精品解析：山东省九五高中协作体2026届高三上学期12月质量检测数学试卷

九五高中协作体 2026高三年级12月质量检测（九五联考） 数学 命题及审核：北京时代凤凰教育研究院 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （其中为虚数单位）的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先对复数进行化简，然后根据共轭复数定义即可求解. 【详解】首先对复数进行化简， 所以的共轭复数是. 故选：C 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析集合A和集合B中元素的特性，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】当，即k为偶数时，， 当，即k为奇数时，， 所以集合A中元素为除以6余1的整数和除以6余4的整数， 因为， 所以集合B中元素为除以6余1的整数， 所以，故B正确，A错误； 当，即，当，，即，所以，故C错误； 由得，，为除以6余1的整数和除以6余4的整数，并不是全体整数，故D错误. 故选：B 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的加减法则以及已知条件建立向量之间的关系. 【详解】由题意得，，又，， ，即， 故选：C. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由，则，所以充分性成立； 反之：若，可得， 即，解得，所以必要性不成立， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 5. 已知等比数列的前项积为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设公比q，由题意得，即，又，联立可得，，代入公式，即可得答案. 【详解】设公比为q，由题意得，， 所以，则，即， 又， 将，代入可得，即， 所以，则， 所以. 故选：B 6. 已知，是函数图像上两个不同的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数的性质结合基本不等式可得正确的选项. 【详解】因为，是函数图象上两个不同的点， 所以，，故， 因为，由基本不等式可得， 故，故BCD错误，A正确. 故选：A. 7. 设球的体积为，球的内接圆柱（圆柱的上､下底面圆周均在球面上）的体积的最大值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据圆柱体积公式列出其表达式，然后求导判断单调性，求出最大体积，进而可求得结果. 【详解】设球的半径为，圆柱的底面半径为，高为， 由球的内接圆柱性质，球心到圆柱底面的距离为，根据勾股定理得. 所以，所以圆柱的体积为. 求导得，当，即时，；当，即时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取最大值为， 而球的体积为，所以. 故选：B. 8. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性的定义推断函数的性质，进而逐项判断即可. 【详解】因为函数为奇函数，所以其图像经过原点，即，C错误； 因为为偶函数，所以，可知函数的对称轴为， 所以，而由为奇函数可得，， 即，所以关于点对称，所以， 所以，D正确； 令，则为奇函数， 而为偶函数，满足题意， 但是，所以A,B错误. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知非零实数，，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由不等式的基本性质判断ABC选项，取特殊值判断D选项. 【详解】∵，∴，∴，A选项正确； 当时，，B选项错误； ∵，∴，C选项正确； 取，则，D选项错误. 故选：AC. 10. 已知函数，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 当时， D. 在上有2025个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A：结合诱导公式，化简即可判断；对于选项B：当时，结合去绝对值的要求得，对求导后构造新函数即可判断的单调性；对于选项C：当时，结合去绝对值的要求得，通过求导后可得函数在上连续且单调递增，从而可得是否正确；对于选项D：求，即，结合去绝对值的方法，分两种情况即可得出的零点． 【详解】对于选项A：，故A正确； 对于选项B：当时，，故， 则：， 令，， 当，即时，，即， 故在上单调递减，故B错误； 对于选项C： 当时，，，， 故， 则， 当时，，故 由此可知函数在上连续且单调递增， 当时，； 当时，； 故．故C正确； 选对于项D：求，即，分情况： 1． 当时，，即，得或，得或； 2． 当时，，即，得，得． 综上，的解为． 故在内，，共2025个零点．故D正确． 故答案：ACD． 11. 在矩形中，，，沿对角线将折起，得到三棱锥，已知，则（ ） A. 二面角的余弦值为 B. 三棱锥的体积为 C. 直线与所成角为 D. 直线，直线，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据矩形折叠的性质，结合二面角、三棱锥的体积、异面直线所成的角以及异面直线距离的相关知识，对各选项逐一进行分析求解. 【详解】对于选项A，作，垂足分别为，设二面角的平面角为，由二面角的定义可知，. 在矩形中，，则， 所以，，所以. ， 所以，所以.故选项A正确； 对于选项B，， ，所以，又,， 所以平面， 又，所以， ，故选项B错误； 对于选项C，， , ，又， 所以，所以异面直线与所成角为，故选项C正确； 对于选项D，设， 则， 由 ， 所以. ， 所以，所以可得. 所以， ， 所以，即的最小值为，故D选项正确. 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知中，，，若满足条件的有两个，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由余弦定理结合已知条件代入计算，即可得到结果. 【详解】设的内角的对边分别为， 由余弦定理可得， 即， 因为满足条件的有两个， 则且两根之积大于零，即解得， 两根之积为，解得，且两根之和为恒成立， 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 13. 已知为数列的前项和，若为公差为的等差数列，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式及退一相减法可得的通项公式，进而可得解. 【详解】由已知数列为公差为的等差数列， 则， 所以， 当时，， 则， 当时，上式仍成立， 则， 则， 故答案为：. 14. 对任意，方程有且仅有一个实数根，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，转化为有唯一的实数根，设，得到为单调函数，即或恒成立，即或恒成立，令，求得单调性和最值，进而求得的取值范围. 【详解】由方程，可得， 要使得对任意，方程有且仅有一个实数根， 即有唯一的实数根， 设，即有唯一的实数解， 因为，所以在上为单调函数，且值域为， 当时，，当时，，即的值域为， 又由，要使得为单调函数，则或恒成立， ①若恒成立，即，即恒成立， 令，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，所以. ②若恒成立，即，即恒成立， 由在上单调递增，在上单调递减，且当时，， 所以函数无最小值，不符合题意，舍去， 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，的图象关于轴对称. （1）求角的值； （2）角，，锐角满足，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据辅助角公式将函数化为一个角的三角函数，再由函数的图象关于y轴对称可得角的值； （2）先由可得，再由可得，再将角按两角差的正弦公式求得. 【小问1详解】 因为， 又因为的图象关于轴对称，所以，所以， 所以，因为，所以. 【小问2详解】 由（1）得，，所以； 因为，若，则，而，不合题意. 故，则，所以，. 所以， . 16. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，． （1）求证：平面； （2）已知点是直线与平面的交点，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）通过平面，得，又易得在等腰三角形中，点为的中点，故，根据直线与平面垂直的判定定理可得平面； （2）以点为坐标原点，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，得出相关的点的坐标，求出平面的法向量为，设，由得出的坐标表示，因为点在平面内，所以，从而得到关于的方程，从而求出的值． 【小问1详解】 因为平面平面， 所以， 又，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，所以， 因为，所以平面； 【小问2详解】 以点为坐标原点，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， ， 因， 所以， 所以； 设平面的法向量为，则 ，即，取； 设， 则， 因为点在平面内，所以， 所以，所以， 所以的值为． 17. 已知为内一点，满足，. （1）若，求的值； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）先求出，再延长交于点，由为的重心结合解直角三角形可得的值； （2）延长交于点，由余弦定理可得，结合为的重心可得，再由基本不等式可求的最小值. 【小问1详解】 因为，所以， 因，所以，而为锐角，故. 延长交于点，所以. 因为，所以为的重心，所以； 所以. 【小问2详解】 设的对边分别为，延长交于点， 由（1）知，是的重心，所以为线段的中点，且. 因为为的中线，故， 在中，由余弦定理有， 在中，由余弦定理有， 而，故， 故即， 所以. 在中，由余弦定理可得， 当且仅当时取等号，所以的最小值为. 18. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）证明：； （3）若，其中且，求实数的值. 【答案】（1）的减区间为；无增区间. （2）证明见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再构造函数得出导数正负进而得出单调区间； （2）构造函数及求出导函数得出单调性进而得出即可证明； （3）先应用特殊值法计算判断，再构造函数分类讨论应用导函数得出单调性即可求解. 小问1详解】 因为， 所以， 设，则， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减； 所以， 所以在上恒成立， 所以的减区间为；无增区间. 【小问2详解】 设. 设，注意到， ，所以在上单调递增. 所以当时，，则； 当时，，则； 综上，即. 【小问3详解】 当时，取，则，不成立，故. 下面考虑的情形： 原不等式等价于. 设，注意到， ， 设，注意到， ，注意到， 设 ，所以在上单调递增. ①若，则， 故存在，使得，当时，单调递增， 则，故单调递减， ，不合题意； ②若，则，当时，， 所以，故存在，使得， 当时，单调递减，则， 故单调递减，，不合题意； ③若，则，因为在上单调递增， 所以当时，，所以单调递减，则， 故单调递增，，符合题意； 当时，，所以单调递增，则， 故单调递增，，符合题意； 综上. 19. 已知集合，设非空集合，记为中的最小元素，为中的元素个数.若集合满足，则称是的一个“膨胀子集”.记的“膨胀子集”的个数为. （1）请写出的“膨胀子集”以及的含有但不含的“膨胀子集”； （2）当时，求数列的递推公式（用，表示）； （3）求的值. 【答案】（1）的“膨胀子集”为，的含有但不含的“膨胀子集”为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“膨胀子集”的定义，代入数据，分别写出满足条件的“膨胀子集”即可. （2）由题意可知，集合不含元素的“膨胀子集”的个数为，再分析集合含有元素的“膨胀子集”，分别讨论和两种情况，根据所给定义，分析求解，即可得答案. （3），根据（2）结果，分组求和，化简计算，即可得答案. 【小问1详解】 由题意，，， 所以的“膨胀子集”为共3个； 则的含有5但不含1的“膨胀子集”为共3个； 【小问2详解】 由题意可知，集合的“膨胀子集”均为集合的“膨胀子集”； 故集合不含元素的“膨胀子集”的个数为； 下面分析集合含有元素的“膨胀子集”： ①若，则此时，满足题意，共有个； ②若，则设， 将中去掉，剩余的所有元素减去1，得到新集合， 则此时，且中最大元素不超过， 所以为的“膨胀子集”，共有个， 由于任意一个满足条件的都对应一个满足条件的，且任意一个满足条件 的都对应一个满足条件的，所以满足条件的共有个. 所以 【小问3详解】 由（2）得， 则 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九五高中协作体 2026高三年级12月质量检测（九五联考） 数学 命题及审核：北京时代凤凰教育研究院 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （其中为虚数单位）的共轭复数为（ ） A. B. C D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知等比数列前项积为，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是函数图像上两个不同的点，则（ ） A. B. C. D. 7. 设球的体积为，球的内接圆柱（圆柱的上､下底面圆周均在球面上）的体积的最大值为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知非零实数，，满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. B. 在上单调递增 C 当时， D. 在上有2025个零点 11. 在矩形中，，，沿对角线将折起，得到三棱锥，已知，则（ ） A. 二面角的余弦值为 B. 三棱锥的体积为 C. 直线与所成角为 D. 直线，直线，则的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知中，，，若满足条件的有两个，则的取值范围为________. 13. 已知为数列的前项和，若为公差为的等差数列，则的值为________. 14. 对任意，方程有且仅有一个实数根，则实数取值范围为________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，的图象关于轴对称. （1）求角的值； （2）角，，锐角满足，求的值. 16. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，． （1）求证：平面； （2）已知点是直线与平面的交点，求的值． 17. 已知为内一点，满足，. （1）若，求的值； （2）求的最小值. 18. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）证明：； （3）若，其中且，求实数值. 19. 已知集合，设非空集合，记为中的最小元素，为中的元素个数.若集合满足，则称是的一个“膨胀子集”.记的“膨胀子集”的个数为. （1）请写出的“膨胀子集”以及的含有但不含的“膨胀子集”； （2）当时，求数列的递推公式（用，表示）； （3）求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $