精品解析：新疆维吾尔自治区克拉玛依市独山子区第一中学2024-2025学年九年级下学期第一次模拟考试（数学问卷）

2024—2025学年第二学期独山子第一中学九年级下学期第一次模拟考试数学试卷 一、单选题（每题4分，共36分） 1. 在实数0，﹣2，，2中，最大的是（ ） A. 0 B. ﹣2 C. D. 2 2. 5个大小一样的正方体按如图摆放，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 年6月6日，嫦娥六号在距离地球约千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，把一块长为45cm，宽为25cm的矩形硬纸板的四角减去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为625cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 7. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 8. 如图，在中，，．以A点为圆心，任意长为半径画弧分别交、于M、N，再分别以M、N为圆心画弧，两弧交于P点，连延长交于D．下列说法：①是的平分线；②；③是等腰三角形；④；其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共24分） 10. 分解因式：____________． 11. 一个不透明的布袋中只装有红球和白球两种球，它们除颜色外其余均相同．若白球有3个，摸到白球的概率为0.75，则红球的个数是_____． 12. 若点是函数图象上的两点，则__________．（填“>”“=”或“<”） 13. 如图，正六边形内接于，正六边形的周长是12，则的半径是__________. 14. 如图是用大小相等的五角星按一定规律拼成的一组图案，请根据你的观察，写出第个图案中小五角星有______颗． 15. 如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段（点在点右侧）在轴上移动，，，连接，，则的最小值为______． 三、解答题（共90分） 16. 计算： （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中 17. （1）解方程组： （2）李师傅家的超市今年1月盈利元，3月盈利元，若从1月到3月，每月盈利的平均增长率相同，则这个平均增长率是多少？ 18. 在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接. （1）求证：. （2）求证：四边形是菱形. 19. 为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共题，每题分，满分分），该校从学生成绩都不低于分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表 【收集数据】 八年级（1）班名学生成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 八年级（3）班名学生成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 【描述数据】 八年级（1）班名学生成绩统计表 分数 人数 【分析数据】 统计量 班级 平均数 中位数 众数 方差 八（1）班 八（3）班 【应用数据】 根据以上信息，回答下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）填空：________，________，________； （3）从上面名得分的学生中，随机抽取名学生参加市级知识竞赛，请用列表法或画树状图法求所抽取的名学生恰好在同一个班级的概率． 20. 研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据． 数据采集：如图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点正上方的点处时，测得米； 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，，，三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离的长（结果精确到1米．参考数据：，，，，，． 21. 加强劳动教育，落实五育并举．某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2024年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中，乙种蔬菜的种植成本为50元． （1）求甲种蔬菜种植成本y与其种植面积x之间的函数解析式； （2）设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？ 22. 如图，是的外接圆，点O在BC上，的角平分线交于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P． （1）求证：PD是的切线； （2）求证：∽； （3）若，，求点O到AD的距离． 23. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第二学期独山子第一中学九年级下学期第一次模拟考试数学试卷 一、单选题（每题4分，共36分） 1. 在实数0，﹣2，，2中，最大的是（ ） A. 0 B. ﹣2 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据实数比较大小的方法，可得：＞2＞0＞﹣2，故实数0，﹣2，，2其中最大的数是．故选C． 2. 5个大小一样的正方体按如图摆放，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据从上面看到的几何图形判断即可解题． 【详解】解：俯视图是： ， 故选：D． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据积的乘方，幂的乘方，同底数幂的除法与乘法法则计算即可． 【详解】解：A．，故不正确； B．，故不正确； C．，正确； D．，故不正确； 故选C． 【点睛】本题考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂的除法与乘法，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 4. 年6月6日，嫦娥六号在距离地球约千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值． 根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1． 【详解】解：大于1，用科学记数法表示为，其中，， ∴用科学记数法表示为， 故选：B． 5. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．根据配方法的步骤求解，即可解题． 【详解】解： 即， 故选：A． 6. 如图，把一块长为45cm，宽为25cm的矩形硬纸板的四角减去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为625cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由剪去小正方形的边长可得出该无盖纸盒的底面长为（45-2x）cm，宽为（25-2x）cm，根据该无盖纸盒的底面积为625cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵剪去小正方形的边长为x cm， ∴该无盖纸盒的底面长为（45-2x）cm，宽为（25-2x）cm． 依题意得：（45-2x）（25-2x）=625． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为． 【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴，即①， ∵， ∴②， ①②得， ∴大正方形的面积， 故选：B． 8. 如图，在中，，．以A点为圆心，任意长为半径画弧分别交、于M、N，再分别以M、N为圆心画弧，两弧交于P点，连延长交于D．下列说法：①是的平分线；②；③是等腰三角形；④；其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由三角形内角和定理可得，由作图可得，是的平分线，即可判断①；由角平分线的定义可得，再结合三角形内角和定理即可判断②；由等腰三角形的定义即可判断③；由直角三角形的性质即可判断④． 【详解】解：∵在中，，． ∴， 由作图可得，是的平分线，故①正确； ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，即是等腰三角形，故③正确； ∵在中，，， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共个． 9. 如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质，动点问题的函数图象，二次函数的图象的性质，先求得菱形的面积为，进而分三种情形讨论，重合部分为三角形，重合部分为五边形，重合部分为菱形，分别求得面积与运动时间的函数关系式，结合选项，即可求解． 【详解】解：如图所示，设交于点， ∵菱形，， ∴ 又∵， ∴是等边三角形， ∵，， ∴ ∴ ∴ 当时，重合部分为， 如图所示， 依题意，为等边三角形， 运动时间为，则， ∴ 当时，如图所示， 依题意，，则 ∴ ∴ ∵ ∴当时， 当时，同理可得， 当时，同理可得， 综上所述，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为一条线段，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线； 故选：D． 二、填空题（每题4分，共24分） 10. 分解因式：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．该题直接利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 11. 一个不透明的布袋中只装有红球和白球两种球，它们除颜色外其余均相同．若白球有3个，摸到白球的概率为0.75，则红球的个数是_____． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．设红球的个数是x，根据概率公式列出算式，再进行计算即可． 【详解】解：设红球的个数是x，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是方程的解； 答：红球的个数是1； 故答案为：1． 12. 若点是函数图象上的两点，则__________．（填“>”“=”或“<”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征．先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再根据各点横坐标的值判断出各点所在的象限，进而可得出结论． 【详解】解：反比例函数中，， ∴函数图象的两个分支分别位于第二四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大． ∵， ∴点A在第二象限、B在第四象限， ∴， 故答案为：． 13. 如图，正六边形内接于，正六边形的周长是12，则的半径是__________. 【答案】2 【解析】 【分析】首先求出∠AOB=60°，进而证明△OAB为等边三角形，问题即可解决． 【详解】解：如图，连接OA、OB， ∵⊙O的内接正六边形ABCDEF的周长为12， ∴边长为2， ∵∠AOB=×360°=60°，且OA=OB， ∴△OAB为等边三角形， ∴OA=AB=2， 即该圆的半径为2． 故答案为2． 【点睛】本题考查正多边形和圆，以正多边形外接圆、正多边形的性质，熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形是解题的关键． 14. 如图是用大小相等的五角星按一定规律拼成的一组图案，请根据你的观察，写出第个图案中小五角星有______颗． 【答案】6061 【解析】 【分析】观察图案可以得到，每个图形的小五角星都是有三层构成的，第一层、第三层的数量与图案的序号相同，第二层的数量比图案的序号多1，据此规律求和即可． 【详解】解：观察这一组图形，可以得到第2020个图案共有三层构成，第一层、第三层小五角星的数量都是2020，第二层的数量是2021， 所以第2020个图案中小五角星一共有2020+2021+2020=6061（个）． 故答案为：6061 【点睛】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出图形规律的能力，要求学生要会分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．． 15. 如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段（点在点右侧）在轴上移动，，，连接，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将线段DB向左平移到CE的位置，作点A关于x轴的对称点A′，连接CA′，EA′，求出AC＋BD的最小值为EA′，即可求得答案． 【详解】解：如图，将线段DB向左平移到CE的位置，作点A关于x轴的对称点A′，连接CA′，EA′． 则E（−2，4），A′（0，−2），AC＋BD＝CA′＋CE≥EA′， ∵EA′＝， ∴AC＋BD的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了对称的性质，平移的性质，勾股定理，将AC＋BD的最小值转化为EA′是解本题的关键． 三、解答题（共90分） 16. 计算： （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查实数的运算和分式的化简求值．解题关键在于掌握绝对值、零指数幂、三角函数、负整数指数幂的运算规则，以及分式的通分、约分和代入求值的方法． （1）根据化简绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂进行计算即可求解； （2）先根据分式的混合运算化简，再将字母的值代入，即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 当时，原式 17. （1）解方程组： （2）李师傅家的超市今年1月盈利元，3月盈利元，若从1月到3月，每月盈利的平均增长率相同，则这个平均增长率是多少？ 【答案】（1）（2）这个平均增长率为 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法和一元二次方程的应用． （1）使用加减消元法求解； （2）设平均增长率为根据题意，利用增长公式列出方程求解． 【详解】解：（1） ，得： ，得：，解得 将代入，得：， 解得 因此，方程组的解为 （2）设平均增长率为根据题意，得： 化简得： 所以即或（舍去） 所以 答：这个平均增长率为 18. 在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接. （1）求证：. （2）求证：四边形是菱形. 【答案】证明：（1）如图，， ， 是直角三角形，是边上的中线，是的中点， ，， 在和中， ， ； ． （2） 由（1）知， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，是的中点， ， 四边形是菱形. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件易证，利用全等三角形的性质即可证得结论；（2）根据（1）的结论，结合已知条件证得，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，证得四边形是平行四边形，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半证得，由一组邻边相等的平行四边形为菱形即可判定四边形是菱形. 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键. 19. 为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共题，每题分，满分分），该校从学生成绩都不低于分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表 【收集数据】 八年级（1）班名学生成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 八年级（3）班名学生成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 【描述数据】 八年级（1）班名学生成绩统计表 分数 人数 【分析数据】 统计量 班级 平均数 中位数 众数 方差 八（1）班 八（3）班 【应用数据】 根据以上信息，回答下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）填空：________，________，________； （3）从上面名得分的学生中，随机抽取名学生参加市级知识竞赛，请用列表法或画树状图法求所抽取的名学生恰好在同一个班级的概率． 【答案】（1）补全条形统计图如图所示： （2），，． （3） 【解析】 【分析】（1）由八年级（3）班20名学生成绩统计可得90分学生有7人，95分学生有6人，补全条形统即可； （2）由八年级（1）班20名学生成绩统计可得，，根据平均数和中位数、众数的定义进行计算即可； （3）设八年级（1）班的三名100分的学生用A、B、C表示，八年级（3）班的两名100分的学生用a、b表示，用列表法表示出所有可能结果，再从中找出2名学生恰好在同一个班级的结果数，再根据概率的计算公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：由八年级（3）班20名学生成绩统计可得90分学生有7人，95分学生有6人． 【小问2详解】 解：由八年级（1）班20名学生成绩统计可得，， ∴， 一共20名学生，中位数应该为第10名与第11名的平均数， ． 八（3）班成绩中，出现的次数最多，共出现了次，则众数为，即； 故答案为：，，． 【小问3详解】 解：设八年级（1）班的三名100分的学生用A、B、C表示．八年级（3）班的两名100分的学生用a、b表示，则随机抽两名学生的所有情况如下： (1)班 　（3）班 一共有20种情况．其中两名同学在同一个班级的有共8种， ∴所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率为：． 20. 研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据． 数据采集：如图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点正上方的点处时，测得米； 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，，，三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离的长（结果精确到1米．参考数据：，，，，，． 【答案】点A到地面的距离的长约为27米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 延长交于点，根据矩形的性质得到，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：延长交于点， 由题意得，四边形为矩形， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， 设米． ， ， ， 解得， （米）； 答：点到地面的距离的长约为27米． 21. 加强劳动教育，落实五育并举．某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2024年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中，乙种蔬菜的种植成本为50元． （1）求甲种蔬菜种植成本y与其种植面积x之间的函数解析式； （2）设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？ 【答案】（1） （2）甲种蔬菜种植，乙种蔬菜种植，W最小为42000元 【解析】 【分析】本题考查二次函数、一次函数的实际应用： （1）根据函数图象分段求解，时为一次函数，利用待定系数法；时，； （2）分段求出W与x的函数关系式，利用二次函数、一次函数的性质求出最值，再进行比较即可． 【小问1详解】 解：当时，设， 由图象经过点和可得：， 解得； ∴； 当时，； ∴； 【小问2详解】 解：①当时， ∴抛物线对称轴为直线， ∴当时，W取最小值42000元； ②当时，， ∴当时，W取最小值为（元）； ∵， ∴甲种蔬菜种植，乙种蔬菜种植，W最小为42000元． 22. 如图，是的外接圆，点O在BC上，的角平分线交于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P． （1）求证：PD是的切线； （2）求证：∽； （3）若，，求点O到AD的距离． 【答案】（1）证明：连接OD， ∵AD平分， ∴， ∴． 又∵BC为直径， ∴O为BC中点， ∴． ∵， ∴． 又∵OD为半径， ∴PD是的切线； （2）证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵四边形ABDC为圆内接四边形， ∴． 又∵， ∴， ∴∽． （3）点O到AD的距离为 【解析】 【分析】（1）连接OD，证明，则，即可得证； （2）由，，可得，根据四边形ABDC为圆内接四边形，又，可得，即可证明∽； （3）过点O作于点E，由∽，根据相似三角形的性质可求得，证明∽，继而求得，在中，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 过点O作于点E， ∵BC为直径， ∴． ∵，， ∴． 又∵， ∴， ∴． 由（2）知∽， ∴， ∴， ∴． 又∵，， ∴∽， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴点O到AD的距离为． 【点睛】本题考查了切线的性质与判定，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 23. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 【答案】（1）的值为；（2）；（3）直角三角形的面积为4或16或12或． 【解析】 【分析】（1）根据，，．证明，，继而得到，即，再证明，得到． （2）连接，延长交于点Q，根据(1)得，得到，根据中线得到，继而得到，结合，得到即，得到，再证明，得证矩形，再利用勾股定理，三角形相似的判定和性质计算即可． （3）运用分类思想解答即可． 【详解】（1）∵，，． ∴， ∴，， ∴即， ∵ ∴， ∴． （2）连接，延长交于点Q，根据（1）得， ∴， ∵是中线 ∴， ∴， ∵， ∴即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． （3）如图，当与重合时，此时，此时是直角三角形， 故； 如图，当在的延长线上时，此时，此时是直角三角形， 故； 如图，当时，此时是直角三角形， 过点A作于点Q， ∵， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故； 如图，当时，此时是直角三角形，过点A作于点Q，交于点N， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 故． 综上，直角三角形的面积为4或16或12或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理的判定和应用，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $