精品解析：福建省三明市沙县区第三中学2024-2025学年下学期期中考八年级数学试题

福建省三明市沙县区第三中学2024-2025学年下学期期中考 八年级数学试题 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式中被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，确定被开方数的取值范围，进而求解的取值范围． 【详解】解：由题意，得， 解得． 故选：C． 2. 下列长度的线段能构成直角三角形的是（） A. 4，5，6 B. 1，1，2 C. 2，3，4 D. 1，，2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足两边平方和等于第三边平方，则该三角形为直角三角形．同时需验证三边能否构成三角形（两边之和大于第三边）． 【详解】解：A、，，，不能构成直角三角形． B、，不大于2，不能构成三角形． C、，，，不能构成直角三角形． D、，，相等，能构成直角三角形． 故选：D． 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据最简二次根式的意义，可知是最简二次根式， =， ， =x， 故选：A. 4. 如图，平行四边形的对角线相交于点，则下列判断错误的是（ ） A. B. C. 和的面积相等 D. 和的面积相等 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，可以分别证明，；根据可以判断和的面积相等；在和中，AB为两个三角形的公共底，根据平行线的性质可以判断两个三角形的高相等，故可判断和的面积相等；根据平行四边形的性质无法判断邻边相等，故可做出选择． 【详解】∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD=BC，AB=DC，AD∥BC，∠ABC=∠CDA， 在和中， ， 故B正确； 同理根据平行四边形对边平行且相等，对角线互相平分，可证, 又∵，故根据全等三角形的性质可以判断和的面积相等． 故C正确； 在和中，AB为两个三角形的公共底，根据平行线间的距离处处相等，可知两个三角形的高相等，所以和的面积相等． 故D正确； ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴只能得到对边平行且相等，无法论证AB=AD，无法得出邻边相等的结论， ∴无法证明， 故A错误． 故选择A． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形面积的求解方法及平行线的性质，掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定方法和性质、求解三角形面积的方法及平行线的性质是解答本题的关键． 5. 如图，在菱形中，，分别是，的中点．若菱形的周长为，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，中位线的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键．根据菱形的性质以及周长可得，根据分别是的中点，可得是的中位线，根据中位线的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵菱形的周长为， ∴， ∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：B． 6. 对于任意的矩形，下列说法一定正确的是（　　） A. 对角线垂直且相等 B. 四边都互相垂直 C. 四个角都相等 D. 是轴对称图形，但不是中心对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用矩形的性质分析得出答案． 【详解】解：A、矩形的对角线相等，但不垂直，故此选项错误； B、矩形的邻边都互相垂直，对边互相平行，故此选项错误； C、矩形的四个角都相等，正确； D、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误． 故选C 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，正确把握矩形的性质是解题关键． 7. 如图，数轴上的点表示的数是，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理与无理数，实数与数轴；先根据勾股定理求出三角形的斜边长，即可求出A点表示的数． 【详解】解：图中的直角三角形的两直角边为和， 斜边长为：， 到的距离是，那么点所表示的数为：． 故选：A． 8. 已知，都为正数，且，若以，为两条直角边长作一个直角三角形，则以这个直角三角形的斜边为边的正方形的面积为（） A. 3 B. 9 C. 10 D. 41 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查非负数的性质和勾股定理的应用，由非负数的性质求出和的值，再根据勾股定理求出斜边的平方，即为正方形的面积． 【详解】解：∵且，且它们的和为零， ∴且， ∴且， ∴，． ∵均为正数， ∴，． 以为直角边作直角三角形，设斜边为， 则根据勾股定理，． 以斜边为边的正方形的面积等于． 故选：B． 9. 如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】设BN=x，则由折叠的性质可得DN=AN=9-x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解． 【详解】解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9-x， ∵D是BC的中点， ∴BD=3， 在Rt△NBD中，x2+32=（9-x）2， 解得x=4． 即BN=4． 故选A． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），折叠性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强． 10. 如图，在中，，的平分线与的延长线交于点，与交于点，且是边的中点，，垂足为．若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由角平分线的性质得到，由平行线的性质得到，继而解得，证明，由全等三角形的对应边相等得到，再结合线段中点的性质解得，最后在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵为的平分线， ∴， 在中，则，， ∴， ∴， ∴， 又F为的中点， ∴， ， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 在中，则， ∴， 在中，． 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、平行四边形的性质、线段中点的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握相关知识是解题关键． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 在中，若，则的度数为_______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质．根据平行四边形的性质，对角相等，因此与相等，据此作答即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边AB的中点，连接CD．若BC＝5，CD＝3，则AC＝______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AB，然后运用勾股定理解答即可． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边AB的中点 ∴CD==3,即AB=6 ∴AC=． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质和勾股定理，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半成为解答本题的关键． 13. 如图，在矩形中，对角线相交于点O．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识点，证得是等边三角形是解答本题的关键． 先根据矩形的性质先求出，再根据等边三角形的判定证得是等边三角形，进而求得，最后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：， ， 四边形是矩形， ，，， 是等边三角形， ， ， 四边形是矩形， ， 由勾股定理． 故答案为：． 14. 若一个无理数a与的积是一个有理数，则a的值可以是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算．需要找到一个无理数，使得与的乘积为有理数．由于可化简为，因此应包含的因子，以便与相乘后得到有理数． 【详解】解：取，则，是有理数，满足条件． 故答案为． 15. 如图，每个小正方形的边长都是1，，，是小正方形的顶点，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用勾股定理求出各边的长度，再根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，进而求出的度数． 【详解】解：连接，如图． 由题意得，，， ，． 是等腰直角三角形． ． 【点睛】本题考查了勾股定理及等腰直角三角形的判定，解题关键是通过勾股定理求出三角形三边长度，结合勾股定理的逆定理判断三角形形状，进而得出角的度数． 16. 如图，在中，，，，是的中点，是边上一动点．将沿所在直线折叠得到．当是直角三角形时，的长为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查翻折变换，勾股定理；分两种情形：如图1，当时，如图2，当时，由直角三角形的性质分别求解即可． 【详解】解：如图1，当时， ， ， ，，共线， ，， ， 设，则， 在中，则有， 解得， ． 如图，当时，， ， ， ， ． 综上所述，满足条件的值为或． 故答案为或． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可得到答案． 【详解】解： ． 【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 18. 已知：x＝＋1，y＝﹣1，求下列各式的值． （1）x2＋2xy＋y2； （2）x2＋y2 【答案】（1）12；（2）8 【解析】 【分析】（1）根据题意利用完全平方和公式并代入x和y值进行计算即可； （2）根据题意利用完全平方公式进行变形，并代入x和y值进行计算即可． 【详解】解：∵x＝＋1，y＝﹣1， ∴x＋y＝2，xy＝3﹣1＝2， （1）x2＋2xy＋y2 ＝（x＋y）2 ＝（2）2 ＝12； （2）x2＋y2 ＝（x＋y）2﹣2xy ＝12﹣4 ＝8． 【点睛】本题考查完全平方公式，注意掌握完全平方公式的两个常用变式：x2＋y2＝（x＋y）2﹣2xy和x2＋y2＝（x－y）2＋2xy． 19. 如图，ABCD，AB=15，AD=12，AC⊥BC，求AC的长以及四边形ABCD的面积． 【答案】AC=9，面积为108． 【解析】 【分析】直接利用平行四边形对边相等得出BC=AD=12，再由勾股定理求出AC的长，最后平根据平行四边形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=15， ∴BC=AD=12， ∵AB=15，AC⊥BC， ∴AC===9， ∴=BCAC=12×9=108． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质得出BC的长是解题的关键． 20. 印度数学家什迦罗在其著作中提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？” 此题的大致意思是：湖水中一枝荷花高出湖面半尺，被风一吹，荷花倾斜，正好与湖面持平，且荷花与原来位置的水平距离为二尺，问湖水有多深． 【答案】湖水深3.75尺． 【解析】 【分析】先根据题意构造出直角三角形（即荷花的折断与不断时恰好构成直角三角形），再根据已知条件求解． 【详解】设水深x尺，则荷花茎的长度为x+0.5， 根据勾股定理得： 解得：x=3.75． 答：湖水深3.75尺． 【点睛】此题考查勾股定理的应用，解题关键在于结合题意列出方程． 21. 如图是由边长都为1的小正方形组成的网格，四边形的四个顶点均在格点(小正方形的顶点)上． （1）求四边形的面积； （2）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理以及三角形的面积； （1）根据正方形的面积减去4个三角形的面积以及1个正方形面积即可求解； （2）根据已知边长得出，进而可得出． 【小问1详解】 解：四边形的面积为：． 【小问2详解】 证明：如图，连接． ∵， ， ∴， 是直角三角形，且． 22. 如图，菱形花坛的边的长为，，沿着该菱形的对角线修建两条小路和，与相交于点． （1）求和的长； （2）求菱形花坛的面积． 【答案】（1）��， （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形性质，含30度角的直角三角形，勾股定理； （1）根据菱形的性质以及含30度角的直角三角形的性质得出，即可得出，进而根据勾股定理求得，即可得出的长； （2）根据菱形的面积公式进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是菱形，， ，，，． ， ， ， ，， ∴． 【小问2详解】 菱形花坛的面积为：()． 23. 如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E是矩形外的一点，其中，． （1）求证：四边形AEBO是菱形； （2）若∠ADB＝30°，连接CE交于BD于点F，连接AF，求证：AF平分∠BAO． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）先根据平行四边形的判定可得四边形AEBO是平行四边形，再根据矩形的性质可得，然后根据菱形的判定即可得证； （2）先根据菱形的性质、矩形的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据等边三角形的判定与性质即可得证． 【详解】（1）∵，， ∴四边形AEBO是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∴四边形AEBO是菱形； （2）∵四边形AEBO是菱形， ∴， ∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∴， ， ， 在和中，， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∵，即AF是OB边上的中线， ∴AF平分． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、三角形全等的判定定理与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），正确找出两个全等三角形是解题关键． 24. 如图，在正方形中，是的中点，是边上的一点，连接，且． （1）尺规作图：求作点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：； （3）若，求正方形的边长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，作一个角等于已知角，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正方形的性质； （1）根据作一个角等于已知角的方法，作出的等角即可； （2）过点作于点，连接．证明得出，进而证明得出，根据，即可得证； （3）设正方形的边长为，在中，由勾股定理得：，建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，点M即为所求． 【小问2详解】 证明：如图，过点作于点，连接． 由作图可得， 平分． ，， ，， ， ． 又是的中点， ， ． 在和中，， ， ． 又， ． 【小问3详解】 解：设正方形边长为， 则， ． 又， ． 在中，由勾股定理得：， ， 解得或（不符合题意，舍去）， 正方形的边长为． 25. 已知：△ABC中，AB＝13，AC＝9，BC＝4，BD⊥AC于D． （1）求线段BD的长； （2）点P为射线BC上一动点，若△BDP为等腰三角形，求BP的长． 【答案】（1）12；（2）12或或 【解析】 【分析】（1）设AD＝x，则CD＝9﹣x，在和中应用勾股定理即可求解； （2）分三种请讨论，分别为BD＝BP或DP＝DB或PD＝PB，应用等角对等边和勾股定理即可求解． 【详解】（1）设AD＝x，则CD＝9﹣x， ∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝∠BDC＝90°， 由勾股定理得：AB2﹣AD2＝BD2＝BC2﹣CD2， ∴， 解得：x＝5， ∴BD＝＝12； （2）∵△BDP为等腰三角形， ∴分三种情况： ①若BD＝BP，则BP＝12， ②若DP＝DB， 过点D作DE⊥BC于点E，如图1所示： ∵， ∴， ∴， ∵BD＝DP且DE⊥BC， ∴BP＝2BE＝， ③若PD＝PB，如图2所示： ∵PD＝BP， ∴∠1＝∠2， ∵∠BDC＝90°， ∴∠2+∠3＝90°且∠1+∠4＝90°， ∴∠3＝∠4 ∴PD＝PC， ∴BP＝PC， ∴BP＝BC＝， 综上所述：当△BDP为等腰三角形时，BP＝12或或． 故答案为（1）12；（2）12或或． 【点睛】本题考查了勾股定理和等腰三角形的性质，分三种情况讨论是解决第二个问的关键，一定不要忘记讨论某一种情况，围绕三个顶点、三条边分别讨论即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省三明市沙县区第三中学2024-2025学年下学期期中考 八年级数学试题 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的线段能构成直角三角形的是（） A. 4，5，6 B. 1，1，2 C. 2，3，4 D. 1，，2 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）. A. B. C. D. 4. 如图，平行四边形的对角线相交于点，则下列判断错误的是（ ） A. B. C. 和的面积相等 D. 和的面积相等 5. 如图，在菱形中，，分别是，的中点．若菱形的周长为，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 6. 对于任意的矩形，下列说法一定正确的是（　　） A 对角线垂直且相等 B. 四边都互相垂直 C. 四个角都相等 D. 是轴对称图形，但不是中心对称图形 7. 如图，数轴上的点表示的数是，则的值是（ ） A B. C. D. 8. 已知，都为正数，且，若以，为两条直角边长作一个直角三角形，则以这个直角三角形的斜边为边的正方形的面积为（） A 3 B. 9 C. 10 D. 41 9. 如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 5 10. 如图，在中，，的平分线与的延长线交于点，与交于点，且是边的中点，，垂足为．若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 在中，若，则的度数为_______． 12. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边AB的中点，连接CD．若BC＝5，CD＝3，则AC＝______． 13. 如图，在矩形中，对角线相交于点O．若，则的长为______． 14. 若一个无理数a与的积是一个有理数，则a的值可以是______．（写出一个即可） 15. 如图，每个小正方形的边长都是1，，，是小正方形的顶点，则____________． 16. 如图，在中，，，，是的中点，是边上一动点．将沿所在直线折叠得到．当是直角三角形时，的长为_______． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17 计算：． 18. 已知：x＝＋1，y＝﹣1，求下列各式的值． （1）x2＋2xy＋y2； （2）x2＋y2 19. 如图，ABCD，AB=15，AD=12，AC⊥BC，求AC的长以及四边形ABCD的面积． 20. 印度数学家什迦罗在其著作中提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？” 此题的大致意思是：湖水中一枝荷花高出湖面半尺，被风一吹，荷花倾斜，正好与湖面持平，且荷花与原来位置的水平距离为二尺，问湖水有多深． 21. 如图是由边长都为1的小正方形组成的网格，四边形的四个顶点均在格点(小正方形的顶点)上． （1）求四边形的面积； （2）求证：． 22. 如图，菱形花坛的边的长为，，沿着该菱形的对角线修建两条小路和，与相交于点． （1）求和的长； （2）求菱形花坛的面积． 23. 如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E是矩形外的一点，其中，． （1）求证：四边形AEBO是菱形； （2）若∠ADB＝30°，连接CE交于BD于点F，连接AF，求证：AF平分∠BAO． 24. 如图，在正方形中，是的中点，是边上的一点，连接，且． （1）尺规作图：求作点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：； （3）若，求正方形的边长． 25. 已知：△ABC中，AB＝13，AC＝9，BC＝4，BD⊥AC于D． （1）求线段BD的长； （2）点P为射线BC上一动点，若△BDP为等腰三角形，求BP长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $