 直线和所成角的正切值为 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 若向量 则（ ） A. B. C. 在上的投影向量为(1,0) D. 与的夹角为 10. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（ ） A. 存在点Q，使平面MBN B. 不存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 C. 三棱锥的体积是定值，为 D. 经过C，M，B，N四点的球的表面积 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. C. 在上单调递增 D. 是偶函数 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 平面直角坐标系中，若角的终边经过点，角的终边经过点，则_________． 13. 已知向量满足，且，则______ 14. 如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内且相距20米的两个测量基点与．现测量得，在点处测得塔顶的仰角分别为，若河宽至少12米，则塔高______米． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，． （1）当时，求的值； （2）当，，求向量与夹角的余弦值． 16. 已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）． （1）求的值； （2）复数在复平面对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，且的面积等于，求的周长． 18. 如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的大小． 19. 已知函数． （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）求在上的最值及取最值时相应的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期末考试 高一年级数学学科试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数满足，则（ ） A. B. C. 5 D. 13 【答案】C 【解析】 【详解】由，得， 所以. 2. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 解得． 3. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】由于，代入，且， 得，解得，故B正确. 4. 已知圆锥的底面面积为，体积为，则其母线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥的底面半径和体积公式求出高，利用勾股定理即可求解. 【详解】记圆锥高为h，底面半径为r， 因为该圆锥底面面积为，所以， 故底面半径．体积，解得， 故母线长． 5. 设，是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. ，，则 B. ，， C. ，，则 D. ，，则 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，若，，则与平面平行或或相交，故A错误； 对于B，因为，，故，而，故，故B正确； 对于C，，，则或，故C错误； 对于D，若，，则与平面的位置关系不确定（可能平行、相交或在平面内），故D错误. 6. 已知为第二象限角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简可得，结合角的范围分别求出，即可求解. 【详解】由，得： 因为是第二象限角，所以，， 化简得：，即 由于，解得：， 因为，所以， 所以 7. 在中，角的对边分别为，若，，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰非等边三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理可得，再由已知条件判断的形状. 【详解】由正弦定理，，则， 再由则 故，即， 故，所以为等边三角形. 故选：C. 8. 如图，在正方体中，，，，，分别是，，，，的中点，则下列结论错误的是（ ） A. ，，，四点共面 B. 平面平面 C. 直线与是异面直线 D. 直线和所成角的正切值为 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线平行即可判断A；根据面面平行判定定理即可判断B；利用反证法可得矛盾判断C；根据异面直线的几何法找到其角，即可由三角形边角关系求解D. 【详解】对于A，取中点，连接， 由于是的中点，在正方体中可知， 又，，所以四边形为平行四边形，故， 因此，故四点共面，故A正确； 对于 B，如图，连接， 由于均为中点，所以，， 平面，平面，所以平面， 同理平面，，平面， 所以平面平面，故B正确； 对于C，假设与不是异面直线，则两直线共面. 若与相交，则交点在和上， 平面，与平面仅交于点，而，故与不相交； 若与平行，则平面或平面，这与与平面仅交于点矛盾； 所以与是异面直线，故C正确； 对于D，由于，所以， 故为直线和所成角或其补角， 不妨设正方体的棱长为，则， 由于底面，平面，所以， 所以， 所以直线和所成角的正切值为，故D错误. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 若向量 则（ ） A. B. C. 在上的投影向量为(1,0) D. 与的夹角为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据平面向量运算的坐标表示计算判断． 【详解】对于A，由已知，，，，A错； 对于B，，B正确； 对于C，，在上的投影向量为，C正确； 对于D，，又，所以，D错． 10. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（ ） A. 存在点Q，使平面MBN B. 不存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 C. 三棱锥的体积是定值，为 D. 经过C，M，B，N四点的球的表面积 【答案】AC 【解析】 【分析】利用立体几何点线面的位置关系及求体积表面积知识对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A，若点是的中点，则， 又因为,所以. 因为面,面 所以面.故选项A正确. 对于选项B，当点与重合，此时，, 又因为，所以 故四点共面，所以选项B不正确. 对于选项C，因为到面的距离即为正方体的棱长，且. 所以.故选项C正确. 对于选项D，设分别为和的中点，则经过四点的球即为 长方体的外接球. 因为该长方体的长宽高分别为.所以. 所以.故选项D不正确. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. C. 在上单调递增 D. 是偶函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】借助辅助角公式可将原函数化为正弦型函数，再利用正弦型函数对称性、单调性、奇偶性等逐项计算并判断即可得. 【详解】； 对A：当时，， 由关于点对称， 故的图象关于点对称，故A正确； 对B：， 故不恒成立，故B错误； 对C：当时，， 由在上单调递增， 故在上单调递增，故C正确； 对D：， 由为偶函数，故为偶函数，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 平面直角坐标系中，若角的终边经过点，角的终边经过点，则_________． 【答案】0 【解析】 【详解】由三角函数定义知，，， ，， 所以. 13. 已知向量满足，且，则______ 【答案】 【解析】 【详解】， ， 故，则. 14. 如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内且相距20米的两个测量基点与．现测量得，在点处测得塔顶的仰角分别为，若河宽至少12米，则塔高______米． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理结合几何关系求出，结合河宽至少12米进一步判断即可. 【详解】由题意知，平面，，，，. 因为平面，所以，. 在中，，所以. 在中，，所以. 在中，由余弦定理得，， 即，整理得， 即，解得或. 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 故. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，． （1）当时，求的值； （2）当，，求向量与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量垂直的坐标表示，列出等式求解即可； （2）由向量平行的坐标表示求得，再由夹角公式求解即可. 【小问1详解】 由向量，，得， 由，可得， 即，解得． 【小问2详解】 由，，得． 由，，可得，解得， 所以． 所以，，， 所以． 16. 已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）． （1）求的值； （2）复数在复平面对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用共轭复数意义及复数的乘法运算计算，再利用纯虚数的意义求得实数m的值； （2）利用复数的除法求，再结合复数的几何意义求解. 【小问1详解】 依题意，，则， 由为纯虚数，得，所以. 【小问2详解】 由（1）得，复数， 由复数在复平面对应的点在第一象限，得，解得， 所以实数的取值范围是. 17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，且的面积等于，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 因为，所以， 所以，即，， 因为，所以，得，即. 【小问2详解】 因为，所以，所以 由余弦定理得，， 因为，，所以，所以的周长为. 18. 如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明：连接，交于点，连接， 因为四边形是正方形，所以为中点， 又为中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面． （2）证明：因为四边形是正方形，所以， 又平面，平面，所以，， 因为平面， 所以平面，又平面，所以， 在中，因为为中点，则， 因为平面， 所以平面． （3） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接，根据三角形中位线的性质及线面平行的判定即可证明； （2）根据线面垂直的性质和判定即可证明； （3）根据线面夹角的定义，求得线面夹角的平面角即可求解． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 因为平面，平面，所以， 又四边形是正方形，所以， 因为平面，所以平面， 连接， 则直线与平面所成角的平面角为， 又平面，所以， 在正方形中，， 因为平面，平面，所以， 因为，所以， 在中，，， 所以直线与平面所成角为． 19. 已知函数． （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）求在上的最值及取最值时相应的值． 【答案】（1），单调递增区间为， （2）时，最小值为；时，最大值为 【解析】 【分析】（1）使用三角恒等变换将化简后求解即可； （2）由正弦（型）函数的性质进行求解即可. 【小问1详解】 由已知， ， ∴的最小正周期， 由，，解得，， ∴的单调递增区间为，. 【小问2详解】 由（1）知，， 当时，， ∴由正弦函数的性质知 当，即时，取最小值，最小值为， 当，即时，取最大值，最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $