江苏省高邮中学2015年高二数学竞赛系列讲座 第九讲 圆锥曲线 课件+教案 （2份打包）

第九讲 圆锥曲线 教学目标： 掌握圆锥曲线的定义及其相关的几何性质 教学重难点： 掌握求圆锥曲线时常用的几种方法 1基本知识与基本方法： 1.1基本知识介绍 ①椭圆的相关知识： 椭圆的第一定义：平面内与两个定点 的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨迹. 第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数 的点的轨迹. 其中定义一、二中的定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距；定义二中的定直线叫做准线，常数叫做椭圆的离心率. 注意： 表示椭圆； 表示线段 ； 没有轨迹. 椭圆的标准方程、图象及几何性质： 中心在原点，焦点在 轴上 中心在原点，焦点在 轴上 标准方程 参数方程 为参数) 为参数) 图 形 顶 点 对称轴 轴， 轴；短轴长为 ，长轴长为 焦 点 焦 距 离心率 （离心率越大，椭圆越扁） ②双曲线的相关知识： 双曲线的第一定义：平面内与两个定点 的距离的差的绝对值等于常数（小于 ）的点的轨迹. 第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数 的点的轨迹. 其中：定义一、二中的定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距；定义二中的定直线叫做准线，常数叫做离心率. 注意： 与 （ ）表示双曲线的一支. 表示两条射线； 没有轨迹. 双曲线的标准方程、图象及几何性质： 中心在原点，焦点在 轴上 中心在原点，焦点在 轴上 标准方程 图 形 顶 点 对称轴 轴， 轴；虚轴为 ，实轴为 焦 点 焦 距 离心率 （离心率越大，开口越大） 准 线 渐近线 双曲线的渐近线： ⅰ）求双曲线 的渐近线，可令其右边的1为0，即得 ，因式分解得到. ⅱ）与双曲线 共渐近线的双曲线系方程是 ； 等轴双曲线为 ，其离心率为 ，渐进线互相垂直． ③抛物线的相关知识： 抛物线的定义：平面内与一个定点的距离等于到一条定直线的距离点的轨迹.其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线. 抛物线的标准方程、图象及几何性质： 焦点在 轴上， 开口向右 焦点在 轴上， 开口向左 焦点在 轴上， 开口向上 焦点在 轴上， 开口向下 标准方程 图 形 顶 点 对称轴 轴 轴 焦 点 离心率 准 线 通 径 焦半径 焦点弦 （当 时，为 ——通径） 焦准距 1.1.4圆锥曲线的统一定义： 若平面内一个动点 到一个定点 和一条定直线 的距离之比等于一个常数 ，则动点的轨迹为圆锥曲线.其中定点 为焦点，定直线 为准线， 为离心率. 当 时，轨迹为椭圆；当 时，轨迹为抛物线；当 时，轨迹为双曲线. 1.2基本方法介绍 ①点差法 如设 、 ， 为椭圆 的弦 中点，如何求直线 的斜率？ ， ；两式相减得 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 像这种将曲线上的点坐标代入曲线方程，再对应相减，这种方法称为点差法，涉及到圆锥曲线中点弦有关的问题常用该法． ②设而不求法 如若 ，如何求 的值？ 可以先令 ，则 . 所以 ． 像这样，在代数运算中，常设一些量而并不解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”,在解析几何的解题中经常使用这种方法． ③韦达定理法： 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 例如直线 与双曲线 交于 两点，并且这两点分别在双曲线的两支上，如何求出实数 的取值范围？ 我们可以先将直线方程与双曲线方程联立并消去变量 ，得 ，化简整理得： ，设 ，要使 两点分别在双曲线的两支上，必须满足 ，解得 的取值范围为 ． 2基本知识应用 2.1正确选用标准方程 【例1】求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且经过点 的抛物线的标准方程． 解：由题意，抛物线有两种情形： （1）设抛物线 ，将 代入得 ．故标准方程为 ； （2）设抛物线 ，将 代入得 ，故标准方程为 ． 所以满足条件的抛物线的标准方程为 或 ． 说明：求圆锥曲线的标准方程，关键是确定类型，设出方程，待定系数法是常用方法之一．本题应结合图形，分析出两种情形，避免漏解． 2.2合理使用定义 【例2】已知点 在抛物线 的内部， 是抛物线的焦点，在抛物线