第13章 13.1.1 棱柱、棱锥和棱台-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（苏教版2019）

第13章 <<< 13.1.1 棱柱、棱锥和棱台 1.通过观察实例，概括出棱柱、棱锥、棱台的定义. 2.掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征及相关概念. 3.能说出棱柱、棱锥、棱台的性质，并会画简单的棱柱、棱锥、棱台. 4.掌握多面体的侧面展开图的性质. 学习目标 导 语 观察所给的图片，这些图片你都不陌生吧.小到精巧的家居装饰，大到宏伟的建筑；从远古的金字塔，到现代的国家大剧院、埃菲尔铁塔，设计师、建筑师们匠心独具，为我们留下了精美绝伦的建筑物，每当看到这些建筑物都会给人以震撼的美. 如果我们只考虑这些物体的形状和大小，那么抽象出来的就是空间图形，本节我们就开始研究这些空间图形. 内容索引 一、棱柱的结构特征 二、棱锥、棱台的结构特征 随堂演练 三、棱柱、棱锥、棱台的画法 四、多面体的侧面展开图 课时对点练 棱柱的结构特征 一 提示　图中空间图形分别由平行四边形、三角形、五边形、六边形沿某一方向平移得到. 仔细观察下面的空间图形，你能发现它们可以怎样形成？ 问题1 棱柱的结构特征 类别 定义 图形及表示 相关概念 命名 棱柱 一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形叫作棱柱   如图可记作：棱柱ABCDEF— A'B'C'D'E'F' 底面：平移起止位置的两个面； 侧面：多边形的边平移所形成的面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与底面的公共顶点 底面为三角形、四边形、五边形……的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 知识梳理 棱柱必须同时满足三个条件：①有两个面互相平行；②其余各面都是平行四边形；③每相邻两个四边形的公共边互相平行. 注 意 点 <<< 8 　　　(1)(多选)下列关于棱柱的说法正确的是 A.所有的面都是平行四边形 B.每一个面都不是三角形 C.两底面平行，并且各侧棱也平行 D.被平面截成的两部分可以都是棱柱 例 1 √ √ 9 A错误，棱柱的底面不一定是平行四边形. B错误，棱柱的底面可以是三角形. C正确，由棱柱的定义易知. D正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱. 10 (2)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点. ①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ 是棱柱，且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义. 11 ②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的空间图形还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由. 是棱柱，截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M-CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1-DCND1. 12 反 思 感 悟 (1)扣定义：判定一个空间图形是不是棱柱的关键是棱柱的定义. ①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是平行四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行. (2)举反例：通过举反例，如与常见空间图形或实物模型、图片等不吻合，给予排除. 棱柱结构的辨析方法 13 　下列说法正确的是 A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 D.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形 跟踪训练 1 √ 14 选项A，B都不正确，反例如图所示. 选项C也不正确，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不是正方体. 根据棱柱的定义知选项D正确. 15 二 棱锥、棱台的结构特征 提示　由各棱柱的一个底面收缩为一个点得到(图中空间图形为棱锥). 与问题1中的图形对比，下列空间图形是由问题1中的空间图形发生了怎样的变化得到的？ 问题2 提示　棱台. 如果用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的部分又是什么样的空间图形？ 问题3 1.棱锥的结构特征 类别 定义 图形及表示 相关概念 命名 棱锥 当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的空间图形叫作棱锥   如图可记作：棱锥S—ABCD 底面：多边形面； 侧面：有一个公共顶点的各个三角形面； 侧棱：相邻侧面的_______； 顶点：由棱柱的一个底面收缩而成 按底面多边形的 分：三棱锥、四棱锥…… 公共边 边数 知识梳理 棱锥必须同时满足两个条件：①有一个面是多边形；②其余各面都是三角形，且有一个公共顶点. 注 意 点 <<< 20 类别 定义 图形及表示 相关概念 命名 棱台 用一个______ ________的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分称之为棱台   如图可记作： 棱台ABCD—A'B'C'D' 上底面：原棱锥的截面； 下底面：原棱锥的底面； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 由三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 截得的棱台分别叫作三棱台、四棱台、五棱台…… 2.棱台的结构特征 平行于 棱锥底面 知识梳理 棱台必须同时满足两个条件：①两底面互相平行；②各条侧棱的延长线相交于一点. 注 意 点 <<< 22 　 (1)(多选)下列说法中，正确的是 A.棱锥的各个侧面都是三角形 B.三棱锥的任何一个面都可以作为棱锥的底面 C.棱锥的侧棱平行 D.有一个面是多边形，其余各面是三角形的空间图形是棱锥 例 2 √ √ 23 由棱锥的定义，知棱锥的各个侧面都是三角形，故A正确； 三棱锥就是由四个三角形所围成的空间图形，因此三棱锥的任何一个面都可以作为三棱锥的底面，故B正确； 棱锥的侧棱交于一点，不平行，故C错误； 棱锥的侧面是有一个公共顶点的三角形，故D错误. 24 (2)有下列四种叙述： ①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台； ④棱台的侧棱延长后必交于一点. 其中正确的有 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 √ 25 ①中的平面不一定平行于底面，故①错误； 由棱台的定义知，④正确； ②③可用反例去验证，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故②③错误. 26 反 思 感 悟 (1)举反例法 结合棱锥、棱台的定义举反例直接排除关于棱锥、棱台结构特征的某些不正确的说法. (2)直接法 判断棱锥、棱台的方法   棱锥 棱台 定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面 看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点 　 下列关于棱锥、棱台的说法： ①棱台的侧面一定不会是平行四边形； ②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥； ③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥. 其中正确说法的序号是　　　.  跟踪训练 2 ①② 28 ①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形； ②正确，由四个平面围成的封闭图形是四面体也就是三棱锥； ③错误，如图所示的四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥. 29 棱柱、棱锥、棱台的画法 三 　 　　画出一个三棱柱和一个四棱台. 例 3 31 (1)画三棱柱可分三步完成： 第一步，画上底面——画一个三角形； 第二步，画侧棱——从三角形的每一个顶点画平行且相等的线段； 第三步，画下底面——顺次连接这些线段的另一个端点(如图所示，被遮挡的线要画成虚线). 32 (2)画四棱台可分三步完成： 第一步，画一个四棱锥； 第二步，在它的一条侧棱上取一点，然后从这点开始，顺次在各个侧面内画出与底面对应边平行的线段； 第三步，将多余的线段擦去(如图所示，被遮挡的线要画成虚线). 33 反 思 感 悟 在平面几何图形中，虚线表示作的辅助线，但在空间图形中，虚线表示被遮挡的线.在空间图形中作辅助线时，被遮挡的线作成虚线，看得见的线仍作成实线.作图时要使用铅笔、直尺等，力求准确. 　画出分别满足下列条件的空间图形. (1)使它是一个四棱柱； (2)使它是由两个三棱锥组成的空间图形； (3)使它是五棱锥. 跟踪训练 3 35 如图所示：图1是一个四棱柱， 图2是一个由两个三棱锥组成的空间图形， 图3是一个五棱锥. 36 多面体的侧面展开图 四 定义 由若干个　　　　　　围成的空间图形 图形   相关概念 面：围成多面体的各个　　　　； 棱：相邻两个面的　　　　； 顶点：若干个面的公共顶点 多面体 平面多边形 多边形 公共边 知识梳理 若没有特别说明，多面体指的都是凸多面体(即把一个多面体的任意一个面延展为平面，其余各面都在这个平面的同一侧). 注 意 点 <<< 39 　 　　某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(对面是相同的图案) 例 4 √ 40 其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪条棱剪开，剪开的相邻面在展开图中可以不相邻，但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻.相同的图案是盒子上相对的面，展开后不能相邻. 41 反 思 感 悟 多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状，借助展开图，培养直观想象素养. 　如图是三个空间图形的表面展开图，请问各是什么空间图形？ 跟踪训练 4 43 在图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；在图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；在图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点.把表面展开图还原为原空间图形，如图所示： 所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台. 44 1.知识清单： (1)棱柱、棱锥、棱台的结构特征. (2)棱柱、棱锥、棱台的画法. (3)多面体的侧面展开图. 2.方法归纳：举反例法、定义法. 3.常见误区：棱台的结构特征认识不清. 课堂小结 随堂演练 五 1 2 3 4 1.如图所示的空间图形中，不是棱锥的为 √ 结合棱锥的定义可知，A不符合其定义. 2.有一个多面体，由五个面围成，只有一个面不是三角形，则这个空间图形为 A.四棱柱 B.四棱锥 C.三棱柱 D.三棱锥 √ 1 2 3 4 根据棱锥的定义可知该空间图形是四棱锥. 3.(多选)下列说法不正确的是 A.棱台的两个底面相似 B.棱台的侧棱长都相等 C.棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台 D.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 √ 1 2 3 4 √ √ 由棱台的定义知A正确，B，C不正确； 棱柱的侧棱都相等且互相平行，且侧面都是平行四边形，但侧面并不一定全等，D不正确. 1 2 3 4 1 2 3 4 4.一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为 　 　cm.  12 棱柱有10个顶点， 则该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，且侧棱长都相等， 故侧棱长为=12(cm). 课时对点练 五 52 答案 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C C B B C BC 5　6　9 题号 8 11 12 13 　14 　15 答案 8 ACD D C 　4 　4 9. 因为这个几何体中没有两个互相平行的面， 所以这个几何体不是棱柱. 如图，在AA1上取点E，使AE=2，在BB1上取点F，使BF=2，连接C1E，EF，C1F，则过点C1，E，F的截面将原几何体分成两部分，其中一部分是三棱柱ABC-EFC1，其侧棱长为2；另一部分是四棱锥C1-EA1B1F，即截去的几何体是四棱锥. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)如图①所示，三棱锥A1-AB1D1(答案不唯一). (2)如图②所示，三棱锥B1-ACD1(答案不唯一). (3)如图③所示，三棱柱A1B1D1-ABD(答案不唯一). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1)如图折起后的几何体是三棱锥. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (2)S△PEF=a2，S△DPF=S△DPE=×2a×a=a2， S△DEF=4a2-2a2-a2=a2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.下列关于棱柱的说法中，错误的是 A.三棱柱的底面为三角形 B.一个棱柱至少有五个面 C.若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等 D.五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形 √ 基础巩固 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 显然A正确； 底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B正确； 底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，故C错误； D正确. 11 12 13 14 15 16 答案 2.下列几何体中是四棱锥的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 √ 由棱锥的结构特征：一个面是多边形，其余的面是有一个公共顶点的三角形，可知只有选项B和C中的图形是棱锥，其中B为三棱锥，C为四棱锥. 3.观察如图所示的四个空间图形，其中判断不正确的是 A.①是棱柱 B.②不是棱锥 C.③不是棱锥 D.④是棱台 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，③不是棱锥，④是棱台，故B错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.如图所示，在三棱台A'B'C'-ABC中，截去三棱锥A'-ABC，则剩余的部分是 A.三棱锥 B.四棱锥 C.三棱柱 D.组合体 √ 11 12 13 14 15 16 答案 剩余的部分是四棱锥A'-BCC'B'. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.如果一个棱锥的各条棱长都相等，那么这个棱锥可能是 A.八棱锥 B.七棱锥 C.五棱锥 D.六棱锥 √ 11 12 13 14 15 16 答案 由题意可知，若每个侧面均为等边三角形，则每个侧面的顶角为60°，如果是六棱锥，因为6×60°=360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥，又因为各条棱长都相等，所以更不能构成七棱锥、八棱锥. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.(多选)如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是 √ √ 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A图还原后，①⑤对面，②④对面，③⑥对面； B图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面； C图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面； D图还原后，①⑥对面，②⑤对面，③④对面； 综上，可得还原成正方体后，其中两个完全一样的是BC. 11 12 13 14 15 16 答案 7.一个棱台至少有　 个面，面数最少的棱台有　　个顶点，有　 条棱.  三棱台的面数、顶点数、棱数最少. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 11 12 13 14 15 16 答案 6 9 8.五棱台ABCDE-A1B1C1D1E1，若AB=2A1B1且上底面A1B1C1D1E1的面积为2，则下底面的面积为　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由棱台的定义知，上、下底面相似， ∴==4， ∴ S五边形ABCDE=4 =4×2=8. 11 12 13 14 15 16 答案 9.如图，四边形AA1B1B为矩形，AA1=3，CC1=2，CC1∥AA1，CC1∥BB1，这个几何体是棱柱吗？若是棱柱，指出是几棱柱；若不是棱柱，作出一个过点C1的截面，截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的名称. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 因为这个几何体中没有两个互相平行的面， 所以这个几何体不是棱柱. 如图，在AA1上取点E，使AE=2，在BB1上取点F，使BF=2，连接C1E，EF，C1F，则过点C1，E，F的截面将原几何体分成两部分，其中一部分是三棱柱ABC-EFC1，其侧棱长为2；另一部分是四棱锥C1-EA1B1F，即截去的几何体是四棱锥. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10.试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干个顶点，连接后构成以下空间图形，并且用适当的符号表示出来. 11 12 13 14 15 16 答案 (1)只有一个面是等边三角形的三棱锥； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 如图①所示，三棱锥A1-AB1D1(答案不唯一). 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2)四个面都是等边三角形的三棱锥； 11 12 13 14 15 16 答案 如图②所示，三棱锥B1-ACD1(答案不唯一). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (3)三棱柱. 11 12 13 14 15 16 答案 如图③所示，三棱柱A1B1D1-ABD(答案不唯一). 11.(多选)如图，对该几何体描述正确的是 A.这是一个六面体 B.这是一个四棱台 C.这是一个四棱柱 D.此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱而得到 √ 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 A正确，该几何体有六个面，属于六面体； B错误，C正确，如果把几何体正面和背面作为底面就会发现是一个四棱柱； D正确，如图所示. 12.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截得的棱台上、下底面积之比为1∶4，截去的棱锥的顶点到底面的距离为3，则棱台的上、下底面的距离为 A.12 B.9 C.6 D.3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 设原棱锥的高为h，由题意得=， 解得h=6，因而棱台的高为3. 13. 如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是 A.A1B1=2，AB=3，B1C1=3，BC=4 B.A1B1=1，AB=2，B1C1=1.5，BC=3，A1C1=2，AC=3 C.A1B1=1，AB=2，B1C1=1.5，BC=3，A1C1=2，AC=4 D.AB=A1B1，BC=B1C1，CA=C1A1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 √ 选项A中，≠，故A不符合题意； 选项B中，≠，故B不符合题意； 选项C中，==，故C符合题意； 选项D中满足这个条件的可能是一个三棱柱，不可能是三棱台. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 14.从正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点，这4个顶点可能是： (1)矩形的4个顶点；(2)每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；(3)每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；(4)有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点. 其中正确结论的个数为　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 如图所示，四边形ABCD为矩形，故(1)满足条件； 四面体D-A1BC1为每个面均为等边三角形的四面体， 故(2)满足条件； 四面体D-B1C1D1为每个面都是直角三角形的四面体， 故(3)满足条件； 四面体C-B1C1D1为有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体，故(4)满足条件； 故正确的结论有4个. 15.如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VB=VC=4，∠AVB=∠AVC=∠BVC= 30°，过点A作截面AEF，则△AEF周长的最小值为　　　　.  拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值. ∵∠AVB=∠A1VC =∠BVC=30°， ∴∠AVA1=90°. 又VA=VA1=4，∴AA1=4. ∴△AEF周长的最小值为4. 16.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. 问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 如图折起后的几何体是三棱锥. (2)若正方形边长为2a，则每个面的三角形面积为多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 S△PEF=a2，S△DPF=S△DPE=×2a×a=a2， S△DEF=4a2-2a2-a2=a2. 第一章 <<< $$ 13.1.1　棱柱、棱锥和棱台 [学习目标]　1.通过观察实例，概括出棱柱、棱锥、棱台的定义.2.掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征及相关概念.3.能说出棱柱、棱锥、棱台的性质，并会画简单的棱柱、棱锥、棱台.4.掌握多面体的侧面展开图的性质. 导语 观察所给的图片，这些图片你都不陌生吧.小到精巧的家居装饰，大到宏伟的建筑；从远古的金字塔，到现代的国家大剧院、埃菲尔铁塔，设计师、建筑师们匠心独具，为我们留下了精美绝伦的建筑物，每当看到这些建筑物都会给人以震撼的美. 如果我们只考虑这些物体的形状和大小，那么抽象出来的就是空间图形，本节我们就开始研究这些空间图形. 一、棱柱的结构特征 问题1　仔细观察下面的空间图形，你能发现它们可以怎样形成？ 提示　图中空间图形分别由平行四边形、三角形、五边形、六边形沿某一方向平移得到. 知识梳理 棱柱的结构特征 类别 定义 图形及表示 相关概念 命名 棱柱 一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形叫作棱柱 如图可记作：棱柱ABCDEF— A'B'C'D'E'F' 底面：平移起止位置的两个面； 侧面：多边形的边平移所形成的面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与底面的公共顶点 底面为三角形、四边形、五边形……的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 注意点： 棱柱必须同时满足三个条件：①有两个面互相平行；②其余各面都是平行四边形；③每相邻两个四边形的公共边互相平行. 例1　(1)(多选)下列关于棱柱的说法正确的是(　　) A.所有的面都是平行四边形 B.每一个面都不是三角形 C.两底面平行，并且各侧棱也平行 D.被平面截成的两部分可以都是棱柱 答案　CD 解析　A错误，棱柱的底面不一定是平行四边形. B错误，棱柱的底面可以是三角形. C正确，由棱柱的定义易知. D正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱. (2)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点. ①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ ②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的空间图形还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由. 解　①是棱柱，且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义. ②是棱柱，截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M-CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1-DCND1. 反思感悟　棱柱结构的辨析方法 (1)扣定义：判定一个空间图形是不是棱柱的关键是棱柱的定义. ①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是平行四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行. (2)举反例：通过举反例，如与常见空间图形或实物模型、图片等不吻合，给予排除. 跟踪训练1　下列说法正确的是(　　) A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 D.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形 答案　D 解析　选项A，B都不正确，反例如图所示.选项C也不正确，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不是正方体.根据棱柱的定义知选项D正确. 二、棱锥、棱台的结构特征 问题2　与问题1中的图形对比，下列空间图形是由问题1中的空间图形发生了怎样的变化得到的？ 提示　由各棱柱的一个底面收缩为一个点得到(图中空间图形为棱锥). 问题3　如果用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的部分又是什么样的空间图形？ 提示　棱台. 知识梳理 1.棱锥的结构特征 类别 定义 图形及表示 相关概念 命名 棱锥 当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的空间图形叫作棱锥 如图可记作：棱锥S—ABCD 底面：多边形面； 侧面：有一个公共顶点的各个三角形面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：由棱柱的一个底面收缩而成 按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥…… 注意点： 棱锥必须同时满足两个条件：①有一个面是多边形；②其余各面都是三角形，且有一个公共顶点. 2.棱台的结构特征 类别 定义 图形及表示 相关概念 命名 棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分称之为棱台 如图可记作： 棱台ABCD—A'B'C'D' 上底面：原棱锥的截面； 下底面：原棱锥的底面； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 由三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 截得的棱台分别叫作三棱台、四棱台、五棱台…… 注意点： 棱台必须同时满足两个条件：①两底面互相平行；②各条侧棱的延长线相交于一点. 例2　(1)(多选)下列说法中，正确的是(　　) A.棱锥的各个侧面都是三角形 B.三棱锥的任何一个面都可以作为棱锥的底面 C.棱锥的侧棱平行 D.有一个面是多边形，其余各面是三角形的空间图形是棱锥 答案　AB 解析　由棱锥的定义，知棱锥的各个侧面都是三角形，故A正确；三棱锥就是由四个三角形所围成的空间图形，因此三棱锥的任何一个面都可以作为三棱锥的底面，故B正确；棱锥的侧棱交于一点，不平行，故C错误；棱锥的侧面是有一个公共顶点的三角形，故D错误. (2)有下列四种叙述： ①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台； ④棱台的侧棱延长后必交于一点. 其中正确的有(　　) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 答案　B 解析　①中的平面不一定平行于底面，故①错误；由棱台的定义知，④正确；②③可用反例去验证，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故②③错误. 反思感悟　判断棱锥、棱台的方法 (1)举反例法 结合棱锥、棱台的定义举反例直接排除关于棱锥、棱台结构特征的某些不正确的说法. (2)直接法 棱锥 棱台 定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面 看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点 跟踪训练2　下列关于棱锥、棱台的说法： ①棱台的侧面一定不会是平行四边形； ②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥； ③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥. 其中正确说法的序号是　　　　.  答案　①② 解析　①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形； ②正确，由四个平面围成的封闭图形是四面体也就是三棱锥； ③错误，如图所示的四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥. 三、棱柱、棱锥、棱台的画法 例3　画出一个三棱柱和一个四棱台. 解　(1)画三棱柱可分三步完成： 第一步，画上底面——画一个三角形； 第二步，画侧棱——从三角形的每一个顶点画平行且相等的线段； 第三步，画下底面——顺次连接这些线段的另一个端点(如图所示，被遮挡的线要画成虚线). (2)画四棱台可分三步完成： 第一步，画一个四棱锥； 第二步，在它的一条侧棱上取一点，然后从这点开始，顺次在各个侧面内画出与底面对应边平行的线段； 第三步，将多余的线段擦去(如图所示，被遮挡的线要画成虚线). 反思感悟　在平面几何图形中，虚线表示作的辅助线，但在空间图形中，虚线表示被遮挡的线.在空间图形中作辅助线时，被遮挡的线作成虚线，看得见的线仍作成实线.作图时要使用铅笔、直尺等，力求准确. 跟踪训练3　画出分别满足下列条件的空间图形. (1)使它是一个四棱柱； (2)使它是由两个三棱锥组成的空间图形； (3)使它是五棱锥. 解　如图所示：图1是一个四棱柱， 图2是一个由两个三棱锥组成的空间图形， 图3是一个五棱锥. 四、多面体的侧面展开图 知识梳理 多面体 定义 由若干个平面多边形围成的空间图形 图形 相关概念 面：围成多面体的各个多边形； 棱：相邻两个面的公共边； 顶点：若干个面的公共顶点 注意点： 若没有特别说明，多面体指的都是凸多面体(即把一个多面体的任意一个面延展为平面，其余各面都在这个平面的同一侧). 例4　某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(对面是相同的图案)(　　) 答案　A 解析　其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪条棱剪开，剪开的相邻面在展开图中可以不相邻，但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻.相同的图案是盒子上相对的面，展开后不能相邻. 反思感悟　多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状，借助展开图，培养直观想象素养. 跟踪训练4　如图是三个空间图形的表面展开图，请问各是什么空间图形？ 解　在图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；在图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；在图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点.把表面展开图还原为原空间图形，如图所示： 所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台. 1.知识清单： (1)棱柱、棱锥、棱台的结构特征. (2)棱柱、棱锥、棱台的画法. (3)多面体的侧面展开图. 2.方法归纳：举反例法、定义法. 3.常见误区：棱台的结构特征认识不清. 1.如图所示的空间图形中，不是棱锥的为(　　) 答案　A 解析　结合棱锥的定义可知，A不符合其定义. 2.有一个多面体，由五个面围成，只有一个面不是三角形，则这个空间图形为(　　) A.四棱柱 B.四棱锥 C.三棱柱 D.三棱锥 答案　B 解析　根据棱锥的定义可知该空间图形是四棱锥. 3.(多选)下列说法不正确的是(　　) A.棱台的两个底面相似 B.棱台的侧棱长都相等 C.棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台 D.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 答案　BCD 解析　由棱台的定义知A正确，B，C不正确；棱柱的侧棱都相等且互相平行，且侧面都是平行四边形，但侧面并不一定全等，D不正确. 4.一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为　　　　cm.  答案　12 解析　棱柱有10个顶点， 则该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，且侧棱长都相等， 故侧棱长为=12(cm). 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.下列关于棱柱的说法中，错误的是(　　) A.三棱柱的底面为三角形 B.一个棱柱至少有五个面 C.若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等 D.五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形 答案　C 解析　显然A正确；底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B正确；底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，故C错误；D正确. 2.下列几何体中是四棱锥的是(　　) 答案　C 解析　由棱锥的结构特征：一个面是多边形，其余的面是有一个公共顶点的三角形，可知只有选项B和C中的图形是棱锥，其中B为三棱锥，C为四棱锥. 3.观察如图所示的四个空间图形，其中判断不正确的是(　　) A.①是棱柱 B.②不是棱锥 C.③不是棱锥 D.④是棱台 答案　B 解析　结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，③不是棱锥，④是棱台，故B错误. 4.如图所示，在三棱台A'B'C'-ABC中，截去三棱锥A'-ABC，则剩余的部分是(　　) A.三棱锥 B.四棱锥 C.三棱柱 D.组合体 答案　B 解析　剩余的部分是四棱锥A'-BCC'B'. 5.如果一个棱锥的各条棱长都相等，那么这个棱锥可能是(　　) A.八棱锥 B.七棱锥 C.五棱锥 D.六棱锥 答案　C 解析　由题意可知，若每个侧面均为等边三角形，则每个侧面的顶角为60°，如果是六棱锥，因为6×60°=360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥，又因为各条棱长都相等，所以更不能构成七棱锥、八棱锥. 6.(多选)如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是(　　) 答案　BC 解析　A图还原后，①⑤对面，②④对面，③⑥对面； B图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面； C图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面； D图还原后，①⑥对面，②⑤对面，③④对面； 综上，可得还原成正方体后，其中两个完全一样的是BC. 7.(5分)一个棱台至少有　　　　个面，面数最少的棱台有　　　　个顶点，有　　　　条棱.  答案　5　6　9 解析　三棱台的面数、顶点数、棱数最少. 8.(5分)五棱台ABCDE-A1B1C1D1E1，若AB=2A1B1且上底面A1B1C1D1E1的面积为2，则下底面的面积为　　　　.  答案　8 解析　由棱台的定义知，上、下底面相似， ∴==4， ∴ S五边形ABCDE=4 =4×2=8. 9.(10分)如图，四边形AA1B1B为矩形，AA1=3，CC1=2，CC1∥AA1，CC1∥BB1，这个几何体是棱柱吗？若是棱柱，指出是几棱柱；若不是棱柱，作出一个过点C1的截面，截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的名称. 解　因为这个几何体中没有两个互相平行的面， 所以这个几何体不是棱柱. 如图，在AA1上取点E，使AE=2，在BB1上取点F，使BF=2，连接C1E，EF，C1F，则过点C1，E，F的截面将原几何体分成两部分，其中一部分是三棱柱ABC-EFC1，其侧棱长为2；另一部分是四棱锥C1-EA1B1F，即截去的几何体是四棱锥. 10.(11分)试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干个顶点，连接后构成以下空间图形，并且用适当的符号表示出来. (1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；(3分) (2)四个面都是等边三角形的三棱锥；(4分) (3)三棱柱.(4分) 解　(1)如图①所示，三棱锥A1-AB1D1(答案不唯一). (2)如图②所示，三棱锥B1-ACD1(答案不唯一). (3)如图③所示，三棱柱A1B1D1-ABD(答案不唯一). 11.(多选)如图，对该几何体描述正确的是(　　) A.这是一个六面体 B.这是一个四棱台 C.这是一个四棱柱 D.此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱而得到 答案　ACD 解析　A正确，该几何体有六个面，属于六面体；B错误，C正确，如果把几何体正面和背面作为底面就会发现是一个四棱柱；D正确，如图所示. 12.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截得的棱台上、下底面积之比为1∶4，截去的棱锥的顶点到底面的距离为3，则棱台的上、下底面的距离为(　　) A.12 B.9 C.6 D.3 答案　D 解析　设原棱锥的高为h，由题意得=， 解得h=6，因而棱台的高为3. 13. 如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是(　　) A.A1B1=2，AB=3，B1C1=3，BC=4 B.A1B1=1，AB=2，B1C1=1.5，BC=3，A1C1=2，AC=3 C.A1B1=1，AB=2，B1C1=1.5，BC=3，A1C1=2，AC=4 D.AB=A1B1，BC=B1C1，CA=C1A1 答案　C 解析　选项A中，≠，故A不符合题意；选项B中，≠，故B不符合题意；选项C中，==，故C符合题意；选项D中满足这个条件的可能是一个三棱柱，不可能是三棱台. 14.(5分)从正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点，这4个顶点可能是： (1)矩形的4个顶点；(2)每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；(3)每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；(4)有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点. 其中正确结论的个数为　　　　.  答案　4 解析　如图所示，四边形ABCD为矩形，故(1)满足条件； 四面体D-A1BC1为每个面均为等边三角形的四面体， 故(2)满足条件； 四面体D-B1C1D1为每个面都是直角三角形的四面体，故(3)满足条件； 四面体C-B1C1D1为有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体，故(4)满足条件； 故正确的结论有4个. 15.(5分)如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VB=VC=4，∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°，过点A作截面AEF，则△AEF周长的最小值为　　　　.  答案　4 解析　将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值. ∵∠AVB=∠A1VC =∠BVC=30°， ∴∠AVA1=90°. 又VA=VA1=4，∴AA1=4. ∴△AEF周长的最小值为4. 16.(12分)如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. 问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(6分) (2)若正方形边长为2a，则每个面的三角形面积为多少？(6分) 解　(1)如图折起后的几何体是三棱锥. (2)S△PEF=a2，S△DPF=S△DPE=×2a×a=a2， S△DEF=4a2-2a2-a2=a2. 学科网（北京）股份有限公司 $$