江苏省高邮中学2015年高二数学竞赛系列讲座 第五讲 五面体 课件+教案 （2份打包）

数学••学科竞赛校本课程 第五讲　四面体 江苏省高邮中学 李云龙 1基础知识与基本方法 1.1基本知识介绍 ①四面体的概念 几何体，锥体的一种，由四个三角形组成，亦称为四面体。四面体是立体几何中最基本的，也是最重要的几何体，它相当于平面几何中三角形所处的地位。四面体与三角形有着相类似的性质。如图（1）所示四面体 ②直角四面体的概念 同一顶点上的三条棱两两垂直的四面体称为直角四面体。如图（2）所示直角四面体 （其中 ） ③等腰四面体的概念 对棱都相等的四面体称为等腰四面体。以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体。如图（3）所示等腰四面体 （其中 ）；如图（4）所示等腰四面体 （其中 ， ） ④正四面体的概念 每个面都是全等的正三角形的正三棱锥称为正四面体。对棱都垂直的等腰四面体是正四面体。两组对棱垂直的等腰四面体是正四面体。对棱都垂直相等的四面体是正四面体。对棱中点连线都垂直相等的四面体是正四面体。如图（5）所示正四面体 （其中 为正方体） 1.2基本方法介绍 ①等体积法 等体积法的运用的主要目的是求点到面的距离。运用前提主要有三点：第一,在不容易直接找到点到面的距离的前提下运用；第二,在体积容易解答的前提下用;第三, 能很容易知道另一条高的前提下用。如图（6）所示，在四棱锥 中， 平面 ， ， 求点 到平面 的距离. 解析：连结 .设点 . 的距离为 到平面 因为 , ,所以 从而由 ,得 的面积. 由 平面及 ,得三棱锥的体积 因为 平面平面 ,所以 . 又 ,所以 . 由 , ,得 的面积, 由 EMBED Equation.3 ,得 因此，点 的距离为 到平面 ②补形法，分割法 当几何图形不规则的时候，将原图形添补或分割成一个特殊的、简单的、完整的新图形，则能使问题的本质得到充分的显示，从而使问题化繁为简。如己知三棱锥 的四个顶点均在半径为 的球面上， 满足 求三棱锥 的侧面积的最大值. 解析：易得 两两垂直，以 为棱构造如图（7）所示的长方体，则三棱锥的外接球即为长方体的外接球. 设 则 2基本知识应用 2.1求空间角 用几何的方法求异面直线所成的角时，我们往往是先通过平移异面直线到相交位 置，再找出异面直线所成的角，然后由三角知识求出异面直线所成角的函数值或求出角的 大小.由于四面体的任何一组对棱都是异面直线，因而我们以四面体为载体，把异面直线 放在四面体的对棱所在的位置，利用四面体对棱的夹角公式可巧解异面直线所成的角. 现阐述如下: 四面体对棱的夹角公式:在四面体 中，若 与 所成的角为 ，则 . 证明：如图（8）所示 , 因为 所以 故 即 。 【例1】 已知正四棱锥 的侧棱与底面边长都相等， 是 的中点，则 所成角的余弦值。 解：如图（9）所示，连结 ，设正四棱锥各棱长都为 ， 则 中，由 知 在四面体 中， 2.2求空间距离 立体几何中的空间距离的求法是历年高考考查的重点,其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础,求其他距离时也可以化归为这三种距离. 【例2】如图（10）所示，矩形 长 ，宽 ，若沿对角线 折成二面角，求顶点 之间的距离。 解：如图（11）所示，二面角 是直二面角，故 是 在平面 内的射影。 由 得 在 中 ，则 注：作 ，垂足分别为 2.3面积问题 【例3】如图（12）所示，设 是 所在平面外一点， 、 、 两两互相垂直， 是 的垂心。 （1）求证： 是 在 所在平面上的射影 （2）求证： （3）求证： （4）若设三个二面角： 、 、 的大小分别是 、 、 试求 的值。 证明：（1） 因为 是 的垂心，所以 ，又 所以 平面 所以 ，同理 所以 平面 即 是 在 所在平面上的射影 （2）连接 延长交 于 ，由 有 ，两边同乘以 ，得 （3）同理可得 ， 上三式相加得 （4）由面积射影定理得 所以 所以 3基本方法应用 3.1等体积法 【例4】已知三棱锥 ，底面是边长为 的正三角形，棱 的长为2，且垂直于底面， 、 分别为 、 的中点。求 与 间的距离。 解：如图（13）所示，，取 的中点 ，连接 ，则 是 的中位线， ，所以 ，则 到平面 的距离即为两异面直线间的距离。又线面之间的距离又可转化为线上一点 到平面 的距离，设为 。 由题设， ， 、 、 分别是 、 、 的中点， 可得 又 所以 又在 中， 在 中 又 求得 且 因为 所以 所以 故 与 之间的距离为 3.2补形法或分割法 【例5】已知四面体 中， ， ， 与 间距离为 ， 与 所成角为 ，求该四面体的体积。 （本题思路：已知 与 所成角为 ，