数学一模保分卷02（全国一卷通用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 5 6 7 B B C A B B D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 0 10 11 AB ABD ABD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 13. 14.② 2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【解析】(1)在ABC中， sin(4-C)+2cos=sin B,in(-C)+2cos Asin C=2 sin BsinC, sin C 整理得sin AcosC+cos Asin C=√2 sin Bsin C,即V2 sin Bsin C=sin(A+C)=sinB,(3分) 而m8>0,解得s如C=5,又0<C<,所以C-晋或C- 4 .(5分) 2 2)由1)及角C为锐角，得C-普， 在△ACM中，由正弦定理得sn∠C4M_CMsinC2sim "4=1,而LCAM<C,(7分) 4M-2W22 则zcw-云2ac-沿sn∠cm匠+9-t59-5:6 43 -22224 医t=8m+8w2x2wi6-26-45. 4 4 2 所以ABC的面积为3+35.(13分) 2 1/7 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 M B 16.(15分) 【解析】(I)连PG、GH、PH,由于G、H分别是AD和BC的中点，且PA=PD, 则AD⊥PG, 又ABCD是正方形，则GH/1CD,GH⊥AD, 又PGOGH=G,PG,GHc平面PGH,则AD⊥平面PGH, 又ADc平面ABCD,则平面PGH⊥平面ABCD, 在平面PGH内过P作PM⊥GH于M, 平面PGH∩平面ABCD=GH,则PM⊥平面ABCD, 所以点P在ABCD上的射影M在线段GH上，(2分) 连AM,∠PAM是PA与平面ABCD所成的角， 即tan∠PAM= 4sin∠PAM4 3’cos∠PAMI3' 又sin2∠PAM+cos2∠PAM=l,则sin∠PAM=PM-=4 PA29 即有PM=4AM=VP4-PM=.GM=VAM2-AG=2,而GH=6,所以GM-!.(6分》 MH 2 (2)在平面ABCD内过M作Mx⊥GH,则Mc,MH,MP两两垂直，以M为原点，Mc,MH,MP分别为 x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图 D 则B(3,4,0),C(-3,4,0),D-3,-2,0),P(0,0,4), 所以DB=(6,6,0),PC=(-3,4,-4),DP=(3,2,4, 2/7 窗学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 因为点E在棱PC上，所以设PE=入PC=(-32,42,-42)(0≤2≤1)， 所以DE=DP+PE=(3-32,2+42,4-42), 易知平面DBC的法向量为m=(0,0,1), iDB=0 设平面EDB的法向量n=(x,y,z),则 DE=0 6x+6y=0 即 1(3-32)x+(2+4元)y+(4-42)z=0 令x=1,得y=-1,2= ,所以方= 7元-1 1,-1,4-4】 (10分) 4-4 显然二面角E-BD-C的平面角为锐角， 72-1 4-42 7-1 所以二面角E-BD-C的余弦值为Cosi,m= V1+1+ 71-12 V8122-782+333’ 4-4λ 解得1=音或2-1（舍去.《12分） 所以E-元，则Ec=5元， 11 故网风+4+-4-6 .15分) 11 17.(15分) 【解析】(1)设在一轮比赛中，甲队胜乙队为事件A,甲队胜丙队为事件4，甲队胜丁队为事件A, 由题得，P叫4)P叫4)子P叫4) .(2分) 设甲队在第一轮比赛中至少胜两场为事件A,则A=AA,A,+A,A2A,+AA2A,+AA2A· 由题可得，P(A)=P(A,A,A)+PAA,A+PAA,A+PAA,A =P(4)P(A)P(43)+P(4)P(A2)P(A+P(A)P(42 P(4)+P(4 P(A)P(A3) 17 Γ24 因此，甲队在第一轮比赛中至少胜两场的概率为24 17 (7分) 3/7 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 339 (2)由题得，甲队进入决赛的概率为二×二= 4416 224 乙队进入决赛的概率为二×。 339 9411 16*9*28:(9分) 则乙队进入决赛甲队夺冠的概率为×二×」 9 乙队没进入决赛甲队夺冠的概率为，×1-。 _4x3-15 16×1-号×圣4·1分) 因此，甲队夺冠的概率为8+6464 ,1,1523 (15分) 18.(17分) 【解析】(1)因f(x)=(2x+ae,则f'(x)=e(2x+a+2e=e(2x+a+2), 易知当x>-a+2时，x>0,当x<-a+2时，f川x<0, 2 则f在o,a+2 上单调递增， 2 故函数/川到的极小值点为x=2-子，得a=-1:（3分) 2 (2)fx≥e3在xe[0,1时恒成立，等价于a≥e3r-2x在x∈[0，时恒成立， 令m(x)=e3-x-2x,x∈[0,1，则a≥m(x)max, 因m'(x=-e3--2<0,则mx在[0，]上单调递减， 则m(x)mx=m(0=e3,.a≥e3, 则实数a的取值范围是[e,+o)；(7分) (3)当a=1时，fx)=(2x+1e,则g(x=f(x)-kx=(2x+1)e-x, 令2x+1e-=0,x<0,则k-2x+ec<0, 令AMx=2x+e,则Ay-2x+3到e2x+1e_2x-x+山e,10分) x 因x<0,则2x-1<0, 当xe-o0,-1时，h'x>0;当xe-l,0时，h'(x<0, h(x在-0，-1上单调递增，在(-1,0)上单调递减， 故h()x=hM-1)=1,(12分) e 4/7 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 易知为=0，当x<时创>0，x<0时，<0， 当x→-时，hx→0，当x0且x<0时，hx→-0，(14分) 作出h(x的大致图象（如图）： 因gx)在(-0,0)上恰有两个不同的零点， 即y=k,(2x+c在(-0,0)上有两个不同的交点，故0<k< e 故实数k的取值范围为 (17分) 19.(17分) 4=a2+b2 a2=2 【解析】(1) 42 得 =1b2=2 La2 b2 双曲线的方程为： ￡_少=1.(2分) 22 (2)①当直线M,N,斜率存在时，设直线M,N。:y=k(x-)+y, y=k(x-xo)+yo 联立 x=1 ，得1-2）x2-2k(y0-kxx-(y-x)2-2=0, 22 1-k2≠0 △=(2(%-广+41-k2)[%-,尸+2]=0 即△=(0-kx2+2-2k2=(x2-2k2-2xyk+y2+2=0, 又x,2-y,2=2,y2k2-2xyk+x02=0,即为y,2k2-2xyk+x,2=0, ∴(k-}2=0,y6k-x0=0,k= Yo 5/7 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 y=(x-x)+0,即y,y=X,x-x+y后=，x-2,xox-y=2, 当直线M,N,斜率不存在时，也满足. 直线MN,方程：xx-yoy=2,(5分) 双曲线的渐近线：y=±x, 2 x=- 一0和】 xs、 2 xo+yo 分别联立得 2 y=- y=- 2 xo-yo xo+yo 则交点M。 22 No 22 xo-Yoxo-Yo (。+yox+yo M,P/10No,N,P/10Mo.OP=0M。+0N。, ()kon =kon= Xo 可得O,P,三点共线且方程为：yox-xy=0, 由于MVo/MN1II…/MnNn, 0M=10M,,0N=10Ni, 0M+0N=10M.+10Nm1, 又：MnPn+1/ONn,NnPn1/OMn, :.OP.=OM +ON.OP=10P 0P1,0P2,0P3…0Pn共线，.0，，P,…Pn共线， O,P,P共线，0，P,P,P,P…P共线且轨迹方程为yx-xy=0.(8分) ②：Px,),(2x,2y),直线MN1方程：xx-yy=4, 则d-w2-4到 2 Vx2+%2 VXo+yo2 由于O,P,,且OP=2OP,.MoN。/MN1且M,N1=2MN。, 2 2 2 、2 由MN,=,-%+%) +2+2 =2√x6+y好， （x-x+ 则M,N,=2MN。=4Vx后+片， 6/7 窗学科网·学易金卷 Www.ZX×k.com 做好卷，就用学易金卷 5M=2×4V写+ 2 V后+好 =4, 设Pn(ux,4yo),直线M.Nm:xx-yoy=2μ， ts、 2μ x=- 2μ -0和 x0+y% 与y=±x分别联立得 2u y=- =-2μ %-% xo+yo 则交点Mni 2μ2 22μ x6-y0x0-% .N +ya xo+ya ∴.OPn+1=OMn1+ONn1=(2μxo,2uyo),OPnl=2OP 即OML=ON=oP=MNu=,=2, OM。ON。OP M,N d S 2dmxM -=4,n21, S.M.. dn×MnNn 2 又：S%4S=44=4,6-2 s-r- 1-4 13 所以b,44”-1)' e可》 4-1 女分e川时 得证.(17分) 7/7 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．已知为虚数单位，若，则（    ） A． B．2 C． D． 3．已知非零向量，，且，则在上的投影向量为（    ） A．1 B． C． D． 4．已知直线截圆所得的弦长为4，则实数的值是（   ） A． B． C． D． 5．已知正项等差数列满足，则（   ） A．670 B．675 C．2025 D．4050 6．在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为，其中为初始光功率，为衰减系数，为接收信号处与发射器之间的距离（单位：km）．已知距离发射器km处的光功率衰减为初始光功率的一半，若某处光功率衰减为初始光功率的，则此处到发射器的距离为（   ） A．km B．km C．km D．km 7．如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长都是，则（    ） A．这两个球体的半径之和的最大值为 B．这两个球体的半径之和的最大值为 C．这两个球体的表面积之和的最大值为 D．这两个球体的表面积之和的最大值为 8．已知函数及其导数的定义域均为在上单调递增，为奇函数，若，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（   ） A．若样本数据的方差，则所有的都相等 B．在做回归分析时，残差图中残差点均匀分布在横轴两侧，且分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好 C．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是4和0.3 D．样本数据的平均数，则样本数据的平均数为 10．已知函数（）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 D．当时，曲线与有4个交点 11．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点P在C的准线上，那么（    ） A．若PA与C相切，则PB也与C相切 B． C．若点P在x轴上，则为定值 D．若点P在x轴上，且满足，则直线l的斜率绝对值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数为 （用数字作答）. 13．若函数在区间的值域为，则的取值范围为 . 14．已知，从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线方程为称为点关于椭圆的极线．如图，两个椭圆、的方程分别为和，离心率分别为、，在内，椭圆上的任意一点关于椭圆的极线为．若到的距离为定值1，则取最大值时的值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．中，． (1)求角C； (2)若角C为锐角，M是BC边上的一点，，，求的面积． 16．如图，四棱锥的底面是正方形，且，，点在底面上的射影在正方形内，且与平面ABCD所成角的正切值为． (1)若、分别是、的中点，求证：点在平面内的射影在线段上，并求出的值； (2)点在棱上，满足二面角的余弦值为，求的长． 17．某地举行足球赛，共有16支球队参加．赛程先进行小组单循环赛（小组内每两支球队打一场比赛，前两名晋级下一轮）；然后进行淘汰赛（赢球晋级下一轮，输球被淘汰），对阵图如下．现16支球队分为A，B，C，D四组，每组4支球队．已知甲、乙、丙、丁4支球队分在A组，甲队胜乙队、丙队、丁队的概率分别为，，．假设每一轮每场比赛互不影响，甲队在每一轮每场比赛胜其他球队的概率不变． (1)求甲队在小组单循环赛中至少胜两场的概率； (2)已知通过第一轮角逐，甲队和乙队均进入淘汰赛，且甲队对组每支球队的胜率均为，乙队对组每支球队的胜率均为．求甲队夺冠的概率． 18．已知函数，其中为常数. (1)若函数的极小值点为，求的值； (2)若在时恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围. 19．已知双曲线，，分别为左、右焦点，点在双曲线C上． (1)求双曲线的方程； (2)如图，在双曲线的右支上任取一点，以为切点作双曲线右支的切线，交两渐近线于，两点，过，两点分别作两渐近线的平行线交于点，过作直线的平行线分别交两渐近线于，两点，再过，两点分别作两渐近线的平行线交于点，一直反复操作，可得,,…,． ①证明：点O，，，，，……，在同一条直线上，并求该直线方程； ②记的面积为，记，证明：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合B，再利用集合之间的包含关系即可得到结果. 【详解】因为集合， ，故， 故选：B 2．已知为虚数单位，若，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由复数的运算及共轭复数的定义即可求出结果. 【详解】因为，所以， . 故选：B. 3．已知非零向量，，且，则在上的投影向量为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数量积的运算律得到，再由投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，所以，即， 所以在上的投影向量为. 故选：C 4．已知直线截圆所得的弦长为4，则实数的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出圆心到直线的距离，以及圆的半径，利用垂径定理列方程即可求解. 【详解】圆的标准方程为，则，可得， 圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 由垂径定理可得，解得，满足. 故选：A. 5．已知正项等差数列满足，则（   ） A．670 B．675 C．2025 D．4050 【答案】B 【分析】根据题意结合等差数列性质可得，利用累乘法运算求解即可. 【详解】因为数列为正项等差数列， 则，即， 可得，，，， 累乘可得. 故选：B. 6．在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为，其中为初始光功率，为衰减系数，为接收信号处与发射器之间的距离（单位：km）．已知距离发射器km处的光功率衰减为初始光功率的一半，若某处光功率衰减为初始光功率的，则此处到发射器的距离为（   ） A．km B．km C．km D．km 【答案】B 【分析】根据题意，列出方程，求出参数衰减系数的值，代入原函数，求出结果即可. 【详解】由题意得，即，化简得，解得， 代入得，当时，得， 化简得，两边取对数得，解得. 故选：B. 7．如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长都是，则（    ） A．这两个球体的半径之和的最大值为 B．这两个球体的半径之和的最大值为 C．这两个球体的表面积之和的最大值为 D．这两个球体的表面积之和的最大值为 【答案】D 【分析】当这两个球体的半径或者表面积之和取最大值时，有一个球体和圆锥的底面相切，过底面圆的直径作截面，设两圆的半径，则，，其中，表达出，，求导得到函数单调性，得到最值，并求出，令，函数在上单调递增，求出，得到答案. 【详解】当这两个球体的半径或者表面积之和取最大值时，上面的球与圆锥的底面相切， 过底面圆的直径作截面， 如图所示，过点O作OF⊥AB，垂足为F，过点作⊥AB，垂足为E， 过点作⊥OF，垂足为D． 设圆O的半径为R，圆的半径为r，当下面的球与上底面相切时，取得最大值， 此时为该圆的内切球半径，等边三角形的边长为，内切球半径为， 故，故R的最大值为，且取最大值时， 三点共线，设，则， 则，解得， 所以，，，，. 因为，所以①， 整理得，解得， 令函数，， . 令函数，，所以是增函数. 又因为，，所以，， 所以，，，， 即，，，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为，所以，即这两个球体的半径之和的最大值为. 由①可得， 这两个球体的表面积之和为. 令，函数在上单调递增， 所以，即这两个球体的表面积之和的最大值为. 故选：D． 【点睛】方法点睛： 立体几何中最值问题，一般可从三个方面考虑：一是构建函数法，即建立目标函数，转化为函数的最值问题进行求解；二是借助基本不等式求最值，几何体变化过程中两个互相牵制的变量（两个变量之间有等量关系），往往可以使用此种方法；三是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值. 8．已知函数及其导数的定义域均为在上单调递增，为奇函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由为奇函数得到，再由的单调性可推得的单调性，根据对称性可得，再比较的大小即可得解. 【详解】因为为奇函数，所以， 令，则，故， 又在上单调递增，所以当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 又因为，则 .① 在①式中令，可得，故， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 由于，故上式等号不成立，则， 又，所以，即，即， 同理可得，所以， 所以，即. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（   ） A．若样本数据的方差，则所有的都相等 B．在做回归分析时，残差图中残差点均匀分布在横轴两侧，且分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好 C．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是4和0.3 D．样本数据的平均数，则样本数据的平均数为 【答案】AB 【分析】根据方差公式即可判断A；由残差图与回归效果间的关系判断B；由对数的运算性质及回归思想判断C；根据平均数的性质即可判断D. 【详解】对于A，设样本数据的平均数为， 则， 所以，故A正确； 对于B，在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好，故B正确； 对于C，由题意，因此，，，C错误； 对于D，样本数据的平均数， 则样本数据的平均数为，故D错误. 故选：AB. 10．已知函数（）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 D．当时，曲线与有4个交点 【答案】ABD 【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数的解析式判断A；求出的值判断B；利用平移变换求解判断C；作出图形判断D. 【详解】观察函数的图象，得，最小正周期，解得， 由，得，而，则， 对于A，，故A正确； 对于B，由，得， 则或， 解得或， 又，则，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，在同一坐标系内作出函数与在上的图象， 如图，作出符合题意的图形， 观察图象得，两个函数图象有4个交点，故D正确. 故选：ABD 11．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点P在C的准线上，那么（    ） A．若PA与C相切，则PB也与C相切 B． C．若点P在x轴上，则为定值 D．若点P在x轴上，且满足，则直线l的斜率绝对值为 【答案】ABD 【分析】通过证明过焦点弦两个端点的切线的交点在抛物线的准线上判断A，根据以为直径的圆与抛物线的准线相切判断B，设直线的方程为：，，，联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，计算出判断C，推导出，可得轴为的平分线，即可得到，设直线的倾斜角为，利用焦半径公式求出，从而判断D. 【详解】依题意，不妨设点在第一象限， 抛物线的焦点为，准线方程为， 对于A：设，， 依题意可得过，两点的抛物线的切线不与坐标轴垂直， 不妨设过的抛物线的切线方程为：， 即， 由，有， 所以， 又，整理得，解得， 所以过的抛物线的切线方程为：，整理得， 同理可得过的抛物线的切线方程为：， 设两切线的交点为，由， 可得， 设直线的方程为：，由有， 所以，，则， 所以， 即两切线的交点在抛物线的准线上， 所以若与相切，则也与相切，故A正确； 对于B：设的中点为，由，则，则， 又，所以到准线的距离， 所以以为直径的圆与抛物线的准线相切， 又点在的准线上，所以，故B正确； 对于C：依题意可得，所以，， 所以 ，显然不是定值，故C错误； 对于D：因为 ， 所以轴为的平分线， 根据角平分线定理可得， 设直线的倾斜角为， 则，， 所以，解得，所以， 则直线的斜率为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数为 （用数字作答）. 【答案】 【分析】由二项展开式通项公式即可求解. 【详解】的通项公式为， 令，则， 则系数为， 故答案为： 13．若函数在区间的值域为，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据函数导数判断函数的单调性，通过单调区间判断给定值域对应的定义域范围，求出参数范围，在根据指数函数单调性，求出结果. 【详解】因为，则， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 且，，， 因为在区间的值域为，所以，解得， 此时，， 又，∴，则， 故答案为：. 14．已知，从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线方程为称为点关于椭圆的极线．如图，两个椭圆、的方程分别为和，离心率分别为、，在内，椭圆上的任意一点关于椭圆的极线为．若到的距离为定值1，则取最大值时的值为 ． 【答案】/ 【分析】利用设动点，可得极线方程，即可求原点到极线的距离，通过距离为定值1，得到相等关系，再通过动点在椭圆上，再得相等关系，由于这两个等式恒成立，则可得系数关系，最后转化到离心率上求最值即可. 【详解】设椭圆，，则． 设椭圆，，则． 设， 由题意可得方程为：， 因为原点到直线的距离恒为1，所以． 又因为为椭圆上的点，所以， 所以，， 所以， 设，则， ， 当时，取得最大值，此时为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．中，． (1)求角C； (2)若角C为锐角，M是BC边上的一点，，，求的面积． 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用和差角的正弦公式化简求解. （2）由（1）的结论，利用正弦定理求出，再利用和角的正弦及三角形面积公式求解. 【详解】（1）在中，，得， 整理得，即， 而，解得，又，所以或. （2）由（1）及角C为锐角，得， 在中，由正弦定理得，而， 则，， 因此， 所以的面积为. 16．如图，四棱锥的底面是正方形，且，，点在底面上的射影在正方形内，且与平面ABCD所成角的正切值为． (1)若、分别是、的中点，求证：点在平面内的射影在线段上，并求出的值； (2)点在棱上，满足二面角的余弦值为，求的长． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直、面面垂直的判断、性质推理即得，再借助线面角求出比值作答. （2）以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答. 【详解】（1）连，由于分别是和的中点，且， 则， 又是正方形，则， 又平面，则平面， 又平面，则平面平面， 在平面内过作于， 平面平面，则平面， 所以点在上的射影在线段上， 连，是与平面所成的角， 即，， 又，则， 即有，而，所以． （2）在平面内过作，则两两垂直，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图 则 所以，，，， 因为点在棱上，所以设， 所以， 易知平面的法向量为， 设平面的法向量，则， 即， 令，得，,所以， 显然二面角的平面角为锐角， 所以二面角的余弦值为， 解得或（舍去）， 所以，则， 故. 17．某地举行足球赛，共有16支球队参加．赛程先进行小组单循环赛（小组内每两支球队打一场比赛，前两名晋级下一轮）；然后进行淘汰赛（赢球晋级下一轮，输球被淘汰），对阵图如下．现16支球队分为A，B，C，D四组，每组4支球队．已知甲、乙、丙、丁4支球队分在A组，甲队胜乙队、丙队、丁队的概率分别为，，．假设每一轮每场比赛互不影响，甲队在每一轮每场比赛胜其他球队的概率不变． (1)求甲队在小组单循环赛中至少胜两场的概率； (2)已知通过第一轮角逐，甲队和乙队均进入淘汰赛，且甲队对组每支球队的胜率均为，乙队对组每支球队的胜率均为．求甲队夺冠的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出事件，利用独立事件概率乘法公式，互斥事件概率加法公式进行求解； （2）计算出甲队和乙队分别进入决赛的概率，从而得到乙队进入决赛甲队夺冠的概率和乙队没进入决赛甲队夺冠的概率，相加即可. 【详解】（1）设在一轮比赛中，甲队胜乙队为事件，甲队胜丙队为事件，甲队胜丁队为事件， 由题得，，，． 设甲队在第一轮比赛中至少胜两场为事件，则． 由题可得， ． 因此，甲队在第一轮比赛中至少胜两场的概率为． （2）由题得，甲队进入决赛的概率为； 乙队进入决赛的概率为． 则乙队进入决赛甲队夺冠的概率为； 乙队没进入决赛甲队夺冠的概率为． 因此，甲队夺冠的概率为． 18．已知函数，其中为常数. (1)若函数的极小值点为，求的值； (2)若在时恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求导，分析其单调性，求出极小值点； （2）将问题转化为在时恒成立，构造函数，研究其最大值； （3）将问题转化为在上有两个不同的交点，通过求导研究的性质，画出图象即可. 【详解】（1）因，则， 易知当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故函数的极小值点为，得； （2）在时恒成立，等价于在时恒成立， 令，则， 因，则在上单调递减， 则，， 则实数的取值范围是； （3）当时，，则， 令，则， 令，则， 因，则， 当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 故， 易知，当时，，时，， 当时，，当且时，， 作出的大致图象（如图）： 因在上恰有两个不同的零点， 即在上有两个不同的交点，故， 故实数的取值范围为. 19．已知双曲线，，分别为左、右焦点，点在双曲线C上． (1)求双曲线的方程； (2)如图，在双曲线的右支上任取一点，以为切点作双曲线右支的切线，交两渐近线于，两点，过，两点分别作两渐近线的平行线交于点，过作直线的平行线分别交两渐近线于，两点，再过，两点分别作两渐近线的平行线交于点，一直反复操作，可得,,…,． ①证明：点O，，，，，……，在同一条直线上，并求该直线方程； ②记的面积为，记，证明：． 【答案】(1)； (2)①证明见解析，；②证明见解析. 【分析】（1）根据焦点坐标和已知点即可得到方程组，解出即可； （2）①设直线，将其与双曲线方程联立得到一元二次方程，再根据判别式等于0即可得到，则得到方程，再将其与双曲线渐近线方程联立即可得到交点坐标，最后根据三点共线即可得到轨迹方程； ②根据点到直线距离公式和两点距离公式即可得到，设，写出直线的方程，再将其与双曲线渐近线方程联立即可，再利用等比数列求和公式得到，最后再裂项求和即可证明. 【详解】（1）得 双曲线的方程为：. （2）①当直线斜率存在时，设直线， 联立，得， ， 即， 又，即为， ， ，即，， 当直线斜率不存在时，也满足． 直线方程：， 双曲线的渐近线：， 分别联立得和. 则交点， ， ， 可得三点共线且方程为：， 由于， ， ， 又， ， 共线，共线， 共线，共线且轨迹方程为. ②，直线方程：， 则， 由于，且且， 由， 则， ， 设，直线， 与分别联立得和. 则交点， . 即， ， 又， 所以， 因为， . 得证. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．已知为虚数单位，若，则（    ） A． B．2 C． D． 3．已知非零向量，，且，则在上的投影向量为（    ） A．1 B． C． D． 4．已知直线截圆所得的弦长为4，则实数的值是（   ） A． B． C． D． 5．已知正项等差数列满足，则（   ） A．670 B．675 C．2025 D．4050 6．在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为，其中为初始光功率，为衰减系数，为接收信号处与发射器之间的距离（单位：km）．已知距离发射器km处的光功率衰减为初始光功率的一半，若某处光功率衰减为初始光功率的，则此处到发射器的距离为（   ） A．km B．km C．km D．km 7．如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长都是，则（    ） A．这两个球体的半径之和的最大值为 B．这两个球体的半径之和的最大值为 C．这两个球体的表面积之和的最大值为 D．这两个球体的表面积之和的最大值为 8．已知函数及其导数的定义域均为在上单调递增，为奇函数，若，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（   ） A．若样本数据的方差，则所有的都相等 B．在做回归分析时，残差图中残差点均匀分布在横轴两侧，且分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好 C．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是4和0.3 D．样本数据的平均数，则样本数据的平均数为 10．已知函数（）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 D．当时，曲线与有4个交点 11．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点P在C的准线上，那么（    ） A．若PA与C相切，则PB也与C相切 B． C．若点P在x轴上，则为定值 D．若点P在x轴上，且满足，则直线l的斜率绝对值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数为 （用数字作答）. 13．若函数在区间的值域为，则的取值范围为 . 14．已知，从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线方程为称为点关于椭圆的极线．如图，两个椭圆、的方程分别为和，离心率分别为、，在内，椭圆上的任意一点关于椭圆的极线为．若到的距离为定值1，则取最大值时的值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．中，． (1)求角C； (2)若角C为锐角，M是BC边上的一点，，，求的面积． 16．如图，四棱锥的底面是正方形，且，，点在底面上的射影在正方形内，且与平面ABCD所成角的正切值为． (1)若、分别是、的中点，求证：点在平面内的射影在线段上，并求出的值； (2)点在棱上，满足二面角的余弦值为，求的长． 17．某地举行足球赛，共有16支球队参加．赛程先进行小组单循环赛（小组内每两支球队打一场比赛，前两名晋级下一轮）；然后进行淘汰赛（赢球晋级下一轮，输球被淘汰），对阵图如下．现16支球队分为A，B，C，D四组，每组4支球队．已知甲、乙、丙、丁4支球队分在A组，甲队胜乙队、丙队、丁队的概率分别为，，．假设每一轮每场比赛互不影响，甲队在每一轮每场比赛胜其他球队的概率不变． (1)求甲队在小组单循环赛中至少胜两场的概率； (2)已知通过第一轮角逐，甲队和乙队均进入淘汰赛，且甲队对组每支球队的胜率均为，乙队对组每支球队的胜率均为．求甲队夺冠的概率． 18．已知函数，其中为常数. (1)若函数的极小值点为，求的值； (2)若在时恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围. 19．已知双曲线，，分别为左、右焦点，点在双曲线C上． (1)求双曲线的方程； (2)如图，在双曲线的右支上任取一点，以为切点作双曲线右支的切线，交两渐近线于，两点，过，两点分别作两渐近线的平行线交于点，过作直线的平行线分别交两渐近线于，两点，再过，两点分别作两渐近线的平行线交于点，一直反复操作，可得,,…,． ①证明：点O，，，，，……，在同一条直线上，并求该直线方程； ②记的面积为，记，证明：． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $