专题3.1 一元一次不等式9种题型（期末复习讲义）八年级数学上学期新教材浙教版

该初中数学一元一次不等式期末复习讲义通过表格系统梳理核心考点、复习目标与考情规律，将不等式定义、性质、解法等知识点按“概念-性质-解法-应用”逻辑分层呈现，用对比表格归纳不等式性质符号语言，用步骤表格细化解法注意事项，突出性质3（乘除负数变号）等重难点及数轴表示细节。 讲义亮点在于分层练习设计，从基础辨析到新定义问题，如“定义新运算‘⊕’解不等式”题型，培养运算能力与创新意识。每个题型配易错点拨，如解不等式“去分母漏乘不含分母项”提醒，帮助学生掌握推理方法，支持教师实施分层教学，提升复习效率。

专题3.1 一元一次不等式（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 不等式的定义 能明确不等式的概念，区分不等式与等式，识别常见不等号（>、<、≥、≤、≠） 基础必考点，多以选择题、填空题形式考查，难度较低 不等式的基本性质 能熟练运用不等式的 3 条基本性质（尤其注意性质 3：两边乘 / 除以负数，不等号方向改变）变形不等式 高频易错点，小题为主，易与等式性质混淆考查 一元一次不等式的定义 能判断一个不等式是否为一元一次不等式（含 1 个未知数、未知数次数为 1、整式形式） 基础考点，多在选择题中考查 “一元一次不等式的判定” 一元一次不等式的解法 能按照 “去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1” 的步骤解一元一次不等式，正确处理不等号方向 核心基础考点，小题、解答题均会涉及，是后续不等式应用的关键基础 一元一次不等式的解集表示 能将不等式的解集表示在数轴上（注意实心 / 空心圆点、方向），并能用不等式表示解集 高频基础点，小题为主，易在数轴表示的细节（圆点类型、方向）上设置易错点 知识点01 不等式的有关概念 不等式的定义：像4＞3，3x＜6这样用符号“＞”、“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式. 常见的不等式基本语言及符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 a是正数 a＞0 a是非正数 a≤0 a、b同号 ab＞0 a是负数 a＜0 a是非负数 a≥0 a、b异号 ab＜0 知识点02 不等式的解与解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集. 解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 知识点03 不等式的性质 文字标识 符号语言 性质1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变. 若a＞b，则a±c＞b±c 性质2 不等式两边乘（或除以）同一个正数， 不等号的方向不变. 若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或） 性质3 不等式两边都乘（或除以）同一个负数， 不等号的方向改变. 若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或） 知识点04 一元一次不等式 定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫一元一次不等式. 一元一次不等式的一般形式：或. 一元一次不等式的解集：一元一次不等式的所有解组成一元一次不等式的解集. 知识点05 一元一次不等式的解法 步骤 具体做法 注意事项 去分母 把不等式两边都乘以各分母的最小公倍数，得到系数为整数的不等式 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后分子整体加上括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1)去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项，不要漏乘； 2)若括号外的因数是负数时，去括号后括号内的各项都要变号. 移项 把含有未知数的项移到不等式左边，常数项都移到不等式右边 1）移项时不等号的方向不改变； 2）所移的项改符号，不移的项不变号. 合并同类项 根据合并同类项法则，把不等式整理成或 的形式 只把系数（含符号）相加，字母及字母的指数不变 系数化为1 两边都除以a将不等式化为的形式 1)不等式两边都除以未知数系数； 2)根据a的符号决定不等号的方向是否发生改变. 知识点06 一元一次不等式组 定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组. 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集. 知识点07 解一元一次不等式组 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 题型一 不等式的定义 解｜题｜技｜巧 在列不等式时，要注意抓住问题中的一些关键词语，如：不小于，至少，大于、不高于、不低于等，弄清关键词语的含义，并表示出两个量之间的不等关系. 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）以下表达式： ； ； ； ； ．其中不等式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的定义，根据不等式的定义进行判断即可，熟知用不等号连接的式子是不等式是解本题的关键． 【详解】解： 是不等式； 是不等式； 是整式； 是等式； 是不等式； 综上：是不等式，共个， 故选：． 2．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）“a与1的差小于b的2025倍”用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了由实际问题列出不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． “a与1的差”表示为，“小于”用<表示，“b的2025倍”表示为． 【详解】解：由题意得，． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过．用表示汽车的速度，v与30应满足的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的概念，用不等号将两个整式连结起来所成的式子，在一个式子中的数的关系，不全是等号，含不等符号的式子，那它就是一个不等式，即用“大于号”、“小于号”、“不等号”、“大于等于”或“小于等于”连接并具有大小关系的式子，叫做不等式，根据题意可知汽车的速度v不超过，即汽车的速度v小于等于，然后用符号表示即可． 【详解】解：根据题意v与30应满足的不等关系为， 故选：A． 4．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）某农户今年的收入比去年至少多1.5万元，记去年的收入为万元，今年的收入为万元，则可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查列不等式，根据不等量关系，直接列出不等式即可 【详解】解：因为农户今年的收入比去年至少多1.5万元， 所以，列不等式为：， 故选：B． 题型二 不等式的性质 易｜错｜点｜拨 在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清楚这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号要改变方向. 5．（25-26八年级上·浙江温州·期中）若，则下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质逐项分析，可得答案． 【详解】解：A、两边都加2，不等式成立，正确，故A不符合题意； B、两边都减2，不等式成立，正确，故B不符合题意； C、两边都乘以，不等号的方向改变，不等式成立，正确，故C不符合题意； D、两边都除以，不等号的方向改变，选项的不等式不成立，故D符合题意； 故选：D． 6．（25-26八年级上·浙江温州·期中）若，且，则（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质3，是解题的关键．由已知条件和推导出，即．将不等式两边除以负数b，不等式方向反转，直接得到． 【详解】∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 故选：C． 7．（25-26八年级上·浙江温州·期中）若，且，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，根据不等式的性质可得，求解即可，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）小华在学习了“不等式的基本性质”后自主完成了一道题，老师批改结果为“错误”，请你作为他的同学帮助他一起完成订正． 已知，试比较与的大小． 解：∵，① ∴．② ∴．③ (1)小华的解题过程中，从步骤______开始出现错误（填写序号）； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)② (2) 【分析】本题考查了不等式的基本性质，解题关键是掌握不等式的基本性质． （1）根据不等式的基本性质求解； （2）利用不等式的基本性质求解． 【详解】（1）解：根据不等式两边同乘以一个负数，不等号要改变方向，可得上述解题过程中，从步骤②开始出现错误， 故答案为：②； （2）解：∵， ∴． ∴． 题型三 识别一元一次不等式（组） 答｜题｜模｜板 判断一元一次不等式的方法： 1）看式子是不是由不等号连接而成的；2）看不等式两边是不是整式(分母中是否含有未知数)； 3）看不等式两边是否只含有一个未知数；4）看未知数的次数是不是1. 9．（24-25八年级上·浙江金华·期中）下列各式：①；②；③；④；中是一元一次不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式是解题关键．根据一元一次不等式的概念逐项判断即可． 【详解】解：①，是一元一次不等式；②，有2未知数，不是一元一次不等式；③，是代数式，不是一元一次不等式；④，未知数的次数是2，不是一元一次不等式． 综上可知只有①是一元一次不等式． 故选D． 10．（24-25七年级下·上海宝山·期中）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义，需满足：①只含有一个未知数；②所有不等式均为一次整式不等式，据此解答即可． 【详解】解：A、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意； B、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； C、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； D、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； 故选：A． 题型四 解一元一次不等式 易｜错｜点｜拨 答案：最小公倍数 各项 变号 负数 11．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式、将不等式的解集表示在数轴上，先求出一元一次不等式的解集，再将解集表示在数轴上即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：去分母可得：， 解得：， 将解集表示在数轴上如图所示： 故选：B． 12．（24-25八年级下·辽宁丹东·月考）已知是关于x的一元一次不等式，那么 ，不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的概念以及一元一次不等式的求解．根据题意可知，求得值，然后代入不等式求解即可． 【详解】解：由题意可知：， 解得， 将代入得：， 解得， 故答案为：，． 13．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）解下列一元一次不等式． (1)； (2)，并把解集表示在数轴上． 【答案】(1) (2)，数轴见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， 则； （2）解：， ， ， ， ， 则， 将不等式的解集表示在数轴上如下： 14．（25-26八年级上·浙江·期中）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并解答． 解：．第①步 ．第②步 ．第③步 ．第④步 ．第⑤步 (1)第______步开始出现错误． (2)请给出正确解答． 【答案】(1)⑤ (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式的求解方法是解题关键．（1）第⑤步开始出现错误，错误的原因是：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向没有改变；（2）求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：第⑤步开始出现错误，错误的原因是：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向没有改变， 故答案为：⑤； （2）解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化成1，得． 题型五 求一元一次不等式的特殊解 答｜题｜模｜板 求一元一次不等式的特殊解，需先求出不等式的解集，在解集内找到符合题目条件的整数解. 易｜错｜点｜拨 题目求的是正整数、负整数还是非负整数，看清楚题目问题. 15．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）写出一个满足不等式的正整数解是 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了求一元一次不等式的整数解，解题关键是正确解一元一次不等式． 先求解不等式，得到解集后找出满足条件的正整数． 【详解】解：： 移项，得， 即， 两边同时除以2得， 即． 因此，正整数解为1、2， 故答案为：1（答案不唯一）． 16．（25-26八年级上·浙江温州·期中）求满足不等式的最小负整数． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的最小负整数即可，掌握解不等式的步骤是解题的关键． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， ∴最小负整数解为． 17．（24-25八年级上·浙江温州·期末）不等式的非负整数解有（ ）个 A．3 B．4 C．2 D．5 【答案】B 【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可． 本题主要考查了一元一次不等式的整数解，掌握非负整数包括0和正整数是解题的关键． 【详解】解：不等式的解集为， 它的非负整数解为0，1，2，3，共有4个． 故选：B 18．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的含参问题，掌握求一元一次不等式的方法，取值方法是解题的关键． 首先解不等式，然后根据不等式只有3个正整数解即可得到一个关于m的不等式，求得m的范围． 【详解】解： 移项，得： ， 合并同类项，得： ， 系数化为1，得： ， ∵不等式只有3个正整数解， ∴， 故答案为： ． 题型六 解一元一次不等式组 易｜错｜点｜拨 1）利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分. 2）当不等式组中含有“≥”或“≤”时，边界点处要用实心圆点，解集的取法不变. 3）关于x的不等式组的解集为x=a，关于x的不等式组无解. 19．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）点在第四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了已知点所在象限求参数，根据点P在第四象限，则其横坐标为正，纵坐标为负，据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴横坐标，纵坐标, 解得：, 解得：，即, ∴a的取值范围是, 故选B． 20．（25-26八年级上·浙江温州·期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，解题的关键是正确的计算；根据不等式的解法分别算出两个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小大小去中间，大大小小无解”得到不等式组解集，并表示在数轴上即可得到答案； 【详解】解：由，得：， 由，得：， 则不等式组的解集为， 将解集表示在数轴上如下： 故选：C． 21．（25-26八年级上·浙江温州·期中）解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求解两个不等式，得到不等式组的解集即可． 【详解】解：， 由得， 解得， 由得， 解得， ∴不等式解集为． 22．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）解不等式组：，将解集在数轴上表示出来，并求出满足条件的所有整数解的和． 【答案】不等式组的解集为 ，所有整数解的和为0，数轴见解析 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，在数轴上的表示方法，熟练掌握是解题关键． 先求出两个不等式的解集，再求其公共解集，然后确定这个范围内的整数解即可求解． 【详解】解： 由①得：， 由②得：， 解得：， 解集为：. 不等式组的所有整数解为， ∴和为． 题型七 已知不等式组的解集求参数 答｜题｜模｜板 已知不等式或不等式组的解集求参数，一般需要带参数解不等式或不等式组，然后与已知的解集对比，求出参数;若一次项系数含有参数，则需要额外讨论系数的正负. 23．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）若不等式组有解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式组有解情况．熟练掌握不等式组的解集的确定的四种情况：“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”是解题的关键． 求出第一个不等式的解集，再根据不等式组有解，得出m的范围即可． 【详解】解：解不等式得，， ∵不等式组有解，， ∴． ∴． 故选：B． 24．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法和步骤． 先求解不等式，结合原不等式组的解集是，得出关于的不等式，求解即可． 【详解】解：解不等式， 可得：， ∵原不等式组的解集是， ∴， 解得：， 故答案为：C． 25．（25-26八年级上·浙江温州·期中）已知关于的不等式组的解集是，则关于的不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】该题考查了不等式组的解集，由已知不等式组的解集为，可确定参数，再代入第二个不等式组求解解集． 【详解】解：∵不等式组，解集为． ∴，且（即)， 设不等式①的解为，不等式②的解为， 解集为， 因此，解得． 将代入第二个不等式组， 得， 解得：． 故答案为：． 题型八 已知不等式组的整数解求参数 答｜题｜模｜板 整数解问题实际上是给出了不等式组解集端点的取值范围，因此尤其需要注意在端点处是否能取到等号. 26．（24-25八年级上·浙江金华·期中）若关于x的不等式组的所有整数解的和为12，则整数a的值为 ． 【答案】3或 【分析】此题考查的是一元一次不等式的解法，求不等式组的解集，首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，然后根据整数解的和为12，确定整数解，即可求得整数a的值． 【详解】解：解得， 解得． ∴不等式组的解集为， ∵所有整数解的和为12， ∴整数解是3，4，5或，，0，1，2，3，4，5． 当整数解是3，4，5时，，整数， 当整数解是，，0，1，2，3，4，5时，，整数， ∴整数a的值为3或． 故答案为：3或． 27．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）若线段，，能构成三角形，且使关于的不等式组有解的所有整数和为 ． 【答案】3 【分析】此题考查三角形的三边关系和解一元一次不等式组，根据三角形三边关系得到，再解不等式组得到，进而求出所有整数的值，再相加求解． 【详解】解：线段，，能构成三角形， ． 在中 解不等式得， ， 解得， ， 所有整数有和， 所以所在整数的和为． 故答案为：3． 28．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）已知关于x的不等式组的整数解有且只有2个，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，准确的计算是解决本题的关键． 首先解每个不等式，得到不等式组的解集，然后根据整数解的个数确定m的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式得， 解得， 解不等式得， 解得， ∵整数解有且只有2个， ∴不等式组的解集为， ∵， ∴整数解为和0， ∴， ∴， ∴， 故m的取值范围是， 故选B． 29．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若关于x的不等式组恰有2个整数解，则所有符合条件的整数m的和为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，关键是根据整数解的个数确定参数的取值范围． 先解不等式组，得到解集的范围，根据恰有2个整数解的条件确定m的取值范围，然后求出所有整数m的和． 【详解】解：对于不等式组：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组恰有2个整数解，且，整数解为和， ∴， ∵，得， 又∵，得， ∴m的取值范围为：， ∵为整数， ∴， 所有符合条件的整数m的和为：， 故选：D． 题型九 解一元一次不等式（组）有关的新定义问题 30．（25-26八年级上·浙江·期中）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)填空：________． (2)若，则的取值范围是________． (3)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义运算与一元一次不等式（组）的综合应用，解题的关键是根据新运算定义准确判断运算双方的大小关系，选择对应运算公式，第三问需分情况讨论并合并解集． （1）比较与的大小，选用计算； （2）由等式右边运算形式确定，解不等式； （3）分和两种情况，分别用对应公式列不等式，求解后取并集． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：． （2）解：， ， 解得， 故答案为：． （3）解：当，即时，， 解得，即， 故； 当，即时，， 解得，，无解； 综上，， 答：的取值范围是． 31．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）对于任意实数，，定义一种新运算．例如：．请根据上述定义解决以下问题： (1)若，求实数的取值范围． (2)若，且的解集中有3个整数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了定义新运算，解一元一次不等式，根据不等式组的解集求参数，理解新定义运算的运算法则是本题的关键． （1）根据新定义列出不等式，根据一元一次不等式的解法解出不等式即可； （2）根据新定义列出不等式组，根据一元一次不等式组的解法解出不等式组，然后根据“的解集中有3个整数解”求出的取值范围． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解： ， ， ， ， 的解集中有3个整数解， 的整数解为，，， ， ． 32．（24-25八年级上·浙江金华·期末）对于实数，定义一种运算“”：，那么不等式组，的解在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据定义的新运算可得：，然后按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为， 原不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 故选：A． 33．（2023八年级上·浙江·专题练习）我们定义，例如，若，均为整数，且满足，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义计算，涉及解不等式及整数的计算．先根据定义列不等式解出，再利用，均为整数确定，的值，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∵，均为整数， ∴为整数， ∴， ∴时，；时，；时，；时，， ∴或， 故答案为：． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（25-26八年级上·浙江温州·期中）若，则下列各式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．若，则，故选项不成立，不符合题意； B．若，则，故选项不成立，不符合题意； C．若，则，故选项成立，符合题意； D．若，则，故选项不成立，不符合题意． 故选：C． 2．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）不等式组的解集在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式组解集在数轴上的表示．先根据题意解出不等式组的解集，再逐一对应每个选项中的不等式组的解集选出正确答案即可． 【详解】解：，解得， ，解得， ∴不等式组的解集为， A项：数轴上表示的不等式组解集为，符合题意，故A正确； B项：数轴上表示的不等式组解集为，由于不等式组的解集未包含等号，不符合题意，故B错误； C项：数轴上表示的不等式组解集为，由于不等式组的解集未包含等号，不符合题意，故C错误； D项：数轴上表示的不等式组解集为，由于不等式组的解集未包含等号，不符合题意，故D错误， 故选：A． 3．（25-26八年级上·浙江温州·期中）图中形状相同的图形质量相同，，在天平上的状态如图所示，下列天平状态一定正确的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式性质的应用，结合图形进行分析，找到不等式关系是解题的关键； 【详解】 解：∵ ∴当两边同时加时，则， 故选：D. 4．（25-26八年级上·浙江温州·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的解法及不等式的应用，将两个方程相加，得到关于的表达式，再根据解不等式即可，熟练掌握运算方法是解此题的关键． 【详解】解：， 由可得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：D． 5．（25-26八年级上·浙江宁波·月考）已知关于x的不等式组有且只有4个整数解，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的解的应用，解此题的关键是求出关于a的不等式组． 求出每个不等式的解集，求出不等式组的解集，根据已知得出关于a的不等式组，求出解集即可． 【详解】解：由得：， 由得：， 不等式组只有4个整数解， 不等式组的整数解为2、3、4、5， ， 解得， 故选：D． 6．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，若点在第三象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集，已知点所在的象限求参数等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据平面直角坐标系中第三象限点的坐标特征，横坐标和纵坐标均小于零，得到关于m的不等式求解． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴． 解得：． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于x的不等式组的解为，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由一元一次不等式组的解集求参数，解题关键是掌握一元一次不等式组的解法． 先分别解不等式组中的每个不等式，再根据不等式组的解集确定参数的取值范围． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）关于x的不等式组的解集中任意一个x的值均不在的范围内，则m的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键；先解不等式组，得到解集为，根据题意，解集中任意均不在范围内，则有或，求解得到的取值范围． 【详解】解：解不等式组得， ∵解集中任意的值均不在范围内， ∴或， 解得或， 因此，的取值范围是或； 故答案为或． 期末重难突破练（测试时间：15分钟） 1．（25-26八年级上·浙江金华·期中）已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)若不等式的解为，求整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了方程组与不等式组相结合的问题，不等式的性质，求不等式组的整数解，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用加减消元法求出方程组的解，再根据方程组的解的情况建立不等式组求解即可； （2）根据不等式的性质可得，求出该不等式的解集，结合（1）所求得到m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：解方程组，得， 为非正数，为负数， ， 解得， 的取值范围为； （2）解：， ， 不等式的解为， ，即， 的取值为． 整数． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“智惠方程”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程是不等式的“智惠方程”． (1)在下列方程①；②；③中，不等式的“智惠方程”是________；（填序号） (2)若关于的方程是关于的不等式组的“智惠方程”，且此时不等式组恰好有3个整数解，试求的取值范围． 【答案】(1)② (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“智惠方程”是解题的关键． （1）根据新定义求解； （2）先解方程可得，再解不等式组可得，再根据 根据“智惠方程”的定义，得到，得 ，此时不等式组恰好有3个整数解，得到，解得，从而可得答案． 【详解】（1）解：①方程的解为； ②的解是； ③的解， 不等式的解集为， ∴不等式的“智惠方程”是②， 故答案为：②； （2）解：解方程​，得． 解，得． 解，得． ∴不等式组的解集为． 根据“智惠方程”的定义， ∴，得， ∵有3个整数解，即1，2，3， ∴，解得​， 综上，的取值范围是  ． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知，，是的三边长 (1)已知，，求的取值范围； (2)若，，且的周长不超过24，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了三角形三条边的关系，解一元一次不等式组． （1）根据三角形三条边的关系计算即可； （2）根据的周长不超过24求出的取值范围，再根据三角形三条边的关系进一步缩小的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵，，是的三边长， ∴， 即， ∴； （2）解：∵，，且的周长不超过24， ∴， 解得：， 则， ∴， ∵，，是的三边长 ∴， 即， 解得：且， 即， ∵， ∴． 4．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）我们规定：不等式组的“长度”均为，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为．根据该规定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”__________；“整点”为__________； (2)若关于的不等式组的“长度”，求的值． 【答案】(1)3；，0，1 (2) 【分析】本题考查了新定义，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． （1）求得不等式组的解，然后根据规定求得d和“整点”； （2）解不等式得，再根据与零的关系，分类讨论，分别根据规定列方程求解． 【详解】（1）解：解不等式组，得， ∴不等式组的“长度”， “整点”为，0，1， 故答案为：3；，0，1； （2）解：解不等式得， 当时，x可以是任意实数， 此时不等式组的解集为，其长度，不符合题意； 当时，即， 则不等式解为：， 又∵，不等式组的“长度”， ∴， 解得：； 当时，即， 则不等式解为：， 此时， ∴不等式组的解集为，其长度，不符合题意； 综上所述：的值为； 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 一元一次不等式（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 不等式的定义 能明确不等式的概念，区分不等式与等式，识别常见不等号（>、<、≥、≤、≠） 基础必考点，多以选择题、填空题形式考查，难度较低 不等式的基本性质 能熟练运用不等式的 3 条基本性质（尤其注意性质 3：两边乘 / 除以负数，不等号方向改变）变形不等式 高频易错点，小题为主，易与等式性质混淆考查 一元一次不等式的定义 能判断一个不等式是否为一元一次不等式（含 1 个未知数、未知数次数为 1、整式形式） 基础考点，多在选择题中考查 “一元一次不等式的判定” 一元一次不等式的解法 能按照 “去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1” 的步骤解一元一次不等式，正确处理不等号方向 核心基础考点，小题、解答题均会涉及，是后续不等式应用的关键基础 一元一次不等式的解集表示 能将不等式的解集表示在数轴上（注意实心 / 空心圆点、方向），并能用不等式表示解集 高频基础点，小题为主，易在数轴表示的细节（圆点类型、方向）上设置易错点 知识点01 不等式的有关概念 不等式的定义：像4＞3，3x＜6这样用符号“＞”、“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式. 常见的不等式基本语言及符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 a是正数 a＞0 a是非正数 a≤0 a、b同号 ab＞0 a是负数 a＜0 a是非负数 a≥0 a、b异号 ab＜0 知识点02 不等式的解与解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集. 解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 知识点03 不等式的性质 文字标识 符号语言 性质1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变. 若a＞b，则a±c＞b±c 性质2 不等式两边乘（或除以）同一个正数， 不等号的方向不变. 若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或） 性质3 不等式两边都乘（或除以）同一个负数， 不等号的方向改变. 若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或） 知识点04 一元一次不等式 定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫一元一次不等式. 一元一次不等式的一般形式：或. 一元一次不等式的解集：一元一次不等式的所有解组成一元一次不等式的解集. 知识点05 一元一次不等式的解法 步骤 具体做法 注意事项 去分母 把不等式两边都乘以各分母的最小公倍数，得到系数为整数的不等式 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后分子整体加上括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1)去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项，不要漏乘； 2)若括号外的因数是负数时，去括号后括号内的各项都要变号. 移项 把含有未知数的项移到不等式左边，常数项都移到不等式右边 1）移项时不等号的方向不改变； 2）所移的项改符号，不移的项不变号. 合并同类项 根据合并同类项法则，把不等式整理成或 的形式 只把系数（含符号）相加，字母及字母的指数不变 系数化为1 两边都除以a将不等式化为的形式 1)不等式两边都除以未知数系数； 2)根据a的符号决定不等号的方向是否发生改变. 知识点06 一元一次不等式组 定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组. 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集. 知识点07 解一元一次不等式组 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 题型一 不等式的定义 解｜题｜技｜巧 在列不等式时，要注意抓住问题中的一些关键词语，如：不小于，至少，大于、不高于、不低于等，弄清关键词语的含义，并表示出两个量之间的不等关系. 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）以下表达式： ； ； ； ； ．其中不等式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）“a与1的差小于b的2025倍”用不等式表示为 ． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过．用表示汽车的速度，v与30应满足的关系为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）某农户今年的收入比去年至少多1.5万元，记去年的收入为万元，今年的收入为万元，则可列不等式为（   ） A． B． C． D． 题型二 不等式的性质 易｜错｜点｜拨 在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清楚这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号要改变方向. 5．（25-26八年级上·浙江温州·期中）若，则下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·浙江温州·期中）若，且，则（） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·浙江温州·期中）若，且，则a的取值范围是 ． 8．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）小华在学习了“不等式的基本性质”后自主完成了一道题，老师批改结果为“错误”，请你作为他的同学帮助他一起完成订正． 已知，试比较与的大小． 解：∵，① ∴．② ∴．③ (1)小华的解题过程中，从步骤______开始出现错误（填写序号）； (2)请写出正确的解题过程． 题型三 识别一元一次不等式（组） 答｜题｜模｜板 判断一元一次不等式的方法： 1）看式子是不是由不等号连接而成的；2）看不等式两边是不是整式(分母中是否含有未知数)； 3）看不等式两边是否只含有一个未知数；4）看未知数的次数是不是1. 9．（24-25八年级上·浙江金华·期中）下列各式：①；②；③；④；中是一元一次不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 10．（24-25七年级下·上海宝山·期中）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（    ） A．B．C． D． 题型四 解一元一次不等式 易｜错｜点｜拨 答案：最小公倍数 各项 变号 负数 11．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级下·辽宁丹东·月考）已知是关于x的一元一次不等式，那么 ，不等式的解集是 ． 13．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）解下列一元一次不等式． (1)； (2)，并把解集表示在数轴上． 14．（25-26八年级上·浙江·期中）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并解答． 解：．第①步 ．第②步 ．第③步 ．第④步 ．第⑤步 (1)第______步开始出现错误． (2)请给出正确解答． 题型五 求一元一次不等式的特殊解 答｜题｜模｜板 求一元一次不等式的特殊解，需先求出不等式的解集，在解集内找到符合题目条件的整数解. 易｜错｜点｜拨 题目求的是正整数、负整数还是非负整数，看清楚题目问题. 15．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）写出一个满足不等式的正整数解是 ． 16．（25-26八年级上·浙江温州·期中）求满足不等式的最小负整数． 17．（24-25八年级上·浙江温州·期末）不等式的非负整数解有（ ）个 A．3 B．4 C．2 D．5 18．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ． 题型六 解一元一次不等式组 易｜错｜点｜拨 1）利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分. 2）当不等式组中含有“≥”或“≤”时，边界点处要用实心圆点，解集的取法不变. 3）关于x的不等式组的解集为x=a，关于x的不等式组无解. 19．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）点在第四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26八年级上·浙江温州·期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 21．（25-26八年级上·浙江温州·期中）解不等式组： 22．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）解不等式组：，将解集在数轴上表示出来，并求出满足条件的所有整数解的和． 题型七 已知不等式组的解集求参数 答｜题｜模｜板 已知不等式或不等式组的解集求参数，一般需要带参数解不等式或不等式组，然后与已知的解集对比，求出参数;若一次项系数含有参数，则需要额外讨论系数的正负. 23．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）若不等式组有解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 24．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 25．（25-26八年级上·浙江温州·期中）已知关于的不等式组的解集是，则关于的不等式组的解集是 ． 题型八 已知不等式组的整数解求参数 答｜题｜模｜板 整数解问题实际上是给出了不等式组解集端点的取值范围，因此尤其需要注意在端点处是否能取到等号. 26．（24-25八年级上·浙江金华·期中）若关于x的不等式组的所有整数解的和为12，则整数a的值为 ． 27．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）若线段，，能构成三角形，且使关于的不等式组有解的所有整数和为 ． 28．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）已知关于x的不等式组的整数解有且只有2个，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 29．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若关于x的不等式组恰有2个整数解，则所有符合条件的整数m的和为（    ） A．0 B． C． D． 题型九 解一元一次不等式（组）有关的新定义问题 30．（25-26八年级上·浙江·期中）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)填空：________． (2)若，则的取值范围是________． (3)已知，求的取值范围． 31．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）对于任意实数，，定义一种新运算．例如：．请根据上述定义解决以下问题： (1)若，求实数的取值范围． (2)若，且的解集中有3个整数解，求实数的取值范围． 32．（24-25八年级上·浙江金华·期末）对于实数，定义一种运算“”：，那么不等式组，的解在数轴上表示为（   ） A．B．C． D． 33．（2023八年级上·浙江·专题练习）我们定义，例如，若，均为整数，且满足，则的值是 ． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（25-26八年级上·浙江温州·期中）若，则下列各式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）不等式组的解集在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江温州·期中）图中形状相同的图形质量相同，，在天平上的状态如图所示，下列天平状态一定正确的是（    ） A．B．C．D． 4．（25-26八年级上·浙江温州·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·浙江宁波·月考）已知关于x的不等式组有且只有4个整数解，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，若点在第三象限，则m的取值范围是 ． 7．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于x的不等式组的解为，则a的取值范围为 ． 8．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）关于x的不等式组的解集中任意一个x的值均不在的范围内，则m的取值范围是 ． 期末重难突破练（测试时间：15分钟） 1．（25-26八年级上·浙江金华·期中）已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)若不等式的解为，求整数的值． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“智惠方程”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程是不等式的“智惠方程”． (1)在下列方程①；②；③中，不等式的“智惠方程”是________；（填序号） (2)若关于的方程是关于的不等式组的“智惠方程”，且此时不等式组恰好有3个整数解，试求的取值范围． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知，，是的三边长 (1)已知，，求的取值范围； (2)若，，且的周长不超过24，求的取值范围． 4．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）我们规定：不等式组的“长度”均为，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为．根据该规定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”__________；“整点”为__________； (2)若关于的不等式组的“长度”，求的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $