专题06 一次函数与实际问题6种题型（期末复习讲义）八年级数学上学期新教材浙教版

该初中数学期末复习讲义通过表格系统梳理一次函数与实际问题的核心考点，明确分配方案、最大利润等五类问题的复习目标与考情规律，结合求解思路的步骤化讲解，构建“建模-求解-应用”的知识脉络，突出自变量取值范围等重难点。 讲义亮点在于题型分类与方法指导，如分配方案问题“比较函数值转化为解方程”，最大利润问题结合增减性求最值，培养抽象能力与模型意识。分层练习覆盖基础与重难，助力不同学生提升，为教师提供精准教学支持。

专题06 一次函数与实际问题（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 分配方案问题 能从实际分配情境（如物资调配、人员安排）中构建一次函数模型，列出变量限制条件，求解可行方案并确定最优方案 高频综合考点，多以解答题形式考查，需结合不等式确定自变量范围，常要求列举所有可行方案 最大利润问题 能根据成本、售价、销量的关系构建利润的一次函数表达式，结合自变量的实际取值范围，利用函数增减性求最大利润 易错重点题型，解答题为主，需注意自变量的正整数限制，常与不等式结合考查 行程问题 能以时间为自变量，构建路程（或距离）的一次函数模型，分析追及、相遇、往返等情境中的等量 / 不等关系 基础综合题型，小题、解答题均有涉及，常结合函数图像考查 “交点的实际意义” 阶梯计费问题 能识别分段计费的临界点，分区间构建一次函数表达式，解决费用计算、方案比较等问题 高频基础题型，小题、解答题均会出现，易混淆不同分段的函数关系，需明确区间范围 图表信息提取 能从函数图像、表格中提取自变量、因变量的对应关系，构建一次函数模型，解决求值、分析趋势等问题 基础必考点，小题为主，侧重考查数形结合能力，需准确解读横纵轴的实际意义 知识点01 一次函数应用问题的求解思路 1）建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质求解； 2）在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图像求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点； 3）分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图像，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 知识点02 利用一次函数的图像解决实际问题的一般步骤 1）观察图像，获取有效信息； 2）对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； 3）选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题. 【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围. 题型一 分配方案问题 解｜题｜技｜巧 方案的选取就是在自变量的不同取值范围内比较多个函数值的大小，同时也是利用一次函数解决实际问题的典型题目，它的实质是将比较函数值大小的问题转化为解方程或解不等式的问题. 1．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）课题学习 已知竹木工厂生产一种产品，该产品售价为1000元/套，原材料成本价为550元/套（含设备损耗等），但在生产过程中平均每生产一套产品产生1吨废水．并且为了达到国家环保要求，工厂需要对废水进行脱硫、脱氮等处理工作．现有两种处理废水的方案可供选择： 方案一：由工厂直接处理，费用为50元/吨，并且每月需额外支出设备维护及损耗费为20000元； 方案二：由废水处理厂统一处理，费用为150元/吨． 请你为该厂设计根据月生产量选择废水处理的方案，使得既达到环保要求，又获得最高利润（可设每月生产了套产品，获得了元的月利润）． 2．（2024·山东东营·中考真题）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元． (1)求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？ (2)经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值． 3．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）某校八年级举行数学知识应用竞赛，购买A，B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别为元和元．根据竞赛设奖情况，需购买两种笔记本共本，并且购买A笔记本的数量要少于B笔记本数量的，但又不少于B笔记本数量的，设买A种笔记本x本，买两种笔记本的总费用为W元． (1)写出W（元）关于x（本）的函数关系式，并求出自变量x的取值范围． (2)若商场正在进行促销活动，A种笔记本每本降价a元，B种笔记本价格不变，请你帮学校设计购买方案，使所花费用最省？并求出最少费用． 4．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）为打造“书香校园”，学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本． (1)请问符合题意的组建方案有哪几种? (2)若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明（1）中哪种方案费用最低?最低费用是多少元? 5．（21-22八年级上·浙江杭州·期末）从某地运送180箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大、小货车共18辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大、小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A、B两村的运费如下表： 目的地车型 A村（元/辆） B村（元/辆） 大货车 700 800 小货车 400 600 (1)这18辆车中大、小货车各多少辆？ (2)现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A、B两村总费用为y元，试求出y与x的函数表达式； (3)在（2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于108箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用． 题型二 最大利润问题 答｜题｜模｜板 一次函数中的自变量x的取值范围是全体实数，其图像是一条直线，所以函数既没有最大值，也没有最小值，但由于在实际问题中，所列函数表达式中自变量的取值范围往往有一定的限制，所以函数图像为线段或射线，故函数就有了最值.在求函数的最值时，我们应先求出函数的表达式，并确定其增减性，再根据题目条件确定出自变量的取值范围，然后结合增减性确定出最大值或最小值. 6．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建，两种光伏车棚．已知修建个A种光伏车棚需投资万元，个种光伏车棚需投资万元，若修建，两种光伏车棚共个，要求修建的种光伏车棚的数量不少于修建的种光伏车棚数量的倍．设修建种光伏车棚个，修建车棚总费用为万元． (1)求出（万元）关于（个）的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)修建多少个种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 7．（24-25八年级上·浙江金华·期末）“13度的甜，14度的鲜”，杨梅是本地区重要农业经济产业，杨梅正成为兰溪乃至金华的“共富果”．根据提供的材料解决问题． 材料一 内容 某商贸公司经销甲、乙两个品种的杨梅，甲种杨梅进价为16元/斤；乙品种杨梅的进货总金额y（单位：元）与乙品种杨梅的进货量x（单位：斤）之间的关系如图所示，经过试销，在H城市销售甲、乙两个品种杨梅的售价分别为20元/斤和25元/斤． 材料二 某日，该商贸公司收购了甲、乙两个品种的杨梅共1000斤，其中乙品种的收购量不低于200斤，且不高于500斤． 材料三 杨梅运到H城市，商场发现顾客对甲、乙两个品种杨梅都很喜欢，于是决定把两种杨梅按同样的价格销售，并适当让利给消费者． 任务一 （1）已知，，求图中直线的函数表达式． 任务二 （2）若从收购点运到商场的其他各种费用还需要1800元，收购的杨梅能够全部卖完，设销售完甲、乙两个品种的杨梅所获总利润为w元（利润销售额成本）．求出w（单位：元）与乙品种杨梅的进货量x（单位：斤）之间的函数关系式，并为该商贸公司设计出获得最大利润的收购方案． 任务三 （3）在任务二获得的最大利润的基础上，商场把最大利润的让利给购买者，那么按同样的价格销售的杨梅的销售价应定为多少元？（结果保留整数） 8．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）“书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，我市某书店同时购进，两类图书，已知购进3本类图书和4本类图书共需192元；购进6本类图书和2本类图书共需240元． (1)，两类图书每本的进价各是多少元？ (2)该书店计划恰好用元来购进这两类图书，设购进类本，类本． ①求关于的关系式． ②进货时，类图书的购进数量不少于500本，已知类图书每本的售价为38元，类图书每本的售价为30元，如何进货才能使书店所获利润最大？最大利润为多少元？ 9．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）某商场计划从厂家购进、两款衣服共100件，这两款衣服的进价和售价如下表．设购进款衣服件，商场总利润为元． 品名 进价（元/件） 90 75 售价（元/件） 120 100 (1)求关于的函数关系式； (2)厂家规定的进货数量不得超过进货数量的两倍，问应如何设计进货方案才能获得最大利润并求出最大利润； (3)为进一步激励销人员，商场准备实施奖励计划，每卖出一件衣服奖励元，每卖一件衣服奖励元，结果发现：若100件衣服均按原定售价卖完，无论购进商品多少件，商场利润恒为2000元，求、的值． 10．（22-23九年级上·浙江温州·开学考试）瓯柑是温州的传统特产，其栽培历史约有二千四百年，被列为历代朝廷贡品，民间素有“端午瓯柑似羚羊”之称．瓯海区某经销店购进一批重量相等的“大果”，“中果”两种大小的瓯柑，其中购进大果元，购进中果元，每千克大果比中果贵元． (1)求大果，中果的进价； (2)售罄后该经销店准备再次购进两种瓯柑共千克，拟投入的资金不超过元．重阳节将至，该店将千克大果和千克中果以进价回馈给老人，剩余大果以的利润率进行销售，中果以元进行销售．若这批瓯柑能全部售出，获得的最大利润是元，求的值． 题型三 行程问题 11．（24-25八年级下·浙江台州·期末）小明和爸爸周末前往游泳馆进行游泳训练，他们都在长为的笔直泳道进行匀速往返游泳．起点和终点分别为泳道两端，两人同时从起点出发，到达终点后，立即转身游向起点，到达起点后，又立即转身游向终点……已知爸爸游泳的速度大于小明游泳的速度．训练过程中，父子间的距离和游泳时间的部分图象如图所示： (1)爸爸的速度为_______，小明的速度为______；点代表的实际意义是：______： (2)求线段的函数解析式； (3)在15分钟内，两人一共相遇_______次． 12．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）年舟山群岛马拉松，吸引了来自个国家和地区的约名运动员参与，以“向海风许愿，在山海相见”为主题，展现了舟山“海上花园城”的独特魅力，促进了国际间的体育和文化交流．甲、乙两名业余选手参加了本次比赛，两人同时到达第一个补给点，乙在第一个补给点停留了一段时间．从第一个补给点到终点过程中，甲、乙两名选手距离第一个补给点的路程s（）与时间t（）之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题： (1)直接写出乙在第一个补给点停留的时间与图中m的值． (2)在这段过程中，甲、乙两人的速度分别是多少？ (3)乙经过第一个补给点后多长时间，甲乙两名选手相距？ 13．（24-25八年级上·浙江·期末）一辆大客车和一辆小轿车沿同一公路同时从甲地出发去乙地，图中折线 和线段分别表示小轿车和大客车离开甲地的路程与时间的关系，其中小轿车往返的速度相同．请结合图象解答下列问题： (1)分别求出小轿车和大客车速度； (2)点为与的交点，试求点的坐标，并说明点所表示的实际意义； (3)求出发后经过多少小时两车相距？ 14．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）某日上午，甲、乙两车先后从地出发沿同一条公路匀速前往地（此公路全程速度限定为不超过），地与地的距离为．甲车在上午7点离开地，以的速度向地匀速行驶（途中不停靠）．设甲车行驶的时间为，行驶路程为． (1)写出关于的函数表达式，并求出甲车到地所需的时间． (2)已知乙车在当天上午8点出发，以的速度向地匀速行驶（途中也不停靠），请判断甲、乙两车谁先到达地，并说明理由． 15．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）物理实验课上，小明做“小球反弹实验”，如图①所示，光滑桌面长为．小球P与木块Q同时从点A出发向B沿直线路径始终保持匀速运动（小球P和木块Q大小厚度忽略不计），速度较快的小球P到达B处的挡板l后被弹回（忽略转向时间），沿原来路径和速度返回，遇到木块Q后又被反弹向挡板l，如此反复，直到木块Q到达l，同时停止运动．设小球P的运动时间为，木块Q与小球之间的距离为，图②是y与t的部分函数关系图象，结合图象回答下列问题． (1)小球P第一次到达挡板l的时间是_____s，小球P的速度为_____，木块Q的速度为_____． (2)小球P第一次从挡板l返回到与木块Q第一次相遇（实验开始时小球和木块在同一起点，不视为相遇），求出该过程中y关于t的函数关系式． (3)若小球P每一次反弹后的速度与第一次弹回时的速度保持一致，在整个运动过程中，当小球P与木块Q距离为时，直接写出t的值． 题型四 阶梯计费问题 16．（25-26八年级上·广东茂名·期中）为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量 单价/(元) 第一档 第二档 第三档 (1)当时，写出水费(单位：元)与之间的关系式； (2)某户一年用水量是，求该户这一年的水费； (3)某户去年一年的水费是元，求该户去年一年的用水量． 17．（25-26八年级上·广东深圳·期中）为鼓励居民合理用电，广东某市电力公司对居民用户采取分月用电量分档收费办法（按夏季和非夏季区分），下表1是某户居民某月电费发票的部分信息： 表1                                                      表2 ××居民电费专用发票 （非夏季标准：1~4月、11~12月） x 0 y 0 m 计费期限：一个月    用电量x（度） 电价（元/度） 第一档： 第二档： 第三档： 本月实付金额：（元） （大写）壹佰叁拾叁元零角 根据以上提供的信息解答下列问题： (1)如果月用电量用x（度）来表示，实付金额用y（元）来表示，则当时，y与x之间的函数关系式为 ． (2)根据（1）中函数关系式，列出y与x的几组对应值（如表2），其中 ，并在平面直角坐标系中，根据表2中的数值描点，在图3中画出该函数的图象． (3)当时，y与x之间的函数关系式为 ；根据表中该用户的本月实付金额，计算该用户本月的实际用电量为 度． 18．（21-22七年级上·浙江杭州·期中）某通讯公司推出以下收费套餐，小明选择了套餐 ，小王选择了套餐，设小明的通话时间为分钟，小王的通话时间为分钟． 月租费元月 不加收通话费时限分 超时加收通话费标准元分 套餐 套餐 （1）请用含、的代数式表示小明和小王的通话费用． （2）若小明月份通话时间为分钟．小王通话费用和小明相同，求小王通话时间． （3）若小明和小王月份通话时间和通话费用都一样，求通话时间． 19．（23-24七年级上·山东济宁·期末）打车软件的出现很大程度上方便了我们的生活，其中“滴滴出行”是全球最大的站式多样化出行渠道．现了解到2023年“滴滴快车”普通时段的最新收费标准如表： 里程/千米 收费/元 2千米以下（含2千米） 起步价 2千米以上，每增加1千米 (1)设行驶的里程数为x（千米），“滴滴快车”的，时收费（元），时收费为（元），请写出关于x的函数关系式； (2)若小明家离图书馆6千米，他身上仅有20块钱，则他乘坐“滴滴快车”从家到图书馆的车费是否够用？请说明理由． 题型五 图表信息提取 20．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）数学项目化学习小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸如图1所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图2所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次性最多能转运2列长度均为2.8米的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题： (1)当辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为米，则与的关系式是______；是关于的一次函数吗？______．（填“是”或“不是”） (2)求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量； (3)若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有几种方案可供选择？请说明理由． 21．（2024八年级上·全国·专题练习）某小区的菜鸟驿站有揽收员甲负责扫描快递入库，派送员乙负责运送快递出库．仓库里原有快递200件，已知甲平均每小时扫描200件快递入库，甲工作2小时后，乙同时开始工作．又过了3小时，甲因故离开，乙按原速工作．仓库里的快递数量y（件）与时间x（小时）之间的关系如图： (1)点A的坐标为①___________，派送员乙平均每小时的送件量为②___________件． (2)分别求出和时，y与x之间的函数表达式． (3)若仓库里的快递数量不少于a件称作仓库“半饱和”，已知“半饱和”状态持续了小时，则a的值为 ___________件． 22．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）小唐家住在公交车站点A附近，他每天搭乘公交车前往位于站点D附近的学校上学．图1是公交站点A通往站点D的公交线路示意图，其中A，B，C，D是四个公交站点，B，C两站点相距1200米．小唐每天先沿公交线路步行至站点B或站点C，然后乘公交车上学． (1)星期一，小唐步行至站点B上车，记他到站点A的路程为s米，他离开站点A的时间为t分，s关于t的函数图象如图2所示，求对应的函数表达式及公交车的速度； (2)星期二，小唐以与星期一相同的出发时间和步行速度行至站点C上车，已知该路公交车每隔10分钟一班，公交车每天的始发时间和车速保持不变，乘客上下车的时间可忽略不计： ①试判断并说明小唐步行至站点C时，此时是否有公交车也恰好到达站点C； ②若小唐到达站点D所用的时间是星期一的1.5倍，求C，D两站点间的距离． 23．（2024·浙江温州·二模）综合与实践：如何测算容器内装饰物的高度． 素材1：如图1，是一个瓶身为圆柱形的小口径容器，其高度为12cm，容器里面有一圆柱形装饰物，且这两个圆柱的底面积之比为． 素材2：为了测算该容器内圆柱形装饰物的高度，小羽以的速度向容器内匀速注水，在注水过程中，容器内水面高度h随时间t的变化规律如图2所示． (1)设注入水的体积为V（），容器底面积为S（），当时，请用两种不同的方式表示V： ①用含t的代数式表示V； ②用含S，h的代数式表示V． (2)求容器内圆柱形装饰物的高度． 24．（2024·浙江宁波·一模）在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图甲所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为和．整个过程中，弹簧测力计读数F与圆柱体下降高度h的关系图象如图乙所示． (1)图乙中，点A对应状态 ，点B对应状态 ，（“状态”后填写图形序号） ， ； (2)已知弹簧测力计在状态③时显示的读数为，求圆柱体浸入水中的高度． 25．（2024·陕西西安·一模）如图是小明“探究拉力与斜面高度关系”的实验装置，A、B是水平面上两个固定的点，用弹簧测力计拉着适当大小的木块分别沿倾斜程度不同的斜面（斜面足够长）斜向上做匀速直线运动，实验结果如图1、图2所示．经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力是高度的一次函数． (1)求出与之间的函数表达式；（不需要写出自变量的取值范围） (2)若弹簧测力计的最大量程是，求装置高度的取值范围． 题型六 其它问题 26．（25-26九年级上·浙江台州·期中）在艺术创作中，“透视”是一种利用数学原理在平面上表现三维空间的方法，“灭点”是指在透视图中，原本平行的直线看起来会汇聚到一个点上．如图1，当我们站在笔直的公路上向远方看去，公路的两边虽然在现实中是平行的，但在图片中，它们看起来像是在远处相交于一个点，这个点就是“灭点”，它帮助我们感受空间的深度和立体感． 【问题探究】在现实中，某条公路的左右边界线互相平行．如图2，将该公路的透视图放置于某平面直角坐标系内，已知公路的左侧边界线经过点和，右侧边界线的函数表达式为，和相交于点，即点为灭点． （1）求左侧边界线的函数表达式； （2）求灭点的坐标； 【迁移应用】为满足艺术创作的需求，艺术家要对该画作进行调整：保持的位置不变，将向上平移个单位长度，使得灭点的纵坐标不小于6，求的取值范围． 27．（24-25八年级下·浙江台州·期末）某实践小组为了研究某种均匀材质的香烛（总长）的燃烧变化情况．点燃香烛后，每隔1分钟测量一次香烛剩余长度，获得数据如下表： 燃烧时间t（分钟） 0 1 2 3 4 剩余长度h（cm）（观察值） 在平面直角坐标系中，描出这些数据所对应的点，发现它们大致位于同一条直线上，于是可以用一次函数近似地刻画剩余长度与燃烧时间的关系． (1)利用这两组数据，求剩余长度与燃烧时间的函数解析式； 经比对发现，表中部分观察值不在中的函数图象上，存在偏差，当时，根据中的解析式可求得________，此时它与时观测值的偏差值若记为，则________． (2)小组决定优化一次函数解析式，减少偏差．（提示：衡量偏差的统计量记为，当取不同值时，所有的平方和为，其中越小，偏差越小）． 结合表格数据，利用（1）得到的函数解析式计算的值； 请确定优化后经过点的一次函数解析式，使得偏差最小． 28．（24-25八年级上·浙江温州·期末）数学项目小组为解决由10根弹簧构成且成本不超过40元的弹簧拉力计设计问题，经调研，获得如下信息： 信息1 如图1，弹簧并联时，拉力计拉力等于每根弹簧拉力之和，，弹簧拉力与长度之间有关系式；测得弹簧拉力与长度的对应数据如下表： 弹簧长度 10 15 20 25 拉力 5 10 15 20 信息2 在弹性限度内，弹簧A，B伸长后最大长度均为．弹簧每根6元，弹簧每根3元． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： (1)在图2中，描出对弹簧测得数据的各对与的对应值为坐标的各点，并判断这些点是否在同一直线上． (2)求关于的函数表达式，并求出弹簧在弹性限度内的最大拉力． (3)如何购买A，B两种弹簧，在弹性限度内，使并联后的弹簧拉力计的拉力最大；并求出弹簧拉力计的最大拉力． 29．（2025·浙江台州·二模）如图1，甲、乙两个容器内都装了一定量的水，现将甲容器中的水匀速倒入乙容器中．如图2，线段、线段分别表示容器中水的深度（厘米）与倒入时间（分钟）的函数图象． (1)请说出点的纵坐标表示的实际意义； (2)求经过多长时间，甲、乙两个容器中水的深度相等． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·浙江金华·期中）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶时间为小时，两车之间距离为千米，图中的折线表示与之间的函数关系．若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇，则第二列快车比第一列快车晚出发（　　） A．0.5小时 B．0.6小时 C．0.75小时 D．0.8小时 2．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，甲、乙两人分别骑自行车和摩托车，从同一地点沿相同的路线前往距离的某地．如图，分别表示甲、乙两人离开出发地的距离与行驶时间之间的函数关系．问乙出发（    ）后两人相遇． A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 3．（20-21八年级上·浙江·单元测试）某通讯公司推出三种上网月收费方式．这三种收费方式每月所收的费用y（元）与上网时间x（时）的函数关系如图所示，下列判断错误的是（    ） A．每月上网不足25时，选择A方式最省钱 B．每月上网时间为30时，选择B方式最省钱 C．每月上网费用为60元，选择B方式比A方式时间长 D．每月上网时间超过70时，选择C方式最省钱 4．（2021·浙江金华·一模）永康市某公交车月乘车人数x（人）与月利润y（元）的变化关系如下表所示，如果每位乘客的公交票价和此公交车月支出费用是固定不变的，那么此公交车每月的支出费用是（    ）（注：月利润=月收入总额-月支出费用） x（人） … 500 1000 1500 2500 3000 … y（元） … 750 1500 … A．2000元 B．3000元 C．3600元 D．4000元 5．（21-22九年级下·浙江台州·期末）有甲乙两个长方体的蓄水池，将甲池中的水以每小时立方米的速度注入乙池，甲乙两个蓄水池中水的高度（米）与注水时间（小时）之间的函数图象如图所示，若要使甲乙两个蓄水池的蓄水量（指蓄水的体积）相同，则注水的时间应为 ． 6．（23-24八年级上·浙江金华·期末）甲、乙两家快递公司关于普通小件物品的收费标准如下表： 及以内 超过的部分 甲 8元 （不足按计） 乙 6元 设邮件的质量为，甲、乙两公司的快递费分别为元，元． （1）若，则x的取值范围为 ． （2）若，则x的取值范围为 ． 7．（20-21八年级上·浙江温州·期末）某饮料厂生产一种饮料，经测算，用1吨水生产的饮料所获利润y（元）与1吨水的买入价x（元）的关系如下表： 1吨水的买入价x（元） 2 4 6 8 10 利润y（元） 202 200 198 196 194 当1吨水生产的饮料所获的利润为197元时，买入10吨水共需 元． 8．（20-21八年级上·浙江衢州·期末）很多城市的网约车按里程收费：在一定的里程内按定额收费（起步价），超出规定里程部分按与超出里程的整千米数（不足1km的按1km计算）成正比例收费．江山市某网约车的起步价里程为2km，起步价为6元（不计等待时间）．小明一次在该市乘车，从计费表上看到乘车里程和车费分别为4km，10元．如果你在该市乘坐某网约车的乘车里程为5km，那么需付车费 元． 期末重难突破练（测试时间：15分钟） 1．（2024年浙江省金华市东阳市中考二模数学试题）小聪家购买了一辆新能源汽车，该汽车的基本配置为：电池容量为，支持快速充电功能，快速充电功率为．图①为汽车仪表盘的一部分，有关充电小常识如表②所示． 表② 新能源汽车小常识： 1.新能源汽车充电有个简单的公式： 充电量() =充电功率() ×充电时间 2.电动汽车电池剩余20%电量时，提示充电状态，此时电量灯显示为黄色 已知该新能源汽车在满电量状态下行驶过程中仪表盘行驶里程y(千米)与显示电量的部分数据如下表：(不考虑续航缩水问题) 已知该新能源汽车在满电量状态下行驶过程中仪表盘行驶里程y(千米)与显示电量的部分数据如下表：(不考虑续航缩水问题) 汽车行驶过程 已行驶里程y(千米) 0 200 300 350 显示电量 100 60 40 30 (1)在直角坐标系中，通过描点判断y与x之间的函数关系，并求出该函数表达式． (2)请问该汽车在满电状态行驶多少公里时，电量灯开始变成黄色？ (3)已知小聪爸爸驾驶该新能源汽车在满电量的状态下出发，前往600千米处的目的地，行驶240千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时长后继续行驶，到达目的地时仪表盘显示电量为，求该汽车在服务区充电的时长． 2．（2024年浙江省舟山市普陀区初中毕业生学业水平适应性考试数学试题）某跨海大桥东西走向，双向四条车道，在旅游旺季经常拥堵，交警部门为了缓解交通压力，他们对该路段的汽车流量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，得到以下表格，发现时间和汽车流量的变化规律符合一次函数的特征． 时间x 8时 11时 14时 17时 20时 自东向西交通量（辆/分钟） 200 320 440 560 680 自西向东交通量（辆/分钟） 500 440 380 320 260 (1)请用一次函数分别表示与x、与x之间的函数关系． (2)如图，交警希望启用“潮汐式”通行方式来缓解交通压力，根据汽车流量情况改变车道的行车方向：大流量方向的汽车可在该路段借用相邻的对向机动车道通行，对向机动车道实行双向通行．单位时间内交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使用“潮汐式”通行方式以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置“潮汐式”通行方式以缓解交通拥堵（在何时间段借用何方向机动车道通行），并说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 一次函数与实际问题（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 分配方案问题 能从实际分配情境（如物资调配、人员安排）中构建一次函数模型，列出变量限制条件，求解可行方案并确定最优方案 高频综合考点，多以解答题形式考查，需结合不等式确定自变量范围，常要求列举所有可行方案 最大利润问题 能根据成本、售价、销量的关系构建利润的一次函数表达式，结合自变量的实际取值范围，利用函数增减性求最大利润 易错重点题型，解答题为主，需注意自变量的正整数限制，常与不等式结合考查 行程问题 能以时间为自变量，构建路程（或距离）的一次函数模型，分析追及、相遇、往返等情境中的等量 / 不等关系 基础综合题型，小题、解答题均有涉及，常结合函数图像考查 “交点的实际意义” 阶梯计费问题 能识别分段计费的临界点，分区间构建一次函数表达式，解决费用计算、方案比较等问题 高频基础题型，小题、解答题均会出现，易混淆不同分段的函数关系，需明确区间范围 图表信息提取 能从函数图像、表格中提取自变量、因变量的对应关系，构建一次函数模型，解决求值、分析趋势等问题 基础必考点，小题为主，侧重考查数形结合能力，需准确解读横纵轴的实际意义 知识点01 一次函数应用问题的求解思路 1）建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质求解； 2）在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图像求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点； 3）分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图像，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 知识点02 利用一次函数的图像解决实际问题的一般步骤 1）观察图像，获取有效信息； 2）对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； 3）选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题. 【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围. 题型一 分配方案问题 解｜题｜技｜巧 方案的选取就是在自变量的不同取值范围内比较多个函数值的大小，同时也是利用一次函数解决实际问题的典型题目，它的实质是将比较函数值大小的问题转化为解方程或解不等式的问题. 1．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）课题学习 已知竹木工厂生产一种产品，该产品售价为1000元/套，原材料成本价为550元/套（含设备损耗等），但在生产过程中平均每生产一套产品产生1吨废水．并且为了达到国家环保要求，工厂需要对废水进行脱硫、脱氮等处理工作．现有两种处理废水的方案可供选择： 方案一：由工厂直接处理，费用为50元/吨，并且每月需额外支出设备维护及损耗费为20000元； 方案二：由废水处理厂统一处理，费用为150元/吨． 请你为该厂设计根据月生产量选择废水处理的方案，使得既达到环保要求，又获得最高利润（可设每月生产了套产品，获得了元的月利润）． 【答案】，二种方案均可；，选择方案二利润更高；，选择方案一利润更高 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意；由题意易得方案一的利润为，方案二的利润为，然后可分，，，进而分类求解即可． 【详解】解：根据题意可得： 方案一的利润为： ，得； 方案二的利润为： ，得． ∵当时， ，解得； 当时，，解得； 当时，，解得． ∴当时，二种方案均可；当时，选择方案二利润更高；当时，选择方案一利润更高． 2．（2024·山东东营·中考真题）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元． (1)求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？ (2)经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值． 【答案】(1)购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元； (2)方案为购买型公交车辆，型公交车辆时．线路的年均载客总量最大，最大在客量为万人． 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式及一次函数的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组及一次函数是解题的关键． （1）设购买型公交车每辆需万元，购买型公交车每辆需万元，根据“购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元”列出方程组解决问题即可； （2）设购买型公交车辆，则型公交车辆，由“公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元”列出不等式求得的取值，再求出线路的年均载客总量为与的关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元， 由题意得：， 解得， 答：购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元； （2）解：设购买型公交车辆，则型公交车辆，该线路的年均载客总量为万人， 由题意得， 解得：， ∵， ∴， ∵是整数， ∴，，； ∴线路的年均载客总量为与的关系式为， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，线路的年均载客总量最大，最大载客量为（万人次） ∴（辆） ∴购买方案为购买型公交车辆，则型公交车辆，此时线路的年均载客总量最大时，且为760万人次， 3．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）某校八年级举行数学知识应用竞赛，购买A，B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别为元和元．根据竞赛设奖情况，需购买两种笔记本共本，并且购买A笔记本的数量要少于B笔记本数量的，但又不少于B笔记本数量的，设买A种笔记本x本，买两种笔记本的总费用为W元． (1)写出W（元）关于x（本）的函数关系式，并求出自变量x的取值范围． (2)若商场正在进行促销活动，A种笔记本每本降价a元，B种笔记本价格不变，请你帮学校设计购买方案，使所花费用最省？并求出最少费用． 【答案】(1)，； (2)详情见详解 【分析】（1）本题考查求一次函数的解析式及自变量取值范围，根据费用等于单价乘以数量列式求解结合数量不等关系列不等式即可得到答案； （2）本题考查一次函数的性质，分类讨论的取值，结合一次函数的性质求解即可得到答案； 【详解】（1）解：根据题意得：，   即，且，   解得：， 答：W关于x的函数关系式为：，自变量x取值范围为：； （2）解：根据题意得， （且x为正数）， 又∵，   ∴， 当即时，W随着x的增大而减小，当时，， 当即时，W为定值， 当即时，W随着x的增大而增大，当时，， 答：当时，应购买A笔记本8本，B笔记本本， 当时，A笔记本可以为8，9，，本，B笔记本对应为，，，本，当时，应购买A笔记本本，B笔记本本． 4．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）为打造“书香校园”，学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本． (1)请问符合题意的组建方案有哪几种? (2)若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明（1）中哪种方案费用最低?最低费用是多少元? 【答案】(1)有三种组建方案：方案一，组建中型图书角18个，小型图书角12个；方案二，组建中型图书角19个，小型图书角11个；方案三，组建中型图书角20个，小型图书角10个 (2)方案一费用最低，最低费用是22320元 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一次函数的实际应用，解答本题的关键是正确找到题目中的不等关系，列不等式组求得方案的个数． （1）设组建中型图书角个，则组建小型图书角为个．根据不等关系：科技类书籍不超过1900本；人文类书籍不超过1620本．列不等式组，进行求解； （2）此题有两种方法：方法一：因为总个数是不变的，所以费用少的越多，总费用越少；方法二：分别计算（1）中方案的价钱，再进一步比较． 【详解】（1）解：设组建中型图书角个，则组建小型图书角为个． 由题意，得 解这个不等式组，得 由于只能取整数， ∴的取值是． 当时，； 当时，； 当时，． 故有三种组建方案： 方案一，组建中型图书角18个，小型图书角12个； 方案二，组建中型图书角19个，小型图书角11个； 方案三，组建中型图书角20个，小型图书角10个． （2）方法一：令总费用为w，则 ， ∴当取最小值18时，总费用最低，最低费用是元． ∴组建中型图书角18个，小型图书角12个，总费用最低，最低费用是22320元． 方法二：方案一的费用是： (元)； 方案二的费用是：(元)； 方案三的费用是：(元)． 故方案一费用最低，最低费用是22320元． 5．（21-22八年级上·浙江杭州·期末）从某地运送180箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大、小货车共18辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大、小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A、B两村的运费如下表： 目的地车型 A村（元/辆） B村（元/辆） 大货车 700 800 小货车 400 600 (1)这18辆车中大、小货车各多少辆？ (2)现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A、B两村总费用为y元，试求出y与x的函数表达式； (3)在（2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于108箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用． 【答案】(1)大货车9辆，小货车9辆 (2) (3)7辆大货车、3辆小货车前往村；2辆大货车、6辆小货车前往村可使总费用最少．最少费用为11300元 【分析】（1）设大货车用辆，小货车用辆，根据大、小两种货车共18辆，运输180箱鱼苗，列方程组求解； （2）设前往村的大货车为辆，则前往村的大货车为辆，前往村的小货车为辆，前往村的小货车为辆，根据表格所给运费，求出与的函数关系式； （3）结合已知条件，求的取值范围，由（2）的函数关系式求使总费用最少的货车调配方案． 【详解】（1）解：设大货车辆，小货车辆， 根据题意得：， 解得：， 大货车用9辆，小货车用9辆； （2）解：设前往村的大货车为辆，则前往村的大货车为辆，前往村的小货车为辆，前往村的小货车为辆， 根据题意得：， 与的函数解析式为，，且为整数； （3）解：由题意得：， 解得：， 又， 且x为整数， ， ，随的增大而增大， 当时，最小，最小值为， 答：使总费用最少的调配方案是：7辆大货车、3辆小货车前往村；2辆大货车、6辆小货车前往村．最少费用为11300元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用．关键是根据题意，得出安排各地的大、小货车数与前往村的大货车数的关系． 题型二 最大利润问题 答｜题｜模｜板 一次函数中的自变量x的取值范围是全体实数，其图像是一条直线，所以函数既没有最大值，也没有最小值，但由于在实际问题中，所列函数表达式中自变量的取值范围往往有一定的限制，所以函数图像为线段或射线，故函数就有了最值.在求函数的最值时，我们应先求出函数的表达式，并确定其增减性，再根据题目条件确定出自变量的取值范围，然后结合增减性确定出最大值或最小值. 6．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建，两种光伏车棚．已知修建个A种光伏车棚需投资万元，个种光伏车棚需投资万元，若修建，两种光伏车棚共个，要求修建的种光伏车棚的数量不少于修建的种光伏车棚数量的倍．设修建种光伏车棚个，修建车棚总费用为万元． (1)求出（万元）关于（个）的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)修建多少个种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 【答案】(1)（万元）关于（个）的函数关系式是（且为整数） (2)修建个种光伏车棚时，可使投资总额最少，最少投资总额为万元 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据题意和题目中的数据，可以写出（万元）关于（个）的函数关系式，然后根据要求修建的种光伏车棚的数量不少于修建的种光伏车棚数量的倍．可以得到的取值范围； （2）根据（1）中的结果和一次函数的性质，可以求得的最小值，以及此时的值． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∵要求修建的种光伏车棚的数量不少于修建的种光伏车棚数量的倍． ∴， 解得：， 即（万元）关于（个）的函数关系式是（且为整数）； （2）解：由（1）知：， ∴随的增大而增大， ∵且为整数， ∴当时，取得最小值，此时， 故修建个种光伏车棚时，可使投资总额最少，最少投资总额为万元． 7．（24-25八年级上·浙江金华·期末）“13度的甜，14度的鲜”，杨梅是本地区重要农业经济产业，杨梅正成为兰溪乃至金华的“共富果”．根据提供的材料解决问题． 材料一 内容 某商贸公司经销甲、乙两个品种的杨梅，甲种杨梅进价为16元/斤；乙品种杨梅的进货总金额y（单位：元）与乙品种杨梅的进货量x（单位：斤）之间的关系如图所示，经过试销，在H城市销售甲、乙两个品种杨梅的售价分别为20元/斤和25元/斤． 材料二 某日，该商贸公司收购了甲、乙两个品种的杨梅共1000斤，其中乙品种的收购量不低于200斤，且不高于500斤． 材料三 杨梅运到H城市，商场发现顾客对甲、乙两个品种杨梅都很喜欢，于是决定把两种杨梅按同样的价格销售，并适当让利给消费者． 任务一 （1）已知，，求图中直线的函数表达式． 任务二 （2）若从收购点运到商场的其他各种费用还需要1800元，收购的杨梅能够全部卖完，设销售完甲、乙两个品种的杨梅所获总利润为w元（利润销售额成本）．求出w（单位：元）与乙品种杨梅的进货量x（单位：斤）之间的函数关系式，并为该商贸公司设计出获得最大利润的收购方案． 任务三 （3）在任务二获得的最大利润的基础上，商场把最大利润的让利给购买者，那么按同样的价格销售的杨梅的销售价应定为多少元？（结果保留整数） 【答案】（1） （2），甲杨梅的进货量为500斤，乙杨梅的进货量为500斤 （3）销售价应定为：22（元/斤） 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，一次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法进行求一次函数的解析式，即可作答． （2）根据甲、乙两个品种的杨梅共1000斤，其中乙品种的收购量不低于200斤，且不高于500斤，得出，且，再结合一次函数的性质进行作答即可． （3）先算出甲乙两个品种的杨梅获得的利润以及甲乙品种杨梅的进货总金额，从而得出总成本，再除以总数量，即可作答． 【详解】解：（1）依题意，设直线的函数表达式为， 把，代入， 得， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）依题意，乙品种杨梅的进货量x斤，则甲品种杨梅的进货量斤， ∵乙品种的收购量不低于200斤，且不高于500斤． ∴， 由（1）得， 则， ∵， ∴随的增大而增大， ∵， ∴当时，最大，最大值为， （斤）， 即甲杨梅的进货量为500斤，乙杨梅的进货量为500斤时获得的利润最大； （3）∴甲乙两个品种的杨梅获得的利润是（元）， 则乙品种杨梅的进货总金额是（元）， 甲品种杨梅的进货总金额是（元）， ∴总成本为（元）， ∴混合销售杨梅的销售价应定为（元）． 8．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）“书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，我市某书店同时购进，两类图书，已知购进3本类图书和4本类图书共需192元；购进6本类图书和2本类图书共需240元． (1)，两类图书每本的进价各是多少元？ (2)该书店计划恰好用元来购进这两类图书，设购进类本，类本． ①求关于的关系式． ②进货时，类图书的购进数量不少于500本，已知类图书每本的售价为38元，类图书每本的售价为30元，如何进货才能使书店所获利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1)，两类图书每本的进价分别为32元，24元 (2)①，②当购进类图书501本，类图书1332本时，书店所获利润最大，最大利润为10998元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用， （1）设类图书每本的进价是a元，B类图书每本的进价是b元，根据“购进3本类图书和4本类图书共需192元；购进6本类图书和2本类图书共需240元．”列出方程组，即可求解； （2）①根据“用元全部购进两类图书，”列出方程，再变形，即可求解；②设书店所获利润为w元，根据题意，列出W关于x函数关系式，再根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设，两类图书每本的进价分别为元，元． ，解得 答：，两类图书每本的进价分别为32元，24元． （2）①依题意；   ∴ ②解得 设利润为元． 因为小于0，所以随的增大而减小， 当取501时， ， 所以当购进类图书501本，类图书1332本时，书店所获利润最大，最大利润为10998元． 9．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）某商场计划从厂家购进、两款衣服共100件，这两款衣服的进价和售价如下表．设购进款衣服件，商场总利润为元． 品名 进价（元/件） 90 75 售价（元/件） 120 100 (1)求关于的函数关系式； (2)厂家规定的进货数量不得超过进货数量的两倍，问应如何设计进货方案才能获得最大利润并求出最大利润； (3)为进一步激励销人员，商场准备实施奖励计划，每卖出一件衣服奖励元，每卖一件衣服奖励元，结果发现：若100件衣服均按原定售价卖完，无论购进商品多少件，商场利润恒为2000元，求、的值． 【答案】(1) (2)购进的进货件，的进货件时，销售完这批衣服时获利最多，此时利润为元． (3) 【分析】（1）根据题意可得利润等于两种服装的利润之和列函数关系式求解即可； （2）根据题意列不等式，求出的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出获利的最大值． （3）根据商场准备实施奖励计划，每卖出一件衣服奖励元，每卖一件衣服奖励元，可得，再利用函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：设购进款衣服件，商场总利润为元． ∴款衣服件， 根据题意，得； （2）解：由题意：的进货数量不得超过进货数量的两倍， 得：， 解得：， ∵为整数， ∴的最大值为， ∵， 随的增大而增大， 当时，有最大值， 最大值为：， 种衣服的数量为：， 答：购进的进货件，的进货件时，销售完这批衣服时获利最多，此时利润为元． （3）解：∵商场准备实施奖励计划，每卖出一件衣服奖励元，每卖一件衣服奖励元， ∴， ∵100件衣服均按原定售价卖完，无论购进商品多少件，商场利润恒为2000元， ∴， 解得：， 【点睛】本题考查的是一次函数的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的性质，二元一次方程组的应用，理解题意是解本题的关键． 10．（22-23九年级上·浙江温州·开学考试）瓯柑是温州的传统特产，其栽培历史约有二千四百年，被列为历代朝廷贡品，民间素有“端午瓯柑似羚羊”之称．瓯海区某经销店购进一批重量相等的“大果”，“中果”两种大小的瓯柑，其中购进大果元，购进中果元，每千克大果比中果贵元． (1)求大果，中果的进价； (2)售罄后该经销店准备再次购进两种瓯柑共千克，拟投入的资金不超过元．重阳节将至，该店将千克大果和千克中果以进价回馈给老人，剩余大果以的利润率进行销售，中果以元进行销售．若这批瓯柑能全部售出，获得的最大利润是元，求的值． 【答案】(1)大果进价为每千克元，则中果进价为每千克元 (2) 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程与不等式． （1）设大果进价为每千克元，则中果进价为每千克元，再根据题意列出方程求解即可； （2）设该经销店再次购进大果千克，中果千克，根据其投入的资金不超过元，建立不等式求解，可求得的取值范围，再列出关于利润的一次函数，根据一次函数的增减性，以及的取值范围求解即可． 【详解】（1）解：设大果进价为每千克元，则中果进价为每千克元， 根据题意得：， 解得， 经检验是原方程的根， 此时， 答：大果进价为每千克元，则中果进价为每千克元； （2）解：设该经销店再次购进大果千克，中果千克， 投入的资金不超过元， ， 解得， 该店将千克大果和千克中果以进价回馈给老人后大果剩余千克，中果剩余千克， 设这批瓯柑能全部售出，获得的利润为元， 根据题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，最大值，最大值为， ， 解得． 题型三 行程问题 11．（24-25八年级下·浙江台州·期末）小明和爸爸周末前往游泳馆进行游泳训练，他们都在长为的笔直泳道进行匀速往返游泳．起点和终点分别为泳道两端，两人同时从起点出发，到达终点后，立即转身游向起点，到达起点后，又立即转身游向终点……已知爸爸游泳的速度大于小明游泳的速度．训练过程中，父子间的距离和游泳时间的部分图象如图所示： (1)爸爸的速度为_______，小明的速度为______；点代表的实际意义是：______： (2)求线段的函数解析式； (3)在15分钟内，两人一共相遇_______次． 【答案】(1)1；；经过秒，小明和爸爸第一次相遇 (2) (3)16 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是能从函数图象中获取有用的信息． （1）由图象可知，由图象可知，爸爸用游了,此时小亮在爸爸后面,即小亮用游了,即可求出爸爸的速度和小亮的速度，求出B的坐标，即可知点B的意义； （2）求出点B，点C坐标，再用待定系数法可得的函数表达式； （3）由两人每经过，即可相遇一次，列式计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由图象可知，爸爸用游了,此时小亮在爸爸后面,即小亮用游了, ∴爸爸的速度为，小亮的速度为， ， ∴点B表示：经过,小明和爸爸第一次相遇； （2）解：由（1）知点B坐标为， 点C处为小明第一次到达终点，所需时间为：, 此时两人之间距离为：, ∴点C坐标为， 设段函解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴段函解析式为； （3）解：由（1）可知，两人每经过即可相遇一次， ， 在15分钟内，两人一共相遇16次； 12．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）年舟山群岛马拉松，吸引了来自个国家和地区的约名运动员参与，以“向海风许愿，在山海相见”为主题，展现了舟山“海上花园城”的独特魅力，促进了国际间的体育和文化交流．甲、乙两名业余选手参加了本次比赛，两人同时到达第一个补给点，乙在第一个补给点停留了一段时间．从第一个补给点到终点过程中，甲、乙两名选手距离第一个补给点的路程s（）与时间t（）之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题： (1)直接写出乙在第一个补给点停留的时间与图中m的值． (2)在这段过程中，甲、乙两人的速度分别是多少？ (3)乙经过第一个补给点后多长时间，甲乙两名选手相距？ 【答案】(1)， (2)甲的速度为，乙的速度为 (3)或或或 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，行程问题，从函数图象上有效地获取信息是解题的关键． （1）根据图象信息即可求得乙在第一个补给点停留的时间及m的值； （2）结合图象中的数据和速度公式即可计算出甲、乙两人的速度； （3）根据（2）中的数据和待定系数法可求出和的解析式，结合题意分情况讨论，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，乙在第一个补给点停留的时间为， 由直线可得，， 当时，； （2）由（1）得， ∵直线过点， ， ∴， ∴甲的速度为，乙的速度为； （3）由（2）可得，直线的解析式为：， 直线的解析式为：， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，乙经过第一个补给点后或或或，甲乙两名选手相距． 13．（24-25八年级上·浙江·期末）一辆大客车和一辆小轿车沿同一公路同时从甲地出发去乙地，图中折线 和线段分别表示小轿车和大客车离开甲地的路程与时间的关系，其中小轿车往返的速度相同．请结合图象解答下列问题： (1)分别求出小轿车和大客车速度； (2)点为与的交点，试求点的坐标，并说明点所表示的实际意义； (3)求出发后经过多少小时两车相距？ 【答案】(1)小轿车的速度为：，大客车的速度为：； (2)，两车出发小时后相遇，此时两车距离甲地； (3)小时或小时或小时 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键． (1)分别根据速度路程时间计算即可； (2)根据路程速度时间分别写出线段、所在直线的函数关系式，列关于和的二元一次方程组并求解，从而得到点的坐标并写出其实际意义即可； (3)根据路程速度时间分别写出线段所在直线的函数关系式，按照的取值范围，当两车相距列关于的方程并求解即可． 【详解】（1）解：由图象可得， 小轿车的速度为：， 大客车的速度为：． （2）解：线段所在直线的函数关系式为， 线段所在直线的函数关系式为， 根据题意，得， 解得， 点的坐标为，其实际意义表示小轿车于出发后小时在从乙地返回甲地的途中与大客车相遇，此时两车距离甲地． （3）解：所在直线的函数关系式为， 小轿车离开甲地的路程与时间的函数关系式为 ， 当，两车相距时，得，解得； 当，两车相距时，得，解得(舍去)； 当，两车相距时，得，解得或； ∴出发后经过或或两车相距． 14．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）某日上午，甲、乙两车先后从地出发沿同一条公路匀速前往地（此公路全程速度限定为不超过），地与地的距离为．甲车在上午7点离开地，以的速度向地匀速行驶（途中不停靠）．设甲车行驶的时间为，行驶路程为． (1)写出关于的函数表达式，并求出甲车到地所需的时间． (2)已知乙车在当天上午8点出发，以的速度向地匀速行驶（途中也不停靠），请判断甲、乙两车谁先到达地，并说明理由． 【答案】(1)，甲车需要5个小时到达地； (2)乙车先到达地，见解析 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，掌握速度，路程，时间之间的关系是解题的关键． （1）根据路程速度时间写出s关于t的函数表达式，将代入该函数解析式，列出关于t的方程并求解即可； （2）根据时间路程速度求出乙车到B地所需的时间，根据两车出发时的时间分别求出各自到达B地时的时间，从而判断甲、乙两车谁先到达B地． 【详解】（1）解：，当时， 解得：， 所以甲车需要5个小时到达地； （2）解：甲车在当天中午12点到达地， 乙车的行驶时间：小时小时， 所以乙车在中午12点前到达地， 所以乙车先到达地． 15．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）物理实验课上，小明做“小球反弹实验”，如图①所示，光滑桌面长为．小球P与木块Q同时从点A出发向B沿直线路径始终保持匀速运动（小球P和木块Q大小厚度忽略不计），速度较快的小球P到达B处的挡板l后被弹回（忽略转向时间），沿原来路径和速度返回，遇到木块Q后又被反弹向挡板l，如此反复，直到木块Q到达l，同时停止运动．设小球P的运动时间为，木块Q与小球之间的距离为，图②是y与t的部分函数关系图象，结合图象回答下列问题． (1)小球P第一次到达挡板l的时间是_____s，小球P的速度为_____，木块Q的速度为_____． (2)小球P第一次从挡板l返回到与木块Q第一次相遇（实验开始时小球和木块在同一起点，不视为相遇），求出该过程中y关于t的函数关系式． (3)若小球P每一次反弹后的速度与第一次弹回时的速度保持一致，在整个运动过程中，当小球P与木块Q距离为时，直接写出t的值． 【答案】(1)，， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，观察函数图象，可得，小球P第一次到达挡板l的时间是，进而可得小球P的速度为，故可判断得解； （2）依据题意，观察函数图象，得到当a秒时，小球P与木块Q所运动的距离为桌面长的2倍，结合（1）中小球P与木块Q的速度，列式先求出a的值，利用待定系数法即可解答； （3）依据题意，先求出小球P运动前的函数关系式，然后把代入解析式和（2）中解析式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，观察函数图象，可得， 小球P第一次到达挡板l的时间是， ∴小球P的速度为， 由题意，， 又， ∴； 故答案为：24，10，6； （2）解：由题意，， 设小球P第一次返回时，， 将，代入得，， 解得， ∴； （3）解：由题意，设小球P运动前的函数关系式为， ∵函数过， ∴， ∴， ∴此时函数为， 又令， ∴， 又当小球运动到后，结合（2）函数关系式为， ∴令， 解得， 综上，当小球P与木块Q距离为时，或． 题型四 阶梯计费问题 16．（25-26八年级上·广东茂名·期中）为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量 单价/(元) 第一档 第二档 第三档 (1)当时，写出水费(单位：元)与之间的关系式； (2)某户一年用水量是，求该户这一年的水费； (3)某户去年一年的水费是元，求该户去年一年的用水量． 【答案】(1)当时， (2) (3) 【分析】本题主要考查分段函数的运用，理解表格中每档的费用，正确列式求解是关键． （1）根据题意得到第一档的费用，结合分段函数列式求解即可； （2）根据得到某用户的用水量处于第二档，代入计算即可求解； （3）根据题意得到该用户的用水量处于第二档，将代入（1）中关系式即可求解． 【详解】（1）解：第一档的水费为（元）， 第二档的水费为， ∴水费（单位：元）与之间的关系式为：； （2）解：当某户一年用水量是时，处于第二档， 当时，（元）； （3）解：当时，水费为（元）， ∵， ∴该户去年一年的用水量在第二档， 当时，， 解得， ∴该户去年一年的用水量为． 17．（25-26八年级上·广东深圳·期中）为鼓励居民合理用电，广东某市电力公司对居民用户采取分月用电量分档收费办法（按夏季和非夏季区分），下表1是某户居民某月电费发票的部分信息： 表1                                                      表2 ××居民电费专用发票 （非夏季标准：1~4月、11~12月） x 0 y 0 m 计费期限：一个月    用电量x（度） 电价（元/度） 第一档： 第二档： 第三档： 本月实付金额：（元） （大写）壹佰叁拾叁元零角 根据以上提供的信息解答下列问题： (1)如果月用电量用x（度）来表示，实付金额用y（元）来表示，则当时，y与x之间的函数关系式为 ． (2)根据（1）中函数关系式，列出y与x的几组对应值（如表2），其中 ，并在平面直角坐标系中，根据表2中的数值描点，在图3中画出该函数的图象． (3)当时，y与x之间的函数关系式为 ；根据表中该用户的本月实付金额，计算该用户本月的实际用电量为 度． 【答案】(1) (2)，图象见解析 (3)， 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是要根据用电量的多少分阶梯求出实付电费与用电量之间的函数关系． （1）当时，根据表中数据，可得到y与x的函数关系式； （2）根据解析式求出m的值，再根据表2中的数值描点，连线画出函数图象；； （3）当时，成一次函数关系，实付金额等于度内的用电付出金额与超出度的用电付出金额的和，然后即可得到y与x的函数关系式；先计算出元的用电量超出度，然后把实付金额代入函数关系式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：依题意得，当时， y与x之间的函数关系式为． 故答案为：． （2）解：由（1）知，当时，． 故答案为∶； 描点，连线画出函数图象∶ （3）解：当时，； 当时，， 解得． 该用户本月的实际用电量为度． 故答案为∶；． 18．（21-22七年级上·浙江杭州·期中）某通讯公司推出以下收费套餐，小明选择了套餐 ，小王选择了套餐，设小明的通话时间为分钟，小王的通话时间为分钟． 月租费元月 不加收通话费时限分 超时加收通话费标准元分 套餐 套餐 （1）请用含、的代数式表示小明和小王的通话费用． （2）若小明月份通话时间为分钟．小王通话费用和小明相同，求小王通话时间． （3）若小明和小王月份通话时间和通话费用都一样，求通话时间． 【答案】（1）当时，；当时，；当时，；当时，；（2）500分钟；（3）小明和小王月份通话时间和通话费用都一样，通话时间为分钟 【分析】（1）设小明的通话费用为元，小王的通话费用为元，根据题意可得：当时，；当时，；当时，；当时，，即可求解； （2）根据，可得小王通话费用为，再由小王通话费用和小明相同，即可求解； （3）根据小明和小王月份通话时间和通话费用都一样，分三种情况讨论，即可求解． 【详解】解：设小明的通话费用为元，小王的通话费用为元， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ， ∴小王通话费用为， ， ， 解得：； 当时，， 当，，， ， 解得， 当时，，， ， 解得：（舍去）． 小明和小王月份通话时间和通话费用都一样，通话时间为分钟． 【点睛】本题主要考查了列函数关系式，一次函数的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． 19．（23-24七年级上·山东济宁·期末）打车软件的出现很大程度上方便了我们的生活，其中“滴滴出行”是全球最大的站式多样化出行渠道．现了解到2023年“滴滴快车”普通时段的最新收费标准如表： 里程/千米 收费/元 2千米以下（含2千米） 起步价 2千米以上，每增加1千米 (1)设行驶的里程数为x（千米），“滴滴快车”的，时收费（元），时收费为（元），请写出关于x的函数关系式； (2)若小明家离图书馆6千米，他身上仅有20块钱，则他乘坐“滴滴快车”从家到图书馆的车费是否够用？请说明理由． 【答案】(1) (2)够用．理由见解析 【分析】本题考查一次函数的应用，写出变量之间的函数关系式是解题的关键． （1）根据题意和表格中的数据，可以写出“滴滴快车”的收费关于x之间的函数关系式； （2）将代入相应的函数解析式，求出所需的费用，然后与20比较大小，即可解答本题． 【详解】（1）解：由题意可得， 当时，， （2）解：够用．理由如下： 当时，， ∵， ∴他乘坐“滴滴快车”从家到图书馆的车费够用． 题型五 图表信息提取 20．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）数学项目化学习小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸如图1所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图2所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次性最多能转运2列长度均为2.8米的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题： (1)当辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为米，则与的关系式是______；是关于的一次函数吗？______．（填“是”或“不是”） (2)求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量； (3)若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有几种方案可供选择？请说明理由． 【答案】(1)；是 (2)最多可以运输18辆购物车 (3)共有4种运输方案：①扶手电梯运2次，直立电梯运3次；②扶手电梯运3次，直立电梯运2次；③扶手电梯运4次，直立电梯运1次；④扶手电梯运5次，直立电梯运0次 【分析】本题考查了一次函数的应用和一元一次不等式组的应用，解题的关键是列出函数解析式和不等式组． （1）根据“一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加”，列出函数关系式； （2）把代入解析式，求出n的值即可； （3）设用扶手电梯运输m次，直立电梯运输次，根据题意，求出m的取值范围即可． 【详解】（1）解：车身总长L与购物车辆数n的表达式为， 是关于n的一次函数， 故答案为：；是； （2）当时，， 解得：，（辆）， 答：最多可以运输18辆购物车； （3）有3种，设用扶手电梯运输m次，直立电梯运输次， 由（2）得：一次性最多可以运输16辆购物车， ， 解得：， 为正整数， ，3，4，5， ∴共有4种运输方案： ①扶手电梯运2次，直立电梯运3次； ②扶手电梯运3次，直立电梯运2次； ③扶手电梯运4次，直立电梯运1次； ④扶手电梯运5次，直立电梯运0次． 21．（2024八年级上·全国·专题练习）某小区的菜鸟驿站有揽收员甲负责扫描快递入库，派送员乙负责运送快递出库．仓库里原有快递200件，已知甲平均每小时扫描200件快递入库，甲工作2小时后，乙同时开始工作．又过了3小时，甲因故离开，乙按原速工作．仓库里的快递数量y（件）与时间x（小时）之间的关系如图： (1)点A的坐标为①___________，派送员乙平均每小时的送件量为②___________件． (2)分别求出和时，y与x之间的函数表达式． (3)若仓库里的快递数量不少于a件称作仓库“半饱和”，已知“半饱和”状态持续了小时，则a的值为 ___________件． 【答案】(1)①，②150 (2)， (3)650 【分析】本题考查一次函数的应用，正确读懂图象是解题的关键． （1）点的纵坐标原有快递量小时内入库的快递量，从而得到点的坐标；派送员乙在3小时内运送快递出库的数量原有快递量小时内新入库的快递量当时仓库内的快递量，再根据“派送员乙平均每小时的送件量派送员乙在3小时内运送快递出库的数量”计算即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）由可知，．当时，令，解得是时间段小时的起点；当时，令，解得是时间段小时的终点，根据终点起点列方程求出的值即可． 【详解】（1）解：①甲工作2小时后，仓库里的快递数量是（件， 点的坐标为． 故答案为：． ②派送员乙在3小时内运送快递出库的数量是（件， （件， 派送员乙平均每小时的送件量为150件． 故答案为：150； （2）解：当时，设与之间的函数表达式为， 将坐标和代入， 得， 解得， ． 派送员乙送750件需要的时间是（小时）， 当，则， 解得：， 函数图象与轴的交点坐标是． 当时，设与之间的函数表达式为 将坐标和代入， 得， 解得， ， 当时，得，解得， 与之间的函数表达式为． （3）解： ， ． 当时，， 解得； 当时，， 解得； ， 解得． 故答案为：650． 22．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）小唐家住在公交车站点A附近，他每天搭乘公交车前往位于站点D附近的学校上学．图1是公交站点A通往站点D的公交线路示意图，其中A，B，C，D是四个公交站点，B，C两站点相距1200米．小唐每天先沿公交线路步行至站点B或站点C，然后乘公交车上学． (1)星期一，小唐步行至站点B上车，记他到站点A的路程为s米，他离开站点A的时间为t分，s关于t的函数图象如图2所示，求对应的函数表达式及公交车的速度； (2)星期二，小唐以与星期一相同的出发时间和步行速度行至站点C上车，已知该路公交车每隔10分钟一班，公交车每天的始发时间和车速保持不变，乘客上下车的时间可忽略不计： ①试判断并说明小唐步行至站点C时，此时是否有公交车也恰好到达站点C； ②若小唐到达站点D所用的时间是星期一的1.5倍，求C，D两站点间的距离． 【答案】(1)，公交车的速度为600米/分 (2)①C，D两站点间的距离为3000米 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，理解题意，看懂图象并获取有用信息是解答的关键． （1）根据函数图象，求出小唐的速度和公交车的速度即可； （2）分别求得小唐和公交车到达C站点需要的时间，进而得时间差可求解； ②设C，D两站点间的距离为s米，根据“小唐到达站点D所用的时间是星期一的1.5倍”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设对应的函数表达式为， 将点代入，得，解得， ∴对应的函数表达式为； 公交车的速度为（米/分）； （2）解：①由题意，由题意，小唐的速度为（米/分）， ∴小唐到达C站点时所需时间为（分钟）， 公交车到达C站点所需要的时间为（分钟）， ∵（分钟）， ∴小唐步行至站点C时，此时是有公交车也恰好到达站点C； ②设C，D两站点间的距离为s米，则小唐星期一所用总时间为分钟，星期二所用总时间为分钟， ∵小唐到达站点D所用的时间是星期一的1.5倍， ∴， 解得， 答：C，D两站点间的距离为3000米． 23．（2024·浙江温州·二模）综合与实践：如何测算容器内装饰物的高度． 素材1：如图1，是一个瓶身为圆柱形的小口径容器，其高度为12cm，容器里面有一圆柱形装饰物，且这两个圆柱的底面积之比为． 素材2：为了测算该容器内圆柱形装饰物的高度，小羽以的速度向容器内匀速注水，在注水过程中，容器内水面高度h随时间t的变化规律如图2所示． (1)设注入水的体积为V（），容器底面积为S（），当时，请用两种不同的方式表示V： ①用含t的代数式表示V； ②用含S，h的代数式表示V． (2)求容器内圆柱形装饰物的高度． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查一次函数的应用： （1）①根据水流速度乘以流水时间可得结论；②根据圆柱底面积乘以高可得结论； （2）前6秒注入水的高度为h，后14秒注入水的高度为，先求出前6秒注入水的体积，再求出后14秒注入水的体积，得出，根据圆柱容器的高度为12可得 【详解】（1）解：根据图象可知，当流水注入时间为6秒时，水面与圆柱形装饰物齐平： ①∵水流的速度为，水流的时间为 ∴注入水的体积为： ②圆柱形的小口径容器底面积为S， ∵这两个圆柱的底面积之比为， ∴空余处的面积为，高度为h， ∵， ∴； （2）解：由图象知，溉注水时间为20秒时，圆柱形容器注满，高度为， 设前6秒注入水的高度为h，后14秒注入水的高度为， ∵这两个圆柱的底面积之比为， ∴空余处的面积为， ∴ ∴， ∴， 而 ∴ 解得， 即：容器内圆柱形装饰物的高度为 24．（2024·浙江宁波·一模）在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图甲所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为和．整个过程中，弹簧测力计读数F与圆柱体下降高度h的关系图象如图乙所示． (1)图乙中，点A对应状态 ，点B对应状态 ，（“状态”后填写图形序号） ， ； (2)已知弹簧测力计在状态③时显示的读数为，求圆柱体浸入水中的高度． 【答案】(1)②，④，，5 (2)圆柱体浸入水中的高度为 【分析】本题考查了函数图象，一次函数的应用．理解题意，从图象中获取正确的信息是解题的关键． （1）由图象可知，当圆柱体刚要浸入水中时，弹簧测力计的读数由开始减小，当圆柱体刚完全浸入水中时，弹簧测力计的读数减小至并保持不变，然后作答即可； （2）设的解析式为，待定系数法求得的解析式为，将代入得，可求，根据圆柱体浸入水中的高度为，计算求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，点A对应状态②，点B对应状态④， ，， 故答案为：②，④，，5； （2）解：设的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴（）， ∴圆柱体浸入水中的高度为． 25．（2024·陕西西安·一模）如图是小明“探究拉力与斜面高度关系”的实验装置，A、B是水平面上两个固定的点，用弹簧测力计拉着适当大小的木块分别沿倾斜程度不同的斜面（斜面足够长）斜向上做匀速直线运动，实验结果如图1、图2所示．经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力是高度的一次函数． (1)求出与之间的函数表达式；（不需要写出自变量的取值范围） (2)若弹簧测力计的最大量程是，求装置高度的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设与之间的函数表达式为，点代入计算即可． （2）根据一次函数的性质，列出不等式解答即可，本题考查了待定系数法，一次函数的性质，熟练掌握待定系数法，一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）设与之间的函数表达式为， 将点代入得： 解得： 所以与之间的函数表达式为． （2）当时，， 解得， 所以． 题型六 其它问题 26．（25-26九年级上·浙江台州·期中）在艺术创作中，“透视”是一种利用数学原理在平面上表现三维空间的方法，“灭点”是指在透视图中，原本平行的直线看起来会汇聚到一个点上．如图1，当我们站在笔直的公路上向远方看去，公路的两边虽然在现实中是平行的，但在图片中，它们看起来像是在远处相交于一个点，这个点就是“灭点”，它帮助我们感受空间的深度和立体感． 【问题探究】在现实中，某条公路的左右边界线互相平行．如图2，将该公路的透视图放置于某平面直角坐标系内，已知公路的左侧边界线经过点和，右侧边界线的函数表达式为，和相交于点，即点为灭点． （1）求左侧边界线的函数表达式； （2）求灭点的坐标； 【迁移应用】为满足艺术创作的需求，艺术家要对该画作进行调整：保持的位置不变，将向上平移个单位长度，使得灭点的纵坐标不小于6，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）；迁移应用： 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，涉及求出一次函数解析式，两直线的交点，一次函数的平移等知识． （1）利用待定系数法求的解析式即可． （2）联立两直线，求出点P的坐标即可． 迁移应用：由题意知平移后的函数表达式为，再联立两直线，求出点P的坐标，根据点P的纵坐标大于6列出关于C的一元一次不等式求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设左侧边界线的函数表达式为， 把和代入得：， 解得， 左侧边界线的函数表达式为； （2）解：联立，解得， 灭点的坐标为； 迁移应用：解：将向上平移个单位长度后得直线， 联立， 解得， 灭点的纵坐标不小于6， ， 解得， 的取值范围是． 27．（24-25八年级下·浙江台州·期末）某实践小组为了研究某种均匀材质的香烛（总长）的燃烧变化情况．点燃香烛后，每隔1分钟测量一次香烛剩余长度，获得数据如下表： 燃烧时间t（分钟） 0 1 2 3 4 剩余长度h（cm）（观察值） 在平面直角坐标系中，描出这些数据所对应的点，发现它们大致位于同一条直线上，于是可以用一次函数近似地刻画剩余长度与燃烧时间的关系． (1)利用这两组数据，求剩余长度与燃烧时间的函数解析式； 经比对发现，表中部分观察值不在中的函数图象上，存在偏差，当时，根据中的解析式可求得________，此时它与时观测值的偏差值若记为，则________． (2)小组决定优化一次函数解析式，减少偏差．（提示：衡量偏差的统计量记为，当取不同值时，所有的平方和为，其中越小，偏差越小）． 结合表格数据，利用（1）得到的函数解析式计算的值； 请确定优化后经过点的一次函数解析式，使得偏差最小． 【答案】(1) ；8， (2) ； 【分析】（1）设，根据待定系数法解答即可； 经比对发现，表中部分观察值不在中的函数图象上，存在偏差，当时，根据中的解析式可求得________，此时它与时观测值的偏差值若记为d，则________． （2）根据,得，，，，，根据定义计算解答即可． 设优化后解析式为，根据定义，计算，后配方，利用非负性，确定最小值解答即可． 本题考查了待定系数法，新定义，配方法，实数的非负性应用，熟练掌握等等洗发水，非负性，配方法是解题的关键． 【详解】（1）解：设， 根据题意，得， 解得， 故； 解：当时，，此时它与时观测值的偏差值记为d， 则， 故答案为：8，． （2）解：根据,得，，，，， 故． 设优化后的解析式为，由解析式过点，得， 故新解析式为， 根据题意，得，，，，， 故 而， 故当时，取得最小值， 此时， 解得， 故优化后的解析式为． 28．（24-25八年级上·浙江温州·期末）数学项目小组为解决由10根弹簧构成且成本不超过40元的弹簧拉力计设计问题，经调研，获得如下信息： 信息1 如图1，弹簧并联时，拉力计拉力等于每根弹簧拉力之和，，弹簧拉力与长度之间有关系式；测得弹簧拉力与长度的对应数据如下表： 弹簧长度 10 15 20 25 拉力 5 10 15 20 信息2 在弹性限度内，弹簧A，B伸长后最大长度均为．弹簧每根6元，弹簧每根3元． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： (1)在图2中，描出对弹簧测得数据的各对与的对应值为坐标的各点，并判断这些点是否在同一直线上． (2)求关于的函数表达式，并求出弹簧在弹性限度内的最大拉力． (3)如何购买A，B两种弹簧，在弹性限度内，使并联后的弹簧拉力计的拉力最大；并求出弹簧拉力计的最大拉力． 【答案】(1)见解析，这些点分布在同一直线上 (2)，弹簧B在弹性限度内的最大拉力是 (3)购买A弹簧3根、B弹簧7根使并联后的弹簧拉力计拉力最大（在弹性限度内），弹簧拉力计的最大拉力为 【分析】本题考查了画函数图象、一次函数的应用，正确求出一次函数解析式是解此题的关键． （1）先描点、再连线，即可得出函数图象； （2）利用待定系数法计算即可得出答案； （3）设弹簧A为m根，则弹簧B为根，根据最大拉力得到函数解析式，根据增减性解题即可． 【详解】（1）描点并连线如图所示： 由图象可知，这些点分布在同一直线上． （2）由（1）可知，与之间是一次函数关系， 设关于的函数表达式为为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得， 关于x的函数表达式为， 当时，， 弹簧B在弹性限度内的最大拉力是； （3）设购买A弹簧m根，则购买B弹簧根， 根据题意，得， 解得， 当时，， 随m的增大而增大， 且m为非负整数， 当时值最大，最大（根）． 答：购买A弹簧3根、B弹簧7根使并联后的弹簧拉力计拉力最大（在弹性限度内），弹簧拉力计的最大拉力为． 29．（2025·浙江台州·二模）如图1，甲、乙两个容器内都装了一定量的水，现将甲容器中的水匀速倒入乙容器中．如图2，线段、线段分别表示容器中水的深度（厘米）与倒入时间（分钟）的函数图象． (1)请说出点的纵坐标表示的实际意义； (2)求经过多长时间，甲、乙两个容器中水的深度相等． 【答案】(1)乙容器中原有的水的深度是 (2)2.5分钟 【分析】此题主要考查了一次函数的应用，正确得出两函数的交点坐标是解题关键． （1）直接利用函数图象得出点C的纵坐标的实际意义； （2）首先求出直线的解析式，进而求出其交点，即可得出答案． 【详解】（1）解：点的纵坐标表示的实际意义是乙容器中原有的水的深度是； （2）解：设直线的解析式为：， 把代入上式得， 解得 ； 设直线的解析式为：， 把代入上式得， 解得 ； 当时，，解得 分钟时，两容器内水的深度相等． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·浙江金华·期中）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶时间为小时，两车之间距离为千米，图中的折线表示与之间的函数关系．若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇，则第二列快车比第一列快车晚出发（　　） A．0.5小时 B．0.6小时 C．0.75小时 D．0.8小时 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．由图象可知，当慢车行驶4小时，慢车和快车相遇；慢车行驶900千米，用12小时，求出慢车的速度，根据行驶4小时，慢车和快车相遇，求出两车的速度之和，进一步求出快车速度，从而可得快车到达乙地所需时间；根据第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇，可求出两列快车之间的距离，从而得到两列快车出发的间隔时间． 【详解】解：由图象可知：甲、乙两地之间的距离是900千米， ∴当慢车行驶4小时，慢车和快车相遇，慢车行驶900千米，用12小时， ∴慢车的速度：（千米/小时）， ∵行驶4小时，慢车和快车相遇， ∴慢车和快车行驶速度之和为：（千米/小时）， ∴快车的速度：（千米/小时）， 快车到达乙地用时（小时）， ∵第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇， ∴当慢车与第二列快车相遇时，与第一列快车的距离是（千米）， 而此时慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离112.5千米， ∴两列快车出发的间隔时间：（小时）， ∴第二列快车比第一列快车晚出发0.75小时， 故选：C． 2．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，甲、乙两人分别骑自行车和摩托车，从同一地点沿相同的路线前往距离的某地．如图，分别表示甲、乙两人离开出发地的距离与行驶时间之间的函数关系．问乙出发（    ）后两人相遇． A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图像交点问题，根据图像求出两个函数的解析式，联立求解即可得到答案； 【详解】解：由图像可得， 设的解析式为：，的解析式为：， 将点，，代入得， ，， 解得：，， ∴的解析式为：，的解析式为：， 联立得， ， 解得：， ∴， 故选：C． 3．（20-21八年级上·浙江·单元测试）某通讯公司推出三种上网月收费方式．这三种收费方式每月所收的费用y（元）与上网时间x（时）的函数关系如图所示，下列判断错误的是（    ） A．每月上网不足25时，选择A方式最省钱 B．每月上网时间为30时，选择B方式最省钱 C．每月上网费用为60元，选择B方式比A方式时间长 D．每月上网时间超过70时，选择C方式最省钱 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的应用．ACD：根据图象可以直接判断；B：求出25小时之后A方式的函数关系式，令求出x的值与30进行比较，数形结合即可判断． 【详解】 解：A、由函数图象知，每月上网不足25小时，选择A方式最省钱．故A项正确． B、设25小时之后A方式的函数关系式为， 由题意可得，解得， ∴函数关系式为， 令，解得， ∴当每月上网时间为30小时，选择方式最省钱．故B项错误． C、由函数图象知，每月上网费用为60元，选择B方式比A方式时间长．故C项正确． D、由函数图象知，每月上网时间超过70小时，选择C方式最省钱．故D项正确． 故选：B． 4．（2021·浙江金华·一模）永康市某公交车月乘车人数x（人）与月利润y（元）的变化关系如下表所示，如果每位乘客的公交票价和此公交车月支出费用是固定不变的，那么此公交车每月的支出费用是（    ）（注：月利润=月收入总额-月支出费用） x（人） … 500 1000 1500 2500 3000 … y（元） … 750 1500 … A．2000元 B．3000元 C．3600元 D．4000元 【答案】B 【分析】根据表格可知乘车人数x（人）与月利润y（元）的一次函数变化关系，设每位乘客的公交票价为元，公交车每月的支出费用为b元，可得，把表格数据代入两组求出b即可解答． 【详解】解： 设每位乘客的公交票价为元，公交车每月的支出费用为b元，则， 依题意得： ， 解得：， 即此公交车每月的支出费用是3000元； 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数函数的应用，解决本题的关键是列出函数关系式． 5．（21-22九年级下·浙江台州·期末）有甲乙两个长方体的蓄水池，将甲池中的水以每小时立方米的速度注入乙池，甲乙两个蓄水池中水的高度（米）与注水时间（小时）之间的函数图象如图所示，若要使甲乙两个蓄水池的蓄水量（指蓄水的体积）相同，则注水的时间应为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的实际应用，首先由函数图象可知甲、乙两个函数图象经过的点的坐标，利用待定系数法分别求出两个函数的解析式，把两个解析式联立得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可求出注水的时间． 【详解】解：设甲蓄水池中水的高度（米）与注水时间（小时）之间的函数关系式为， 由函数图象可知，甲的函数图象经过点和， 可得：， 解方程组得：， 甲蓄水池中水的高度（米）与注水时间（小时）之间的函数关系式为； 设乙蓄水池中水的高度（米）与注水时间（小时）之间的函数关系式为， 由函数图象可知，乙的函数图象经过点，， 可得：， 解得：， 乙蓄水池中水的高度（米）与注水时间（小时）之间的函数关系式为， 解方程组， 可得：， 当注水小时，两个蓄水池的蓄水量相同． 6．（23-24八年级上·浙江金华·期末）甲、乙两家快递公司关于普通小件物品的收费标准如下表： 及以内 超过的部分 甲 8元 （不足按计） 乙 6元 设邮件的质量为，甲、乙两公司的快递费分别为元，元． （1）若，则x的取值范围为 ． （2）若，则x的取值范围为 ． 【答案】 4 【分析】本题考查一次函数的应用，先根据表格列出解析式，令解出答空1答案，在根据列不等式求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ，， 当时，， 解得：，故答空1答案为：4， 当时， ，解得：， 故答空2答案为：． 7．（20-21八年级上·浙江温州·期末）某饮料厂生产一种饮料，经测算，用1吨水生产的饮料所获利润y（元）与1吨水的买入价x（元）的关系如下表： 1吨水的买入价x（元） 2 4 6 8 10 利润y（元） 202 200 198 196 194 当1吨水生产的饮料所获的利润为197元时，买入10吨水共需 元． 【答案】70 【分析】根据表格可以求出y与x的关系式，将代入求出x的值，进一步计算即可． 【详解】设买入价x与利润y之间的函数关系式为：， 将，代入得： ， 解得：， 故：， 当代入得： ， 解得：， 即：1吨水的买入价为7元， 则买入10吨水共需元． 故答案为：70． 【点睛】本题考查了一次函数，根据表格求出一次函数的关系式是解题的关键． 8．（20-21八年级上·浙江衢州·期末）很多城市的网约车按里程收费：在一定的里程内按定额收费（起步价），超出规定里程部分按与超出里程的整千米数（不足1km的按1km计算）成正比例收费．江山市某网约车的起步价里程为2km，起步价为6元（不计等待时间）．小明一次在该市乘车，从计费表上看到乘车里程和车费分别为4km，10元．如果你在该市乘坐某网约车的乘车里程为5km，那么需付车费 元． 【答案】12 【分析】根据题意，设当时，车费（元）与里程（km）之间的函数关系式为，然后将（4，10）代入即可求出该函数关系式，然后代入x=5求出相应的函数值即为需付的车费． 【详解】根据题意，当时，设车费（元）与里程（km）之间的函数关系式为， 小明一次在该市乘车，从计费表上看到乘车里程和车费分别为4km，10元， ，解得， 即， 则当时，(元)， 即乘坐某网约车的乘车里程为5km时，需付车费12元， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式以及一次函数的实际应用，读懂题意，设出函数关系式是解答本题的关键． 期末重难突破练（测试时间：15分钟） 1．（2024年浙江省金华市东阳市中考二模数学试题）小聪家购买了一辆新能源汽车，该汽车的基本配置为：电池容量为，支持快速充电功能，快速充电功率为．图①为汽车仪表盘的一部分，有关充电小常识如表②所示． 表② 新能源汽车小常识： 1.新能源汽车充电有个简单的公式： 充电量() =充电功率() ×充电时间 2.电动汽车电池剩余20%电量时，提示充电状态，此时电量灯显示为黄色 已知该新能源汽车在满电量状态下行驶过程中仪表盘行驶里程y(千米)与显示电量的部分数据如下表：(不考虑续航缩水问题) 已知该新能源汽车在满电量状态下行驶过程中仪表盘行驶里程y(千米)与显示电量的部分数据如下表：(不考虑续航缩水问题) 汽车行驶过程 已行驶里程y(千米) 0 200 300 350 显示电量 100 60 40 30 (1)在直角坐标系中，通过描点判断y与x之间的函数关系，并求出该函数表达式． (2)请问该汽车在满电状态行驶多少公里时，电量灯开始变成黄色？ (3)已知小聪爸爸驾驶该新能源汽车在满电量的状态下出发，前往600千米处的目的地，行驶240千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时长后继续行驶，到达目的地时仪表盘显示电量为，求该汽车在服务区充电的时长． 【答案】(1)y与x之间的一次函数关系，解析式为； (2)400公里 (3)到达目的地时仪表盘显示电量为，该汽车在服务区充电分钟． 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，搞清耗电量和仪表盘显示电量是解答本题的关键． （1）根据表格数据，描点画出函数图象并利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）将代入（1）中解析式求出值即可； （3）在满电状态下里程表显示：，解得，据此行驶耗电量为，设增加的电量为，，解得．据此计算出充电时间即可． 【详解】（1）解：在坐标系中描点作图如下：判断该函数为一次函数，设函数解析式为， 将点，代入解析式得： ，解得， 一次函数解析式为：． （2）当时，， 答：该汽车在满电状态行驶400公里时，电量灯开始变成黄色． （3）由题意可得在满电状态下行驶， 行驶里程表显示：，解得， 行驶耗电量为， 剩余路程， 在满电状态下里程表显示：，解得， 据此行驶耗电量为， 设增加的电量为， ，解得． 根据题意，电池容量为，支持快速充电功能，快速充电功率为，即小时充电， 的电量需要充电时间为：分钟，即充电时间为分钟． 答：到达目的地时仪表盘显示电量为，该汽车在服务区充电分钟． 2．（2024年浙江省舟山市普陀区初中毕业生学业水平适应性考试数学试题）某跨海大桥东西走向，双向四条车道，在旅游旺季经常拥堵，交警部门为了缓解交通压力，他们对该路段的汽车流量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，得到以下表格，发现时间和汽车流量的变化规律符合一次函数的特征． 时间x 8时 11时 14时 17时 20时 自东向西交通量（辆/分钟） 200 320 440 560 680 自西向东交通量（辆/分钟） 500 440 380 320 260 (1)请用一次函数分别表示与x、与x之间的函数关系． (2)如图，交警希望启用“潮汐式”通行方式来缓解交通压力，根据汽车流量情况改变车道的行车方向：大流量方向的汽车可在该路段借用相邻的对向机动车道通行，对向机动车道实行双向通行．单位时间内交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使用“潮汐式”通行方式以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置“潮汐式”通行方式以缓解交通拥堵（在何时间段借用何方向机动车道通行），并说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查一次函数的实际应用： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出，时的范围，进行分析即可． 【详解】（1）解：设， 把代入，得： ，解得： ∴， 把代入，得： ，解得：， ∴． （2）解：． 当时，即，解得； 当时，即，解得． ∴8时到9时，自西向东的车可借用自东向西的车道通行； 18时到20时，自东向西的车可借用自西向东的车道通行． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $