江苏省高邮中学2015年高二数学竞赛系列讲座 第四讲 空间中的角与距离 课件+教案 （2份打包）

数学••学科竞赛校本课程 第九讲 空间中的“角”和“距离” 江苏省高邮中学　谢秀明 1基本知识与基本方法 1.1基本知识介绍 两条异面直线所成的角：过空间任意一点分别引两条异面直线 的平行线，那么这两条相交直线所成的锐角（或直角）叫做这两条异面直线所成的角，若这个角记为 ，则 ．若这两条异面直线 所成为直角，则称异面直线 互相垂直，记 ． 直线与平面所成的角：平面的一条直线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角．若这条直线与这个平面垂直，则它们所成的角是直角.若这条直线与这个平面平行或在平面内，则它们所成的角是 ． 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角称直二面角． 异面直线之间的距离：和两条异面直线都垂直且相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线，公垂线位于两个交点之间的部分，叫做公垂线段，公垂线段的长度叫做两条异面直线之间的距离． 点到平面的距离：从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这个平面的距离． 直线和平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离． 两个平行平面间的距离：与两个平行平面都垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫做这两个平行平面的公垂线段，公垂线段的长度叫做这两个平行平面间的距离． 1.2基本方法介绍 求两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的方法一般的求法是根据定理、定义画出或找出两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角及平面与平面所成的二面角的平面角，并综合应用线线、线面、面面的位置关系，化简为在平面内求出两条相交直线的夹角，最后通过解三角形知识，求得这些角． ①求异面直线所成角的常见方法 定义法：定义法的关键是作出两异面直线所成的角，然后通过解三角形求角． 三线角公式：利用斜线、射影、面内的线两两所成的角之间的关系式 (其中 为斜线与面内的线所成的角， 为斜线与斜影所成的角， 为射影与面内的线所成的角)来求两异面直线所成的角． 向量法：利用向量的夹角公式来求两条异面直线所成的角． 距离公式法：利用异面直线 上两点间的距离公式 (其中 EMBED Equation.DSMT4 为 的公垂线段 的长， ， 是 所成的角)来求两异面直线所成的角． 如右图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为AA1、AB的中点，求异面直线EF和CC1所成的角． 解：连接CD1，易证CD1∥EF，由异面直线所成角的定义可知，∠D1CC1就是异面直线EF与CC1所成角，易得∠D1CC1=45。．当然此题也可以用向量法和距离公式法，同学自行完成。 ②求直线与平面所成的角常见方法 定义法：在斜线上任意取一点（不同于斜足）作平面的垂线，斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角即为直线与平面所成的角.求直线与平面所成的角时，要符合立体几何计算题常见的解题步骤，即“作图一证明一求解”三步． 如上例题中，如右图求EF和平面ACC1A1所成角的大小． 解：过点F作FG垂直于AC垂足为G，连接EG，因AA1⊥平面ABCD，FG 平面ABCD，所以AA1⊥GF，所以GF⊥平面ACC1A1，所以∠FEG就是直线EF和平面ACC1A1所成角，在⊿EFG中易求∠FEG= ． ③求二面角的常见方法 定义法：通过观察，取二面角棱上恰当的点，直接作出二面角的平面角． 垂线法：在二面角 的一个面 内取点A，由作 于点B，再由B作 于点C，连结AC．易证 ，则 是二面角 的平面角． 垂面法：，对于二面角 ，如果存在平面 ，使得 ，并且 ，那么 ， 是二面角 的平面角． 面积射影： ，求出平面角，其中 表示锐角的大小． 转化法：如果二面角(特别是钝角二面角)的平面角不易作出，可将二面角的一个面平移，或利用邻补角的关系先求锐角二面角，通过转化，归结为一个易求的二面角问题． 延展平面法：如果题中没有给出二面角的两个面的交线，可将二面角的面延展，作出二面角的棱，从而构成完整的二面角． ④求距离常见方法 体积法：利用三棱锥顶点的变换而体积相等，求出三棱锥的高，即为点到平面的距离． 垂线法：作出点到平面的垂线，垂线段长即为点到面的距离。求点到平面的距离时，要符合立体几何计算题常见的解题步骤，即“作图一证明一求解”三步． 转移法：把要求的点到平面的距离转移到其它点到平面的距离． 其它距离的求法：都转化为点到平面间的距离． 如右图，已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，边长为 ，求DB与B1C的距离． 解法1（体积法）：因BD∥B1D1，B